高考数学模拟复习试卷试题模拟卷170 4

合集下载

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学数学试卷文科

高考模拟复习试卷试题模拟卷高三数学数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为．10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为．12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为．13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，80分15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料原料 A B C 甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．17．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．18．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则B={1，3，5}，则A∩B={1，3}，故选：A．【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A．B．C．D．【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，棱CD1在左侧面的投影为BA1，故选：B．【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c=，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．5．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]【分析】函数f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…=∪，即可得出．【解答】解：函数f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪…=∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为 1 ．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3 ．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 4 ．【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；第二次循环：S=2，n=3；第三次循环：S=4，n=4，结束循环，输出S=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为（x﹣2）2+y2=9 ．【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，得，解得a=2，r=3．∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．故答案为：（x﹣2）2+y2=9．【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，∴DH2=AH•BH=2，则DH=，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，）．【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴，解得≤a≤．作出y=|f（x）|和y=2﹣的函数草图如图所示：由图象可知|f（x）|=2﹣在[0，+∞）上有且只有一解，∵|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，∴x2+（4a﹣3）x+3a=2﹣在（﹣∞，0）上只有1解，即x2+（4a﹣）x+3a﹣2=0在（﹣∞，0）上只有1解，∴或，解得a=或a＜，又≤a≤，∴．故答案为[，）．【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，80分15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．（1）求B；（2）已知cosA=，求sinC的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，∴cosB=，∴B=．（2）∵cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料原料 A B C 甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即M（20，24），此时z=40+72=112，即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）根据余弦定理求出BD=，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG=DC=1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF=OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，由余弦定理可得BD=，仅而∠ADB=90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，∴sin∠ADE=，∴AH=AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH==，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出bn，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴an=2n﹣1．（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴bn+1﹣bn=1．∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值．【解答】解：（1）由+=，得+=，即=，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA=∠MAO，∴x0=1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，整理得：=1，即8k2=3．∴k=﹣或k=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0，分别代入解析式化简f （x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证；（3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．【解答】解：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a，分两种情况讨论：①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=或x=，当x＞或x＜﹣时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，当﹣＜x＜时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a＞0，且x0≠0，由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02=，进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b，又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f（x0），由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，则有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，下面分三种情况讨论：①当a≥3时，﹣≤﹣1＜1≤，由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}=，所以M=a﹣1+|b|≥2②当a＜3时，，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥=f（），f（1）≤=，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（），f（﹣）]，因此M=max{|f（）|，|f（﹣）|}=max{||，||}=max{||，||}=，③当0＜a＜时，，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜=f（），f（1）＞=，所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞，综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

高考数学模拟复习试卷试题模拟卷17140

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【重点知识梳理】1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.答案(1)A(2)x225＋y216＝1考点二求椭圆的标准方程【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2 2.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．【变式探究】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，()3，5.由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1. 考点三椭圆的几何性质【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．不等式．例如，－a≤x≤a ，－b≤y≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．【变式探究】已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程．考点四直线与椭圆的位置关系【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l 的方程．由|AB||CD|＝534，得4－m25－4m2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33. 考点五圆锥曲线上点的对称问题圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．【例5】椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝12，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【真题感悟】1.【高考广东，文8】已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9B ．4C ．3D ．22.【高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ． 3B ．3(0,]4C ．3D ．3[,1)43．【高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．4.【高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510. （Ⅰ）求E 的离心率e;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 【答案】（Ⅰ）55（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=OM k 从而1052=a b .进而b b a c b a 2,522=-==，故552==a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2b a ，可得⎪⎭⎫⎝⎛=65,6b a NM . 又()b a AB ,-=，从而有()22225616561a b b a NM AB -=+-=⋅ 由（Ⅰ）得计算结果可知,522b a =所以0=⋅NM AB ，故AB MN ⊥.5．【高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．6.【高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，C相交于,C D两点，且AC与BD同向.与2C的方程；（I）求2，求直线l的斜率.（II）若AC BD7.【高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b bαα的离心率为32312）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值； (ii)求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||OQ OP =；（ii ） 3. 【解析】（I ）由题意知22311,4a b+=223a b -=，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=.8.【高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>经过点(0,1)A-2.(I)求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.9.【高考四川，文20】如图，椭圆E：22221x ya b+=(a>b>0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD上，且PC PD⋅＝－1(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅＝－3为定值A DBC O x y P当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值－3.10.【高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22221(a b 0)x y ab 的上顶点为B,左焦点为F ,离心率为55, （I ）求直线BF 的斜率;（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M,||=||PM MQ .（i ）求的值;（ii ）若75||sin =9PM BQP ,求椭圆的方程.0M x =得7.8M P PQ MQ x x x x x x λ-===-1．（·四川卷）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．2．（·安徽卷）设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．【答案】x2＋32y2＝1 【解析】3．（·北京卷）已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋（x0－t）2.又x20＋2y20＝4，t＝－2y0x0，故d＝⎪⎪⎪⎪2x0＋2y20x0x20＋y20＋4y20x20＋4＝⎪⎪⎪⎪4＋x20x0x40＋8x20＋162x20＝ 2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．4．（·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A．5 2 B.46＋2C．7＋2 D．625．（·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433 B.233 C．3 D．26．（·湖南卷）如图1-7，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．图1-77．（·江西卷）过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．8．（·辽宁卷）已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝______．【答案】12 【解析】取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于C 的焦点F1的对称点为A ，点M 关于C 的焦点F2的对称点为B ，则有|GF1|＝12|AN|，|GF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a ＝12.9．（·辽宁卷）圆x2＋y2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P 且与C1有相同的焦点，直线l 过C2的右焦点且与C2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．10．（·全国卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1 C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1【答案】A 【解析】根据题意，因为△AF1B 的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x23＋y22＝1.11．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．12．（·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝ 5|F1N|，求a ，b.13．（·山东卷）已知a ＞b ＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A. x±2y ＝0B. 2x±y ＝0C. x±2y ＝0D. 2x±y ＝014．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为3 2.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图1-5∵k≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83. 经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)，比照方法一给分．15．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-516．（·天津卷）设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．17．（·浙江卷）如图1-6，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.图1-618．（·重庆卷）如图1-4所示，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．图1-419．(高考四川卷)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.3220.(高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.【押题专练】1．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4 B．3C．2 D．52．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4 B．8C．4或8 D．以上均不对3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C的方程是() A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x24＋y23＝1 D.x24＋y2＝1解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝ca＝12⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是x24＋y23＝1，故选C.答案C4．已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.676．设F1，F2分别是椭圆E ：x24＋y23＝1的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝( )A.103 B ．3 C.83 D ．27．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为( )A ．10B ．12C ．15D ．18解析 |PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M 点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P 点，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋（6－3）2＋42＝15. 答案 C8．已知P 为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________．10．已知F1(－c ，0)，F2(c ，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．11．椭圆x2a2＋y25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515- B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

模拟高考数学试题及答案

模拟高考数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像与x轴有两个交点，则这两个交点的横坐标之和为：A. -3/2B. 3/2C. -1D. 12. 已知向量a = (3, -1)和向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的数量积为：A. 10B. 8C. -2D. 23. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，若该双曲线的渐近线方程为y = ±(2/3)x，则a与b的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 3:4D. 4:34. 函数f(x) = ln(x+1) - x在区间(0, +∞)上单调递减的充分不必要条件是：A. x > 0B. x ≥ 1C. x > 1D. x ≥ 05. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求数列{an}的前n项和Sn的最大值：A. 2^n - 1B. 2^(n+1) - 1C. 2^(n+1) - 2D. 2^(n+2) - 36. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，直线l的方程为y = x + m。

若圆C与直线l相切，则m的值为：A. 4B. -4C. 2D. -2二、填空题（每题5分，共20分）7. 若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a ≠ 0）的图像关于点(1, 2)对称，则a + b + c + d = _______。

8. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，若Sn为数列{an}的前n项和，则S5 = _______。

9. 已知抛物线y^2 = 4x的焦点F(1, 0)，点P(2, 4)在抛物线上，求过点P且与抛物线相切的直线方程为：y = _______(x - 1) + 4。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f(x)在区间[a, b]上单调递增，则a的取值范围为：a ≤ _______。

