有限单元法课件第四章杆件系统的有限元法

y
ui
uj
i i vi l
j j vj
x
二节点六自由度梁单元
1.单元位移函数 假定单元的位移函数如下多项式
u v
1 3
2x 4x
5x 2
6 x 3
式中, u 为沿 x 方向的位移; v 为沿 y 方向的位移; i 为广
义坐标,共有6个,可由单元的6个节点位移确定。
将节点i,j的位移和坐标值代入上式,便可求出1,2 , ,6 ,经
二、单元分析
通常采用的梁单元有两个节点,单元形状为一条直线。每个节 点具有三个自由度,包括2个移动自由度和1个转动自由度,
即 u , v , ,如图所示。以节点i为原点,以杆件的轴线为局部 坐标系的 x 轴,以 x 轴的正向逆时针旋转90℃为 y 轴的正向。
符号中的上划线表示是局部坐标系中的物理量,没有上划线的 则是总体坐标系中的物理量。
梁 桁杆
(a)
(b)
和其他结构采用固定连接的杆称为梁,如图(b)所示。 梁的连接处不能自由转动,因此梁不仅能够承受拉压, 而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件的内部应力 状态比较复杂,应力大小和分布不仅与截面大小有关, 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时,这两类杆件结构可用相应的杆单 元和梁单元离散。
Ni
N1 0
0 N2
0
N3
N
j
N 0
4
0 N5
0
N
6
其中每个矩阵元素称为形函数,表达式为
N1
1
x l
N2
1
3 l2
x2
2 l3
x3
N3
x
2 l
x2
1 l2
x2
N4
x l
N5
3 l2
x2
2 l3
x3
N6
1x2 l
1 l2
x3
单元的节点位移向量qe 为
qe
qi q j
式中
qi
uvii
效节点载荷分别为
R
e P
RiP R jP
R
lP
Rlx Rly
Rl
l
NlT
Px
Py
dx
(l i, j)
(4-12)
R
e F
RiF R jF
R
12EI l3
0
k
e
EA
6EI l2
0
4EI l
0
EA
l
l
12EI 6EI
12EI
0
l3
l2
0
l3
0
6EI 2EI
l2
l
0
6EI 4EI
l2
l
4.局部坐标系中的单元等效节点载荷列阵 R
等效节点载荷 Rix 、Riy 和 Ri 分别对应于该节点的节点位
移 ui 、vi 和 i .分布载荷P,集中力F和集中力偶矩M产生的等
整理得到用节点位移表示的单元位移函数为
u N1ui N4u j
v N2vi N3i N5v j N6 j
即单元位移可写成如下矩阵形式
d
u
v
Ni qi
N jqj
N qe
式中, N 称为形函数矩阵, qe 为单元节点位移列阵。
形函数矩阵 N 的表达式为
N Ni N j
式中, Ni , N j 是它的分块矩阵,分别为
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
第四章 杆件系统有限元法
第一节 引言
当结构长度尺寸比两个截面方向的尺寸大得多时,这 类结构称为杆件。
工程中常见的轴,支柱,螺栓,加强肋以及各类型钢等 都属于杆件。
在杆件结构中,垂直于长度方向的截面称为横截面, 横截面中心的连线称为轴线,如图所示。
如果杆的轴线是直线,则称为直杆;如果轴线为曲线, 则称为曲杆;如果杆的各个横截面尺寸和形状不变, 则称为等截面杆,反之则称为变截面杆。
曲杆
直杆
变截面杆
杆件结构
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 和其他结构采用铰连接的杆称为桁杆,如图(a)所示。 桁杆的连接处可以自由转动,因此这类结构只承受拉 压作用,内部应力为拉压应力。影响应力的几何因素 主要是截面面积,与截面形状无关;
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
dx2
Bj qe
其中
Bi
ai 0
0 bi
0
ci
Bj
a j 0
0 bj
0
c
j
(4-6)
ai
a j
1 l
bi
bj
12 l3
x
6 l2
ci
4 l
6 l2
x
cj
2 l
6 l2
x
(4-7)
单元应力为
N M
D
D Bqe
D
EA
0
0
EI
式中, N , M 是杆的轴向力和弯矩;A,I是杆的截面积和截面
惯性矩;E是材料弹性模量。
3.局部坐标系中的单元刚度矩阵 对杆件系统同样可以由虚位移原理推导出单元的刚度方程
k e qe R e (4-9)
其中, k e为杆件在局部坐标系中的单元刚度矩阵,其表达式 为
k e
T
B D B dx
BiT
B
T j
D
Bi
kii k ji
kij k jj
qj
u v
j j
i
j
2.单元应变矩阵和应力矩阵
对于长细比较大的杆件可以忽略其切应变变形,此时单 元应变只包含轴向变形和弯曲变形两部分,即
du
x
x
dx d2v
B
qe
Bi
Bj qe
dx2
式中, k 变形。
d2v dx2
,即为弯曲变形,它是垂直于杆件轴线方向的
du
Bj dx
其中矩阵元素为
kst
BsT
T
D
Bt
dx
as
0
0
0
bs cs
EA 0
0 at
EI
0
0 bt
0
ct
dx
EAas at
0
0
0 EIbsbt EIcsbt
0 EIbsct dx EIcsct
将式(4-7)代入上式并积分,得到单元刚度矩阵为
EA
l
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梁 桁杆
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
第二节 平面刚架有限元法
如果结构中各杆件的轴线以及所有外力的作用线都位于 同一平面内,并且杆件之间是刚性连接,则此类杆件系统称为 平面刚架。
一、结构离散
平面刚架通常用平面梁单元离散。刚架中各杆件(单元)有各 自的局部坐标,其方向即为该杆件的轴线方向。对于不同的 杆件,其局部坐标系可能不相同。由于结构的刚度方程是在 统一的坐标系(即总体坐标系)中建立并求解的,因此需要将每 个单元在局部坐标系中的各个量转换到总体坐标系中。