数字信号处理复习资料

第一章

模拟信号时域离散信号数字信号

如果信号的自变量和函数值都取连续值，则称这种信号为模拟信号或者时域连续信号。如果自变量取离散值，而函数值取连续值，则这种信号称为时域离散信号，这种信号通常来源于对模拟信号的采样。如果信号的自变量和函数值均取离散值，则称为数字信号。数字信号是幅度化了的时域离散信号。

周期系列判断法书P7 掌握

模拟信号数字处理框图

X a(t) →预滤→A/DC→数字信号处理→D/AC→y a(t) 采样定理

(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式X a(jΩ)=1/2πX a(jΩ)*Pδ(jΩ)=1/T ΣX a(jΩ-jkΩs)表示。

(2)设连续信号x a(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号x a(t)通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号x a(t)。否则Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。

第二章

用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。

系统稳定要求Σ|h(n)|< ∞，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为r<|z|≤∞,0

例2.6.1已知H（z）=(1-a2)/(1-az-1)(1-az),0

解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。

(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。

(3)收敛域a<|z|

当B点转到极点附近时，极点矢量长度越短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点越靠近单位圆，极点矢量长度越短，峰值越高越尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为∞，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点越靠近单位圆，谷值越接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。

第三章

用DFT进行谱分析的误差问题

混叠现象

原因：对连续信号进行频谱分析时，首先要对其采样，采样频率f s必须满足采样定理，否则在f=f s/2附近发生频谱混叠现象。

措施：必须满足f s≥2f h（f h为连续信号的最高频率），通常取f s＝（3～5）f h，采样前进行预滤波，滤除高于f s/2的频率成分

栅栏效应

原因：N点DFT是在频率区间[0,2 π]对信号频谱进行N点等间隔采样，采样点之间的频谱函数值没有计算出来，如同隔着栅栏观察景物，一部分景物被栅栏阻挡，这种现象称为栅栏效应。

措施：加长数据长度，即增加数据点数N，在所截断的数据末端补零，这样就增加了频域采样点数，使原来漏掉的某些频谱分量被观测到

截断效应

实际中的连续时间信号可能是无限长的，对其进行采样得到的序列x[n]也是无限长的，用DFT进行谱分析时，必定要截短成有限长序列，这就相当于用一个矩形窗函数R N(n)乘以x[n]，y(n)=x(n)·R N(n)。y(n)的频谱Y(e jω)和原序列x(n)的频谱X(e jω)必然有差别，造成误差。

