二元函数的连续性

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二元函数连续性

lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数，定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求极限可用“代入法”。
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则

高等数学第16章第3节二元函数的连续性

§ 3 二元函数的连续性一二元函数的连续性定义设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。

的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。

在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。

若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。

由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。

特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。

设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。

和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。

二元函数的连续性

D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续，且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.

3 二元函数的连续性

z
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2

x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义

二元函数的极限与连续

2021/6/16
y0
6
lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
2021/6/16
7
例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解原式 limxy11 x0x(y xy11)
为函数z f ( x, y)当 P P0 （或 x x0， y y0）
时的极限，
记为：
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，如果对
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
2021/6/16
Байду номын сангаас
5
例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
2021/6/16

二元函数连续性

性质2 （介值定理）有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得介于最大值和最小值之间的任何值。
说明：性质2告诉我们，设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m C M
的实数C,必存在点P0 D, 使得 f (P0) C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数的性质。
解：取 y kx
lim xy x0 x2 y2
y0
lim
x0
x
2
y kx
kx2 k2x2
k 1 k2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0(x0 , y0 )的全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),则
1、若 f ( P ) 在 D 上任何点都连续，则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地
推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数值相等。
f (x, y)在P0(x0 , y0)连续
lim z 0
(x,y )(0,0)
即，二元函数在某点连续的充要条件是它在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义

二元函数的连续性

由聚点定理的推论， Pn存在收敛子列Pnk
，设
lim
k
Pnk
P0，且D是闭域，
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值。设 m inf f (D), M sup f (D)
xy 0
在原点处显然不连续，但由于
xy 0
z
因此在原点处 f对x和对y分别都连续。
O
y
x
定理1（复合函数的连续性）设函数u (x, y)和v (x, y)在xy平面上
点P0 (x0 , y0 )的某邻域内有定义，并在点P0连续；函数 f (u, v)在uv平面上点 Q0 (u0 , v0 )
如果P0是D的聚点，而（2）式不成立，则称 P0是f的不连续点。
特别当(2)式左边极限存在但不的等于f (P0 )时，P0是f的
可去间断点。
例如函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
D，
虽然(Pn ,Qn )
1 ，但是
n
f
(Pn )
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因

二元函数的连续性

§ 3 二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例（P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例（P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例求函数)(22y x tg z +=的不连续点。

（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系（P101）例（P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。

二元函数的一致连续性定理

二元函数的一致连续性定理
二元函数的一致连续性定理是描述数学中连续性的一项重要理论。

它说明只要
在定义域的每一个点上存在唯一的对应值，那么函数在其定义域上均为连续，有
强有力地支持了数学上的连续性原理。

二元函数是数学中常见的函数形式，它可以用两个坐标来描述某一点，根据图
象上的值，确定某点的坐标，从而定义某此函数。

任何一个点，都可以把它定义在定义域内，形成平面上的一个定义域和对应值。

对于二元函数，只要这个平面上每个点都有唯一的对应值，那么它在定义域上就一定是连续的。

在这种情况下，二元函数的一致性定理就宣称，一个函数如果在它的定义域内
都具有唯一的点集，那么它就一定是连续的。

在计算机程序中，它是无数次模拟或试验后才得出的结论，这就检验了二元函数的一致性定理，这就是计算机程序的威力。

二元函数的一致性定理的另一个重要意义在于他强调了连续性在数学上的重要性。

从这个意义上来说，在定义域内的任何一点都可以说是连续的，任何极限也可以由连续的函数的不同点构成。

这个理论也使得对很多问题尤其是有关复杂问题的解决更加容易，比如微分方程、可积性等等，不论是解决实际问题，还是研究理论知识，都不得不直接或间接地依赖于此定理。

由此可见，二元函数的一致性定理对数学研究和应用有着特别重要的意义。

它严格地遵守数学上的一致性定理，使得对复杂函数的数学推导和计算分析工作变得更加容易，并且它加强我们理解和认识数学的原理，从而减少许多理论上的错误。

二元函数的连续偏导可微

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

二元函数与多元函数的连续性与一致连续性研究

二元函数与多元函数的连续性与一致连续性研究连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数图像在数轴上的连贯性。

