高考数学模拟复习试卷试题模拟卷170 4

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

【重点知识梳理】

1．椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1

(a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1

(a>b>0)

图形

性质范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝

c

a

∈(0，1)

a，b，c的关系c2＝a2－b2

【高频考点突破】

考点一椭圆的定义及其应用

【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使

M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2

b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．

【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y2

9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．

考点二 求椭圆的标准方程

【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F1，F2在x 轴上，离心率为2

2.过F1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．

(2)设F1，F2分别是椭圆E ：x2＋y2

b2＝1(0

(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．

【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y2

3＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；

(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；

(3)经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，()3，5. 考点三 椭圆的几何性质

【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

(2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2

b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝1

2，则AP →·FP →的取值范围是________．

【变式探究】 已知椭圆C1：x2a2＋y2

b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切．

(1)求椭圆C1的离心率；

(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程． 考点四 直线与椭圆的位置关系

【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q.当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．

【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53

4，求直线l 的方程．

考点五 圆锥曲线上点的对称问题

圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．

【例5】 椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝1

2，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 【真题感悟】