简单的幂函数-PPT课件

师：由于同学不会作函数 f (x) 的图象，所以 用奇偶函数的定义就不能判断，那么就要从代 数形式来探讨奇偶函数的定义．
探究活动: 1
用数学语言来描述函数 y x, y x1, y x 2 ,
y x2 , y x3, y x4, y x6 图象关于原点、
轴对称，探索奇偶函数的代数定义。
(五)课后作业、分层布置 1.必做题：习题2-5 A组1，4
2.选做题：判断函数
f
(x)
x(x
1),
x0
的奇偶性
x(1 x), x 0
3.课后思考题 :比较下列各组值的大小;
(1)3
5 2
和3.1
5 2
;
(3)(
2
)
2 3
和(
)
2 3
;
3
6
(2)
8
7 8
和
(
1
)
7 8
;
9
2
(4）4.15
，3.8
高中数学北师大版必修1第二章第5节
简单的幂函数
(一）情景引入，提出问题：
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,所需的钱数 为y元，那么她需要支付y=__x__元
(2)如果正方形的边长为 x,面积为y，那么正方形的面 积y=__x2__ (3)如果正方体的边长为x,体积为y，那么正方体的体 积y=_x_3__ (4)如果某人 x/ s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度 y=_x_-_1_(km/s)
∴ y x2, x∈－3，3是非奇非偶函数
师；那有没有这样的函数既符合 f (x) f (x) 又符合 f (x) f (x) 的呢？ 它可称为什么函数呢？
例如：f (x) 0 为既奇又偶函数。
归 纳：判断函数的奇偶性的步骤：
第一步：判断函数的定义域是否关于原点对称， 如果不是，则此函数为非奇非偶函数；如果是， 则进行第二步。 第二步：判断 f (x) 与 f (x) 的关系。
(5)如果正方形的面积为 x, 那么正方形的边长y=___x_ 1 (或者 y x2 )
1
问题: y x1 , y x2 , y x, y x2, y x3,
请同学们观察函数的解析式,指出它们有哪些异同点?
以上个函数的共同特点是： （1）都是函数；函数解析式是幂的形式， （2) 都是底数是自变量，指数为常数；
当 x 0 时， x 0, f (x) 1 (x)2 1 1 x2 1
2
2
当 x 0时， x 0, f (x) 1 (x)2 1 1 x2 1
2
2
f
(
x)
1 2
1 2
x
x2 2
1, 1,
x0 x0
f (x) f (x)
∴函数 f (x) 为奇函数
(四)课堂小节、总结新知 ①幂函数的概念及图象； ②函数奇偶性的定义，图象的对称性； ③函数奇偶性的判断； ④数学思想：数形结合思想、分类讨论思想。
3.奇偶函数的概念
(1)奇函数的定义 图象关于原点对称的函数叫作奇函数。
(2)偶函数的定义
图象关于 y 轴对称的函数叫作偶函数。
举例: 函数 y x, y x1, y x3 为奇函数; 函数 y x2, y x4, y x6 为偶函数;
师：上面的定义是要同学先画出函数图象，再 看其对称性，从而判断此函数的奇偶性。但是 如果同学画不出函数的图象呢？比如说你能判 断函数 f (x) 3 (2x 5)2 3 (2x 5)2 的奇偶性吗?
