有限单元法课件第四章杆件系统的有限元法
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有限元经典PPT第4章
Pii Kiiui
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui K u i,i1 i1
ui
n
Kiiui Kiiui
Kiju j
4.1.2 平面应力问题有限元的基本思想和瑞雷－里兹法
v3 f3y
3
u3
f3x
f1y v1 u1
1 f1x
v2 f2y u2
2 f2x
给定一个三角形单元和作用在角点上 的六个力，要求得六个角点的位移。 或者是要求三角形角点发生指定的位 移，在三角形三个角点如何加力？
很显然，问题的精确解很困难。采用 瑞雷－里兹法求近似式解
e号单元的三个节点I,j,k的力对应的 力的平衡方程是第2i-1,2i;2j-1,2j;2k1,2k个平衡方程
e号单元的三个节点I,j,k的位移是第 2i-1,2i;2j-1,2j;2k-1,2k个未知数
弹性模量：E 横截面积：A
1
1 L
2
2L
3
局部系单元刚度阵：
k
1
EA L
1 -1
-1
1
2 集成总刚：
0 1
解得：
ux uy
L EA
3.8284L
EA
i
j
第一类位移条件：
Ki1u1 Ki2u2 Kiiui Ki1ui1
ui 0
令： Kij 0 i j
m
vi 0
Kii 1
um 0
Pi 0
ui 0
第二类位移条件：um um
大数
充大数法： Kii Kii
第一步：求转换矩阵
k2
EA 1 2L -1
-1
1
P
cos 0
T sin
第四章有限元单元法
¾ ADINA
★ FLUENT
¾ ANSYS
★ SAP
(3) 有限单元法的未来
应用需求：技术革新、设计理论、 制造方法
基础产业：汽车、船舶、冶金、飞机 高新产业：航天、微电系统、纳米器
件：
(3) 有限单元法的未来 待发展的方面
1) 新的材料本构模型和单元型式
2) 结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析
人类认识自然的得力助手
力学或工程领域求解问题的两大法宝：解 析法和离散法
4.1.1 有限单元法的基本概念
解析法：
它从研究连续体中无限小的微分体入手，得出 描述连续体性质的微分方程。然后根据边界条 件、初始条件可解得一个通解。这个解可给出连 续体内任一点上所求参数的值。 核心是微分方程。 微分方程的建立过程是近似的，而微分方程的 求解过程是精确的。
E
• 长度分别为l1、l2 • 桁架的铰链处受到外力 X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3
• 在1点和3点固定铰支 求解内力
铰接桁架
求解过程：
(1). 将结构划分成典型单元的集合——离散化(节点力、节点位移)
－－求解过程：
(2).分析每个单元上节点力和节点位移之间的关系 ――单元特性分析
轧机牌坊（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
出钢机部件分析（三维壳体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
万向接轴叉头（三维实体问题，弹性）
稳静态结构问题实例
轧钢机刚度（三维实体问题，多体接触）
稳静态结构问题实例
沧州铁狮子（三维不规则实体，弹性）
稳静态结构问题实例
轧制过程仿真（三维实体，弹塑性、接触）
.500E+09
10000
杆件结构的有限元法
F1 k11 k12 u1 u F k k 2 21 22 2
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧的力—位移关系
F1 k F2 k
k u1 k u2
弹簧的节点力向量和节点位移向量
F
F1 F 2
u
u1 u 2
1
2012/5/24
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力的刚度（矩阵形式表示）
1 2
k11 k12 k 21 k22
1
2
单个弹簧力和位移关系（矩阵形式）
2012/5/24
杆件结构的有限元法
杆件结构的有限元法
单个弹簧的刚度矩阵 组合弹簧的刚度矩阵 铰支杆系的有限元计算格式 单元坐标系统（局部坐标系）、整体坐标系 刚度、单元刚度矩阵、整体刚度矩阵 自由度
基本概念
杆件结构的有限元法—单个弹簧
单个弹簧力和位移关系（线弹性）
F k
已知力和位移 未知力和位移
F1 K11 X 1 K12 X 2 F2 K 21 X 1 K 22 X 2 X 2 K 22 1 F2 K 21 X 1
4
2012/5/24
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件结构的单元划分、节点定义
节点定义 单元划分 节点力和位移
杆件结构的有限元法—杆件刚度矩阵
杆件的力与变形关系
等效刚度
F
A E u L
第四章 杆件系统有限元法
K' = T K T
e e
=T K T
e e
eT
总体刚度矩阵组装
a)当整体刚度矩阵中Krs的子矩阵中r=s 时，该节点（节点r）被哪几个单元所 共有，则Krs就是这几个单元的刚度矩 阵中的子矩阵的相加。 b)当Krs中r≠s时，若rs边是组合体的内 边，则Krs就是共用该边的两相邻单元 刚度矩阵中的子矩阵Krse的相加. c)当Krs中r和s不同属于任何单元时，则 Krs=0。
有限元法基础
第四章 杆件系统有限元法
学习要点
杆件结构有限元分析的基本原理与平面 问题有限元分析的基本原理是一致的。 区别在于杆系结构在整体刚度矩阵组装 之前，需要利用坐标变换将局部坐标系 下的单元刚度矩阵变换成整体坐标系下 的单元刚度矩阵。
三节点三角形单元与桁架单元分析比较
ห้องสมุดไป่ตู้ 桁架单元转换矩阵
桁架单元分析过程所选用坐标是局部的 ，不同的单元一般具有不同的局部坐标 系，因而不能进行不同单元刚度矩阵间 的混合运算。 解决这个问题的唯一途径就是建立整体 坐标与局部坐标间的坐标变换，并通过 这种交换来得到单元刚度矩阵在整体坐 标系下的显式。
整体坐标系和局部坐标系中节点力之间 的转换关系：
F' = T F
e e e