在数学中，我们常常研究一元函数的连续性，即定义域和函数值都在实数集上进行的函数。

然而，在现实生活中，我们经常需要考虑多元函数，即定义域和函数值都在多维空间中的函数。

因此，了解二元函数和多元函数的连续性以及一致连续性非常重要。

1. 二元函数的连续性考虑一个定义域为二维平面上的函数f(x,y)，我们可以将其表示为z=f(x,y)。

如果对于每一个点(x₀,y₀)，只要(x,y)足够靠近(x₀,y₀)，那么f(x,y)就会足够靠近f(x₀,y₀)。

换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x,y)-(x₀,y₀)||<δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|<ε成立。

这就是二元函数在某点连续的定义。

2. 多元函数的连续性对于一个定义域为n维空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，我们可以将其表示为y=f(x₁,x₂,...,xₙ)。

类似于二元函数的定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,x₂,...,xₙ)-(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)||<δ时，有|f(x₁,x₂,...,xₙ)-f(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)|<ε成立。

这就是多元函数在某点连续的定义。

3. 二元函数的一致连续性如果对于二元函数f(x,y)，在定义域上的任意两个点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，只要||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||足够小，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|足够小，那么称f(x,y)在定义域上一致连续。

换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||<δ时，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|<ε对于定义域上的所有点都成立。

4. 多元函数的一致连续性类似于二元函数的定义，对于多元函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，如果在定义域上的任意两个点(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)和(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)，只要||(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)||足够小，有|f(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-f(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)|足够小，那么称f(x₁,x₂,...,xₙ)在定义域上一致连续。

二元函数的连续性

§3 二元函数的连续性(一) 教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．(二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性．基本要求：(1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． (三) 教学建议：(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题——————————————————————一．二元函数的连续概念由一元函数连续概念引入 .定义（用“δε-”定义二元函数连续）设函数),(y x f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），若对0,0>∃>∀δε，使得当 D P U P );(0δ∈时，都有ε<-|)()(|0P f P f则称),(y x f 关于集合D 在0P 点连续，简称0P f 在点连续。

若函数D f 在上任何点都连续，则称D f 为上的连续函数。

由连续定义，若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于集合D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于集合D 在0P 连续等价于 )()(lim 00P f P f D P PP =∈→如果0P 是D 的聚点，而上式不成立，则称f 关于集合D 在0P 不连续（或间断点）。

特别 )()(lim 00P f A P f D P P P ≠=∈→时，称0P 是f 的可去间断点。

例 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=)0,0(),(,1}0,|),{(),(,),(222y x m m x mx y y x y x yx xyy x f其中 m 是固定实数。

二元连续函数的一致连续性定理

二元连续函数的一致连续性定理
《二元连续函数的一致连续性定理》
一、什么是二元连续函数
二元连续函数是指在其定义域内，函数值保持一致性，且值在任意点改变时无突变，其中定义域为连续闭合区间，函数是关于复数变量的连续函数。

一般来说，二元连续函数可以分解为“定义域”和“值域”，它们都是实数集或广义上的有限数字集。

二、二元连续函数的一致性
二元连续函数的一致性指的是满足一致性的变化，也就是当函数的定义区间发生变化时，该函数的值仍然保持不变，且无突变。

也就是说，函数值的变化会随着定义域的变化而发生变化，而且在这个变化过程中，函数值保持一致并不存在突然变化。

三、二元连续函数的一致连续性定理
一致连续性是二元连续函数在其定义域内的一个重要性质，这种性质的概念，可以用定理的形式进行表述，它可以简单地表述为：如果函数在其定义域内值保持一致，并且在任一点改变值无突变，则称该函数具有一致连续性。

四、二元连续函数的一致连续性的实际意义
只有满足一致性定理的函数，在任何给定点处作出变换，值也不会突然发生跳变，而会随着定义域的变化而发生变化，使整个函数变化得比较平缓，稳定性也更好。