高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 已知等差数列{an}的前三项依次为1，4，7，则该数列的通项公式为：A. an = 3n - 2B. an = 3n - 1C. an = 3nD. an = 3n + 13. 函数f(x) = 2x - 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 4D. 54. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标为：A. (0, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (-2, 0)5. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定6. 函数y = ln(x)的导数是：A. y' = 1/xB. y' = xC. y' = x^2D. y' = 1二、填空题（每题5分，共20分）1. 等比数列{bn}中，若b1 = 2，公比q = 3，则b3 = __________。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2) = __________。

3. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为 __________。

4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, -4)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 __________。

三、解答题（共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。

（10分）2. 已知圆C：x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，求圆的半径和圆心坐标。

（10分）3. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 10)，求三角形ABC的面积。

2024高考数学模拟试卷附答案

2024高考数学模拟试卷附答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则函数f(x)的对称轴方程是（）A. x = 1B. x = -1C. x = 0D. x = 22. 已知函数f(x) = |x - 2| - |x + 1|，则f(x)在区间（-∞，0）上是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减的函数D. 先递减后递增的函数3. 若函数f(x) = (x - 1)² + k在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1D. k ≥ 14. 已知a = 3 + √5，b = 3 - √5，则a² - b²的值为（）A. 4B. 6C. 8D. 105. 若函数f(x) = x² + bx + c在x = 1处取得极小值，且f(0) = 4，则b的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 46. 已知函数f(x) = x³ - 3x² + 3x - 1，则f(x)的极值点是（）A. x = 0B. x = 1D. x = 37. 已知函数f(x) = x² + 2x + 3，则函数f(x)的图像与x轴的交点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定8. 若函数f(x) = x² + k在区间（0，1）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k ≤ 1C. k ≥ 0D. k ≥ 1二、填空题（每题5分，共30分）9. 若a = √3，b = √2，则a² - b²的值为__________。

10. 若函数f(x) = x² - 2x + 1的图像与x轴相切，则切点坐标为__________。

11. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|的最小值为3，则实数x的取值范围是__________。

高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，下列说法正确的是：A. 函数f(x)的图像开口向上B. 函数f(x)的图像开口向下C. 函数f(x)的图像关于x=2对称D. 函数f(x)的图像关于y轴对称2. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B 为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}3. 若直线l：y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k的取值范围是：A. -1≤k≤1B. -√2≤k≤√2C. k=0D. k=±√24. 已知等差数列{an}的前三项为1，2，3，则该数列的通项公式为：A. an=nB. an=n+1C. an=2n-1D. an=3n-25. 若复数z满足|z|=2，且z的实部为1，则z的虚部为：A. 1B. -1C. √3D. -√36. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)：A. f'(x)=3x^2-6xB. f'(x)=x^2-6x+2C. f'(x)=3x-6D. f'(x)=x^3-9x^2+67. 若sinθ=1/2，且θ∈(0, π)，则cosθ的值为：A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/28. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为：A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 已知等比数列{bn}的前三项为2，6，18，则该数列的公比q 为______。

10. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为______。

11. 已知向量a=(1, -2)，b=(2, 3)，则向量a·b的值为______。

高考模拟考试数学真题试卷

高考模拟考试数学真题试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。

A. 5B. 4C. 3D. 23. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的值是：A. 正数B. 负数C. 零D. 不确定4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5。

A. 9B. 11C. 13D. 155. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求三角形的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数y = x^2 - 4x + 4的图像与x轴交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知向量$ \vec{a} = (3, 2) $，$ \vec{b} = (-1, 2) $，求$ \vec{a} $与$ \vec{b} $的点积。

A. 4B. 5C. 6D. 79. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}10. 函数y = log_2(x)的定义域是：A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 若f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(x)的导数f'(x)。

答案：__________。

12. 已知数列{bn}满足bn = 2bn-1 + 3，b1 = 1，求b3。

答案：__________。

13. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l的斜率。

答案：__________。

山东省济宁市(新版)2024高考数学人教版模拟(备考卷)完整试卷

山东省济宁市（新版）2024高考数学人教版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知等差数列的前项和为，且，，则（）A．170B．190C．180D．189第(2)题已知数列，，，…，是首项为1，公差为2得等差数列，则等于（）A．9B．5C．4D．2第(3)题在直角坐标系xOy中，已知点P是圆O：上一动点，若直线l：上存在点Q，满足线段PQ的中点也始终在圆O上，则k的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）A．B．C．D．第(5)题设复数，则的的虚部是（）A．B．C．D．第(6)题连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细，当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：，）（）A．0.2B．0.18C．0.16D．0.14第(7)题从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．140种B．120种C．35种D．34种第(8)题已知全集，集合，，则（）A．或B．或C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在斜三棱柱中，是线段的中点，则下列说法正确的有（）A．存在直线平面，使得B．存在直线平面，使得C．存在直线平面，使得D．存在直线平面，使得第(2)题若正数，满足，则（）A．B．C．D．第(3)题已知，（参考数据），则下列说法正确的是（）A．是周期为的周期函数B．在上单调递增C．在内共有4个极值点D ．设，则在上共有5个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的上顶点、下焦点分别为M，F，以M为圆心，b为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若，AB的中点为Q（Q在第一象限），点P在双曲线的下支上，则当取得最小值时，直线PQ的斜率为__________．第(2)题已知集合，则___________．第(3)题已知向量．若，则______________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱台中，底面为平行四边形，，侧棱底面为棱上的点..(1)求证：；(2)若为的中点，为棱上的点，且，求平面与平面所成角的余弦值.第(2)题如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积第(3)题设函数，为自然对数的底数，.(1)若，求证：函数有唯一的零点；(2)若函数有唯一的零点，求的取值范围.第(4)题某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.第(5)题已知函数（1）解不等式；（2）若对于，，有，，求证：.。

高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷文科数学

高考数学模拟试卷复习试题高三模拟卷文科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．已知集合A={x|x23x<0},B={y|y=},则A∩B（）A.(0,3)B.[1,3)C.(3,0)D.(3,1]2.若复数z满足z2=4，则复数z的实部为（）A．2B．1C．2D．03.已知命题p:“x<0”是“x+1<0”的充分不必要条件,命题q:“∃x0∈R,x0>0”的否定是“∀x∈R,x2x≤0”,则下列命题是真命题的是（）A.p∨(¬q)B.p∧qC.p∨qD.(¬p)∧(¬q)4. 已知圆C过点A(2,4),B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2yt=0与圆C相切,则t的值为（）A.6±2B.6±2C.2±6D.6±45.已知函数y=sinωx在[，]上是减函数，则ω的取值范围是（）A．[−，0)B．[3，0）C．(0，]D．（0，3]6. 设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入下边程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107.若三角形ABC中，sinCsin（AB）=sin2（A+B），则此三角形的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2B．3C．4D．69.如图，点A（2，m），B（n，2），均在双曲线y=（x＞0）上，过点A，B分别作AG⊥y轴，BH⊥x轴，垂足为G，H，下列说法错误的是（）A．AO=BO B．∠AOB可能等于30°C．△AOG与△BOH的面积相等D．△AOG≌△BOH10.已知平面区域D={（x，y）|}，Z=．若命题“∀（x，y）∈D，Z≥m”为真命题，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．11.设点M，N为圆x2+y2=9上两个动点，且|MN|=4，若点P为线段3x+4y+15=0（xy≥0）上一点，则|+|的最大值为（）A．4B．6C．8D．1212.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=（ax2+x）ex，若f（x）在[1，1]上是单调增函数，则a的取值范围是（）A．[，0]B．（∞，0）∪[，+∞）C．[0，]D．（∞，]∪[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数y=的定义域为R，则k∈。