Te称之为桁架单元 称之为桁架单元 转换矩阵
整体坐标系下的单元刚度矩阵
转换矩阵Te的逆矩阵等于其转制矩阵
T
e −1
=T
eT
整体坐标系下单元刚度矩阵与局部坐标 系下单元刚度矩阵的关系：
K =T
e e −1
K 'e T e
e e −1
桁架单元转换矩阵
整体坐标系中的节点位移用局部坐标系 中的节点位移表示为：
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
4 杆件系统有限元法
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
用有限元法求解图示结构的桁架内力，设各杆的EA为常数。
y ② 2 ⑤ 3 P
①
⑥ ④ 1 l 4 x
l
③
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
解： （1）单元和节点编码如图所示，图中箭头的指向为局部坐 标系的正向。
y ② 2 ⑤ 3 P
①
⑥ ④ 1 l 4 x
l
③
杆件系统有限元法 4.1.5 算例
第四章 杆件系统有限元法
杆件系统有限元法 第四章 杆件系统有限元法
§ 4.1 平面及空间桁架结构有限元
§ 4.2 平面及空间刚架结构有限元
杆件系统有限元法 4.1.1 桁架单元刚度矩阵
1.单元位移模式 如图所示的杆单元，横截面面积为A ，长度为 l ，材料弹 性模量为E，设单元有两个节点i , j，由于该单元只承受轴向 载荷，故节点位移只有轴向位移，节点位移向量为
e （2）计算各单元的单元刚度矩阵K 。
900 ；单元②， 单元①， 900 ；单元 00 ；单元③， 450 ，则 450 ；单元⑥， ④， 00 ；单元⑤，
0 0 EA 0 1 l 0 0 0 1
1 EA 0 l 1 0
式中：
的方向余弦。
cos 和 cos ——局部坐标 x 轴在整体坐标系下 cos 、
杆件系统有限元法 4.1.4 总体刚度矩阵
在组装桁架结构总体刚度矩阵时，首先要计算每一个单 元在整体坐标系下的刚度矩阵，这里需要强调的是：单元刚 度矩阵一定是在整体坐标系下的，而不是局部坐标系下的； 然后进行总体刚度的组装，桁架结构总体刚度矩阵的组装过 程与第3章中的平面问题（如三角形单元）是一致的。
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
有限元法_精品文档
这种方法要求能建立微分方程，并能给出边 界条件的数学表达式，因此，对于一些不规则的 几何形状和不规则的特殊边界条件难以应用。
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
杆系结构的有限元法PPT课件
③ 固定支座 ；④ 定向支座 。
第3页/共66页
结构的分类与基本特征
按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构：长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构
按结构的自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ②超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
第6页/共66页
结构的对称性及其利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位 移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截 面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 奇数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
第7页/共66页
结构的对称性及其利用
奇数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
铰接三角形
第13页/共66页
几何不变结构的组成规律
瞬变结构 一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一 旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为 无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变 结构在工程结构设计中应尽量避免。
最简单的瞬变结构
第14页/共66页
几何不变结构的组成规律
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位置 在此二平行杆件延长线的无穷远处；
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联，虚 铰位置在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰 位置在C点。 三铰可看成位于同一条直线上， 故此结构为几何瞬变结构。
第3页/共66页
结构的分类与基本特征
按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构：长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。 ④ 混合结构
按结构的自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。 ②超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。
第6页/共66页
结构的对称性及其利用
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位 移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截 面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。 奇数跨的刚架
正对称荷载作用下的变形及分析简化
第7页/共66页
结构的对称性及其利用
