人教版高中数学二轮复习利用定义法证明函数的单调性和利用单调性比较大小或解不等式练习(无答案)

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函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习

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f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结单调递增
论当函数 f(x)在它的定义域上单调当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规

高考数学第二轮复习精品资料压轴题

高考数学第二轮复习压轴题高考坚持“有利于高校选拔人才，有利于中学实施素质教育，有利于高校扩大办学自主权”的命题原则，坚持“考查基础知识的同时,注重考查能力”，这决定了每套高考试卷都有一道或几道把关的题目，我们称之为压轴题.这类题目的分值稳定在14分左右，多以传统的综合题或常用题型，与高等数学有关知识或方法联系比较紧密.如结合函数、不等式、导数研究无理型、分式型、指对数型以及多项式函数等初等函数的图像与性质，或数列兼考查数学归纳法，或以解析几何为主的向量与解析几何交汇，或以上三类题互相交汇形成新的综合问题，这类题目综合性强，解法多，有利于高校选拔.第一讲函数、不等式与导数型压轴题【调研1】设21()log 1x f x x +=-,1()()2F x f x x=+- (1)试判断函数()y F x =的单调性，并给出证明；(2)若()f x 的反函数为1()f x -,证明对任意的自然数(3)n n ≥,都有1()1nf n n ->+； (3)若()F x 的反函数1()F x -,证明方程1()0F x -=有惟一解.分析：第（1）问先具体化函数()y F x =后，再判断单调性，而判断单调性有定义法和导数法两条途径；第（2）问先具体化1()f n -，再逐步逆向分析，寻找不等式的等价条件，最后转化为不等式212nn >+的证明问题；第（3）问应分“存在有解”和“唯一性”两个方面证明. 解析：（1）∵21()log 1x f x x +=-，1()()2F x f x x =+- ∴211()log 12x F x x x+=+-- ∴函数()y F x =的定义域为(1,1)-.解法一：利用定义求解设任意1x ，2x (1,1)∈-，且12x x <，则21()()F x F x -＝212222111111(log )(log )2121x x x x x x +++-+---- ＝212221211111()(log log )2211x x x x x x ++-+-----＝211221212(1)(1)log (2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++--+- ∵210x x ->，120x ->，220x -> ∴1212(1)(1)0(1)(1)x x x x -+>+-∴211221212(1)(1)log 0(2)(2)(1)(1)x x x x x x x x --++>--+- ∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数解法二：利用导数求解∵211()log 12x F x x x+=+--∴()F x '＝22121(1)ln 2(1)(2)x x x x -⨯++--＝2221ln 2(1)(2)x x +⨯--又∵11x -<< ∴()F x '＝22210ln 2(1)(2)x x +>⨯--∴函数()y F x =在(1,1)-上是增函数 (2) 由21()log 1x f x x +=-得121y x x +=-，即2121y y x -=+ ∴121()21x x f x --=+（x R ∈）∴121()21n n f n --=+＝2121n -+∵1111n n n =-++∴证明不等式1()1n f n n ->+（3n ≥），即证222122n n <++，也即证212nn >+（3n ≥）以下有两条求证途径：解法一：利用数学归纳法求证①当3n =时，不等式显然成立. ②设n k =时成立，即212kk >+当1n k =+时，12222(12)k k k +=⨯>+＝42222k k k +=++232(1)1k k >+=++ ∴当1n k =+时不等式也成立.由①②可知，对利用大于或等于3的自然数都有212nn >+成立.∴证明不等式1()1nf n n ->+（3n ≥）解法二：利用放缩法求证∵2(11)112221n n n n n n =+=++++=+>+…∴等式1()1n f n n ->+（3n ≥）故：1()1n f n n ->+ (3)∵ 211(0)log 122F =+= ∴11()02F -=，即12x =是1()0F x -=的一个根.假设1()0F x -=另外还有一个解0x （012x ≠），则10()0F x -=∴0(0)F x = (012x ≠)，这与1(0)2F =相矛盾故1()0F x -=有惟一解.【方法探究】证明不等式的方法很多，其中分析法和综合法是最基本的方法.分析法由果索因，优点是便于寻找解题思路，而综合法由因索果，优点是便于书写，所以我们在求解过程中，常常两种方法联合作战，从而衍生出“分析综合法”，在本例第（2）问以及下例第（2）问都中有所体现.【技巧点拨】对于压轴题，大多数同学都不能完全解答，如何更好发挥，争取更好的成绩？“分步解答”、“跳步解答”与“解准第一问”是很实用的夺分技巧，其中分析综合题的各小问之间的关系是非常关键.从各小问之间的相互关系来分，数学综合题有以下三类：（1）递进型递进型解答题是指前问是后问的基础，只有前问正确解答，才能准确求解后问，若第（1）问出错，则可能“全军覆没”，这也是相当多同学不能很好发挥其数学水平的重要原因.对于这类题目，“解准第一问”是至关重要，不容丝毫的马虎.（2）并列式并列型解答题是指前问与后问关联性不强，前问是否正确，不会影响后问作答，如本例的三个问题.但这类题目也容易丢分，同学们在作答时，常常因为前问不会答而放弃后问的分析与思考，这时“跳步解答”非常关键.（3）混合式混合型解答题是指解答题有三个及其以上的小问，兼有以上两种类型的特点，答题时注意“分步解答”，如本例万一不会求解第（2）问，具体化1()f n -是没有问题的，争取得到一定的步骤分.【调研2】已知函数22()ln f x x a x x=++（0x >），()f x 的导函数是()f x '对任意两个不相等的正数1x 、2x 求证：（1）当0a ≤时，1212()()()22f x f x x xf ++>；（2）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-. 分析：本例以高等数学的函数凸凹性、一致连续性、中值定理等知识为内核，综合考查函数的基本性质、导数求函数极值和均值不等式等知识的应用，考查综合分析、推理论证以及运算能力.第（1）问先根据题设条件具体化12()()2f x f x +、12()2x x f +的表达式，再对二者进行比较，可以逐项比较，也可以作差比较；第（2）问先具体化12()()f x f x ''-，再逐步逆向分析，采用分析法寻找解题思路，至于书写可用分析法，也可以用综合法. 解析：（1）∵()22ln f x x a x x =++∴()()()()1222121212111ln ln 222f x f x a x x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ ()2212121212x x x x a x x +=+++2121212124ln 222x x x x x x f a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 以下有两条求解途径：解法一：逐项比较法122x x +<∴12ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln 2x x a a + ………………………………①∵()()22222212121212112242x x x x x x x x +⎛⎫⎡⎤+>++= ⎪⎣⎦⎝⎭……………………………………② 又∵()()2221212121224x x x x x xx x +=++> ∴1212124x x x x x x +>+ ………………③ 由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++++ ⎪+⎝⎭∴ ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭解法二：作差比较法()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭＝()22212121212121214[[()ln ]222x x x x x x x x a a x x x x ++++++-+++＝22212121212121214[()()]()(ln )222x x x x x x x x a a x x x x ++++-+-++＝221212121212()1()4()x x x x a x x x x --+++ ∵12x x ≠，且10x >，20x > ∴2121()04x x ->，2121212()0()x x x x x x ->+，1201<<∵0a ≤∴12ln0a ≥∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭＝221212121212()1()04()x x x x a x x x x --++>+ 故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭0>（2）证法一：分析综合法由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x ax x x x x x +-⋅+- 欲证()()''1212f x f x x x ->- ，只需证()12221212221x x ax x x x ++->即证()1212122x x a x x x x +<+成立 ∵()121212122x x x x x x x x ++>+设t =，()()240u t t t t =+>，则()242u t t t '=- 令()0u t '=得t =()4u t a ≥=>≥ ∴()1212122x x x x a x x ++> ∴对任意两个不相等的正数12,x x ，恒有()()''1212f x f x x x ->-证法二：综合法1 对于任意两个不相等的正数1x 、2x 有()1212122x x x x x x ++>12x x＝12x x +3≥3 4.5a >> ∴ ()12221212221x x a x x x x ++->而()'222a f x x x x =-+ ∴()()12f x f x ''-＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+-12x x >- 故：()()''1212f x f x x x ->- 证法三：综合法2由()22ln f x x a x x =++，得()'222a f x x x x=-+ ∴()()''12f x f x -＝122211222222a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()121222121222x x a x x x x x x +-⋅+- ∵12,x x 是两个不相等的正数∴()()123221212122422x x aax x x x x x ++->+-()312442x x ≥+-设t =，()()322440u t t t t =+->，则()()'432u t t t =-，列表： ∴38127u => 即 ()12221212221x x ax x x x ++-> ∴()()()12''12121222121222x x af x f x x x x x x x x x +-==-⋅+->- 【方法探究】本例以高等数学中的函数凸凹性与中值定理为知识载体，所以也可以采取高等数学方法求解：（1）当0a ≤时，求证1212()()()22f x f x x xf ++>，联系凹（下凸）函数性质知，只需证明当0a ≤时，只需证明22()ln f x x a x x=++（0x >）为凹函数或下凸函数. 即证明“函数)(x f 的二阶导数恒大于0”其具体证明如下：∵22()ln f x x a x x =++（0x >）∴22()2a f x x x x '=-+，324()2a f x x x''=+-∵0x >，0a < ∴324()20af x x x''=+->在(0,)x ∈+∞时恒成立.∴22()ln f x x a x x =++（0x >）为凹函数故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（2）为证明|||)()(|2121x x x f x f ->'-'，可以考虑对函数()f x 的导函数是()f x '在闭区间12[,]x x （或21[,]x x ）上应用中值定理，具体证明过程如下：不妨设210x x >>，则由（1）问知22()2a f x x x x '=-+，324()2af x x x''=+-，在闭区间12[,]x x 上，由中值定理有，存在[]21,x x ∈ξ，使得： ))(()()(2121x x f x f x f -''='-'ξ.下证当4a ≤，0ξ>时，有()1f ξ''>成立∵324()2a f x x x ''=+-∴当0a ≤，0x >时，有324()22af x x x ''=+->恒成立当04a <≤，0x >时，令324()2()a f xg x x x ''=+-=，则34212()a g x x x'=-再令34212()0a g x'=-=，得6x =列表如下：即当04a <≤，0x >时，有33324438()222110810827a a f x x x ''=+-≥->-=>∴1)(04>''>≤ξξf a 时，有，当，有212121)()()(x x x x f x f x f ->-⋅''='-'ξ故()()''1212f x f x x x ->-1.已知32()2f x x bx cx =+++（1）若()y f x =在1x =时有极值－1，求b ，c 的值.（2）当b 为非零实数时，证明()f x 的图像不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线；（3）记函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ，求证32M ≥. 2.已知函数()ln(1)(1)x f x a e a x =+-+，2()(1)(ln )g x x a x f x =---且()g x 在1x =处取得极值. (1)求a 的值和()g x 的极小值； (2)判断()y f x =在其定义域上的单调性, 并予以证明；(3)已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在函数()y f x =的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证△ABC 是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．【参考答案】解析：（1）∵32()2f x x bx cx =+++ ∴2()32f x x bx c '=++ 由()f x 在1x =时有极值－1有(1)320(1)121f b c f b c '=++=⎧⎨=+++=-⎩，解之得15b c =⎧⎨=-⎩当1b =，5c =-时，2()325f x x x '=+-当1x >时，()0f x '>，当513x -<<时，()0f x '< 从而符合在1x =时，()y f x =有极值 ∴1b =，5c =-（2）假设()y f x =图象在x t =处的切线与直线2()10b c x y -++=平行，则 ∵2()32f t t bt c '=++，直线2()10b c x y -++=的斜率为2c b -∴2232t bt c c b ++=-，即22320t bt b ++=∵0b ≠ ∴△＝2224(3)80b b b -=-<从而方程22320t bt b ++=无解，即不存在t ，使22()32f t t bt c c b '=++=-∴()y f x =的图象不存在与直线2()10b c x y -++=平行的切线.（3）证法一：分类讨论∵|()|f x '＝22|3()()|33b b xc ++-∴①若||13b ->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②当30b -≤<时，2|(1)||()|3b M f f ''≥-+-＝2|32|||3b b c c -++-2|23|3b b ≥-+＝21|(3)|3b -3> ∴32M ≥ ③当03b <≤时，2|(1)||()|3b M f f ''≥+-＝2|32|||3b bc c +++-2|23|3b b ≥++＝21|(3)|3b +3> ∴32M ≥综上所述，32M ≥成立.证法二：利用二次函数最值求解2()32f t t bt c '=++的顶点坐标是（3b -，332b c -），①若||13b->，则M 应是|(1)|f '-和|(1)|f '中最大的一个 ∴2|(1)||(1)|M f f ''≥-+＝|32||32|b c b c -++++|4|b ≥12> ∴362M >≥②若||13b -≤，则M 应是|(1)|f '-、|(1)|f '、|332b c -|中最大的一个（1）当32c ≥-时，2|(1)||(1)|M f f ''≥-+|(1)(1)|f f ''≥-+＝|62|3x +≥ ∴32M ≥ （2）当32c <-时， 23||3c b M -≥＝2332b c c -≥->综上所述，32M ≥成立. 证法三：利用绝对值不等式的性质∵函数|()|f x '（11x -≤≤）的最大值为M ∴|(1)|M f '≥-，|(1)|M f '≥，|(0)|M f '≥∴4|(1)||(1)|2|(0)|M f f f '''≥-++|(1)(1)2(0)|f f f '''≥-+-＝6 ∴32M ≥ 2.