福建省福州市2024年数学(高考)统编版真题(综合卷)模拟试卷

福建省福州市2024年数学（高考）统编版真题(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题下列各组函数是同一个函数的是（）A ．与B．与C ．与D．与第(2)题的展开式中的系数是（）A．B．C．D．第(3)题若，则（）.A．B．C．D．第(4)题等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（）A．130B．170C．210D．260第(5)题如果且，那么直线不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(6)题根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为型49%，型19%，型25%，型7%.已知同种血型的人可以互相输血，型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（）A．25%B．32%C．74%D．81%第(7)题设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（）A．点P在直线L上，但不在圆M上B．点P在圆M上，但不在直线L上C．点P既在圆M上，又在直线L上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上第(8)题若为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个极优差，函数的所有极优差之和为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（）A．B．若，则函数的最小正周期为C．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为第(2)题如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A．动点轨迹的长度为B．三棱锥体积的最小值为C．与不可能垂直D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为第(3)题已知函数在区间上的最小值为a，最大值为，则（）A．B．D．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数C．的图象关于轴对称三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

四川省成都市(新版)2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷

四川省成都市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为递增的等比数列，且满足，，则（）A．B．1C．16D．32第(2)题杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（）A．5050B．4851C．4950D．5000第(3)题有张奖券，其中张可以中奖，现有个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（）A．52B．72C．76D．100第(6)题已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A．B．C．D．第(8)题设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中正确的是（）A ．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限B．已知复数z满足，则C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26D．若复数z满足若，且，则的最小值为4第(3)题若实数，满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为__________; 的外接球的表面积为__________.第(2)题已知向量与共线且方向相同，则_____.第(3)题已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则圆心到直线的距离为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，其中．(1)当时，分别求和的的单调性；(2)求证：当时，有唯一实数解；(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．第(2)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值第(3)题如图所示，椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，椭圆C过点，T为直线上的动点，过点T作椭圆C的切线，，A，B为切点.（1）求证：A，，B三点共线；（2）过点作一条直线与曲线C交于P，Q两点.过P，Q作直线的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线与交于定点.第(4)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线只有一个公共点，求的值.第(5)题已知函数．(1)若，求曲线在x＝0处的切线方程；(2)若，求a的取值范围．。

全国高考数学模拟试卷(4套)

全国高考数学模拟试卷(4套)一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最小值B. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得最大值C. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处取得极值D. $ f(x) $ 在 $ x = 2 $ 处无极值2. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值为多少？A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知等差数列 $ \{a_n\} $，若 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 9 $，则 $ a_5 $ 的值为多少？A. 12B. 15C. 18D. 214. 若 $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为正B. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 必须同时为负C. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 一正一负D. $ \sin x $ 和 $ \cos x $ 可以同时为零5. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + c = b + d $B. $ ad = bc $C. $ a c = b d $D. $ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} $6. 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是等边三角形的三边长，则下列哪个选项是正确的？A. $ a^2 + b^2 = c^2 $B. $ a^2 + c^2 = b^2 $C. $ b^2 + c^2 = a^2 $D. $ a = b = c $7. 若 $ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该方程表示椭圆B. 该方程表示双曲线C. 该方程表示抛物线D. 该方程表示圆8. 已知 $ \sqrt{3} $ 是方程 $ x^2 2x + 1 = 0 $ 的根，则该方程的另一根为多少？A. $ 1 \sqrt{3} $B. $ 1 + \sqrt{3} $C. $ 2 \sqrt{3} $D. $ 2 + \sqrt{3} $9. 若 $ a $、$ b $、$ c $ 是三角形的三边长，且 $ a^2 +b^2 = c^2 $，则下列哪个选项是正确的？A. 该三角形是等腰三角形B. 该三角形是等边三角形C. 该三角形是直角三角形D. 该三角形是钝角三角形10. 若 $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} $，则下列哪个选项是正确的？A. $ x + y = z $B. $ xy = z $C. $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = z $D. $ x + y + z = 0 $二、填空题（共10题，每题2分，共20分）11. 已知 $ f(x) = 2x + 1 $，若 $ f(3) = 7 $，则 $ f(1)$ 的值为______。

全国高考数学模拟试卷(4套)

全国高考数学模拟试卷（4套）试卷一：基础能力测试一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $ f(x) = \sqrt{3x 1} $ 在区间 $[0, 2]$ 上有定义，则 $ x $ 的取值范围是：A. $[0, 1]$B. $[0, 2]$C. $[1, 2]$D. $[1, 3]$2. 已知集合 $ A = \{x | x^2 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 $ a, b $ 是方程 $ x^2 4x + 3 = 0 $ 的两个根，则$ a + b $ 的值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 3x^2 + x $，则 $ f'(1) $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第10项 $ a_{10} $ 的值是：A. 29B. 30C. 31D. 327. 若 $ \sin 45^\circ = x $，则 $ x $ 的值是：A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $8. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f^{1}(x) $ 的表达式是：A. $ x $B. $ \frac{1}{x} $C. $ x $D. $ \frac{1}{x} $9. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的关系是：A. $ a = b $B. $ a = b $C. $ a = b $ 或 $ a = b $D. $ a $ 和 $ b $ 无关10. 已知等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $，则第5项 $ a_5 $ 的值是：A. 8B. 16C. 32D. 64二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值是 ________。

高考数学模拟试题及答案 (二十套)

【答案】AC
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出平面，分别取棱、、、、、的中点、、、、、，比较和六边形的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱、的交点、，判断四边形的形状可判断C选项的正误；将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.
9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）
,则，，所以B正确.
对于选项C、D，，
令，即，所以 ,则令 ,
,令 ,得
由函数的图像性质可知:
时，，单调递减.
时，，单调递增.
所以时，取得极小值，
即当时取得极小值，
又 ,即
又因为在上单调递减，所以
所以时，取得极小值，
即当时取得极大值，
又，即
所以
当时，
所以当，即时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正确.
A.月跑步里程最小值出现在2月
B.月跑步里程逐月增加
C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷+答案解析(附后)

2023年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真模拟卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则的子集共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 8个2.已知复数，i 为虚数单位，则( )A. 1B.C.D.3.在中，记，，则( )A. B. C. D.4.已知函数，则的单调递增区间为( )A. B. C. D.5.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点E是棱PD的中点，则异面直线PA 与CE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.6.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5 nm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为，，，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )A. B. C. D.7.已知若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知a ，b ，，且，，，其中e 是自然对数的底数，则( )A.B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.空气质量指数大小分为五级，指数越大说明污染的情况越严重，对人体危害越大，指数范围分别对应“优”“良”“轻度污染”“中度污染”“重污染”五个等级．如图是某市连续14天的空气质量指数趋势图，下面说法正确的是( )A. 这14天中有5天空气质量指数为“轻度污染”B. 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量的中位数是D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日10.密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，478密位写成“”．若，则角可取的值用密位制表示可能是( )A.B.C.D.11.已知点A ，B 分别是双曲线C ：的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA 、PB 的斜率分别为、，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C 的离心率为B. 双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为1C.为定值D. 存在点P ，使得12.已知，，若关于x的方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为( )A. B. C. D. 1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷含答案解析