奇数跨的刚架
反对称荷载作用下的变形及分析简化
铰接三角形
第13页/共66页
几何不变结构的组成规律
瞬变结构 一个结构，当它受载荷作用时会产生微小的位移，但位移一 旦发生后，即转变成一几何不变结构，但结构的内力可能为 无限大值或不定值，这样的结构称为瞬变结构。显然，瞬变 结构在工程结构设计中应尽量避免。
最简单的瞬变结构
第14页/共66页
几何不变结构的组成规律
几何不变结构的组成规律
结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算： j=6， g=8， z= 4
结构示意图
自由度为零，应是几何不变结构。
刚片Ⅰ和Ⅱ间用杆件DB、FE相联，虚铰位置 在此二平行杆件延长线的无穷远处；
刚片Ⅰ和Ш间用杆件DA及支座链杆③相联，虚 铰位置在F点； 刚片Ⅱ和Ш用杆件BA、支座链杆④相联， 虚铰 位置在C点。 三铰可看成位于同一条直线上， 故此结构为几何瞬变结构。
杆件结构的有限元法
F1b u1 0
k
u 2 F2b
B B1
〔2〕只有结点2可以变形，节点1固定，此时有：
F2b k u2 由力的平衡F有 1b ： F2b 0 则：F2b F1b ku2
第10页，共35页。
F1
u1
k
A A1
(3)据迭加原理，结果为：
u2
F2
B B1
作用在节1上 点的合F力 1 F1a F1b 作用在节2上 点的合F力 2 F2a F2b 或FF21kku1u1kku2u2
令sin,cos，则节点力的变为换：关系
Fx1 FFxy21 Fy2
0
0
0 0
0 0
0Fx1
0FFFxyy212
第27页，共35页。
简写为： F T F , ( 2 13 )
T 为变换矩阵。
相对于位移有： T
( 2 14 )
把（ 2 13）代入（ 2 12 ）有：
C
D 统，要确定在力的作用下，结
点BCDE处的变形，以便计算
出各杆件的内应力及各杆的轴
向力，可以假设整个杆件系统
B
E 具有和单根杆一样的刚度，不
过此时的刚度应采用矩阵来表
示，同样各点的位移及力都用
矩阵表示。即：
A
F
{F}[k]{}
第5页，共35页。
{F}[k]{}
重点：式中[K]为多少阶？如何求出？
第2页，共35页。
简单拉〔压〕杆的受力特点为作用在直杆上的外力〔体力、面力〕合力 的作用线一定与杆的轴线重合，如下图。
第3页，共35页。
以弹簧为例： 弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡 克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜
有限单元法-杆件
F
k
1
δ
F = kδ 刚度系数 铰连接杆件系统、 铰连接杆件系统、连接铰
连接铰：仅传递力，不传递 连接铰：仅传递力， 力矩 每个连接铰的位移都是荷载 F 的线性函数
δ
F
二力杆
连接铰
16
弹簧系统（ 弹簧系统（一）
弹簧单元 单元节点i,j 单元节点i,j
弹簧的刚度矩阵
力
fi fj
对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
a11 0 D= 0 0 0 a 22 0 0 0 0 O 0 0 0 0 a mm
9、单位矩阵 单位矩阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 O 0 0 0 0 1
T
当连乘矩阵的乘积被转置时， 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。 矩阵之乘积。若
A=B C D 则
7、零矩阵
AT =DT CT BT
元素全部为零的矩阵称为零矩阵， 表示。 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0 ， 但不一定 A=0 或 B=0。
3
8、对角矩阵 对角矩阵
不具有交换律， （2）不具有交换律，即
AB ≠ BA
2
6、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 将一个阶矩阵的行和列依次互换， 原矩阵的转置矩阵， 原矩阵的转置矩阵，如：
a11 a12 A= a21 a22 a31 a32
其转置矩阵为
a11 a21 a31 A = a12 a22 a32
系统含3个节点，每个节点 个自由度 个自由度， 系统含 个节点，每个节点1个自由度，共 个节点 个自由度， 计3个自由度，总刚是 ×3对称方阵 个自由度 总刚是3× 对称方阵 k1 −k1 −k k + k 系统方程组 K g {q} = { F } 1 2 1
k
1
δ
F = kδ 刚度系数 铰连接杆件系统、 铰连接杆件系统、连接铰
连接铰：仅传递力，不传递 连接铰：仅传递力， 力矩 每个连接铰的位移都是荷载 F 的线性函数
δ
F
二力杆
连接铰
16
弹簧系统（ 弹簧系统（一）
弹簧单元 单元节点i,j 单元节点i,j
弹簧的刚度矩阵
力
fi fj
对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
a11 0 D= 0 0 0 a 22 0 0 0 0 O 0 0 0 0 a mm
9、单位矩阵 单位矩阵
单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如
1 0 I = 0 0 0 1 0 0 0 0 O 0 0 0 0 1
T
当连乘矩阵的乘积被转置时， 当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置 矩阵之乘积。 矩阵之乘积。若
A=B C D 则
7、零矩阵
AT =DT CT BT
元素全部为零的矩阵称为零矩阵， 表示。 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。 若 AB=0 ， 但不一定 A=0 或 B=0。
3
8、对角矩阵 对角矩阵
不具有交换律， （2）不具有交换律，即
AB ≠ BA
2
6、转置矩阵
将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为 将一个阶矩阵的行和列依次互换， 原矩阵的转置矩阵， 原矩阵的转置矩阵，如：