解析：（1）∵2()(1)(ln )g x x a x f x =---∴1()2(1)1a a g x x a x x+'=---++（0x >） ∵()g x 在1x =处取得极值 ∴(1)2(1)102ag a a '=---++=，即8a =∴()8ln(1)9xf x e x =+- 2()78ln(1)9ln g x x x x x =--+-89(1)(3)(23)()271(1)x x x g x x x x x x --+'=--+=++（0x >）令(1)(3)(23)()0(1)x x x g x x x --+'==+得1x =或3x =当13x <<时，()0g x '<，当01x <<时，()0g x '>当3x >时，()0g x '> ∴当3x =时，min ()9ln38ln 412g x =-- （2）∵()8ln(1)9x f x e x =+-∴89()9011xx xe f x e e--'=-=<++恒成立，即函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. （3）设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，且123x x x <<，则123()()()f x f x f x >>，1322x x x +=∴1212(,()())BA x x f x f x =+-，3232(,()())BC x x f x f x =-- ∴12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ⋅=--+-⋅-∵120x x -<，320x x ->，12()()0f x f x ->，32()()0f x f x -< ∴0BA BC ⋅< 故B 为钝角，△ABC 为锐角三角形.另一方面，若ABC ∆为等腰三角形，则只能是BA BC = 即222212123232()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x -+-=-+- ∵2132x x x x -=-，221232[()()][()()]f x f x f x f x -=- ∴1223()()()()f x f x f x f x -=-，即13)()()f x f x f x =+22(∵()8ln(1)9x f x e x =+- ∴21221316ln(1)188[ln(1)(1)]9()x x xe x e e x x +-=++-+ ∴132122ln(1)ln(1)x x x x xe e e e ++=+++，即22122222x x x x x e e e e e +=++∴3212x x x ee e =+，但与3122x x x e e e +≥==相矛盾，所以ABC ∆不能为等腰三角形.综上所述，△ABC 是钝角三角形，但不可能是等腰三角形.第二讲递推数列、数学归纳法型压轴题数列和数学归纳法是初等数学与高等数学的最重要衔接点之一，是中学数学的重要组成部分，涉及知识面广、综合性强、方法灵活、试题新颖、技巧性突出，蕴含函数与方程，等价转化、分类与整合等数学思想以及错位相减法、归纳－猜想－证明、叠加（乘）法、叠代法、裂项法等大量的数学方法，是代数计算与逻辑推理训练的重要题材，因而这类题目多以压轴题的形式出现，成为高考的重头戏之一.【调研1】已知函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+.若1()12f =，(2)n n f a n-=（n N *∈），求①.数列{}n a 的通项公式；②.数列{}n a 的前n 项和为n S ，问是否存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，则说明理由.分析: 求解本题的关键在于准确求解第（1）小问，所以准确化简(2)n f -成为求解本例的焦点.大致有以下三条途径：①.由已知条件()()()f a b af b bf a ⋅=+探索)(n a f 的规律，最后用数学归纳法证明； ②.将所给函数关系式适当变形, 根据其形式特点构造另一个函数, 设法用此函数求出)(n a f ； ③.设法将(2)n f -转化为熟悉的数列. 解析:（1）解法一：“归纳－猜想－证明”法∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+∴2()f a ＝()()a f a a f a ⋅+⋅＝2()a f a ⋅3()f a ＝22()()a f a a f a ⋅+⋅＝22()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝23()a f a 4()f a ＝33()()a f a a f a ⋅+⋅＝233()()a a f a a f a ⋅⋅+⋅＝34()a f a猜想1()()n n f a na f a -=⋅ （n N *∈）现在用数学归纳法证明： ①.显然1n =时，左边＝()f a ，右边＝111()a f a -⨯⋅＝()f a ∴1n =时，命题1()()n n f a na f a -=⋅显然成立. ②.设n k =（*k N ∈）时有1()()kk f a kaf a -=⋅当1n k =+时 ∵()()()f a b af b bf a ⋅=+∴1()k f a +＝()k f a a ⨯＝()()k k a f a a f a ⋅+⋅＝1()()k k a f a a ka f a -⋅+⋅⋅＝()()k k a f a ka f a ⋅+⋅＝(1)()k k a f a +⋅∴1n k =+时，命题1()()n n f a na f a -=⋅成立.由①②可知，对任意n N *∈都有1()()n n f a na f a -=⋅（n N *∈）成立.又∵1()12f =∴11111[()]()()(2)1222()2n n nn n f n f f a n n n ---⋅====故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -解法二：构造函数法 ∵当0≠⋅b a 时，有()()()f a b af b bf a ⋅=+ ∴bb f a a f ab ab f )()()(+= 令()()f x g x x =，则bb f a a f ab ab f )()()(+=即为: ()()()g ab g a g b =+∴()()ng a n g a =⋅ 即()()n nf a ng a a=⋅ ∴1()()()()nnnn f a f a a n g a a n na f a a-=⋅⋅=⋅⋅=⋅，即1()()n n f a na f a -=⋅余下的过程同解法一. 证法三: 转化为特殊数列求解∵对于任意的R b a ∈,, 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+，1()12f =∴1[()]2n f ＝111[()]22n f -⨯＝111111[()]()()2222n n f f --⨯+⨯＝11111[()]()222n n f --⨯+即1[()]2n f ＝11111[()]()222n n f --⨯+ ∴1111[()][()]222()()22n n n n f f --=+ ∴新数列1[()]21()2n n f ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为2，首项为1()2212f =的等差数列，即1[()]221()2n n f n = ∴11()2(2)12()2n nn n n f a n n --⨯=== 故数列{}n a 的通项公式n a ＝11()2n -.（2）假设存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，则由（1）问可知111()2n n S -=-，所以1141()23n m ---<恒成立∴413m -≥，即7m ≥ 故存在正整数m ，使得对任意的*n N ∈都有43n m S -<成立，此时m 的最小值为7.【方法探究】本例是已知抽象函数关系, 利用函数迭代求数列通项问题.在所给的三种方法之中, 解法一利用“归纳－猜想－证明”求解，思路自然, 但较为繁琐；解法二利用构造函数法求解，比较简洁，但技巧性强；解法三转化为特殊数列求解，思维跨度大.这三种证法反应出求解数列与函数综合题的共同规律: 充分应用已知条件变形转化, 根据其形式特点构造新的数列, 然后利用数列的性质求解.【调研2】已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较nb 1与1+n S 的大小. 分析：（1）由方程027122=+-x x 可求2a 、5a ，从而得到等差数列{}n a 的通项；由公式1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n b 的通项.（2）要比较n b 1与1+n S 的大小，应先由（1）问具体化nb 1、1+n S ，再求出前几项，探索大小规律，最后用数学归纳法证明.解析：（1）∵2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，公差d 大于0∴2a =3，5a =9，即5223a a d -==，11a = ∴21n a n =-（*n N ∈） ∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-=（*n N ∈）∴当1n =时，111112T b b ==- ∴321=b当2≥n 时，∵n n b T 211-= ∴111122n n n n n b T T b b --=-=-∴113n n b b -=（2n ≥），即1212()333n n n b -==故21n a n =-，1212()333n n n b -==（2）解法一：归纳－猜想－证明由（1）可知2[1(21)]2n n n S n +-==，132n n b = ∴21(1)n S n +=+ 当1n =时，1132b =，24S = ∴211S b <当2n =时，2192b =，39S = ∴321S b <当3n =时，31272b =，416S = ∴431S b <当4n =时，41812b =，525S = ∴541S b >当5n =时，512432b =，636S = ∴651S b >猜想：4≥n 时，11+>n n S b以下用数学归纳法证明：（1）当4n =时，由上可知成立.（2）设n k =（*,4k N n ∈≥）时，11+>k kS b ，即2)1(23+>k K 当1n k =+时，11k b +＝132k +＝332k ⋅23(1)k >+2363k k =++＝22(44)221k k k k ++++-2(1)1[(1)1]k k S ++>++=∴当1n k =+时，11+>n nS b 成立.由（1）（2）知n N *∈，4n ≥时，11+>n n S b .综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b .解法二：放缩法证明当1n =，2，3时，同以上解法当n N *∈，4n ≥时1nb ＝32n ＝1223311(12)(1222)22n n n n C C C +>+⋅+⋅+⋅＝1(1)(1)(2)[1248]226n n n n n n ---++⋅+⋅ ≥18[126(1)]23n n n n +++-＝281636n n ++221n n >++1n S += 综上所述，当1n =，2，3时，11+<n n S b ，当4≥n 时，11+>n nS b . 【方法探究】通过对有限个特例进行考察，猜想一般的结论，然后运用数学归纳法证明，即“观察――猜想――证明”，这是中学数学中重要的解题方法，可有效解决探索性问题、存在性问题或某些与自然数有关的命题，在求解时注意“猜想大胆、求证小心”.【技巧点拨】放缩法是证明不等式的常用方法，过程简洁，但有一定难度，犹如花中的玫瑰，美丽但有刺. 成功运用放缩法求证的关键在于把握放缩尺度，在平时训练中注意多积累与整理.常见的放缩技巧有：（1）添项或减项的“添舍放缩”，如本例12233113(1222)22n n n n C C C ⨯>+⋅+⋅+⋅，只取(21)n +的二项展开式的前四项进行放缩；（2）拆项对比的“分项放缩”；（3）运用分数的性质放缩，如①分子增加正数项或分母减少正数项，分数值变大，反之变小；② a, b, m 都是正数并且a b <，有a a mb b m+<+（真分数的性质）等. （4）运用不等式串)1(11)1(12-<<+n n n n n 放缩，如在第3讲例2第（2）问中求证23π<n T 时，运用该技巧放缩后，再裂项相加求解.类似的不等式有2()4a b ab +≤≤ 222a b +，<<等. 1.已知函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及C （n S n ,），n S 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈. （1）求n S 及n a ；（2）若数列{}n b 满足22log 1n n b a =+，记11122334111111ni i i n n b b b b b b b b b b =++=++++∑（*n N ∈）求证：1111132n i i i bb =+≤<∑. 2.第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中OA ＝AB ＝BC ＝CD＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ＝HI ＝1.若将图2的直角三角形继续作下去，并记OA 、OB 、… 、OI 、…… 的长度所构成的数列为{}n a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若函数22212111()nf n n a n a n a =+++++…+，求函数()f n 的最小值；（3）设11n n nb a a +=+，数列｛n b ｝的前n 项和为n S .解不等式|2|4n S -≥3.已知一次函数)(x f 的反函数为)(x g ，且(1)0f =，若点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，11=a ，对于大于或等于2的任意自然数n 均有111=--+n nn n a a a a . （1）求)(x g y =的表达式；（2）求}{n a 的通项公式；O AB C DE F G H I图1图2（3）设)!2(!4!321++++=n a a a S n n ，求lim n n S →∞. 4.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.【参考答案】1.解析：（1）∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过点A （1，1）、B （2，3） ∴2143m t m t +=⎧⎨+=⎩ 解之得11m t =⎧⎨=-⎩ ∴()21x f x =-∵函数()2x f x m t =⋅+的图象经过C （n S n ,） ∴21n n S =-（*n N ∈） ∴当1n =时，111S a ==当2≥n 时，111222n n n n n n a S S ---=-=-= ∵当1n =时，满足12n n a -= ∴数列{}n a 的通项为12n n a -= 故：12n n a -=，21n n S =-（*n N ∈）（2）由（1）可知121)1(21log 22-=+-=+=n n a b n n ，则∴11n n b b +＝1(21)(21)n n -+＝111()22121n n --+∴111ni i i b b -+∑＝12233411111n n b b b b b b b b +++++＝11111111(1)2335572121n n -+-+-++--+＝11(1)221n -+（*n N ∈） ∵11(1)221n -+在*n N ∈上单调递增 ∴当1n =时min 11(1)221n -+＝13 ∵1021n >+ ∴111(1)2212n -<+ 综上可得∑=+<≤n i i i b b 11211312.解析：（1）由题意有2211n n a a+=+∴ 21(1)1n a n =+-⨯＝n 即n a （2）∵22212111()n f n n a n a n a =+++++…+∴1111()1232f n n n n n =++++++…+ 111111(1)23322122f n n n n n n n +=++++++++…+++ ∴111(1)()21221f n f n n n n +-=-++++＝1102122n n >++- ∴(1)()f n f n +> 即函数()y f n =是递增数列∴()y f n =的最小值为11(1)112f ==+ （3）∵11n n n b a a +===+∴1)n S =++…1 ∴|2|4n S -≥即为2|4≥ 解之得48n ≥且n N ∈3.分析：由)(x g 为一次函数)(x f 的反函数得)(x g 也为一次函数，所以可设()g x kx b =+；由(1)0f =得(0)1g =，从而有1b =；由“点1(,)n n na A n a +（n N *∈）在曲线)(x g y =上，且111=--+n nn n a a a a ”确定斜率k ，一旦直线)(x g y =的解析式确定，剩下的问题水到渠成. 解析：（1）∵)(x f 为一次函数，且)(x g 为其反函数 ∴设b kx x g +=)( 由(1)0f =得(0)1g =，即1)(+=kx x g ∵()1g n kn =+且1(,)n n n a A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上，且111=--+n n n n a aa a ∴1)1(112=-+-=+++nn a a a a k nn n n ∴1)(+=x x g （2）∵1(,)n n na A n a +（n N *∈）均在直线b kx x g +=)(上 ∴11+=+n a a nn ∴当*N n ∈时，12121(1)(2)n n n n a a an n n a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯-⨯-⨯…21＝n!