江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.158652.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或153.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.355.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4B.32.8C.31.4D.31.88.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7B.8C.9D.10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是33，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E截得的线段长为3.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x ==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.江门市2024年高考模拟考试数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.做选择题时，必须用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某市高三年级男生的身高X (单位：cm)近似服从正态分布()2175,5N .现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm 的概率是（）参考数据：()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈A.0.6827 B.0.34135C.0.3173D.0.15865【答案】D 【解析】【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.【详解】由题意，175,5μσ==，且()0.6827P x μσμσ-≤≤+≈，所以()()10.68271700.158652P X P X μσ-≤=≤-≈=.故选：D2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin 22sin302sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】在{}n a 是等比数列，2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C4.已知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则πcos 2α⎛⎫+⎪⎝⎭=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义可求得sin α的值，再利用诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知角α的终边上有一点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则||1OP ==，故4sin 5α=，则4cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，故选：A5.设1F ，2F 为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于M 、N 两点，且点M 、N 分别在第一、三象限，若2π3MAN ∠=，则双曲线的离心率为（）A.153B.C.213D.【答案】C 【解析】【分析】先求出点M ，N 的坐标，再利用余弦定理求出,a c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】由题意得圆的方程为222x y c +=，不妨设双曲线的渐近线为b y x a=．设点M 的坐标为()00,x y ，则点N 的坐标为()00,x y --，由222b y xax y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又222c a b =+，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),M a b ，(),N a b --．又(),0A a -，∴AM =AN ==在MAN △中，2π3MAN∠=，由余弦定理得2222π||||2cos3MN AM AN AM AN =+-即22222π4()cos 3c a a b b b =+++-，化简得2273a c =，∴3e =．故选：C ．6.已知()()()()()()451121101211111222x x x a a x a x a x ++++++=+++++++ ，则02410a a a a ++++ 的值是（）A.680B.680- C.1360D.1360-【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法，分别令=1x -和3x =-，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.【详解】令=1x -，则012110a a a a =++++ ，即012110a a a a ++++= 令3x =-，则()()()4110123115222a a a a a -+-++-=-+-+- ，即48012311(2)[1(2)]13601(2)a a a a a ----+-+-==--- ，两式相加可得0241013606802a a a a ++++=-=- ，故选：B7.已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（）A.32.4 B.32.8C.31.4D.31.8【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.【详解】令9名女生的身高为(N ,9)i a i i *∈≤，依题意，919162i ii a===⨯∑，921(162)926i i i a ==-=⨯∑，因此增加一名女生后身高的平均值为9111(172)(9162172)1631010i i i a ==+=⨯+=∑，所以这10名女生身高的方差为992221111[(163)(172163)]{[(162)1]81}1010i i i i i i a a ====-+-=--+∑∑92111{[(162)2(162)9]81}(926981)32.41010i i i i a a ===---++=⨯++=∑.故选：A8.物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b bn P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n kP n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A.7 B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.【详解】1010118000128181()()(1)(80)lglg lg lg 180n kk k P n P k P k P k k k=++=++++=+++=+∑ ，而42lg814lg 3log 81lg 42lg 22lg 3lg 9lg 5lg 51log 511lg 2lg 2====+++，故9k =．故选：C ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.2z z z ⋅=，z C ∈B.2024i 1=-C.若1z =，z C ∈，则2z -的最小值为1D.若43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，则8p =【答案】ACD 【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A ；根据虚数单位的性质可判断B ；设i,(,R)z x y x y =+∈，根据复数的模的计算公式，可得221x y +=，以及2z -=，结合x 的范围可判断C ；将43i -+代入方程，结合复数的相等，求出p ，即可判断D.【详解】对于A ，z C ∈，设复数i,(,R)z a b a b =+∈，则i,(R)z a b a,b =-∈，||z =，故222i)(i ()z a b a b a b z z +-+⋅===，A 正确；对于B ，由于24i 1,i 1=-=，故20244506i (i )1==，B 错误；对于C ，z C ∈，设i,(,R)z x y x y =+∈，由于1z =，则2211,x y =∴+=，故2z -===由221x y +=，得11x -≤≤，则451x -+≥，故当1x =时，2z -的最小值为1，C 正确；对于D ，43i -+是关于x 的方程20(,R)x px q p q ++=∈的根，故2)43i 43()(),R (0i p q p q +-++=∈-+，即04(3i 724)p p q -+-+=，故7408,324025p q p p q -+==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，D 正确，故选：ACD10.已知函数()2ππsin 2sin 20)33f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则2ω=B.当1ω=，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦C.当1ω=时，()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.若()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，则58ω≤<【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合各选项的条件及正弦函数的性质计算可得.【详解】因为()2ππsin 2sin 233f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin 23333x x x x x ωωωωω=++-sin 22x x ωω=+1π2sin 2cos 22sin 2223x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ：若()f x 相邻两条对称轴的距离为π2，即π22T =，所以πT =，则2ππ2T ω==，解得1ω=，故A 错误；对于B ：当1ω=时()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，所以ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 2,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，则()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 正确；对于C ：将()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2ππππ2sin 22sin 22sin 22cos 2633266y x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故C 正确；对于D ：由π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππππ2,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，所以ππ2π3π33ω≤+<，解得58ω≤<，故D 正确.故选：BCD 11.已知曲线:148x x y y E +=，则下列结论正确的是（）A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为[]22-,C.曲线E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第二象限D.()00,Mxy 是曲线E 00y +的取值范围为(]0,4【答案】AD【解析】【分析】首先对x 、y 分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A 、B ，由双曲线的渐近线与 1.4y x =-的关系判断C 00y +，即点()00,M x y 到直线0y +=0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时c 的值，再00y +的最大值，即可判断D.【详解】因为曲线:148x x y y E +=，当0x ≥，0y ≥时22148x y +=，则曲线E 为椭圆22148x y +=的一部分；当0x >，0y <时22148x y -=，则曲线E 为双曲线22148x y-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；当0x <，0y >时22184y x -=，则曲线E 为双曲线22184y x-=的一部分，且双曲线的渐近线为y =；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为 1.4->E 与直线 1.4y x =-相交，且交点在第四象限，故C 错误；00y +=，即点()00,Mxy 0y+=倍，0y c ++=与曲线()2210,048x y x y +=≥≥相切时，由221480x y y c ⎧+=⎪++=，消去y 整理得22480x c ++-=，则()()221680c ∆=--=，解得4c =（舍去）或4c=-，y +=40y +-=的距离d ==，00max4y +==，00y +的取值范围为(]0,4，故D 正确；故选：AD【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线E 的图形，D 选项的关键是转化为点到直线的距离.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】首先求出a b λ+的坐标，再依题意可得()0a b b λ+⋅= ，即可得到方程，解得即可.【详解】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+，又a b λ+ 与b 垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.故答案为：12-13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有_____________个面；若被截正方体的棱长是60cm ，那么该几何体的表面积是___________cm 2.【答案】①.14②.1080036003+【解析】【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是60cm ，那么石凳的表面积是(()21822sin 60623021080036003cm2S =⨯⨯︒+⨯⨯+.故答案为：14，1080036003+14.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.【答案】()sin f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令()sin f x x =，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.