a11 a12 A= a21 a22 a31 a32
其转置矩阵为
a11 a21 a31 A = a12 a22 a32
系统含3个节点，每个节点 个自由度 个自由度， 系统含 个节点，每个节点1个自由度，共 个节点 个自由度， 计3个自由度，总刚是 ×3对称方阵 个自由度 总刚是3× 对称方阵 k1 −k1 −k k + k 系统方程组 K g {q} = { F } 1 2 1
有限元课件_第4章 杆系结构的有限元法
v( x) [ N ]
式中： N N1 其中
e
(4 - 23)
N4
N2
N3
N1 (l 3 3lx2 2 x 3 ) / l 3 N 2 (l 2 x 2lx2 x 3 ) / l 2 N 3 (3lx 2 2 x 3 ) / l 3 N 4 (lx 2 x 3 ) / l 2
l 12 EI 0 l3 6 EI 0 e l2 k EA 0 l 12 EI 0 3 l 6 EI 0 l2 l 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l 0 0 EA l 0 0 12 EI l3 6 EI 2 l 0 12 EI l3 6 EI 2 l 6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l
而形函数为
1 [ N ] [ N i N j ] [( x j x) l
( xi x)] (4 - 6)
将位移模式（4-5） 代入得 3
拉压直杆单元仅有轴向应变 du / dx
1 e [1 1] l
上式用应变矩[B]可写为：
e [ B]
16
ui ui cos vi sin vi ui sin vi cos
（4-33）
i i
xi xi
而方向余弦矩阵[φ]为
cos sin 0
e
sin cos 0
0 0 1
有下述关系（4-2）
ui ui cos vi sin vi ui sin vi cos (4 - 12)
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y
ui
uj
i i vi l
j j vj
x
二节点六自由度梁单元
1.单元位移函数 假定单元的位移函数如下多项式
u v
1 3
2x 4x
5x 2
6 x 3
式中, u 为沿 x 方向的位移; v 为沿 y 方向的位移; i 为广
义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。
将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出1,2 , ,6 ,经
效节点载荷分别为
R
e P
RiP R jP
R
lP
Rlx Rly
Rl
l
NlT
Px
Py
dx
(l i, j)
(4-12)
R
e F
RiF R jF
R
Ni
N1 0
0 N2
0
N3
N
j
N 0
4
0 N5
0
N
6
其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为
N1
1
x l
N2
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
x
2 l
x2
1 l2
x2
N4
x l
N5
3 l2
x2
2 l3
x3
N6
1x2 l
1 l2
x3
单元的节点位移向量qe 为
qe
qi q j
式中
qi
uvii
在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面, 横截面中心的连线称为轴线,如图所示。
如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线, 则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变, 则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。
曲杆
直杆
变截面杆
杆件结构
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。 桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉 压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素 主要是截面面积,与截面形状无关;
整理得到用节点位移表示的单元位移函数为
u N1ui N4u j
v N2vi N3i N5v j N6 j
即单元位移可写成如下矩阵形式
d
u
v
Ni qi
N jqj
N qe
式中, N 称为形函数矩阵, qe 为单元节点位移列阵。
形函数矩阵 N 的表达式为
N Ni N j
式中, Ni , N j 是它的分块矩阵,分别为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这 类结构称为杆件。
工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等 都属于杆件。
12EI l3
0
k
e
EA
6EI l2
0
4EI l
0
EA
l
l
12EI 6EI
12EI
0
l3
l2
0
l3
0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI 4EI
l2
l
4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵 R
等效节点载荷 Rix 、Riy 和 Ri 分别对应于该节点的节点位
移 ui 、vi 和 i .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩M产生的等
二、单元分析
通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节 点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,