（3）n S ＝123!4!(2)!n a a a n ++++＝1!2!!3!4!(2)!n n ++++…＝1112334(1)(2)n n +++⨯⨯++…＝111111233412n n -+-++-++＝1122n -+ ∴lim n n S →∞＝11lim()22n n →∞-+＝124.已知数列{}n a 与{}n b 满足下列关系：12a a =（0a >），211()2n n na a a a +=+，n n n a ab a a +=-（n N *∈）（1）求数列{}n b 的通项公式，并化简aa aa n n --+1；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2≥n 时，n S 与a n )34(+是否有确定的大小关系？若有，请并加以证明，若没有，请说明理由.4.解析：（1）∵n n n a a b a a +=-（n N *∈），211()2n n na a a a +=+∴1n b +＝11n n a a a a +++-＝331()21()2n n n na a aa a a a a +++-＝22()()n n a a a a +-＝2n b 0> ∴1lg 2lg n n b b += ∵1113a a b a a +==- ∴1lg (lg3)2n n b -=⋅，即123n n b -= ∴11223131n n n a a --+=-故1n n a a a a +--＝2n n a a a-＝1n b +＝1231n -+（2）当2≥n 时，1n a a +-＝1231n n a a --+≤1()10n a a -（当且仅当2n =时取“＝”） ∴321()10a a a a -≤-，431()10a a a a -<-，……，)(1011a a a a n n -<-- ∴])2([101)2(1121a n a S a n a a S n n ---<----- ∵12a a =，254a a = ∴651010(2)2(2)2n n n S a n a S a a n a ---<---- ∴11226131[(2)]189(31)n n n S n a --+<-+--251()189n a <+-23()18n a =+4()3n a <+故4()3n S n a <+.第三讲解析几何型压轴题解析几何综合题是高考命题的一个热点内容，这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、向量、数列等知识，涉及知识点多，综合性强，题目多变，解法灵活多样，能较好体现高考的选拔功能，因此这类题目常常以压轴题的形式出现.求解这类题目，注意在掌握通性通法的同时，从宏观上把握，微观上突破，在审题和解题思路上下功夫，不断跨越求解征途中可能会遇到的一道道运算难关，最终达到求解目的.【调研1】若1F ，2F 为双曲线22221b y a b -=的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线上，且满足1F O PM =，11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=.（1）求此双曲线的离心率；（2）若此双曲线过点N ，求双曲线的方程；（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为1B ，2B （1B 在y 轴的正半轴上），过2B 作直线AB 与双曲线交于A ，Ｂ两点，求11B A B B =时，直线的方程. 分析：弄清向量表达式11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=是求解本题的关键！由向量的数量积定义可知cos ,OP OM <>＝1cos ,OF OP <>，即OP 是1F OM ∠的角平分线，联系1F O PM =可判断四边形1OMPF 是菱形.解析：（1）由1F O PM =知四边形1PFOM 是平行四边形又由11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=知OP 平分1F OM ∠ ∴四边形1PFOM 是菱形设焦半距为c ，则有11OF PF PM c === ∴2122PF PF a c a =+=+ 由双曲线第二定义可知21PF e PM =，即2c aec+= ∴2e =（1e =-舍去）（2）∵2ce a== ∴2c a = ∴双曲线方程为222213x y a a -=又∵双曲线过点N ∴224313a a -=，即23a = ∴所求双曲线的方程为22139x y -=（3）由题意知()10,3B ，()20,3B -，则设直线AB 的方程为3y kx =-，()11,A xy ，()22,B x y则由223139y kx x y=-⎧⎪⎨-=⎪⎩有()2236180k x kx -+-= ∵双曲线的渐近线为y = ∴当k =时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠∵12263k x x k +=-，122183x x k -⋅=- ∴()121221863y y k x x k -+=+-=-，()212121299y y k x x k x x ⋅=-++= 又∵()1113B A x y =-，，()1223B B x y =-，∵11B A B B ⊥∴()121212390xx y y y y +⋅-++=即221818939033k k --+-⋅+=-- ∴k = ∴直线AB 的方程为3y =-【方法探究】平面向量是高中数学新增内容，兼有代数和几何特性，是高中数学应用最广泛的数学工具之一，解析几何是高中数学的传统重点内容，是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近三年来新高考的一个新亮点.这类综合问题大致可分三类：（1）平面向量与圆锥曲线符号层面上的整合问题：这类题目是平面向量和圆锥曲线的简单拼盘，在平面向量刚进入高考时，比较常见，近来比较少；（2）平面向量与圆锥曲线知识层面上的整合问题：用平面向量语言包装解析几何中元素的关系，试题情境新颖，结合点选取恰到好处，命题手法日趋成熟，如本例求解过程中，明确向量式“1F O PM =”与“11OF OP OP OM OP OMOF OP⋅⋅=”含义，还原几何元素“菱形1PFOM ”是求解关键；（3）平面向量与圆锥曲线应用层面的整合问题：以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题，这类问题往往更具有挑战性. 【调研2】在xoy 平面上有一系列点111(,)P x y ，222(,)P x y ，……，(,)n n n P x y ……，对每个自然数n ,点n P 位于函数)0(2≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 )(N n ∈．（1）求证数列}1{nx 是等差数列；（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +⋅⋅⋅++=21, 求证：23π<n T 分析：本题是数列与圆锥曲线的综合题，求解过程有两个关键点：①.由⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，从而构建关于n x 的递推关系式，突破的办法是具体化已知条件 “⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切”为1n n P P +1n n r r ++＝1n n y y ++； ②.经过一系列演算后得到222111]35(21)n T n =++++-，如何放缩？放缩度是把握问题的关键.解析：（1） ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切∴11n n n n P P r r ++=+1n n y y +=+ 两边平方并化简得1214)(++=-n n n n y y x x依题意有⊙n P 的半径2n n n x y r ==，22211()4n n n n x x x x ++-=⋅∵10n n x x +>> ∴112++=-n n n n x x x x ，即1112()n nn N x x +-=∈ ∴ 数列}1{n x 是以111x =为首项，以2为公差的等差数列. (2) 由（1）问有111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-∴2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-， n n S S S T +⋅⋅⋅++=21])12(151311[222-++++=n π ≤])12()32(15313111[-⋅-++⋅+⋅+n n π ＝)]}121321()5131()311[(211{---++-+-+n n π ＝)]1211(211[--+n π< 【方法探究】在04年的湖南、上海、浙江卷， 05年的上海、浙江卷，06年的重庆、山东、湖北、浙江等卷都有数列与解析几何的综合问题.这类题综合性强，可以从数与形的两个角度考查理性思维能力以及函数与方程、数形结合、特殊化与一般化等数学思想.这类试题大多以点列的形式出现的，一个点的横，纵坐标分别是某两个不同数列的项，而这两个数列又由点所在的曲线建立联系，从而数列的代数特征与曲线的几何性质熔合.求解这类题目关键在于利用曲线性质建立数列的递推式，转化为代数问题求解.【技巧点拨】数列的判断与证明是数列的常考点，其求解过程常常从数列通项或递推式入手，通常有两种方法：①.定义法证明数列每项与它的前项之差（比）是同一个常数，即证1n n a a +-＝d ，d 为常数（1n na a +＝q ，q 为不等于零的常数）；②.中项法证明每一项都是它的前一项和后一项的等差（比）中项，即证122n n n a a a ++=+（221++⋅=n n n a a a ）.【调研3】在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2F的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A ，B ，且向量OM OA OB =+.求：（1）点M 的轨迹方程；（2）OM 的最小值.分析：求解本例可以根据以下步骤进行：①求立椭圆的方程，得到曲线Ｃ的方程； ②求过点Ｐ的切线方程，求出点Ａ、Ｂ的坐标；③运用相关点法求点M 的轨迹方程； ④具体化OM ，转化为函数最值问题求解.解析：∵椭圆的焦点为(10,F、(2F，离心率为2∴椭圆方程可写为22221y x a b +=（0a b >>），其中223a b ⎧+==，解之得24a =，21b =∴曲线Ｃ的方程为y =，y '=设在曲线Ｃ上的动点00(,)P x y (0<x 0<1)，则0y =∴过切点Ｐ的切线的斜率为0|x x k y ='==04x y -，过点Ｐ的切线的方程为 00004()x y x x y y =---+ ∵点,A B 是切线与x y 、轴的交点 ∴Ａ01(,0)x ，Ｂ04(0,)y设点Ｍ为(,)x y ，则由OM →=OA → +OB →得01x x =，04y y =∵点00(,)P x y在曲线Ｃ：0y =∴点M 的轨迹方程为22141x y +=（1x >，2y >） (2)由（1）问可知2y ＝2411x -＝2441x +- ∴2||OM ＝22x y +＝22441x x ++-＝224151x x -++-≥5＝9 （当且仅当22411x x -=-，即1x =>时取等号）故当x =|OM →|的最小值为3. 【高考前沿】切线是曲线的一个重要几何性质，而导数是求曲线切线的最有力的工具，所以从切线角度与圆锥曲线综合考查，这是高考的一个新趋势，大大丰富了解析几何的研究内容，可能成为以后高考的一个新热点.导数也是求解最值问题的最常用工具，常与解析几何交汇，以最值问题的形式出现，是高考常考常新的热点.1.P 、Q 、M 、N 四点都在中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F 的椭圆上，已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=，求四边形PMQN 的面积的最大值与最小值.2.设向量(1,0)i =,(0,1)j =，()a x m i y j =++,()b x m i y j =-+，且||||6a b +=，03m <<，0x >，y R ∈. (1)求动点(,)P x y 的轨迹方程；(2)已知点(1,0)A -，设直线1(2)3y x =-与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得13AB AC ⋅=？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 3.已知曲线C ：222(23)1k x k y k +-=+（k R ∈）. （1）若曲线C 是双曲线，求k 的取值范围；（2）若曲线C 是焦点在x（3）对于满足条件（2）的双曲线，是否存在过点B （1，1）的直线l ，使直线l 与双曲线交于M ，N 两点且B 是线段MN 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【参考答案】1.解析：∵椭圆的中心为坐标原点，离心率22=e ，左焦点)0,1(-F ∴椭圆方程为2212x y += ∵PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，0PF MF ⋅=∴直线PQ 和直线MN 都过椭圆的左焦点)0,1(-F不妨设PQ 的方程为1ky x =+，设11(,)P x y ,11(,)Q x y ，则12y y +22112ky x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴22(2)210k y ky +--= ∴12222k y y k -+=-+，12212y y k -⋅=+∴12PQ y y =-=22)2k k +==+ (1)当0k ≠时,MN 的斜率为1k-，同理可得221)12k MN k +=+故四边形面积222214(2)12252k k S PQ MN k k ++==++＝222212(5)2252k k k k ++-++＝222252k k-++ ∵222529k k ++≥ ∴222202952k k-≤-<++，即1629S ≤<(2) 当0k =时,MN 为椭圆的长轴,MN =PQ =∴122S PQ MN ==综合(1) (2)知,四边形PQMN 面积的最大值为2,最小值为169.2.解析：(1)∵(1,0)i =,(0,1)j =，||||6a b +=6=，即为点(,)P x y 到点(,0)m -与到点(,0)m 距离之和为6记1(,0)F m -，2(,0)F m （03m <<），则12||26F F m =<∴1212||||6||PF PF F F +=> 又∵0x > ∴P 点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆的右半部分.∵26a =，22c m =∴22229b a c m =-=-∴所求轨迹方程为222199x y m +=-（0,03x m ><<） (2)设11(,)B x y =，22(,)C x y = ∴11(1,)AB x y =+，22(1,)AC x y =+∴121212·()1AB AC x x x x y y =++++而12y y ⋅＝1211(2)(2)33x x -⋅-＝12121[2()4]9x x x x -++∴AB AC ⋅＝121212121()1[-2()4]9x x x x x x x x ++++++＝12121[107()13]9x x x x +++若存在实数m ,使得1·3AB AC =成立，则1212107()13=0x x x x +++………………………①高考数学第二轮复习压轴题21 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-+=0)(1992),-(31y 222x m y x x 得222(1)4(977)0m x x m --+-=…………………………② ∵0x > ∴22164(1)(977)0m m =--⋅->△，2124010x x m +=>-，21229-77010 m x x m =>- ∴2321940m =< 此时虽满足△>0，但21229-7728893080010 4040m x x m ==-<- ∴不存在符合题意的实数m ,使得1·3AB AC = 3.解析：（1）当1k =-、0k =或32k =时，曲线C 表示直线. 当1k ≠-且0k ≠且32k ≠时，曲线C 可化为22111223x y k k k k +=++-………………（1）方程（1）表示椭圆的充要条件是110223k k k k ++⋅<- ∴解之得302k << （2）∵ 曲线C 是焦点在x∴212k a k +=，2123k b k +=--，从而有211223312k k k k e k k++--==+ ∴ 1k = 故曲线C 的方程为22112x y -= （3）假设存在直线l ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12112122222121y x y x ∴0)(2122212221=---y y x x ，即121212122()()()()x x x x y y y y -+=-+ ∵B 是线段MN 的中点 ∴221=+x x ，221=+y y∴ 直线l 的斜率22121=--=x x y y k ，即直线l ：21y x =- 又直线l 与双曲线交于MN 两点，由⎪⎩⎪⎨⎧-==-1212122x y y x 得03422=+-x x ，此时0832416<-=⨯⨯-=∆，方程无实数根.即直线l 与双曲线12122=-y x 无交点. 故不存在满足条件的直线l .点评：本题易忽视直线m 与双曲线交于MN 两点的隐含条件0>∆，而得出存在直线l 为12-=x y 的错误结论.。