【详解】依题意不妨令()sin f x x =，则()()sin sin cos cos sin f x y x y x y x y +=+=+，又ππππ()()sin sin sin sin 2222f x f y f x f y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin x y x y =+，所以ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin f x x =符合题意.同理可证明()sin 5f x x =，()sin 9f x x =，L ，也符合题意.故答案为：()sin f x x =（答案不唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接矩形，PA 是圆柱的母线.（1）证明：在侧棱PD 上存在点E ，使//PB 平面AEC ；（2）在（1）的条件下，设二面角D AE C --为60︒，1AP =，AD =，求三棱锥E ACD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）38【解析】【分析】（1）取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，即可证明//EO PB ，从而得证；（2）设()0AB t t =>，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出t ，再根据锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】取PD 的中点E ，连接BD 交AC 于O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，所以//EO PB ，又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ，【小问2详解】设()0AB t t =>，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()C t ，()D ，310,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()AC t =，()0AD = ，310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又平面ADE 的法向量可以为()1,0,0n =r，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则031022m AC tx m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取)m t =- ，因为二面角D AE C --为60︒，所以1cos 602m n m n ⋅︒==⋅，解得32t =（负值舍去），所以32AB CD ==，所以113332224ACD S AD CD =⋅==，又点E 到平面ACD 的距离1122d PA ==，所以11331333428E ACD ACD V S d -==⨯⨯=.16.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为()0l αα<<，收到0的概率为1α-：发送1时，收到0的概率为()01ββ<<，收到1.的概率为1β-.假设发送信号0和1是等可能的.（1）已知接收的信号为1，且01005.,.αβ==，求发送的信号是0的概率；（2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.【答案】（1）221（2）102β<<【解析】【分析】（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.【小问1详解】设A ：发送的信号为1，B ：接收到的信号为1，则A ：发送的信号为0，B ：接收到的信号为0，则()()()()1,|0.95,|0.12P A P A P B A P B A ====，故()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+ ()()()()||P A P B A P A P B A =+0.50.950.50.10.525=⨯=⨯+，故()()()()()()|0.50.12|0.52521P ABP A P B A P A B P B P B ⨯====；【小问2详解】采用三次传输方案译码为1的概率为()()()()2323113C 11311P ββββββ=-+-=-+-，采用单次传输方案译码为1的概率为21P β=-，由题意得()()()232123111(1)(2)(1)(12)0P P ββββββββββ-=-+---=--+=-->而01β<<，故1120,2ββ->∴<，故102β<<.17.己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是3，过点()2,0M 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为433.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在与点M 不同的定点N ，使得NA MA NBMB=恒成立?若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164x y +=（2）存在定点()3,0N ，使得NA MA NBMB=恒成立【解析】【分析】（1）由离心率及过点232,3⎛ ⎝⎭列方程组求解,a b .（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出()3,0N ，设点B 关于x 轴的对称点B '，证得,,N A B '三点共线得到NA MA NBMB=成立.【小问1详解】依题意可得点2,3⎛ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以2222244133a b c e a a b c⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222642a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为22164x y +=.【小问2详解】当l 垂直于x 轴时，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，如果存在点N 满足条件，则有||||1||||NA MA NB MB ==，即NA NB =，所以点N 在x 轴上，设()0,0N x ，当l 与x 轴重合时，设直线l 与椭圆相交于A ，B两点，不妨设()A，)B，则由||||1||||NA MA NB MB ==，即=，解得02x =或03x =，所以若存在不同于点M 的定点N 满足条件，则点N 的坐标为()3,0；下面证明：对任意的直线l ，均有||||1||||NA MA NB MB ==，当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222164y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222321212120k x k x k +-+-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()2,0M ，故0∆>恒成立，所以21221232k x x k +=+，2122123212x k x k -=+，所以()()()12121212121266112333339x x x x x x x x x x x x +-+-+===------++，易知点B 关于x 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又()111112333NA k x y k k k x x x -===+---，()21222232333NB k x y k k x k x x k x k '--=+-==--=----，所以NANB k k '=，则,,N A B '三点共线，所以12NA NA y MANB NB y MB ='==；综上：存在与点M 不同的定点()3,0N ，使NA MA NBMB=恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，分别为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<.（1）求m 的取值范围；（2）设13x t x =-，证明：3x 随着t 的增大而减小.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，从而求出m 的取值范围；（2）由（1）可知12310x x x <-<<<，且()00,1x ∃∈，使得()01ef x =，则()300,x x ∈，再由()3113e e x x x x m -=⋅=，得到1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，从而得到3ln 1tx t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，再令()ln 1th t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数说明函数的单调性即可.【小问1详解】令()e ,0e 0,0e ,0x xx x x f x x x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时()()1e 0xf x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x <时()()e 01xf x x '=->+，所以10x -<<时()0f x '<，1x <-时()0f x ¢>，所以()f x 在()1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，又()11ef -=，当0x <时()0f x >，且x →-∞时()0f x →，当x →+∞时()f x →+∞，则()f x的图象如下所示：因为关于x 的方程()e R xx m m =∈有三个根，即()y f x =与y m =有三个交点，由图可知10e m <<，即实数m 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知12310x x x <-<<<，又()00f =，()11e ef =>，且()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()00,1x ∃∈，使得()01e f x =，所以()300,x x ∈，由()3113e e x x x x m -=⋅=，所以3113e x x x x -=-，即1313ln x x x x -=-，令13x t x =-，则01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，令()ln 1t h t t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()()21ln 1t t th t t t +-'=+，令()1ln g t t t t =+-，011t x >>，所以()ln 0g t t '=-<，即()g t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00000001ln 11111ln x x g t g x x x x x ⎛⎫++<=+-= ⎪⎝⎭，又001e e x x =，即00ln 1x x +=-，所以00001ln 10x x g x x ⎛⎫++== ⎪⎝⎭，即()0g t <，所以()0h t '<，所以()h t 在01,x ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即3x 随着t 的增大而减小.【点睛】关键点点睛：第一问关键是由导数说明函数的单调性，从而得到函数的图象，第二问关键是得到3ln 1t x t =+，01,t x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.19.将2024表示成5个正整数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和，得到方程413522024x x x x x +++=+①，称五元有序数组()12345,,,,x x x x x 为方程①的解，对于上述的五元有序数组()12345,,,,x x x x x ，当1,5i j ≤≤时，若)m )ax((N i j x x t t -=∈，则称()12345,,,,x x x x x 是t -密集的一组解.（1）方程①是否存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；（2）方程①的解中共有多少组是1-密集的?（3）记521i i S x==∑，问S 是否存在最小值?若存在，请求出S 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析（2）5（3）存在，最小值为819316.【解析】【分析】（1）若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，则{}i x 构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到320245x =，推出矛盾即可得解；（2）依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，则{}max 405i x =，{}min 404j x =，即可求出1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，从而得解；（3）由方差公式得到2255S x σ=+（2σ为方差），从而得到当方差2σ取最小值时S 取最小值，从而推出()12345,,,,x x x x x 是1-密集，即可求出S 的最小值.【小问1详解】若1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数，根据等差数列的定义可得{}i x 构成等差数列，所以41532352024x x x x x x ++==++，解得320245x =，与3N *x ∈矛盾，所以不存在一组解()12345,,,,x x x x x ，使得1i i x x +-()1,2,3,4i =等于同一常数；【小问2详解】因为()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，依题意1t =时，即当1,5i j ≤≤时，1m x()a i j x x -=，所以{}max 405i x =，{}min 404j x =，设有y 个405，则有5y -个404，由()40540452024y y +-=，解得4y =，所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 中有4个405，1个404，所以方程①的解共有5组.【小问3详解】因为平均数()351422024404.8551x x x x x x +++==+=，又方差()522115i i x x σ==-∑，即()5522221155i i i i x x x x σ===-=-∑∑，所以2255S x σ=+，因为x 为常数，所以当方差2σ取最小值时S 取最小值，又当0=t 时12345x x x x x ====，即152024x =，方程无正整数解，故舍去；当1t =时，即()12345,,,,x x x x x 是1-密集时，S 取得最小值，且22min 4405404819316S =⨯+=.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.。