1,完成课本P50内容“动手实践”中的作题图,由函数一
半的图象，根据函数的奇偶性，可以画出另一半的图
象
y=-x3
y y=x-1
y
y y=x2+1 y
ox
1 o xo xo x
补全四个函数的图像
y=-x4
2，判断函数
f (x)
1 2
x2
1,
Байду номын сангаас1 2
x2
1,
x0 x0
的奇偶性。
解：函数f (x) 的定义域为 (, 0) (0, ) ，关于原点对称
区间（0，+∞）上是减函数。
在第一象限内，当 x 向原点靠近时，图象在 y 轴的右方无限 逼近 y 轴正半轴，当 x 慢慢地变大时，图象在 x轴上方并无限 逼近 x 轴的正半轴。
y
4
3
y x2
2
1
-2 -1
o1
-1
2 3x
y
4
3
y x3
2
1
-2 -1
o 1 2 3x
-1
师：同学们，我们接下来从另一个角度来分析上面两个幂函数 的图象，你们发现了上面几个函数图象的对称性吗？ 请同学分组讨论。
即：系数为1，只有1项。
2. 底数为x而不是x的代数式，如2x或x-2等；
3. 幂函数 y x中指数 确定则幂函数确定。
故用待定系数法求解析式只需一个条件，如已 知图像上的一个点的坐标等。
变式:函数 f (x) (m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，
且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求 f(x)的解析式．
2 3
和(1.9)
3 5
;
谢谢各位评委老师！
若 f (x) f (x) ,则 f (x) 为奇函数 若 f (x) f (x) , 则 f (x) 为偶函数。
若 f (x) f (x) ,则 f (x) 为既奇又偶函数。
若 f (x) f (x),则 f (x) 为非奇非偶函数。
法二、对于容易画图象的函数也可利用图象进行判断。
（三）、运用新知、拓展提高、深化新知
f (－x) = －2(－x)5 = 2x5
∴ f (－x) =－f (x)
故 f (x) 是奇函数 (2) f (x) = x4 + 2的定义域是R
f (－x) = (－x)4 + 2 = x4 + 2 ∴ f (－x) = f (x)
故 f (x) 是偶函数
(3) y = x2, x∈(－3，3] ，其定义域不关于原点对称
几何画板
(1)常见幂函数图象
(2)总结幂函数性质
①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过
点（1，1）（原因： 1x 1 ）；
所有的幂函数在第一象限都有图象,在第四象限都没图象。
② 0 时，幂函数的图象都通过原点,且在[0，+∞）上，
是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）。
③ 0 时，幂函数图象不经过原点，幂函数的图象在
幂
底数
x
变量
指数 常量
(二)师生互动、探究新知 1、幂函数概念
学生活动： 归纳幂函数的概念
如果一个函数，底数是自变量 x, 指数是常 量 ，即 y x ，这样的函数叫做幂函数.
1
如: y x3, y x4 , y x2 等都是幂函数.
学生活动：反馈训练
练习1：下列函数是幂函数的是：
(1) y 2x3
【精彩点拨】 先由 m2－m－1＝1 求出 m 的值，再代入到 m2＋m－3 中，找到满足 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的 m 的值． 【尝试解答】根据幂函数定义得，m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)是增加的，符合要求； 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减少的，不符合要求． 因此，f(x)＝x3.
(2)
y
1 2
x
(3) y x2 1
4
(4) y x3
(5) y (x 2)3
(6) y (2x)3
(7) y x1 x3
(8) y x2017
答案：（4）（8）
练习2: 幂函数y=f(x)的图像过点(2,8),求函数的解析式.
答案：y=x3
学生活动：归纳幂函数的特征：
1. y x 的系数是1；其特征可归纳为“两个1”，
问题：－x与x在几何上有何关系？具有奇偶 性的函数的定义域有何特征？
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
例2：判断下列函数的奇偶性
(1) f (x) =－2x5 (2) f (x) = x4 + 2 (3) y = x2, x∈(－3，3]
解：(1) f (x) =－2x5 的定义域是 R
y
4
3
y x2
2
1
-2 -1
o1
-1
2 3x
y
4
3
y x3
2
1
-2 -1
o 1 2 3x
-1
f (x) x2 的图象关于
y 轴对称且对任意的 x
都有 f (x) (x)2 x2, 即 f (x) f (x) 成立；
可以看出：f (x) x3 的图象
关于原点对称且对任意的 x
都有 f (x) (x)3 x3, 即 f (x) f (x) 成立；
1．形如 y＝xa 的函数叫幂函数，它有两个特点： (1)系数为 1； (2)指数为常数，底数为自变量 x.
2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定 指数的特征．
2、幂函数的图象
1
例1、在同一坐标系下画出函数 y x1, y x 2 ,
y x, y x2 , y x3 的图象,并归纳它们的性质。
奇函数、偶函数的新定义
奇函数：对于定义域内的任意 x，若满足，
f (x) f (x) , 则称 f (x) 为奇函数。
偶函数：对于定义域内的任意 x ，若满足，
f (x) f (x) ,则称 f (x) 为偶函数。
不满足以上的函数，即 f (x) f (x)
则 f (x) 为非奇非偶函数。