证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结函数的单调性是函数的一个重要性质，下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结，希望对大家有帮助！1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导。

如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。

注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。

（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数。

2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数有相同的.单调性。

4、y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。

简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值。

(2)比较函数值或自变量值的大小。

(3)解、证不等式。

(4)求参数的取值范围或值。

(5)作函数图象。

人教版高一数学《函数单调性的运用》教案

人教版高一数学《函数单调性的运用》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解函数单调性的定义，并能准确判断函数的单调性。

（2）学生能够熟练运用函数单调性解决比较函数值大小、解不等式等问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察函数图象、分析函数表达式，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。

（2）通过解决实际问题，让学生体会函数单调性在数学和实际生活中的应用，提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过解决问题的过程，培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。

二、教学重难点1、教学重点（1）函数单调性的定义和判断方法。

（2）利用函数单调性解决实际问题。

2、教学难点（1）函数单调性的证明。

（2）运用函数单调性解决复杂的不等式问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）展示函数图象，如一次函数 y ＝ x ＋ 1，二次函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 等，引导学生观察函数图象的上升和下降趋势。

（2）提问学生：如何用数学语言来描述函数图象的这种上升和下降趋势？从而引出函数单调性的概念。

2、讲解新课（1）函数单调性的定义设函数 f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或f(x₁) ＞ f(x₂)），那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是增函数（或减函数）。

强调定义中的关键词：定义域、区间、任意、都有。

（2）函数单调性的判断方法①图象法：观察函数的图象，图象上升为增函数，图象下降为减函数。

②定义法：设 x₁，x₂是给定区间上的任意两个自变量，且 x₁＜x₂，计算 f(x₂) f(x₁)，若 f(x₂) f(x₁) ＞ 0，则函数为增函数；若f(x₂) f(x₁) ＜ 0，则函数为减函数。

考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)

专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围．【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅，因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <．故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围．【解析】解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减，则对称轴14a -，解得3a-．故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域．【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=，则1a ，故选：D . 【点睛】关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=，设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥，任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去，所以1a =，故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±，故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<，解得：12a <，函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（） A ．2()()f a f a ，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-，所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换；（3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误；故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误；对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立，当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立；当1x <时，20x -<，且()0f x <，不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果【解析】由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=，可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减，由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立，所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=，所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________．【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >；当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤，所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。

利用单调性解不等式、比较大小的方法(解析版)

利用单调性解不等式、比较大小的方法利用单调性解不等式或比较大小，常需要构造函数，构造的函数一般与已知的不等式（推出构造函数的单调性）和所要解的不等式有关。

要构造函数的常见形式有三种。

⑴加乘型：题目常见形式 ⇒ 原函数 ⇒ 导函数 ()()'f x f x + ()x e f x ()()()''x x e f x e f x f x ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦()()'f x xfx + ()xf x ()()()''xf x f x xf x =+⎡⎤⎣⎦()()'nf x xfx + ()n x f x ()()()'1'n n x f x x nf x xf x -⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦⑵减除型：题目常见形式 ⇒ 原函数 ⇒ 导函数()()'f x f x - ()x f x e ()()()''x xf x f x f x e e -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()()'xf x f x - ()f x x ()()()''2f x xf x f x x x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()()'xf x nf x - ()n f x x ()()()''1n n f x xf x nf x x x +-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⑶带常数型：题目常见⇒ 原函数 ⇒ 导函数()()'f x f x k +± ()x x e f x ke ± ()()()''x xx e f x ke e f x f x k ⎡⎤⎡⎤±=+±⎣⎦⎣⎦()()'f x f x k -± ()x f x k e ()()()''x xf x k f x f x k e e -±⎡⎤=⎢⎥⎣⎦一、利用单调性解不等式例1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x xe f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0)(0)-∞+∞，，B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，分析：首先根据已知不等式()()1f x f x '+>和所要解不等式()3x xe f x e ⋅>+构造函数。

人教版高中数学必修二讲义专题07 函数单调性(解析版)