反过来说，如果一个函数的一致性条件不满足，这也意味着，在任何给定点处作出变换后，函数值也会
有较大的跳变，函数的变化趋势容易不稳定，很难做预测。

五、总结
通过本文的讨论，可以看出，二元连续函数的一致连续性定理是一种比较基本的数学定理。

这个定理表明，二元连续函数在其定义域内，函数值保持一致性，且值在任意点改变时无突变，这种一致性有着比较重要的实际意义，只有满足这个定理，函数在各个定义域之间的变换才能比较稳定，把控函数变化的趋势也更为容易。

二元函数连续可微可导三者关系

二元函数连续可微可导三者关系1. 首先，我们需要了解二元函数的连续性、可微性和可导性的定义。

一个二元函数是指一个拥有两个自变量和一个因变量的函数，通常表示为f(x, y)。

连续性是指函数在其定义域内不断接近于某一点的性质。

可微性是指函数在某一点处存在切线，可以用导数来表示切线的斜率。

可导性是可微性的一种特殊情况，指函数在某一点处存在有限的导数。

2. 当一个二元函数在一个点处连续时，意味着在该点处的函数值与其周围的点的函数值非常接近。

换句话说，如果我们选择足够接近这个点的任意两个点(x1, y1) 和(x2, y2)，那么对应的函数值f(x1, y1) 和f(x2, y2) 的差异将非常小。

这表明函数在这个点处没有突变或跳跃。

3. 如果一个二元函数在某一点处连续可微，那么它在该点处的偏导数存在且连续。

偏导数是指函数在该点处关于每个自变量的导数。

换句话说，不仅函数的函数值连续，而且函数在该点处每个自变量的变化对函数值的影响也是连续的。

这意味着函数在该点处的切线可以通过偏导数来准确描述。

4. 但是，连续可微并不一定意味着函数在该点处可导。

可导性是一个更高的要求，它要求函数在该点处存在有限的导数。

导数是函数在某一点处切线的斜率，可以用来近似描述函数在该点处的变化率。

如果一个二元函数在某一点处可导，那么偏导数的存在意味着函数在该点处的切线是唯一的，即不存在不同的切线可以通过该点。

5. 总结来说，二元函数的连续性、可微性和可导性有以下关系：连续性是最基本的性质，它要求函数在某一点处的函数值连续；可微性要求函数在某一点处连续且偏导数连续；可导性是可微性的特殊情况，它要求函数在某一点处存在有限的导数。