泄漏：原来序列x(n)的频谱示离散谱线时，截断后

谱线向附近展宽，这种展宽称为泄漏，造成频谱

模糊，谱分辨率降低

谱间干扰：主瓣附近的旁瓣引起不同频率分量间

的干扰，影响频谱分辨率，强信号旁瓣可能湮没

弱信号主谱线，或者把强信号旁瓣误认为另外一

个信号的谱线

第五章

FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因

此差分方程用下式描述：y(n)=Σbix(n-i) i=0,…,M

IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是

说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲

响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差

分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)。

IIR级联、并联结构

级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一

个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极

点。在试中，调整β0j、β1j、β2j三个系数可以改

变一对零点的位置，调整α1j和α2j可以改变一对

极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便

是优点。此外，级联结构中后面的网络输出不会

再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。

并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极

点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调

整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方

便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算

误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差

积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本

网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并

脸型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最

高。

FIR级联、直接型比较

级联型结构每一个一阶因子控制一个零点，每一

个二阶因子控制一对共轭零点，因此调整零点位

置比较方便，但H（z）中的系数比直接型多，因

而需要的乘法器多。在例中直接型需要四个乘法

器，而级联型则需要五个乘法器，如果分解的因

子越多，需要的乘法器也越多。另外当H（z）的

阶次高时，也不易分解。因此，普遍应用的是直

接型。

频率域采样的优缺点

优点：在频率采样点w k，H（e jwk）=H（k），只要

调整H（k）（即一阶网络Hk（z）中乘法器的系数

H（k）），就可以有效地调整频响特性，使实践中

调整方便。只要h（n）长度N相同，只是各支路

增益H（k）不同。这样，相同部分便于标准化、

模块化。

缺点：系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点

对消来保证的。实际上，寄存器子长度的都是有

限的，这样有限字长效应可能使零极点不能完全

对消，从而影响系统稳定性。结构中，H（k）和

W N-k一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，

这对硬件实现是不方便的。

第六章

脉冲响应不变法的优缺点

优点：是频率坐标变换是线性的，即ω=ΩT，如果

不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤

波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。另

一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿

模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。

缺点：是会产生频率混叠现象，适合低通、带通

滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。

双线性变换法的优缺点

脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性

的，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计

的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率

特性。一个线性相位模拟滤波器可以映射成一个

线性相位的数字滤波器。另外一个优点是数字滤

波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位

冲激响应，时域特性逼近性好。缺点：是会产生

频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，

不适合高通、带阻滤波器的设计。双线性变换法

避免了频率响应的混叠现象。可以设计高通、带

阻滤波器。模拟频率与数字频率不再是线性关系，

所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后所

得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了。

第七章

什么是第一类线性相位、第二类线性相位、及其

条件

H(e jω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即

θ(ω)=τω,τ为常数(7.1.3)

如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位

(7.1.4)

一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足

(7.1.4)式为第二类线性相位。

满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对

(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)

(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序

列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)

线性相位FIR滤波器零点分布特点书P200 图点

的位置

h d(n)加矩形窗处理后的低通滤波器，H(ω)和原理

性低通H d(ω)差别

(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过

渡带的宽度，近似等于R N(ω)主瓣宽度，即4π/N。

(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。

阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。

五种窗函数表达式IIR与FIR比较

1 从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位

于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获

得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而

效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代

价的。选择性越好，相位非线性越严重。FIR可以

得到严格线性相位，传输函数极点固定在原点，

只能用较高阶数达到高的选择性，成本高延时大。

如果相同的选择性和线性要求，IIR必须加全通网

络校正相位，同样增加阶数和复杂性。

2从结构上看，IIR滤波器必须采用递归结构，极

点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。、有

限字长效应可能引起寄生振荡。、FIR主要用非递

归结构，有限精度运算中不存在稳定性问题。FIR

可以使用FFT，相同阶数运算速度快。

3从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波

器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计

公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算

工具的要求不高。

FIR一般只有计算程序。

4 IIR主要设计片断常数特性滤波器，如低通、高

通、带通、带阻滤波器，往往脱离不了模拟滤波

器的格局。FIR灵活得多，如微分器，积分器，或

三角形振幅响应等复杂幅频响应等复杂幅频响

应，有更大适应性。实际应用中，对相位要求不

敏感的场合，如语言通讯，IIR较合适，经济高效，

对图象处理、数据传输等以波形携带信息的系统，

对线性相位要求较高，最后用FIR。

频率采样法增加过滤点的作用，

提高阻带衰减最有效的方法是在频响间断点附近

区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变

成缓慢过渡。

第四章

4.2.3 DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较

每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每

个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共

需要的复数与乘次数复数加次数分别为

例如，N=210=1024时

如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用

下面的方法：对上式两边同时取共轭，得

具体算法：

1.将X（k）取共轭

2.直接调用FFT子程序进行DFT

运算3.取共轭4.乘以1/N,即可得到x(n)

%[1 2 3 4 5 6 7 8]的fft就是Xk

Xk=[36.0000 -4.0000+9.6569i -4.0000+4.0000i

-4.0000+1.6569i -4.0000 ... -4.0000-1.6569i

-4.0000-4.0000i -4.0000- 9.6569i];

N=length(Xk);Xk=conj(Xk);XN=fft(Xk);XN=conj(XN)/N

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2

2

1048576

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