目录函数单调性 (2)模块一:函数单调性 (2)考点1:具体函数单调性判断与证明 (2)考点2:抽象函数单调性判断与证明 (3)考点3:已知单调性反求参 (5)模块二:复合函数单调性 (8)考点4:复合函数单调性判断 (9)课后作业: (9)专题07 函数单调性模块一:函数单调性1．一般地,设函数()y f x =的定义域为D ,区间I D ⊆:⑴ 增函数:如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数;⑵ 减函数:如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数;2．单调性:如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性,区间I 叫做()y f x =的单调区间．3．判断函数单调性的基本方法:⑴ 定义法:任取12x x ，,12x x <,判断12()()f x f x -的正负;⑵ 图象法:判断常见函数的单调性,包括一次函数、二次函数与反比例函数; ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．考点1:具体函数单调性判断与证明例1.（1）下列函数中,在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =-B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【参考解答】解:根据题意,依次详细分析选项: 对于A ,()3f x x =-为一次函数,在(0,)+∞上为减函数,不符合题意;对于B ,2()3f x x x =-为二次函数,在3(0,)2上为减函数,不符合题意;对于C ,1()f x x=-为反比例函数,在(0,)+∞上为增函数,符合题意;对于D ,()||f x x =-,当0x >时,()f x x =-,则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数,不符合题意; 故选:C ．（2）已知函数2()1xf x x =-．（1）求()f x 的定义域、值域利单调区间;（2）判断并证明函数()()g x xf x =在区间(0,1)上的单调性．【参考解答】解:（1）由10x -≠,得1x ≠,所以()f x 的定义域为(-∞,1)(1⋃,)+∞, 由22(1)22()22111x x f x x x x -+===+≠---,得()f x 的值域为(-∞,2)(2⋃,)+∞, ()f x 的单调递减区间为(,1)-∞和(1,)+∞（2）()g x 在(0,1)上是减函数,证明如下:22()()1x g x xf x x ==-,2224(1)22(2)()(1)(1)x x x x x g x x x ---'==--, (0,1)x ∈,()0g x ∴'<, ()g x ∴在(0,1)上是减函数．（3）试讨论函数2()1axf x x =-,(1,1)x ∈-的单调性（其中0)a >．【参考解答】解:设1x ,2(1,1)x ∈-,且12x x <,则: 1221121222221212()(1)()()11(1)(1)ax ax a x x x x f x f x x x x x -+-=-=----;⋯（3分） 1211x x -<<<;210x x ∴->,1211x x -<<,1210x x +>,2110x -<,2210x -<;∴21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -+>--;⋯（6分） 0a >时,12()()f x f x >;()f x ∴在(1,1)-上为减函数;⋯（12分）考点2:抽象函数单调性判断与证明例 2.1）定义在(0,)+∞的函数()y f x =满足对于任意的x,(0,)y ∈+∞,()()()2f x f y f x y +=++,当0x >时,()2f x >,其中f （3）3=．（1）判断函数()f x 的单调性并证明; （2）解不等式2(43)5f a a --<．【参考解答】（1）()f x 在(0,)+∞上是增函数．证明:对任意x ,y R ∈有()()()2f x f y f x y +=++, ()()()2f x y f x f y ∴+=+-,设12x x <,则210x x ->,则212111211121()()()()()()2()()2f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--, 当0x >时,()2f x >,∴当210x x ->时,21()2f x x ->,即2121()()()20f x f x f x x -=-->,则21()()f x f x >．即()f x 在(0,)+∞上是增函数．（2）f （3）3=,f ∴（3）f +（3）f =（6）2+,即f （6）3324=+-=, f （3）f +（6）f =（9）2+ f ∴（9）3425=+-=,即不等式2(43)5f a a --<等价为2(43)f a a f --<（9）, ()f x 在(0,)+∞上是增函数．∴不等式等价为22430439a a a a ⎧-->⎨--<⎩即26a a a ⎧⎪><⎨⎪-<<⎩,得2a -<<6a <<, 即不等式的解集为(2-⋃,6)． 2.已知函数()f x 满足对任意的x ,y R ∈,有()()()f xy f x f y =+．（1）求f （1）,(1)f -的值;（2）若函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数,f （2）1=,()(2)3f x f x +-,求x 的取值范围．【参考解答】解:（1）令1x y ==,则f （1）f =（1）f +（1）,所以f （1）0=, 又令1x y ==-,则(1)(1)(1)f f f -=-+-,所以(1)0f -=, （2）因为f （4）f =（2）f +（2）112=+=, 所以f （8）f =（2）f +（4）123=+=, 因为()(2)3f x f x +-,所以[(2)]f x x f -（8）, 因为()f x 在(0,)+∞上是增函数所以020(2)8x x x x >⎧⎪->⎨⎪-⎩,即0224x x x >⎧⎪>⎨⎪-⎩,所以{|24}x x <,所以不等式的解集为{|24}x x <．3）设定义在(0,)+∞上的函数()f x ,对于任意正实数a 、b ,都有()f a b f =（a ）f +（b ）1-,f （2）0=,且当1x >时,()1f x <．（1）求f （1）及1()2f 的值;（2）求证:()f x 在(0,)+∞上是减函数．【参考解答】解:（1）令1a b ==得f （1）f =（1）f +（1）1-,得f （1）1=, f （2）0=,1(2)2f f ∴⨯=（2）1()12f f +-=（1）,则10()112f +-=,得1()22f =（2）证明:设120x x <<,可得211x x >, 可得21()1x f x <, 由22211111()()()()1()x xf x f x f x f f x x x ==+-<, 可得函数()f x 在(0,)+∞上是减函数．考点3:已知单调性反求参例3.（1）已知函数2()(2)f x x k x =+-是[1,)+∞上的增函数,则k 的取值范围为( ) A ．(-∞,0]B ．[0,)+∞C ．(-∞,1]D ．[1,)+∞【参考解答】解:根据题意,函数2()(2)f x x k x =+-为开口向上的二次函数,其对称轴为22k x -=-,若函数2()(2)f x x k x =+-是[1,)+∞上的增函数, 则必有2102k k --⇒,即k 的取值范围为[0,)+∞; 故选:B ．（2）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1,3]上是单调函数,则实数m 的取值范围为．【参考解答】解:根据题意,2()(2)2f x x m x =-++为二次函数,其对称轴为22m x +=, 若()f x 在[1,3]上是单调函数,则有212m +或232m +, 解可得0m 或4m ,即m 的取值范围为0m 或4m ; 故正确答案为:0m 或4m ．（3）若函数2()1f x ax x a =+++在(2,)-+∞上是单调递增函数,则a 取值范围是( )A ．1(,]4-∞B ．1(0,]4C ．1[0,]4D ．1[,)4+∞【参考解答】解:根据题意,函数2()1f x ax x a =+++,分2种情况讨论:①,当0a =时,()1f x x =+,在R 上为增函数,符合题意;②,当0a ≠时,函数2()1f x ax x a =+++为二次函数,其对称轴为12x a=-, 若函数2()1f x ax x a =+++在(2,)-+∞上是单调递增函数, 则有0122a a>⎧⎪⎨--⎪⎩,解可得104a <; 综合可得:a 的取值范围为[0,1]4;故选:C ．例4.（1）设函数1()1ax f x x -=+,其中a 为常数,若函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递减函数,求a 的取值范围．【参考解答】设120x x <<,则120x x -<,110x +>,210x +>, 若使()f x 在(0,)+∞上是减函数,只要12()()0f x f x ->, 而121212(1)()()()(1)(1)a x x f x f x x x +--=++,所以当10a +<,即1a <-时,有12()()0f x f x ->, 所以12()()f x f x >,∴当1a <-时,()f x 在定义域(0,)+∞内是单调减函数,即所求实数a 的取值范围是(,1)-∞-．（2）已知函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1]3B ．1(0,)3C ．(0,1]3D ．[0,1)3【参考解答】解:由题意,()f x 在R 上是减函数,0x ∴<时2()1f x x ax =-+,其过定点(0,1),且0x <时是减函数,∴对称轴02ax =,① 又0x 时,()3f x x a =--,是减函数,函数23,0()1,0x a x f x x ax x --⎧=⎨-+<⎩是(,)-∞+∞上的减函数, 31a ∴,②又①②得103a ．故选:A ．（3）已知函数234,1(),1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-⎩．若函数()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围．【参考解答】解:若函数()f x 在R 上单调递增,则012341a a a a a>⎧⎪⎪⎨⎪+--⎪⎩,解得[1a ∈,2]．例5.（1）若函数()f x 是定义在[2-,2]上的减函数,且(1)(31)f a f a +<+,则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞B ．[1-,0)C ．(0,1]3D ．(0,)+∞【参考解答】解:根据题意,函数()f x 是定义在[2-,2]上的减函数,若(1)(31)f a f a +<+,则有23112a a -+<+, 解可得:10a -<,即a 的取值范围为[1-,0); 故选:B ．（2）已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧-<=⎨+⎩,若2(2)f a f->（a ）,则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞,1)(2-⋃,)+∞B ．(1,2)-C ．(-∞,2)(1-⋃,)+∞D ．(2,1)-【参考解答】解:22224,0(2)4,0()4,0(2)4,0x x x x x f x x x x x x ⎧⎧-<-+<==⎨⎨++-⎩⎩∴函数()f x 在R 上是增函数2(2)f a f->（a ）,22a a ∴->, (1)(2)0a a ∴-+<21a ∴-<<∴实数a 的取值范围是(2,1)-故选:D ．模块二:复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性,必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性, 函数[()]y f g x =的单调性如下表:小结:同增异减．考点4:复合函数单调性判断例6.函数y =( )A ．3(,]2-∞-B ．3[,)2-+∞C ．[0,)+∞D ．(-∞,3]-【参考解答】解:由题意,230x x +,可得0x 或3x -, 函数的定义域为(-∞,3][0-,)+∞,令23t x x =+,则y =在[0,)+∞上单调递增,23t x x =+,在(-∞,3]-上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,∴函数y =(-∞,3]-,故选:D ．（2）函数()f x =( ) A ．(-∞,1]-B ．(-∞,1]C ．[1,)+∞D ．(3,)+∞【参考解答】解:由题意可得函数的定义域为[3,)(+∞-∞⋃,1]-结合二次函数223t x x =--的性质可知,函数()f x 在(-∞,1]-单调递减,在[3,)+∞单调递增故选:A ．（3）函数2y =-的值域是 ,单调递增区间是．【参考解答】解:根据题意,函数2y = 设24t x x =-+,必有240t x x =-+,解可得04x , 必有04t ,则2042x x -+,则有02y ,即函数的值域为[0,2];又由24t x x =-+,必在区间[0,2]上为增函数,则[2,4]上为减函数,则函数()f x 的递增区间为[2,4];故正确答案为:[0,2];[2,4]．课后作业:1. 已知函数()mf x x x=+,且此函数图象过点(1,5)．（1）求实数m 的值;（2）判断函数()f x 在(0,2)上的单调性?并证明你的结论．【参考解答】解:（1）根据题意,函数()mf x x x=+,函数图象过点(1,5), 则有511m=+,解可得4m =, （2）根据题意,由（1）的结论,4()f x x x=+,函数()f x 在(0,2)上为减函数; 证明:设1202x x <<<, 则121212121212121244444()()()()()()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=+-+=-+-=-, 又由1202x x <<<,则120x x -<,1240x x -<, 则12()()0f x f x ->,故函数()f x 在(0,2)上为减函数．2. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数,对定义域内的任意x ,y 都满足()()()f xy f x f y =+, （1）求f （1）;（2）若f （2）1=,解不等式()(3)2f x f x +-．【参考解答】（1）令1x y ==,则(11)f f ⨯=（1）f +（1）f ⇒（1）0=; （2）211f =+=（2）f +（2）f =（4）,()(3)[(3)]f x f x f x x +-=-; ()(3)2f x f x +- 即[(3)]f x x f -（4）; ()f x 在(0,)+∞上是单调递增的; ∴(3)403430x x x x x -⎧⎪>⇒<⎨⎪->⎩, ∴不等式()(3)2f x f x +-的解集为{|34}x x <．3.函数2()(21)1f x x a x =+++在区间[1,2]上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A ．3[2-,)(+∞-∞⋃,5]2- B ．3(2-,)(+∞-∞⋃,5)2-C ．(-∞,3]2-D ．5[2-,3]2-【参考解答】解:根据题意,函数2()(21)1f x x a x =+++为二次函数,其对称轴为212a x +=-, 若()f x 在区间[1,2]上是单调函数,则有2112a +-或2122a +-, 解可得:32a -或52a -,即a的取值范围为3[2-,)(+∞-∞⋃,5]2-;故选:A．4.已知函数2(1)7(1)()(4)5(1)x a x xf xa x x⎧-++=⎨-+>⎩是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是．【参考解答】解:根据题意,函数2(1)7(1)()(4)5(1)x a x xf xa x x⎧-++=⎨-+>⎩是R上的减函数,必有112a +且40a-<且1(1)7(4)5a a-++-+,解可得13a,即a的取值范围为[1,3]．故正确答案为:[1,3]．5.已知()f x是定义在(1,1)-上的减函数,且(1)(21)f m f m->-,则m的范围是．【参考解答】解:根据题意,()f x是定义在(1,1)-上的减函数,且(1)(21)f m f m->-,则有121 111 1211m mmm-<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩,解可得:213m<<,即m的取值范围为2(3,1);故正确答案为:2(3,1)．。