即 u , v , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部 坐标系的 x 轴,以 x 轴的正向逆时针旋转90℃为 y 轴的正向。
符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的 则是总体坐标系中的物理量。
惯性矩;E是材料弹性模量。
3.局部坐标系中的单元刚度矩阵 对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k e qe R e (4-9)
其中, k e为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式 为
k e
T
B D B dx
BiT
B
T j
D
Bi
kii k ji
kij k jj
Bj dx
其中矩阵元素为
kst
BsT
T
D
Bt
dx
as
0
0
0
bs cs
EA 0
0 at
EI
0
0 bt
0
ct
dx
EAas at
0
0
0 EIbsbt EIcsbt
0 EIbsct dx EIcsct
将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为
EA
l
0
梁 桁杆
(a)
(b)
和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。 梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压, 而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力 状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单 元和梁单元离散。
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
dx2
Bj qe
其中
Bi
ai 0
0 bi
0
ci
Bj
a j 0
0 bj
0
c
j
(4-6)
ai
a j
1 l
bi
bj
12 l3
x
6 l2
ci
4 l
6 l2
x
cj
2 l
6 l2
x
(4-7)
单元应力为
N M
D
D Bqe
D
EA
0
0
EI
式中, N , M 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面
梁 桁杆
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
qj
u v
j j
i
Hale Waihona Puke j2.单元应变矩阵和应力矩阵
对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单 元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即
du
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
Bj qe
dx2
式中, k 变形。
d2v dx2
,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的
du
第二节 平面刚架有限元法
如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于 同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为 平面刚架。
一、结构离散
平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各 自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的 杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在 统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每 个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。
ui
uj
i i vi l
j j vj
x
二节点六自由度梁单元
1.单元位移函数 假定单元的位移函数如下多项式
u v
1 3
2x 4x
5x 2
6 x 3
式中, u 为沿 x 方向的位移; v 为沿 y 方向的位移; i 为广
义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。
将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出1,2 , ,6 ,经
效节点载荷分别为
R
e P
RiP R jP
R
lP
Rlx Rly
Rl
l
NlT
Px
Py
dx
(l i, j)
(4-12)
R
e F
RiF R jF
R
Ni
N1 0
0 N2
0
N3
N
j
N 0
4
0 N5
0
N
6
其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为
N1
1
x l
N2
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
x
2 l
x2
1 l2
x2
N4
x l
N5
3 l2
x2
2 l3
x3
N6
1x2 l
1 l2
x3
单元的节点位移向量qe 为
qe
qi q j
式中
qi
uvii
在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面, 横截面中心的连线称为轴线,如图所示。
如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线, 则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变, 则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。
曲杆
直杆
变截面杆
杆件结构