这些性质相互关联，但并不是互相包含的关系。

函数可以连续但不可微，也可以连续可微但不可导。

6. 最后，需要注意的是，虽然我们在讨论二元函数的连续性、可微性和可导性，但这些概念同样适用于多元函数。

多元函数是指拥有多个自变量和一个因变量的函数，其连续性、可微性和可导性的定义和二元函数是类似的。

浅谈二元函数连续性

指导教师：贾化冰作者简介：石斐(1989-)，女，陕西咸阳人，数学与应用数学专业2007 级3 班.1摘要：二元函数的性质，是研究二元函数可微性及可积性等问题的基础.本文对二元函数连续性的判断做以进一步的探讨，并总结了一些常用的、常见的判断二元函数连续性的方法.关键词：二元函数；连续性；一致连续一、预备知识1 定义：设f 为定义在点集D 2R ⊂上的二元函数，0P D ∈，对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0(;)P U P D δ∈⋂，就有 0()()f P f Pε-<，则称f 关于集合D 在点0P 连续.以上定义的等价定义为：设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数，0P D ∈，若有00lim ()()P P f P f P →= 或 000lim [()()]0P P f P f P -→-=，则称f 关于集合D 在点0P 连续.2 一致连续定义：若定义在区间A (A 可为开区间、闭区间、无穷区间)上的连续函数()f x ，如果对于任意给定的正数ε，存在一个只与ε有关与x 无关的实数0ξ>，使得对任意A 上的12,x x ，只需要12,x x 满足12x x ξ-<，就有12()()f x f x ε-<，则称()f x 在区间A 上是一致连续的.3 一致连续性定理：若函数(,)f x y 在有界闭域2D R ⊂上连续，则(,)f x y 在D 上一致连续. 即对任何0ε>，总存在只依赖于ε的正数δ，使得对一切点P 、Q ，只要P Q δ-<，就有()()f P f Q ε-<.二、二元函数连续性的判断方法1 若0P 是(,)f x y 的定义域D 的孤立点时，(,)f x y 在0P 必连续2 若0P 是D 的聚点且(,)f x y 的解析式给出，可用连续函数的四则运算性质，复合函数的连续性及初等函数在它的定义域内连续等来证明其在D 上连续.定理1[3] 若二元函数(,)f x y 与(,)g x y 在点00(,)x y 处连续，则其和、差、积、商（当分母00(,)0g x y ≠时）在点00(,)x y 处也连续.例1[3] （只证明乘积的情形）若函数()f P 与()g P 在点0P 连续，则()()f P g P 在点0P 连续.证明: 已知()f P 与()g P 在0P 连续，即当0ε∀>时，1010,:P P P δδ∃>∀-<，有0()()f P f P ε-<， 2020,:P P P δδ∃>∀-<，有0()()g P g P ε-<，又已知()g P 在点0P 的某邻域有界，即0M ∃>，30δ∃>，03:P P P δ∀-<，有()g P M ≤.123min{,,}0δδδδ∃=>，于是0:P P P δ∀-<，有00()()()()f P g P f P g P -0000()()()()()()()()f P g P f P g P f P g P f P g P ≤-+-000()()()()()()g P f P f P f P g P g P =⋅-+⋅-0()M f P εε<+⋅0(())M f P ε=+⋅.即()()f P g P 在点0P 连续.定理2[1]（复合函数连续性定理）设函数(,)u x y ϕ=和(,)v x y ψ=在xy 平面上点000(,)P x y 的某邻域内有定义，并在点0P 连续；函数(,)f u v 在uv 平面上点000(,)Q u v 的某邻域内有定义，并在点0Q 连续，其中000(,)u x y ϕ=，000(,)v x y ψ=.则复合函数(,)[(,),(,)]g x y f x y x y ϕψ=在点000(,)P x y 连续.例 2[1] 设(,)u x y ϕ=与(,)v x y ψ=在平面xy 中的点集E 上一致连续；ϕ与ψ把点集E 映射为平面uv 中的点集D ，且(,)f u v 在D 上一致连续.证明：复合函数[(,),(,)]f x y x y ϕψ在E 上一致连续.证明: 因为(,)f u v 在D 上一致连续，所以0ε∀>，()0δε∃>，使得对一切点1122(,),(,)P u v Q u v D ∈，只要12u u δ-<，12v v δ-<，就有1122(,)(,)f u v f u v ε-<.又(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=在E 上一致收敛，于是对上述0δ>，0η∃>，对一切1122(,),(,)x y x y E ∈，只要12x x η-<，12y y η-<，就有12u u δ-<，12v v δ-<，其中(,)k k k u x y ϕ=，(,)k k k v x y ψ= (1,2)k =从而 11112222[(,),(,)][(,),(,)]f x y x y f x y x y ϕψϕψ- =1122(,)(,)f u v f u v ε-<，故复合函数[(,),(,)]f x y x y ϕψ在E 上一致连续.3 若(,)f x y 是分段函数，则在分段点处用定义证明其连续性.例3[6] 证明：函数2222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)分别对x 或y 都连续,但(,)f x y 在(0,0)不连续.证明: y R ∀∈与x R ∀∈，分别有lim (,0)0(0,0)x f x f →==， 0lim (0,)0(0,0)y f y f →==，故(,)f x y 在(0,0)分别对x 与y 都连续.但沿y x =时，222200022lim (,)lim lim 12x x x y x y xxy x f x y x y x →→→=====+，沿2y x =时，222200022244lim (,)lim lim 55x x x y x y xxy x f x y x y x →→→=====+，即(,)f x y 在(0,0)极限不存在，从而在该点不连续.4 若(,)f x y 为抽象函数，可任取0P D ∈，用定义证明其连续性.例4[4] （尤格定理）设函数(,)f x y 在区域D 上分别对,x y 连续，对固定的y ，(,)f x y 是x 的单调函数，证明(,)f x y 在区域D 上连续.