【高中数学考点精讲】考点一函数的单调性的判断

考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。

（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。

（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。

由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。

注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。

（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。

第3讲函数的单调性和最值的处理途径(解析版)

第3讲函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-，由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差：任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

备战2023年高考数学二轮复习专题第二讲思想方法融会贯通

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一
二
三
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(2)(2021·山师附中调研)已知函数 h(x)＝xln x 与函数 g(x)＝kx－1 的图象在
区间1e，e上有两个不同的交点，则实数 k 的取值范围是( B )
A．1＋1e，e－1
B．1，1＋1e
C．(1，e－1]
D．(1，＋∞)
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[解析] (2)令 h(x)＝g(x)，得 xln x＋1＝kx，即1x＋ln x＝k．若方程 xln x－kx＋1＝0 在区间1e，e上有两个不等实根，则函数 f(x)＝ln x ＋1x与 y＝k 在区间1e，e上有两个不相同的交点，f′(x)＝1x－x12，令1x－x12＝ 0 可得 x＝1，当 x∈1e，1时，f′(x)＜0，函数是减函数；当 x∈(1，e]时，
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若 0＜x1＜x2＜1，则( C )
[即学即用]
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解析：设 f(x)＝ex－ln x(0＜x＜1)，则 f′(x)＝ex－1x＝xexx－1．令 f′(x)＝0，得 xex－1＝0．根据 y＝ex 的图象与 y＝1x的图象，可知函数 f(x)在(0,1)上不是单调函数，故 A，B 选项不正确．
为( B )
A．ea－1＜a＜ae C．ae＜ea－1＜a
B．ae＜a＜ea－1 D．a＜ea－1＜ae
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[解析] (1)设 f(x)＝ex－x－1，x＞0，则 f′(x)＝ex－1＞0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且 f(0)＝0，f(x)＞0， ∴ex－1＞x，即 ea－1＞a．又 y＝ax(0＜a＜1)在 R 上是减函数，得 a＞ae，从而 ea－1＞a＞ae．

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.★备考知考情1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.一、知识梳理《名师一号》P15注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性1.单调函数的定义专业整理专业整理2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间.注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么①1212()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；专业整理1212()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2、《名师一号》P16 问题探究问题2单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法:设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充)（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，专业整理则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数．（2）单调性的判断方法：《名师一号》P17 高频考点例2 规律方法定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数． 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0，则()1f x 为减(增)(减)函数．3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相同，则其复合函数f [g (x )]为增函数；若f (x )、g (x )的单调性相反，则其复合函数f [g (x )]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．专业整理函数单调性的应用《名师一号》P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．二、例题分析：（一) 函数单调性的判断与证明例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )(2)函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数．( )(3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( )答案： √ × √例1.（2）《名师一号》P16 高频考点例1（1）(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A.例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例1（2）判断函数f(x)＝axx＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．法一：定义法设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1＝ax1x2＋1－ax2x1＋1x1＋1x2＋1＝a x1－x2x1＋1x2＋1专业整理∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．法二：导数法注意：《名师一号》P17 高频考点例1 规律方法1.判断函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例1.《名师一号》P16 高频考点例2（1）求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；专业整理专业整理y ＝x －|1－x |＝⎩⎨⎧1，x ≥1，2x －1，x <1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例2（2）求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解析:令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3>0.则x <1或x >3.∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，∴y＝log13(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．注意：《名师一号》P17 高频考点例2 规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．例2.（2）(补充)21122log4log⎛⎫=-⎪⎝⎭y x x专业整理专业整理答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭练习:()222log log y x x =-答案：增区间：)+∞；减区间：(（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例1.（1）《名师一号》P17 特色专题典例(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0【规范解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.专业整理例1.（2）《名师一号》P17 特色专题典例(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)【规范解答】作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．注意:本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例1.(1)《名师一号》P17 特色专题典例(3)专业整理已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数x 1≠x 2，都有1212()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【规范解答】函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧ a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138.例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案][－14，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1 a ，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－1a≥4，解得－14≤a<0.综上所述－14≤a≤0.例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)专业整理[答案] C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减，则a的取值范围是？[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.专业整理专业整理例2.(3) （补充）若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]答案：A温故知新P23 第9题若函数()()212log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是《计时双基练》P217 基础7《计时双基练》P217 基础8、10 8、设函数()12+=+ax f x x a在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值范围是答案: [)1,+∞专业整理10、设函数()()=≠-x f x x a x a（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞内单调递减, 求a 的取值范围.答案: [)1,+∞（五）抽象函数的单调性例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足 f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：C解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x |>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．专业整理练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数，解不等式2(1)(1)f x f x -<-答案：()0,1温故知新 P12 第8题注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例2. 《计时双基练》P216 培优4函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y，当1>x 时，有()0>f x 。

【精品】高一数学 2.3函数的单调性(备课资料) 大纲人教版必修

●备课资料一、函数单调性的判定方法1．定义法，即“作差——变形——定号——判断”四个步骤。

2．图象法，即若f(x)在区间D 上是增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的。

3．直接法，运用已知结论：①函数y=—f(x)与函数y=f(x)的单调性相反。

②当f(x)恒为正或司为负时，函数y=)(1x f 与y=f(x)的单调性相反。

③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等。

二、参考例题[例1]求证：函数y=x+x1在[—1，0）或（0，1]上是单调递减函数，在（—∞，—1）或（1，+∞）上是单调递增函数。

证明：（1）当—1≤x 1＜x 2＜0时，有0＜x 1·x 2＜1且x 2-x 1＞0,∴1—211x x ＜0.∴f(x 2)-f(x 1)＜0. ∴f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在[—1，0）上是单调递减函数。

（2）当0＜x 1＜x 2≤1时，有0＜x 1x 2＜1，∴x 2-x 1＞0,1-211x x ＜0. ∴f(x 2)-f(x 1)＜0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0,1]上是单调递减函数。

（3）当x 1＜x 2＜-1时，有x 1·x 2＞1,且x 2-x 1＞0. ∴21211x x x x -＞0.∴f(x 2)-f(x 1)＞0. ∴f(x 2)＞f(x 1).∴f(x)在（—∞,—1）上是单调递增函数。

（4）当1＜x 1＜x 2时，有x 1x 2＞1,1-211x x ＞0.又x 2-x 1＞0. ∴f(x 2)-f(x 1)＞0.∴f(x 2)＞f(x 1).∴f(x)在（1，+∞）上是单调递增函数。

[例2]判断函数f(x)=12-x ax (-1＜x ＜1)的单调性。

解：设—1＜x 1＜x 2＜1,则f(x1)-f(x2)=.)1)(1())(1(1122211221222211---+=---x x x x x x a x ax x ax ∵x 1x 2+1＞0,x 2-x 1＞0,x 12-1＜0,x 22-1＜0,∴f(x)在定义域区间（—1，1）上，当a ＞0时，f(x)为减函数；当a ＜0时，f(x)为增函数；当a=0时，f(x)为常数函数。

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-【题型分类归纳】

函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、定义法判断函数奇偶性判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．三、利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解()()<f m f n 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f ”，而是常数（如()<f m a ），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f ”的函数值再解。

人教版高中数学知识与巩固·单调性与最大(小)值(提高)

人教版高中数学知识与巩固·单调性与最大（小）值（提高）【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数. 要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上； (2)任意两个自变量12,x x 且12x x <； (3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的. 2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质. 要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集； ②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的； ③不能随意合并两个单调区间； ④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？ 3．函数的最大（小）值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（或最小值）. 要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值；②对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任意”两字不可省； ③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论.5.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法；(3)对于复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，若()t g x =在区间()a b ，上是单调函数，则()y f t =在区间()()()g a g b ，或者()()()g b g a ，上是单调函数；若()t g x =与()y f t =单调性相同（同时为增或同时为减），则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为增函数；若()t g x =与()y f t =单调性相反，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为减函数.要点二、基本初等函数的单调性 1．正比例函数(0)y kx k =≠当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数. 2．一次函数(0)y kx b k =+≠当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.3．反比例函数(0)ky k x =≠ 当0k >时，函数ky x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；当0k <时，函数ky x=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠若a>0，在区间(]2b a -∞-，，函数是减函数；在区间[)2ba -∞，+，函数是增函数；若a<0，在区间(]2b a -∞-，，函数是增函数；在区间[)2ba-∞，+，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；(2)若()f x 和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减)函数；(3)若()0f x >且()f x 1()f x 为减函数；若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明例1．已知：函数1()f x x x=+ （1）讨论()f x 的单调性. （2）试作出()f x 的图像.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 【解析】（1）设x 1，x 2是定义域上的任意实数，且x 1<x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+ 121211()(x -x +-)x x = 211212x x (x x )x x -=-+12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-①当121x x <<-时，x 1-x 2<0，1<x 1x 21212x x 10x x -∴>，故121212x x (x x )()0x x -1-⋅<，即f(x 1)-f(x 2)<0∴x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)()1f (x)x x∴=+∞在区间-,-1上是增函数.②当-1<x 1<x 2<0 ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1 ∵0<x 1x 2<1 1212x x 10x x -∴<故121212x x (x x )()0x x -1-⋅>，即f(x 1)-f(x 2)>0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)()1f (x)x x∴=+在区间-1,0上是减函数.同理：函数()1f (x)x x =+在区间0,1是减函数, 函数()1f (x)x x =+∞在区间1,+是增函数.（2）函数1()f x x x=+的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) ■举一反三：【变式1】讨论函数()(0)af x x a x=+>的单调性，并证明你的结论.【解析】设120x x a <<≤，则120x x -<，1212120,0,0x x x x a x x a ><<∴-<.121212121212()()()()0x x x x a a a f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即12()()f x f x >. ()f x ∴在(0,a ⎤⎦上单调递减.同理可得()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(,a ⎤-∞-⎦上单调递增；在),0a ⎡-⎣上单调递减.故函数()f x 在(,a ⎤-∞-⎦和),a ⎡+∞⎣上单调递增；在),0a ⎡-⎣和(0,a ⎤⎦上单调递减.类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x 2-3|x|+2； (2)2|1|(-2)y x x =-+【思路点拨】对x 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

高考数学二轮复习专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(文)(解析版)

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。

A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(+=x x h D 、12)(+=x x w【答案】B【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(+=x x h 在]1(--∞，上是减函数，在)1[∞+-，上是增函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 在区间)10(，上单调递减的函数，选B 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

2019届全国通用高考数学二轮复习板块三专题突破核心考点专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质讲义

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例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则
A.2x<3y<5z C.3y<5z<2x
B.5z<2x<3y
√ D.3y<2x<5z
解析答案
(2) 已知函数
f(x)
＝
ax，x<0， a－3x＋4a，x≥0
满足对任意 x1≠x2 ，都有
fx1－fx2 x1－x2 <0
h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为_(_－__2_,0_)_∪__(0_,_2_)_. 押题依据分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点.本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质.
押题依据解析答案
(2)若 f(x＋a)＝f1x，则函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0. a＋b
(3)若 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 2 对称.
例1
(1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f(x)＝
cosπ2－πx＋x＋e2 x2＋e2
的最
大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 018的值为
上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，
则mm≥＋01，≤3，得 0≤m≤2，故选 C.
解析答案
真题押题精练
真题体验 1.(2018·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为__④___.(填序号)
解析 Байду номын сангаас案
2.(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝ g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为_b_<_a_<_c___.