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。 桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉 压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素 主要是截面面积,与截面形状无关;
整理得到用节点位移表示的单元位移函数为
u N1ui N4u j
v N2vi N3i N5v j N6 j
即单元位移可写成如下矩阵形式
d
u
v
Ni qi
N jqj
N qe
式中, N 称为形函数矩阵, qe 为单元节点位移列阵。
形函数矩阵 N 的表达式为
N Ni N j
式中, Ni , N j 是它的分块矩阵,分别为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这 类结构称为杆件。
工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等 都属于杆件。
12EI l3
0
k
e
EA
6EI l2
0
4EI l
0
EA
l
l
12EI 6EI
12EI
0
l3
l2
0
l3
0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI 4EI
l2
l
4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵 R
等效节点载荷 Rix 、Riy 和 Ri 分别对应于该节点的节点位
移 ui 、vi 和 i .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩M产生的等
二、单元分析
通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节 点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,
即 u , v , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部 坐标系的 x 轴,以 x 轴的正向逆时针旋转90℃为 y 轴的正向。
符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的 则是总体坐标系中的物理量。
惯性矩;E是材料弹性模量。
3.局部坐标系中的单元刚度矩阵 对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k e qe R e (4-9)
其中, k e为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式 为
k e
T
B D B dx
BiT
B
T j
D
Bi
kii k ji
kij k jj
Bj dx
其中矩阵元素为
kst
BsT
T
D
Bt
dx
as
0
0
0
bs cs
EA 0
0 at
EI
0
0 bt
0
ct
dx
EAas at
0
0
0 EIbsbt EIcsbt
0 EIbsct dx EIcsct
将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为
EA
l
0
梁 桁杆
(a)
(b)
和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。 梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压, 而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力 状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单 元和梁单元离散。
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
dx2
Bj qe
其中
Bi
ai 0
0 bi
0
ci
Bj
a j 0
0 bj
0
c
j
(4-6)
ai
a j
1 l
bi
bj
12 l3
x
6 l2
ci
4 l
6 l2
x
cj
2 l
6 l2
x
(4-7)
单元应力为
N M
D
D Bqe
D
EA
0
0
EI
式中, N , M 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面
梁 桁杆
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
qj
u v
j j
i
Hale Waihona Puke j2.单元应变矩阵和应力矩阵
对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单 元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即
du
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
Bj qe
dx2
式中, k 变形。
d2v dx2
,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的
du
第二节 平面刚架有限元法
如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于 同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为 平面刚架。
一、结构离散
平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各 自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的 杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在 统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每 个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。