广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试题(教师版)

2024年汕头市普通高考第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名､准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号､姓名和科目.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.“12a >”是“12a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为112122a a a>⇒>⇒<，而12a <推不出12a >，例如1a =-满足12a <，但12a >不成立，所以“12a >”是“12a<”的充分不必要条件，故选：A2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（）A.21B.24C.27D.30【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解即得.【详解】令插入的3个数依次为123,,a a a ，即1233,,,,15a a a 成等差数列，因此22315a =+，解得29a =，所以插入的3个数之和为1232327a a a a ++==.故选：C3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为（）A.8a =B.9a = C.10a = D.11a =【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B=，所以310sin 2sin b A B a a a===，因为三角形有两解，所以sin 1B <，且b a >，因此由选项知，只有9a =符合.故选：B4.()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（）A.42B.35C.7D.1【答案】A 【解析】【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()71x +的展开式通项为()17C 0,1,2,,7rrr T x r +=⋅= ，因为()()()7773311111x x x x x -=⎛⎫++++ ⎝⎭+⎪，在()7C 0,1,2,,7rrxr ⋅= 中，令3r =，可得3x 项的系数为37C 35=；在()3377C C 0,1,2,,7k k k k x x x k --⋅=⋅= 中，令33k -=，得6k =，可得3x 项的系数为67C 7=.所以，()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为35742+=.故选：A.5.已知函数()ln(0,0)1m xf x m n n x+=>>--是奇函数，则12m n +的最小值为（）A.3B.5C.3+D.3+【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得1m n +=，利用基本不等式求最值即可.【详解】令01m xn x+>--，得()(1)0x m x n +-+<，故函数()f x 的定义域为()(){}10x x m x n +-+<．因为()f x 是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得10m n -+-=，即1m n +=，此时()ln+=-m x f x m x ，可得()()lnln ln10+-+-=+==-+m x m xf x f x m x m x，可得()f x 是奇函数，即1m n +=符合题意；故12122()33n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n=，即1m =，2n =-故12m n+的最小值为3+，故选：C ．6.在复数范围内，下列命题是真命题的为（）A.若0z ≠，则z z -是纯虚数B.若22z z =-，则z 是纯虚数C.若22120z z +=，则10z =且20z =D.若1z 、2z 为虚数，则1122z z z z +∈R 【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取1z =，则1z =，所以，0z z -=，此时，z z -不是纯虚数，A 错；对于B 选项，取0z =，则22z z =-成立，但z 不是纯虚数，B 错；对于C 选项，取1i z =，21z =，则22120z z +=，但10z ≠且20z ≠，C 错；对于D 选项，若1z 、2z 为虚数，设1i z a b =+，()2i ,,,z c d a b c d =+∈R ，则1i z a b =-，2i z c d =-，所以，()()()()()()()()1122i i i i i iz z a b c d a b c d ac bd bc ad z ac bd ad bc +=+-+-+=++-+++-()2ac bd =+∈R ，D 对.故选：D.7.已知圆锥的顶点为S ，O 为底面圆心，母线SA 与SB 互相垂直，SAB △的面积为8，SA 与圆锥底面所成的角为30 ，则（）A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24πC.圆锥侧面展开图的圆心角为3D.二面角S AB O --的大小为45 【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥SO 的母线长，结合线面角的定义可判断A 选项；利用圆锥的体积公式可判断B 选项；利用扇形的弧长公式可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为SO 与底面垂直，OA 为底面圆的一条半径，则SO OA ⊥，所以，SA 与圆锥底面所成的角为30SAO ∠= ，又因为SA SB ⊥，所以，SAB △的面积为211822SA SB SA ⋅=⨯=，解得4SA =，所以，该圆锥的高为1sin 30422SO SA =⋅=⨯=，A 错；对于B 选项，该圆锥的底面半径为3cos3042OA SA =⋅=⨯=故该圆锥的体积为(2211ππ28π33V OA SO =⨯⨯=⨯⨯=，B 错；对于C 选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ，底面圆周长为2πAO ⨯=，则43π43π4SA θ===，C 错；对于D 选项，取AB 的中点E ，连接OE 、SE ，因为SA SB =，E 为AB 的中点，则SE AB ⊥，由垂径定理可得OE AB ⊥，所以，二面角S AB O --的平面角为SEO ∠，因为SO ⊥平面OAE ，OE ⊂平面AOE ，则SO OE ⊥，因为SA SB ⊥，SA SB =，则SAB △为等腰直角三角形，则22224442AB SA SB =+=+=，所以，122SE AB ==，所以，2sin 222SO SEO SE ∠===，因为090SEO ≤∠≤ ，故45SEO ∠= ，所以，二面角S AB O --的大小为45 ，D 对.故选：D.8.如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为（）A.12-B.1-C.2-D.3-【答案】C 【解析】【分析】由点P 为圆与椭圆的焦点，可得12PF PF ⊥，122PF PF a +=，结合条件，应用勾股定理即可得.【详解】连接1PF 、1QF ，由P 在以12F F 为直径的圆上，故12PF PF ⊥，P 、Q 在椭圆上，故有122PF PF a +=，122QF QF a +=，设2QF m =，则1244PF QF m ==，则有2423PQ a m m a m =-+=-，12FQ a m =-，即可得()()()2224232m a m a m +-=-，解得3a m =，故2242PF a m m =-=，则1212tan 2PF PF F PF ∠==，故()22121tan πtan 2PF k PF F PF F =-∠=-∠=-.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++.A.0.004a =B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【答案】BCD 【解析】【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++⨯==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +⨯==<，前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++⨯==>，设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +-⨯=，解得77.14m ≈，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对；对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a⨯+⨯=++分，C 对；对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544⎡⎤⎡⎤+-++-=⎣⎦⎣⎦，D 对.故选：BCD.10.已知函数()π3cos2cos 264f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，则（）A.曲线()y f x =的对称轴为ππ,6x k k =-∈Z B.()f x 在区间ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 的最大值为12D.()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为8π【答案】BC【解析】【分析】由题意利用三角恒等变换整理可得：()1πcos 426f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合余弦函数性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π3313cos2cos 2cos 2cos 2sin 264224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2313311πcos 2sin 2cos 2cos 4sin 2cos 42244426x x x x x x ⎛⎫=--=-=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ：令π4π,6x k k +=∈Z ，解得ππ,424k x k =-∈Z ，所以曲线()y f x =的对称轴为ππ,424k x k =-∈Z ，故A 错误；对于选项B ：因为ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π7π3π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且cos y x =在7π3π,62⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在区间ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于选项C ：当π42π,6x k k +=∈Z ，即ππ,224k x k =-∈Z 时，()f x 取到最大值为12，故C 正确；对于选项D ：令ππ4π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,412k x k =+∈Z ，可知()f x 的零点为ππ,412k x k =+∈Z ，则()f x 在区间[]0,2π上的零点为ππ11π,,,1236⋅⋅⋅，共8个，结合A 可知，这些零点均关于直线23π24x =，所以()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为232342ππ243⨯⨯=，故D 错误；故选：BC.11.如图，OA 是连接河岸AB 与OC 的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：①新桥BC 与河岸AB 垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与BC 相切，且圆心M 在线段OA 上；③古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量，点A C ､分别位于点O 正北方向60m ､正东方向170m 处，4tan 3BCO ∠=.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）A.新桥BC 的长为150mB.圆心M 可以在点A 处C.圆心M 到点O 的距离至多为35mD.当OM 长为20m 时，圆形保护区的面积最大【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线,AB BC 的方程，联立求出点B 的坐标判断A ；设OM t =，由题意列出不等式组80(60)80r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，再结合3680t r -=代换求得t 的范围，判断BCD.【详解】如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ，依题意，直线BC 的斜率43BC k =-，直线BC 方程为：4(170)3=--y x ，直线AB 的斜率134AB BC k k =-=，则直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)33604y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩，即(80,120)B，150BC ==，A正确；设OM t =，即(0,)M t (060)t ≤≤，直线BC 的一般方程为436800+-=x y ，圆M 的半径为3680t r -=，显然80(60)80r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，由060t ≤≤，得31365r t =-，则31368053136(60)805t t t t ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩，解得1035t ≤≤，即OM 长的范围是1035OM ≤≤，B 错误，C 正确；当10t =，即OM 长为10m 时，圆M 的半径r 最大，圆形保护区的面积最大，D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13､14题第一空2分，第二空3分.12.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线1=+12y x 上，则这组样本数据的样本相关系数为___________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：由已知，这组样本数据的样本完全正相关，故其相关系数为1.考点：变量的相关性.13.已知:C ABC 外接圆的半径为1，圆心为点O ，且满足423OC OA OB =--，则cos AOB ∠=__________，AB OA ⋅=__________.【答案】①.14##0.25②.34-##0.75-【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积.