证明: 00(,)x y D ∀∈, 由于(,)f x y 关于x 连续，故对任意给定0ε>，存在10δ>，当01x x δ-<时，有 000(,)(,)f x y f x y ε-<，设120101,(,)x x x x δδ∈-+特别有2000(,)(,)f x y f x y ε-<，1000(,)(,)f x y f x y ε-<，再由(,)f x y 关于y 连续知，存在'0δ>，使'0y y δ-<时有110(,)(,)f x y f x y ε-<，220(,)(,)f x y f x y ε-<，综上所述，当'0y y δ-<，有100(,)(,)2f x y f x y ε-<，200(,)(,)2f x y f x y ε-<，从而由(,)f x y 是x 的单调函数知：当'010,x x y y δδ-<-<时，下式成立00200100(,)(,)max{(,)(,),(,)(,)}f x y f x y f x y f x y f x y f x y -≤--2ε<，这说明(,)f x y 于00(,)x y 处连续，由00(,)x y 任意性知(,)f x y 于D 上连续.注：在证明抽象函数(,)f x y 的连续性时，往往根据已知条件，巧妙地运用连续的εδ-定义给出证明.三、典型例题求解例5[5] 函数(,)f x y 在2R 上连续且lim (,)r f x y →∞存在，其中22r x y =+，则(,)f x y 在2R 上一致连续.证明: lim (,)r f x y →∞存在，由柯西准则：0ε∀>，0G ∃>，对满足22i i i r x y G =+> 的点(,),(1,2)i i i P x y i =，总有12()()f P f P ε-<.又f 在有界闭区域{(,),1}D x y r G =≤+上连续，从而一致连续，故对上述0ε>，10δ∃>，当12121,;P P D P P δ∈-<时，恒有： 12()()f P f P ε-<，取2112min{,1},,P P R δδ=∀∈，当12P P δ-<时，12,PP 或同属于D 或同满足(1,2)i r G i >=，从而总有12()()f P f P ε-<.故(,)f x y 在2R 上一致连续. 例6[2] 设函数(,)f x y 在矩形[,][,]a b c d ⨯上连续，证明函数[,]()max (,)y c d x f x y ϕ∈≡在[,]a b 上连续.证明: 任取12,[,]x x a b ∈,设 111()(,)x f x y ϕ=,222()(,)x f x y ϕ=显然有112()(,)x f x y ϕ≥.任给0ε>,由于f 在[,][,]a b c d ⨯上一致连续,故0δ∃>,当12x x δ-<时,有1222(,)(,)f x y f x y ε-<，及 1222(,)(,)f x y f x y ε>-，故12()()x x ϕϕε>-.交换12,x x 得21()()x x ϕϕε>-,所以 12()()x x ϕϕε-<，当12x x δ-<,12,[,]x x a b ∈时成立.固定1x ,令2x 在1(,)U x δ内变化,可得()x ϕ 在1x 的连续性,同理可得()x ϕ在2x 的连续性.进而可得()x ϕ在[,]a b 上连续.例7【7】设函数(,)f x y 在域D 内对变数x 是连续的，并对变量y 满足Lipschitz 条件，即'''(,),(,)x y x y D ∀∈，有''''''(,)(,)f x y f x y L y y -≤-,其中L 为常数.证明：(,)f x y 在D 上连续.证明: 00(,)x y D ∀∈ 由于(,)f x y 对x 连续，则0(,)f x y 在0x 连续，1000,(,)0x y εδ∀>∃>，使得当01x x δ-<时，有 000(,)(,)2f x y f x y ε-<. 取202L εδ=>，则当02y y δ-<时，由条件有00(,)(,)22L f x y f x y L y y L εε-≤-<=，故取12min{,}δδδ=，则当00,x x y y δδ-<-<，且00((,),)U x y D δ⊂时，有000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y -≤-+-22εεε≤+=，即知(,)f x y 在点0(,)x y 连续.由0(,)x y 的任意性知，(,)f x y 在D 上连续.致谢：本文在写作过程中得到贾化冰老师的指导，在此表示感谢！参考文献[1]华东师范大学数学系.《数学分析》第3版(下册)[M].北京.高等教育出版社.2001.6. 100-106.[2]胡适耕,姚云飞.《数学分析---定理、问题、方法》第1版[M].北京.科学出版社.2007.1. 40-45.[3]刘玉琏,刘伟,刘宁等.《数学分析讲义---练习题选解》第２版[M].北京.高等教育出版社.2005.3. 353-359.[4]王勇,曹学广.《数学分析全程导学及习题全解》第２版(下册)[M].北京.中国时代经济出版社.2007.2. 88-102.[5]翟明清,浅析二元函数的一致连续性[J].滁州学院学报.2004.9.第6卷第3期. 98-99.[6]李克典，马云苓.《数学分析选讲》第一版[M].厦门大学出版社.2006.6. 444-666.[7]孙清华，孙昊.《数学分析—内容、方法与技巧》第1版(下册)[M].武汉.华中科技大学出版社.2003.11. 254-258.Study the continuity of dual functionSHI Fei(Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013,Shaanxi, China)Abstract: Dual function the nature, is the study differentiable binary function sex and integrability of problems such as foundation. This paper of continuity of binary function do to further discuss judgment, and sums up some commonly used, common judgment method of dual function continuitykey words: dual function ；continuity ；Uniformly continuous课题条件：1、目的和意义：二元函数的性质，是研究二元函数可微性及可积性等问题的基础。