2023高考数学二轮复习专题复习03 等式与不等式的性质 (解析版)

专题03等式与不等式的性质【考点预测】1.比较大小基本方法（1）基本性质bc【方法技巧与总结】1.应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.2.比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性.比较法又分为作差比较法和作商比较法.作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.【题型归纳目录】题型一：不等式性质的应用题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围题型四：不等式的综合问题【典例例题】题型一：不等式性质的应用例1．（2022·北京海淀·二模）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（）A ．110x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>【答案】B 【解析】【分析】取特殊值即可判断A 、C 、D 选项，因式分解即可判断B 选项. 【详解】对于A ，令11,2x y ==-，显然01112yx +=-<，错误；对于B ，()()()23322213024x y x y x xy y x y x y y ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1,02x y y ==不能同时成立，故()2213024x y x y y ⎡⎤⎛⎫+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，正确；对于C ，取1,0x y ==，则lg()0x y +=，错误；对于D ，取1,3x y ==，则sin()sin 40x y +=<，错误. 故选：B.例2．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．a c b c +<+ B ．11a b< C ．ac bc > D ．b a c ->【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解. 【详解】对于A 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a b a c b c <⇒+<+，A 选项正确；对于B 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若2a =-，1b =-，则11a b>，B 选项错误；对于C 选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，0c >，0a b ac bc <<⇒<，C 选项错误；对于D 选项，因为0a b b a <⇒->，0c >，所以无法判断b a -与c 大小，D 选项错误. 例3．（2022·山西·模拟预测（文））若0αβ<<，则下列结论中正确的是（） A ．22αβC ．1122αβ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】【分析】对于A ，利用不等式的性质判断，对于B ，利用基本不等式判断，对于C ，利用指数函数的性质判断，对于D ，举例判断【详解】∵0αβ<<，∴0αβ->->，∴22αβ>，故A 错误；∵0αβ<<，∴0,0αββα>>，∴2βαααββ+≥=． ∵αβ≠，∴2βααβ+>，故B 正确； ∵101,2αβ<<<，∴1122αβ>⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故C 错误；令,2παπβ=-=-，此时sin 0,sin 1,sin sin αβαβ==->．故D 错误．故选：B ．（多选题）例4．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．【详解】解：对于非零实数a ，b 满足||1a b >+，则()22||1a b >+，即2222||11a b b b >++>+，故A 一定成立；因为1||1122a b a b b +>+≥+⇒>，故B 一定成立；又()2||10b -≥，即212||b b +≥，所以24||4a b b >≥，故C 一定成立；对于D ：令5a =，3b =，满足||1a b >+，此时5143a b b =<+=，故D 不一定成立．故选：ABC（多选题）例5．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.（多选题）例6．（2022·广东汕头·二模）已知a ，b ，c 满足c <a 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a >->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >，故选：BCD（多选题）例7．（2022·福建三明·模拟预测）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b ，所以ac bc <，故B 正确，因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确，因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误，故选：BC【方法技巧与总结】1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2．充分利用基本初等函数性质进行判断．3．小题可以用特殊值法做快速判断．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式例8．（2022·全国·高三专题练习（文））设2312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．m p n <，再由作商法判断m p >.【详解】因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以12331122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以n m > 2320323155212215⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以m p >，所以n m p >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用指数函数的单调性比较大小，属于中档题. 例9．（2022·全国·高三专题练习）若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解【详解】易知a ，b 都是正数，b a ＝232ln 3ln 3ln 93ln 2ln 2ln8==＝log 89＞1，所以b ＞a .故答案为：＜例10．（2022·全国·高一）（1）试比较()()15x x ++与()23x +的大小；（2）已知a b >，11a b<，求证：0ab >．【答案】（1）()()()2153x x x ++<+；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）()()15x x ++与()23x +作差，判断差的正负即可得出结论；（2）结合不等式的性质分析即可证出结论. 【详解】（1）由题意，()()()2153x x x ++-+ 22656940x x x x =++---=-<，所以()()()2153x x x ++<+．（2）证明：因为11a b<，所以110a b -<，即0b aab -<，而a b >，所以0b a -<，则0ab >．得证．例11．（2022·湖南·高一课时练习）比较()()213a a +-与()()62745a a -++的大小．【答案】()()213a a +-<()()62745a a -++ 【解析】【分析】做差比较大小即可. 【详解】()()()()2221362745(253)(253)60a a a a a a a a +---++=----+=-<⎡⎤⎣⎦,∴()()213a a +-<()()62745a a -++.例12．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211xx ++与()()2211xx x x ++-+．【答案】(1)221)1)≤(2)()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+【解析】【分析】利用作差法得出大小关系. (1)))()()221111m m -=--+=-因为0m ≥，所以221)1)0-≤，当且仅当0m =时，取等号.即221)1)≤ (2)()()2211xx ++()()2211x x x x -++-+()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+.【方法技巧与总结】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性. 比较法又分为作差比较法和作商比较法. 作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：若0,0a b >>，则1b b a a >⇔>；1b b a a <⇔<；1bb a a =⇔=；若0,0a b <<，则1b b a a >⇔<；1b b a a <⇔>；1bb a a=⇔=. 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例13．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞【答案】A 【解析】【分析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，求出,m n ，再根据不等式的性质即可得出答案. 【详解】解：设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥. 故选：A.例14．（2022·全国·高三专题练习）已知12a ≤≤，14b -≤≤，则2a b -的取值范围是（） A ．724a b -≤-≤ B ．629a b -≤-≤ C ．629a b ≤-≤ D ．228a b -≤-≤【答案】A 【解析】【分析】先求2b -的范围，再根据不等式的性质，求2a b -的范围. 【详解】因为14b -≤≤，所以822b -≤-≤，由12a ≤≤，得724a b -≤-≤. 故选：A.例15．（2022·全国·高三专题练习）若,x y 满足44x y ππ-<<<，则x y -的取值范围是（）A ．(,0)2π-B ．(,)22ππ-C ．(,0)4π-D ．(),44ππ-【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质，求得0x y -<，且22x y ππ-<-<，即可求解.【详解】由x y <，可得0x y -<，又由44y ππ-<<，可得44y ππ-<-<，因为44x ππ-<<，可得22x y ππ-<-<，所以02x y π-<-<，即x y -的取值范围是(,0)2π-.故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知－3<a <－2，3<b <4，则2a b的取值范围为（）A ．(1，3)B ．4934⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．2334⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】【分析】先求出a 2的范围，利用不等式的性质即可求出2a b的范围.【详解】因为－3<a <－2，所以a 2∈(4，9)，而3<b <4，故2a b的取值范围为(1，3)，故选：A ．例17．（2022·江西·二模（文））已知122x y ≤-≤，1231x y -≤+≤，则6x ＋5y 的取值范围为______．【答案】[]1,4- 【解析】【分析】由()652223x y x y x y +=-++结合不等式的性质得出答案. 【详解】解：()652223x y x y x y +=-++，即()()1212223221x y x y +⨯-≤-++≤+⨯ 故6x ＋5y 的取值范围为[]1,4-．故答案为：[]1,4-例18．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围. 【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=， ∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].例19．（2022·全国·高三专题练习）已知有理数a ，b ，c ，满足a b c >>，且0a b c ++=，那么ca的取值范围是_________．【答案】122c a -<<- 【解析】【分析】根据不等式的性质求得ca的取值范围.【详解】由于a b c >>，且0a b c ++=，所以0,0a c ><，,,2,2cb ac a c a a c a=----<>->-， 1,2,2c a c c a c a -->-><-，所以122c a -<<-. 故答案为：122c a -<<-例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()34f x x ax b =++，当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则a b +=____________．【答案】-3 【解析】【分析】可以取特殊值112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立，从而求出a 和b ﹒【详解】当[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则()11f x -≤≤对任意[]1,1x ∈-恒成立，则112x x =±=±，时，()11f x -≤≤恒成立1141x a b =-≤++≤，①1141141x a b a b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，②1111222a xb =-≤++≤，③111111122222a a xb b =--≤--+≤⇒-≤+-≤，④①+②282253a a -≤+≤⇒-≤≤-：③+④21231a a -≤+≤⇒-≤≤： 3a ∴=-，代入①20b -≤≤：代入③02b ≤≤： 0b ∴=，30a b ∴=-=，，3a b ∴+=-﹒证明()343f x x x =-满足题意：()343f x x x =-，则()()2112302f x x f x x ''=-=⇒=±，，由表可知，|f (x )|≤1在[-1，1]上恒成立满足题意﹒故答案为：-3. 【点睛】本题考察恒成立问题，根据函数和区间的特殊性，可取特殊值得到关于a 和b 的不等式组，求出a 和b 的范围，从而确定a 和b 的取值﹒例21．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ，ln b ≥a ，则ba的取值范围是___.【答案】[e ，7] 【解析】【分析】由题意可求得b a≤7；由ln b ≥a 可得b ba lnb ≥（b 12e ≥），设函数f （x ）x lnx =（x 12e ≥），利用其导数可求得f （x ）的极小值，也就是ba的最小值.【详解】∵正数a ，b 满足5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5﹣3a ≤4﹣a ， ∴a 12≥. ∵5﹣3a ≤b ≤4﹣a ， ∴5a -34b a a ≤≤-1.从而ba≤7， ∵ln b ≥a ，∴b ba lnb≥（b 12e ≥），设f （x ）x lnx =（x 12e ≥），则f ′（x ）21lnx lnx -=（），当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0， ∴当x ＝e 时，f （x ）取到极小值，也是最小值. ∴f （x ）min ＝f （e ）＝e . ∴ba≥e ， ∴ba的取值范围是[e ，7]. 故答案为：[e ，7].例22．（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 均为正实数，且111,,232425abbc ca a bb cc a+++，那么111a b c ++的大值为__________．【答案】4 【解析】【分析】本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可【详解】因为,,a b c 均为正实数，所以由题可得：22203,04,05a b b c a c b bc ac a +++<≤<≤<≤，即1203b a<+≤，1204c b <+≤，1205a c <+≤，三式相加得：1110312a b c ⎛⎫<++≤ ⎪⎝⎭，所以11104a b c <++≤所以111a b c++的最大值为4故答案为：4【方法技巧与总结】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.题型四：不等式的综合问题例23．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2e1b aa b -+=+则下列不等式中恒成立的个数是（）①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④5ln 5a b +<+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】①，分析得到,a b <所以1122b a --<正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断2ln(5)2ln(5)a b +<+再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解. 【详解】解：①，若02,e e 1,11b aa ab b -+≥∴≤=∴>+，所以矛盾，所以,a b <所以1122b a --<正确； ②，1111b a a b a b a b -<-∴+<+，，设21(1)(1)(),(0),()x x f x x x f x x x +-'=+>∴=，所以当(0,1)x ∈时，函数()f x 单调递减，当(1,+)x ∈∞时，函数()f x 单调递增，因为a b <，所以11a b ab+<+不恒成立，如1151,(),1,(1)2()2222a fb f f ====<，所以该命题错误；③，e e a b a b -<-，设()e ,()e 10,()x x g x x g x g x '=-∴=->∴在(0,)+∞单调递增，因为a b <，所以e e a b a b -<-恒成立，所以该命题正确；④，5ln2ln(5)2ln(5)5a a b b +<⇔+<++设()2ln(5)h x x =+所以2()h x '==所以函数()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 取131,e,(1)e 3e,1b b a b b -==∴+=+ 设()(1)e ,()(2)e 0x x k x x k x x '=+∴=+>，所以()k x 在(0,)+∞单调递增， (1)2e 3e k =<，2(2)3e 3e k =>，所以存在(1,2),(1)e 3e b b b ∈+>，此时2ln(5)2ln(5)a b +>+ 所以该命题错误. 