【详解】由423OC OA OB =-- 两边平方得：222164912OC OA OB OA OB =++⋅，依题意，21s 1649co AOB ∠+=+，所以1cos 4AOB ∠=；23()cos 14AB OA OB OA OA OB OA OA AOB ⋅=-⋅=⋅-=∠-=- .故答案为：14；34-14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，记平面1AD E 与平面ABCD 的交线为1l ，平面1AD E 与平面11ABB A 的交线为2l ，若直线AB 分别与12l l ､所成的角为αβ､，则tan α=__________，()tan αβ+=__________.【答案】①.12##0.5②.43##113【解析】【分析】利用平面基本事实作出直线1l ，进而求出tan α；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，延长1D E 与DC 延长线交于点F ，连接AF，则直线AF 即为直线1l ，BAF α=∠，由1//CE DD ，得CF DC =，又//AB CD ，于是1tan tan 2AFD α=∠=，由平面11//CDD C 平面11ABB A ，平面1AD E ⋂平面112ABB A l =，平面1AD E ⋂平面111CDD C D E =，则12//D E l ，又11//C D AB ，因此11C D E β=∠，1tan 2β=，所以11tan tan 422tan()111tan tan 3122αβαβαβ+++===--⨯.故答案为：12；43【点睛】关键点睛：利用平面的基本事实作出直线AF 是求出角α的关键.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n an b =，*N n ∈，数列{}n n a b +的前n 项和为n S ．（1）若2n a n =，求n S ；（2）若{}n b 是各项为正的等比数列，3n S n =，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【答案】（1）24(41)3nn S n n =++-（2）1n a =，2n b =【解析】【分析】（1）先判定数列{}n a 和{}n b 分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（2）利用数列{}n n a b +的前n 项和3n S n =列出方程组，解之即可求得1a 、d 、1b 、q ，进而求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【小问1详解】解：当2n ≥时，122(1)2n n a a n n --=--=，从而{}n a 是等差数列，2n a n =，1112242nn n n a a a n a n b b ----===，所以{}n b 是等比数列，又121242ab ===，则1444n n n b -=⨯=，所以2(22)4(14)4(41)2143n n n n n S n n +⨯-=+=++--．【小问2详解】解：{}n b 是各项为正的等比数列，设其首项为1b ，公比为q ，由2n an b =，可得2log n n a b =，则12122log log log n n n n a a b b q ++-==-，（定值）则数列{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由数列{}n n a b +的前n 项和3n S n =，可得方程组1111211311332333a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，整理得211321100d b q b q d b q b q ⎧+-=⎨+-=⎩，解得：21(1)0b q q -=，10b ≠ ，0q ≠，1q ∴=且0d =，由1123aa +=，可得11a =，则12b =，则数列{}n a 的通项公式为1n a =；数列{}n b 的通项公式为2n b =．【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．16.已知函数()()()11ln R f x ax a x a x=--+∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程；（2）若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）212(1)e ey x =--；（2）(0,1)(1,)⋃+∞.【解析】【分析】（1）把1a =-代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出a 的范围.【小问1详解】当1a =-时，函数1()f x x x =--，求导得21()1f x x '=-，则21(e)1e f '=-，而1(e)e ef =--，所以曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为211(e )(1)(e)e e y x ---=--，即212(1)e ey x =--.【小问2详解】函数1()(1)ln f x ax a x x=--+的定义域为(0,)+∞，求导得222211(1)1(1)(1)()+-++--'=+-==a ax a x ax x f x a x x x x，当0a ≤时，10ax -<，由()0f x '>，得01x <<，由()0f x '<，得1x >，则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，函数()f x 只有极大值(1)f ，不合题意；当0a >时，由()0f x '=，得1x =或1x a=，①若101a <<，即1a >，由()0f x '>，得10x a<<或1x >，由()0f x '<，得11x a <<，则函数()f x 在1(0,),(1,)a+∞上递增，在1(,1)a上递减，因此函数()f x 的极大值为1()f a，极小值为(1)f ，符合题意；②若11a>，即01a <<，由()0f x '>，得01x <<或1x a >，由()0f x '<，得11x a <<，则函数()f x 在1(0,1),(,)a +∞上递增，在1(1,a上递减，因此函数()f x 的极大值为(1)f ，极小值为1(f a，符合题意；③若11a=，即1a =，由()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，得()f x 在(0,)+∞上递增，函数()f x 无极值，不合题意，所以a 的取值范围为(0,1)(1,)⋃+∞.17.如图，三棱台111ABC A B C -中，侧面四边形11ACC A 为等腰梯形，底面三角形ABC 为正三角形，且1122AC AC ==.设D 为棱11AC 上的点.（1）若D 为11A C 的中点，求证：AC BD ⊥；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为78，且侧面11ACC A ⊥底面ABC ，试探究是否存在点D ，使直线BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为1510？若存在，确定点D 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，D 与1A 重合，理由见解析.【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）以M 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AC 中点M ，连结DM 、BM ，则,AC DM AC BM ⊥⊥，由,,DM BM M DM BM =⊂ 平面BDM ，得AC ⊥平面BDM ，又BD ⊂平面BDM ，所以AC BD ⊥.【小问2详解】取11A C 中点N ，连结MN ，由（1）得NMB ∠为二面角平面1A AC B --的平面角，由平面11ACC A ⊥平面ABC 得：90NMB ︒∠=，即NM BM ⊥，以M 为原点，直线,,MA MB MN 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设该棱台的高为h ，由13373)3428V h =+⋅=，得32h =，则113(1,0,0),3,0),(1,0,0),(,0,)22A B C C --，1133,0),(,0,)22CB CC == ，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则13013022CB n x CC n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得3,1,1)n =-- ，设311(,0,)222D t t =-≤≤，则3(,3,)2BD t = ，于是23|3|||152|cos ,|10||||1554t BD n BD n BD n t +⋅〈〉==⋅+，解得12t =或116t =-(舍去)，所以存在点D 满足条件，此时D 与1A 重合.18.已知点()00,M x y 为双曲线2212x y -=上的动点.（1）判断直线0012x xy y -=与双曲线的公共点个数，并说明理由；（2）（i ）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；（ii ）将双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为22220x y a b-=，请利用该方程证明如下命题：若(),T m n 为双曲线C 上一点，直线l ：221mx nya b-=与C 的两条渐近线分别交于点P Q ､，则T 为线段PQ 的中点.【答案】（1）1个，理由见解析；（2）（i ）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，借助判别式求解即得.（2）（i ）写出结论；（ii ）分0,0n n =≠讨论，直线与双曲线方程联立，利用韦达定理求解即得.【小问1详解】由点()00,M x y 在双曲线2212x y -=上，得220012x y -=，即220012x y =-由22001212x y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：22220000()(10)24y x x x x y -+-+=，则220020x x x x -+=，显然220440x x ∆=-=，所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.【小问2详解】（i ）由（1）知，直线0012x x y y -=与双曲线2212x y -=相切于点()00,x y ，所以过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.证明如下：显然2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，由0022222211x x y ya b x y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：22222002220b b x x x b y a a -++=，于是422222222220000224440)4)4((b x b x a y a b b b y a b aa --∆=-+==，因此直线00221x x y y a b-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>相切于点()00,x y ，所以过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.（ii ）当0n =时，直线l 的斜率不存在，由对称性知，点T 为线段PQ 的中点；当0n ≠时，设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点(,)N t s ，由22222201x y a b mx ny a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：222222()20n m x mx a b a -+-=，由22221m n a b -=，得2220x mx a -+=，则122x x t m +==，又221mt ns a b -=，于是222(1)b m s n n a=-=，即点T 与点N 重合，所以点T 为线段PQ 的中点.【点睛】结论点睛：过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.19.2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n 颗番石榴（不妨设n 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前(1)k k n ≤<颗番石榴，自第1k +颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k tn =，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P .（1）若4,2n k ==，求P ；（2）当n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.（取111ln 11n k k n k+++=+- ）【答案】（1）512；（2）P 的最大值为1e ，此时t 的值为1e.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率P .（2）利用全概率公式求出()P A ，再构造函数，利用导数求出最大值.【小问1详解】依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有44A 24=种情况，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有33A 6=种情况；②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有222A 4=种情况，所以所求概率为6452412+=.【小问2详解】记事件A 表示最大的番石榴被摘到，事件i B 表示最大的番石榴排在第i 个，则()1i P B n=，由全概率公式知：11)))1()(|((|nni i i i i P A P A B P B P A B n ====∑∑，当1i k ≤≤时，最大的番石榴在前k 个中，不会被摘到，此时(0)|i P A B =；当1k i n +≤≤时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前1i -个番石榴中的最大一个在前k 个之中时，此时1)(|i kP A B i =-，因此1()()ln 11k k k k nP A n k k n n k=+++=+- ，令()ln (0)x n g x x n x =>，求导得11()ln n g x n x n '=-，由()0g x '=，得e n x =，当(0,e n x ∈时，()0g x '>，当(,)enx n ∈时，()0g x '<，即函数()g x 在(0,)e n 上单调递增，在(,)e nn 上单调递减，则max 1()()een g x g ==，于是当e n k =时，()ln k n P A n k =取得最大值1e ，所以P 的最大值为1e ，此时t 的值为1e.【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A 的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.20。