二元函数求极限的连续性理论应用

二元函数求极限的连续性理论应用在数学中，二元函数是指以两个自变量为输入、将其映射到一个数域的实函数。

在分析数学中，研究二元函数的性质与极限是一个重要的课题。

本文将探讨二元函数求极限的连续性理论应用。

一、二元函数的极限定义在讨论二元函数的极限时，我们首先需要明确其极限的定义。

设有二元函数 f(x,y)，当 (x,y) 趋近于某一点 (x₀, y₀) 时，如果对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当满足条件0 < √((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 处的极限。

二、二元函数求极限的基本思路在计算二元函数的极限时，通常可以通过代入法、夹逼准则和极限运算法则来进行分析。

接下来，我们将分别讨论这三种方法的具体应用。

1. 代入法代入法是二元函数求极限中最基本的方法。

当二元函数在某一点(x₀, y₀) 处连续时，可以通过代入点的方法直接求出该点处的极限值。

例如，对于函数 f(x, y) = x² + y²，在点 (1, 2) 处的极限可以直接代入得到 f(1, 2) = 1² + 2² = 5。

2. 夹逼准则夹逼准则在二元函数求极限中经常用到。

当我们难以直接代入点进行计算时，可以通过构造夹逼函数来确定极限的存在性。

夹逼准则主要基于以下原理：若存在两个二元函数 g(x, y) 和 h(x, y)，使得对于所有点 (x, y) 来说，g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y) 成立，且 g(x, y) 和 h(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限都存在且相等，则函数 f(x, y) 在点 (x₀, y₀) 处的极限也存在且等于 g(x₀, y₀) = h(x₀, y₀)。

