第五章 状态反馈控制器设计

状态反馈控制器 闭环多项式： 期望多项式：
实现极点配置的条件：
极点配置状态反馈控制器是 分析：优点：能控标准型使得计算简单； 缺点：能控标准型的状态难以直接测量； 解决方法：考虑新的实现。串连分解
状态空间实现是
直接法 反馈增益矩阵
闭环特征多项式 期望特征多项式
比较后可得 极点配置状态反馈控制器是 变换法 确定变换矩阵
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。 定理5.1.3状态反馈不改变单输入单输出系统零点 5.1.3 两种反馈形式的讨论：฀ ฀
状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值
开环系统是稳定的，且开环传递函数 开环系统的稳态误差 开环系统是无静差的。闭环系统的稳态输出 因此闭环系统有稳态误差
考虑系统
参考输入 外部扰动 问题：在存在扰动下，使输出跟踪设定值。 定义误差向量： 引入偏差的积分：
引入增广系统
对增广系统设计状态反馈控制律
使得闭环系统是稳定的
5.4 跟踪控制器设计 极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能 那么，对稳态性能、静态误差等的影响？ 例 已知被控对象的状态空间模型为
设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5， 并讨论闭环系统的稳态性能。 期望的闭环特征多项式是
所要设计的状态反馈增益矩阵是 相应的闭环系统状态矩阵
闭环传递函数
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： 控制律： 闭环系统： 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是： 即李雅普诺夫稳定性定理 李雅普诺夫稳定性定理 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和P。
5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使 是闭环系统李雅普诺夫方程？
其特征多项式是 期望的闭环特征多项式 要实现极点配置，须
结论：฀ 阶能控标准型系统， 对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解 阶能控标准型系统 极点配置问题可解； 导出了极点配置状态反馈控制律；฀ 极点配置状态反馈控制律是惟一的。 例 对系统 设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3
闭环特征多项式： 期望特征多项式：
5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题 提供了两个函数： acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点 place:多输入系统，相同极点个数不超过B的秩 对单输入系统，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J) 检验：eig(A-B*K) 极点配置的优点： 可以改善系统的稳定性、动态性能
分别乘以
，再相加可得
由能控性，可得
爱克曼公式： 爱克曼公式 例 对传递函数描述的二阶系统 ，确定 一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于 解 期望闭环多项式： 对象的状态空间实现： 能控性矩阵：
爱克曼公式：
关于极点配置问题：
1。n个极点，以共轭对的形式出现； 2。主导极点； 3。考虑到零点的影响； 4。系统响应速度并非越快越好； 5。单输入系统，极点配置不影响零点分布； 6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一； 7。区域极点配置。 不足：需要用到全部状态。
矩阵P是对称的， 若选取
控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题： （黎卡提矩阵方程 黎卡提矩阵方程） 黎卡提矩阵方程 优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解， 则对任意的 都是系统的稳 定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
展开矩阵方程，得到
求取一个正定的解矩阵
可得 取 则 为保证主导极点，第3个极点选为 期望特征多项式：
原模型等价变换为能控标准型
要求的状态反馈增益矩阵
闭环系统：
单位阶跃响应： 峰值时间为0.4到0.5秒 5.3.4 爱克曼（Ackermann）公式 极点配置状态状态反馈增益矩阵K的解析表达式 闭环系统特征多项式：
闭环矩阵满足 问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵K？ 从关系式
第5章 状态反馈控制器设计
√ 建立了状态空间模型฀ √ 提出了基于状态空间模型的运动分析฀ √ 探讨了系统的定性分析： 稳定性、能控性、能观性 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈。
5.1 线性反馈控制系统 系统模型 5.1.1 反馈控制系统结构。 v为外部输入； 控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。 状态反馈控制器： K称为是状态反馈增益矩阵 状态反馈增益矩阵。 状态反馈增益矩阵 闭环系统：
静态线性输出反馈控制 输出反馈控制： 输出馈控制
若v表示系统的参考输入，用 代替， 可得 用输出误差来校正系统。当 时，状态 反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为 结论：反馈可以改变系统的动态特性 反馈可以改变系统的动态特性。 反馈可以改变系统的动态特性 定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。 例 考虑系统在状态反馈 下的闭环系统 能控能观性。 结论：能控，不能观。
对任意的
，稳定化控制律：
5.3 极点配置 系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置） 高阶系统（一对主导极点） 结论：极点影响系统的稳定性和动态性能 极点影响系统的稳定性和动态性能 5.3.1 问题的提出 闭环系统： 根据系统性能要求确定闭环极点 求矩阵K，使得
极点配置状态反馈增益矩阵
直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。
例 对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐 近稳定， 且闭环系统的输出超调量 系统的一个状态空间模型 ，峰值时间
系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。 系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！ 一对主导极点：
ζ和
是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率
求拉氏变换，得到
参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值 定理
即 x 和 q 趋向于常值。从而
趋于零。
针对增广系统，设计状态反馈控制律，只要闭 环系统渐近稳定，则系统无静态误差。 若需要系统有一定的过渡过程特性，极点配置！
要求：增广系统是能控性的。 定理 增广系统能控的充分必要条件是 （1）原来系统是能控的 （2） 证明：
其中 由原系统的能控性 ⇒ 量线性无关。
的行向
必要条件： ：输入的个数不能小于输出的个数 ：所有的测量输出都是独立的。 跟踪外部参考输入的控制律是 积分比例控制器
针对前面的例子，再来设计一个状态反馈控制 器，不仅使得闭环系统具有理想的过渡过程特 性，而且还能无静差地跟踪阶跃参考输入。
设计要求：保持原闭环极点－4，－5； 增加的增广闭环系统极点－8。 利用 MATLAB 可得 K=[-17.6667 13.0000 53.3333] 跟踪控制律 单位阶跃响应： 改善动态性能； 消除静态误差。
比较可得：
极点配置状态反馈控制律： 闭环系统状态变量图：
以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型 以上的方法可以推广到 阶能控标准型模型
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？ 思路：考虑能控状态空间模型 将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型 如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极 点配置控制器。
系统模型 假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换 其中
对能控标准型和给定的极点 可得极点配置状态反馈增益矩阵
，
即： 问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。 如何得到适合于原来模型的控制律呢？ 利用特征值的关系：
定理 对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配 对一个能控系统， 置闭环系统极点。 置闭环系统极点 理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈 任意配置极点，那么它一定是能控的。
5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算法 给定系统模型 和闭环极点 1。检验系统的能控性； 2。根据 确定参数 3。确定转化为能控标准型的变换矩阵 4。确定期望特征多项式系数 5。确定极点配置反馈增益矩阵
例
已知被控系统的传递函数是
设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1±j 解 确定能控标准型实现
，
5.3.2 极点配置问题可解的条件和方法 在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使 得闭环系统具有给定极点的控制器。฀ 如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论； 对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
状态反馈控制律： 得到的闭环系统是