高考数学模拟试题及答案

高考数学模拟试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是不等式$ 3x - 5 < 0 $的解集？A. $ x < 5 $B. $ x > 5 $C. $ x < \frac{5}{3} $D. $ x > \frac{5}{3} $2. 函数$ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $的对称轴是：A. $ x = 0 $B. $ x = 1 $C. $ x = \frac{3}{4} $D. $ x = -\frac{3}{4} $3. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，那么第10项是：A. 27B. 29C. 30D. 314. 圆的方程为$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25 $，圆心到直线$ 2x + y - 7 = 0 $的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题4分，共16分）5. 已知$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $，$ \cos \alpha =\frac{4}{5} $，求$ \tan \alpha $的值为______。

6. 将函数$ f(x) = \log_2(x + 1) $展开成泰勒级数，其展开式为$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n $，求$ a_0 $的值为______。

7. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度为______。

8. 抛物线$ y = x^2 - 2x + 3 $与x轴的交点坐标为______。

三、解答题（共64分）9.（10分）解方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - y = 5\end{cases}\]10.（12分）求函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 $的极值。

四川省乐山市(新版)2024高考数学部编版模拟(自测卷)完整试卷

四川省乐山市（新版）2024高考数学部编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题经过第一、二、三象限的直线：与圆：相交于，两点，若，则的最大值是（）A．8B．4C．2D．1第(2)题某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A．14B．24C．28D．48第(3)题双曲线的焦点，圆，则（）A．存在，使对于任意，与至少有一个公共点B．存在，使对于任意，与至多有两个公共点C．对于任意，存在，使与至少有两个公共点D．对于任意，存在，使与至多有一个公共点第(4)题某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A．B．C．D．第(5)题运行图示程序框图，则输出A的值为（）．A．170B．165C．150D．92第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为（）①点是图像的一个对称中心②是图像的一条对称轴③在区间上单调递增④若，则的最小值为A．1B．2C．3D．4第(8)题设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A ．函数在上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则（）A．是奇函数B．的图象关于点对称C．有唯一一个零点D．不等式的解集为第(2)题法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则（）A．椭圆的离心率为B．面积的最大值为C．到的左焦点的距离的最小值为D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,若的最小值为4,则（）A．椭圆的短轴长为B．最大值为8C．离心率为D．椭圆上不存在点,使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中，二项式系数最大的项的系数是______.（用数字作答）第(2)题在中，，则的面积为___________．第(3)题在棱长为4的正方体中，点为的中点，点在平面上运动，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题一场马拉松，不仅是一次身体的长途跋涉，更是对城市文化的寻找与认同.在某市举行的马拉松“半马精英赛”的赛事中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：(1)已知选手甲的成绩为85分钟，若从成绩不超过85分钟的选手中随机抽取3人接受电视台采访，求甲被选中的概率；(2)若从总体中选取一个样本，使得该样本的平均水平与总体相同，且样本的方差不大于7，则称选取的样本具有集中代表性，试从总体（25名参赛选手的成绩）选取一个具有集中代表性且样本容量为5的样本，并求该样本的方差.第(2)题已知函数．（1）的导函数记作，且在上有两不等零点，求的取值范围；（2）若存在两个极值点，记作，，求证：．第(3)题《黄帝内经》中十二时辰养生法认为，子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，往往沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10.1%9.2%211.1%47.4%334.6%31.6%448.6%11.8%5 5.6%0.0%注：早睡人群为23：00前入睡的人群，晚睡人群为01：00后入睡的人群．(1)根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数中位数与晚睡人群睡眠指数中位数分别在第几组，并说明理由；(2)据统计，睡眠指数在区间内的人群中，早睡人群约占80%．从睡眠指数在区间内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．第(4)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，，．(1)证明：；(2)若，求的面积．第(5)题如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考模拟复习试卷试题模拟卷【考情解读】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【重点知识梳理】1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2【高频考点突破】考点一椭圆的定义及其应用【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．考点二求椭圆的标准方程【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为22.过F1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．(2)设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．【变式探究】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，()3，5. 考点三椭圆的几何性质【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．(2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝12，则AP →·FP →的取值范围是________．【变式探究】已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程．考点四直线与椭圆的位置关系【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l 的方程．考点五圆锥曲线上点的对称问题圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．【例5】椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝12，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【真题感悟】1.【高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9B ．4C ．3D ．22.【高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4 C ．3[,1)2 D ．3[,1)43．【高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．4.【高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 5（Ⅰ）求E 的离心率e;（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB.552==a c e .5．【高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．636.【高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1y x C a b+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD 同向.（I ）求2C 的方程；（II ）若AC BD =，求直线l 的斜率.（I ）22198y x += ；(II)64±.7.【高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2222+=1(>>0)x y b b αα33，12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222+=144x y a b，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；(ii)求ABQ ∆面积的最大值.C E E C 8.【高考陕西，文20】如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.9.【高考四川，文20】如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a>b>0)的离心率是2，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅＝－1(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A 、B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.10.【高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆22221(a b 0)x y a b 的上顶点为B,左焦点为F ,离心率为5, （I ）求直线BF 的斜率;（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M,||=||PM MQ .（i ）求的值;（ii ）若75||sin =PM BQP ,求椭圆的方程. 1．（·四川卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．AD B C O x y P(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q. ①证明：OT 平分线段PQ(其中O 为坐标原点)； ②当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．2．（·安徽卷）设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．3．（·北京卷）已知椭圆C ：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．4．（·福建卷）设P ，Q 分别为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是()A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2 D ．625．（·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233 C ．3 D ．26．（·湖南卷）如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．图1-77．（·江西卷）过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．8．（·辽宁卷）已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝______．9．（·辽宁卷）圆x2＋y2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成—个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1-6所示)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P 且离心率为 3.图1-6(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P 且与C1有相同的焦点，直线l 过C2的右焦点且与C2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．10．（·全国卷）已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1 C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝111．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0，－2)，椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．12．（·新课标全国卷Ⅱ] 设F1，F2分别是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝ 5|F1N|，求a ，b.13．（·山东卷）已知a ＞b ＞0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A. x±2y ＝0B. 2x±y ＝0C. x±2y ＝0D. 2x±y ＝014．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-515．（·陕西卷）如图1-5所示，曲线C 由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y ＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A ，B ，其中C1的离心率为32.(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C1，C2分别交于点P ，Q(均异于点A ，B)，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图1-516．（·天津卷）设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．17．（·浙江卷）如图1-6，设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l1与l 垂直，证明：点P 到直线l1的距离的最大值为a －b.图1-618．（·重庆卷）如图1-4所示，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF1⊥F1F2，|F1F2||DF1|＝22，△DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．图1-419．(高考四川卷)从椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24B.12C.22D.3220.(高考浙江卷)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A ，B 两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线l1的方程．【押题专练】 1．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．52．已知椭圆x210－m ＋y2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8C ．4或8D ．以上均不对3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1 C.x24＋y23＝1 D.x24＋y2＝14．已知椭圆x24＋y22＝1上有一点P ，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.676．设F1，F2分别是椭圆E ：x24＋y23＝1的左、右焦点，过F1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝( )A.103 B ．3 C.83 D ．27．设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为( )A ．10B ．12C ．15D ．188．已知P 为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C 的值等于________．10．已知F1(－c ，0)，F2(c ，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．11．椭圆x2a2＋y25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B.若△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．高考模拟复习试卷试题模拟卷高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理9）直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为．2.（北京市朝阳区高三第二次综合练习理10）已知圆C 的圆心在直线x －y=0上，且圆C 与两条直线x ＋y=0和x ＋y －12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________．二．能力题组1.（北京市房山区高三第一次模拟考试理13）已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则∆OAB 面积的最小值为____，此时，直线l 的方程为____．2.（北京市昌平区高三二模理14）如图，已知抛物线y x 82=被直线4y =分成两个区域21,W W （包括边界），圆222:()(0).C x y m r m +-=>（1）若3m =，则圆心C 到抛物线上任意一点距离的最小值是__________；（2）若圆C 位于2W 内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆C 的半径是__________.三．拔高题组1.（北京市丰台区度第二学期统一练习（一）理8）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 分别在x 轴和y 轴非负半轴上，点A 在第一象限，且90BAC ︒∠=，4AB AC ==，那么O ，A 两点间距离的（）A ．最大值是42，最小值是4B ．最大值是8，最小值是4C ．最大值是42，最小值是2D ．最大值是8，最小值是2高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章直线与圆一．基础题组1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23-D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．二．能力题组1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线21y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（）A.4515-B.2515- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2214x y +-=。