3. 极限运算法则极限运算法则是二元函数求极限中的重要工具。

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称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f ( P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点.
如上节例1、2 给出的函数在原点连续; 例3、4、5
P0 (2)
给出的函数在原点不连续. 又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 y m
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
§3 二元函数的连续性
无论是单元微积分还是多元微积分, 其中所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质, 二者完全相同.
一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质
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一、二元函数的连续性概念
※ 连续性的定义
f ( x, y1) f ( x, y2 ) L y1 y2 ;
(ii) 对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量 (y)
பைடு நூலகம்
是一致的, 即
x0 , 0, 0 (只与 x0, 有关,
而与 y 无关 ), 当 | x x0 | , 且 ( x, y) D 时, 对一切 y 恒有 f ( x, y) f ( x0, y) .
f ( x, y) f ( x, y0 ) L | y y0 | 2. 令 min{1,2}, 则当
| x x0 | , | y y0 | 且 ( x, y) D
时, 又有
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f ( x, y) f ( x, y0 )
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 2 2 ,
(iii) 参见本节习题第 9 题 (这里不作证明).
证(i) ( x0 , y0 ) D. 因 f ( x, y0 )在 x0 连续, 故任给
0, 1 0, 当 | x x0 | 1 时, 有
f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 2; 又当 | y y0 | 2 2L 时, 满足
f ( x, y0 ) 在 x0 与 f ( x0 , y) 在 y0 都连续. 但是反过来,
由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数
1， xy 0, f ( x, y) 0， xy 0
在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0,
上的连续函数.
P 由上述定义知道: 若是 D 的孤立点,则必定是 0
P f 的连续点. 若是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 0
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
PD
P 如果是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 0
P 函数的对应情形相同 ), 则称是 f 的不连续点 (或 0
即 f 在 ( x0, y0 )连续. 由( x0, y0 )的任意性, 便知 f 在 D 上处处连续.
(ii) ( x0 , y0 ) D.因 f ( x0, y)在 y0 连续, 故 0,
因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
例2 设在区域
D R2 上 f ( x, y) 分别对 x 和对 y 都
连续．试证在下列条件之一满足时，
f (x, y) 在 D 上
处处连续：
(i) 对其中一个变量 (例如
L 0, 使得对任何
y) 满足李普希茨条件, 即
( x, y1), ( x, y2 ) D, 恒有
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P 为函数 f 在点的全增量. 和一元函数一样, 可用增 0
量形式来描述连续性, 即当
时, f 在点连续P.0
如果在全增量中取
lim z 0
( x, y) (0, 0) ( x, y)D
x 0 或 y 0, 则相应得到的
( 0)
0,
( x, y) (0,0),
在坐标原点的连续性．
解由于当 2 且 r 0 时,
f (r cos , r sin ) r 2(cos ) r 2 0,
因此 lim f ( x, y) 0 f (0,0), 此时 f 在原点连 ( x, y) (0,0)
续; 而当
lim
x0
x
f ( x0 ,
y0 ) 0,
则表示当固定
y y0 时, f ( x, y0 ) 作为 x 的函数, 它
在 x0 连续. 同理,
若
lim
y0
y
f ( x0 ,
y0 ) 0,
则表示当
固定 x 时x，0
f ( x0 , y) 在 y0 连续.
容易证明: 当 f 在其定义域的内点
( x0 , y0 ) 连续时,
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ), y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.
若一个偏增量的极限为零, 如
2 时, lim f ( x, y) 不存在， ( x, y) (0,0)
在原点间断．
此时 f
※ 全增量与偏增量
设 P0( x0 , y0 )、P( x, y) D, x x x0 , y y y0, 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0, y0 )
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在
y mx
上，这时由于
m
lim
( x, y) (0, 0)
f (x,
y)
1 m2
f (0, 0),
y mx
因此 f 在原点沿着直线
是连续y的．m x
例1 讨论函数
x
f
(
x,
y)
x2 y2
,
( x, y) (0,0),
定义1 设 f 为定义在点集
D R2上的二元函数,
P0
D. 若 0, 0, 只要 P U (P0; ) D , 就有
| f (P) f (P0 ) | ,
(1)
P 则称 f 关于集合 D 在点
连续.在不致误解的情形
0
下, 也称 f 在点连续. P0
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D