故选：B例24．（2022·江西·临川一中高三期中（文））若实数a ，b 满足65a a b <，则下列选项中一定成立的有（） A ．a b D ．ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先由65a a b <得到0a b <<或0b a <<，再利用不等式的性质、函数的单调性进行判定. 【详解】因为65a a b <，所以655()0a a b a a b --=<，显然0a ≠，所以()0a a b -<，所以00a a b >⎧⎨-<⎩或00a a b <⎧⎨->⎩，即0a b <<或0b a <<；若0a b <<，则a b <，33a b <，0e e 1a b -<=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若0b a <<，则a b >，33a b >，0>e e 1a b -=，ln ln10a b ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；即一定成立的是选项D. 故选：D.例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）若m ，n ∈+N ，则下列选项中正确的是（） A ．()()1log 1log 2m m m m ++<+ B ．(n m m n mn ⋅≥C ．()()22sin 1sin 31n n n n n ππ⋅<+⋅>+ D ．1121111n n n n n n n n +++++<++ 【答案】C 【解析】【分析】对于A ，作商比较，对于B ，令1,2m n ==判断，对于C ，利用在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积判断，对于D ，利用放缩法判断【详解】解：对于A 选项，由于m ，n ∈+N ，故由对数的定义得2,N m m +≥∈，()()1log 10,log 20m m m m ++>+>，所以()()()()211111log 2log 2log log 2log log 12m m m m m m m m m m m m ++++++++⎛⎫=+⋅≤ ⎪+⎝⎭()()()22211log 1log2144m m m m m ++⎡⎤++⎣⎦=<=，所以()()1log 1log 2m m m m ++>+，故A 错误；对于B 选项，令1,2m n ==，则(21122,n m m n mn =⨯==⋅(n m m n mn <⋅B 错误；对于C 选项，因为，在单位圆中，内接正n 边形的面积小于内接正()1n +边形的面积，所以()112π12π11sin 111sin 221n n S n S n n n +=⋅⋅⋅⋅<=+⋅⋅⋅⋅+，故C 正确；对于D 选项，由于112111,111n n n n n n n n n +++++===++，故D 错误．故选：C（多选题）例26．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知0,0a b >>，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（） A ．19ab ≤B ．219a b+≥CD【答案】BCD 【解析】【分析】根据导数的几何意义得21a b +=，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案. 【详解】设切点为00(,)x y ，因为1e x y -'=，所以01e 1x -=，得01x =，所以122a b +=-，所以21a b +=，对于 A，12a b =+≥18ab ≤，当且仅当11,42a b 时，等号成立，故A 不正确；对于B，212122()(2)55b a a b a b a b a b+=++=++≥+9=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故B 正确；对于C=25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D，22222(12⎡⎤⎡⎤≤+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦33(2)22a b =+⋅=，所以，又21a b +=，即12,63a b ==时，等号成立. 故选：BCD（多选题）例27．（2022·辽宁辽阳·二模）已知0a >，0b >，且24a b +=，则（） A ．124a b ->B ．22log log 1a b +≤ C≥D ．412528a b +≥ 【答案】BD 【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式对选项逐一判断【详解】对于A ，02a <<，()()42344,2a b a a a -=--=-∈-，所以12416a b -<<，故A 错误，对于B ，420a b =+≥>，即0<02ab ，()222log log log 1a b ab +=≤，故B 正确，对于C，228a b =++≤C 错误，对于D，4122171725288488a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当825a b ==时，等号成立，故D 正确．故选：BD（多选题）例28．（2022·重庆八中模拟预测）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式以及适当的代数式变形即可判断. 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)2122211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.例29．（2022·全国·高三专题练习）若x ，y R ∈，设2223M x xy y x y =-+-+，则M 的最小值为__．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】将M 化简可得2211224M x y y ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，由此即可求出结果.【详解】因为()()2222221121321344M x y x y y x y x y y y y y y ⎡⎤=-+++=-++++++---⎢⎥⎣⎦221112244x y y ⎛⎫=--+-≥- ⎪⎝⎭．当且仅当0y =，12x =时取等号．所以M 的最小值为14-．故答案为：14-．例30.（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论： ①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④ 【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，422x y =+≥即4≥，解得2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得24x =则132343022xy +-=-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=， ∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒ 故答案为：①④﹒ 【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒【过关测试】一、单选题 1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为(0)b a b >>，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（） A ．2a bv +=B．v =C2a bv +< D．b v <<【答案】D 【解析】【分析】平均速度等于总路程除以总时间【详解】设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 1s t a=，2s t b =，1222211s s v s s t t a b a b===+++，∴221111v ba bb b=>=++，2211ab v a b a b==<=++ 故选:D.2．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知0a b <<，则（） A ．110->a bB ．sin sin 0a b ->C ．0a b -<D ．ln()ln()0a b -+->【答案】A 【解析】【分析】利用特殊值法，结合已知逐一判断即可. 【详解】因为0a b <<，所以110b aa b ab--=>，选项A 正确；当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但sin sin 0a b -=，选项B 不正确；当2π,πa b =-=-时，显然满足0a b <<，但0a b ->，选项C 不正确；当1,123a b =-=-时，显然满足0a b <<，但是ln()ln()0a b -+-<，选项D 不正确，故选：A3．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若a b <，则下列结论正确的是（） A ．330a b -> B ．22a b < C ．()ln 0a b -> D ．a b <【答案】B 【解析】【分析】对于A 、B ，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C ， ()ln a b -没有意义；对于D ，取特值判断. 【详解】对于A ，构造函数3()f x x =，因为3()f x x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，33a b ∴<，330a b ∴-<，故A 答案不对；对于B ，构造函数()2x f x =，因为()2x f x =单调递增，又a b <，所以()()f a f b <，22a b ∴<，故B 答案正确；对于C ，a b <，()ln a b ∴-没有意义，故C 答案不对；对于D ，取=11a b ，-=时，=a b ，故D 答案不对；故选：B.4．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a bC ．22lg lg a b > D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由11b aa b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，当ab 不确定，所以A 错误；对于B 中，只有当0,0,a b a b >>，不相等时，才有a b +>B 错误；对于C 中，例如1,2a b ==-，此时满足a b >，但22lg lg a b <，所以C 错误；对于D 中，由不等式的基本性质，当a b >时，可得33a b >成立，所以D 正确. 故选：D.5．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B ，C 可以取特殊值验证，对于D ，根据题意得330a b >>，3333a b b b --+>+，利用基本不等式求解即可. 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2b a =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.6．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，22a b m +=，则以下正确的是( ) A ．若1m =，则1a b + B ．若1m =，则331a b + C ．若2m =，则2a b +> D ．若2m =，则332a b +【答案】D 【解析】【分析】A ：取特例a b ==B ：求出01a <<，01b <<，根据幂函数在(0，1)之间的性质即可判断；C ：根据不等关系2222a b a b ++ D ：构造33222()(())a b a b a b ++-+并判断其范围，表示出33+a b ，结合C 项范围即可判断. 【详解】A ：若221a b +=，取a b ==1a b +，故A 错误； B ：若221a b +=，则01a <<，01b <<，∴33221a b a b +<+=，故B 错误； C ：当222a b +=时，∵222a bab +，∴()222222a ba b ab +++，∴222()24a b a b ++，∴221222a b a b a b ++=⇒+，故C 错误；D ：当222a b +=时，3322233222()(()2()0)a b a b a b a b b a a b ab a b ++-+=+-=-， 22233()4a b a ba b a b+∴+=++，由C 知，2a b +，42a b∴+，332a b ∴+，故D 正确. 故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（） ①a b < ②11a b a b+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B 【解析】【分析】求出a 、b 的值，比较a 、b 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为32a =，53b =，则3log 2a =，5log 3b =.对于①，3223<，则2323<，从而2333320log 1log 2log 33a =<=<=，3235>，则2335>，则235552log 5log 3log 513b =<=<=，即2013a b <<<<，①对；对于②，()()()11111a b ab a b a b a b a b ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2013a b <<<<，则0a b -<，01ab <<，所以，11a b a b+>+，②错；对于③，355522log 2log 32log 2log 4ab =⋅==，所以，355353542log 2log 3log 4log 2log log log 03a b ab +-=+-=->，所以，2a b ab +>，③错；对于④，构造函数()ln x f x x =，其中0e x <<，则()21ln xf x x -'=. 当0e x <<时，()0f x '>，则函数()f x 在()0,e 上单调递增，因为01a b <<<，则()()f a f b <，即ln ln a ba b<，可得b a a b <，所以，b a a a b b +<+，④对. 故选：B.8．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+ B ．4132b b b b ≤-- C ．3124a a a a ≥ D ．3124a a a a ≤【答案】D 【解析】【分析】对选项A ，令112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可检验；对选项B ，令2nn b =即可检验；对选项C ，令n a n =即可检验；对选项D ，设出等差数列的首项和公比，然后作差即可. 【详解】若112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则12341111,,,248b b b b ==-==-可得：14237184b b b b +=>=-+，故选项A 错误；若2nn b =，则12342,4,8,16b b b b ====可得：4132144b b b b -=>-=，故选项B 错误；若n a n =，则12341,2,3,4a a a a ==== 可得：124346a a a a =<=，故选项C 错误；不妨设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则有：()112411133a a a a d a a d =+=+()()22311121223a d a d a d a a d a =++=++则有：4223120a a a a d -=≥，故选项D 正确故选：D 二、多选题9．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．11a b ab+<+ D ．11a b a b+>+ 【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，利用()()1110a b ab a b --=+--<作出判断；B 选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD 选项，用作差法求解.由于两个不相等的正实数a 和b ，满足1ab >，所以a 和b 可取一个比1大，一个比1小，即()()1110a b ab a b --=+--<，故1ab a b +<+，A 错误；由题意得：2a b +>>，所以()2log 1a b +>，B 正确；()111111a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，但不知道a 和b 的大小关系，故当a b >时，11a b a b+>+，当a b <时，11a b a b +<+，C 错误；()1111a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中110ab ->，0a b +>，所以()11110a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫+-+=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11a b a b+>+，D 正确. 故选：BD10．（2022·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论正确的是（） A ．2ab b > B ．ac bc <C ．11a c> D ．1a cb c->- 【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质依次判断选项即可. 【详解】A ：由a b c >>且0a b c ++=，可知a >0，c <0，b 的值不确定，故由a b >，不能推出2ab b >，故A 错误；B ：由0a b c ><，，得ac bc <，故B 正确；C ：由于0a >，0c <，得11a c>，故C 正确； D ：由a b c >>得0a c b c ->->.所以1a cb c->-，故D 正确，故选：BCD.11．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1,01a b c >><<，则下列不等式一定成立的有（） A ．()()c c a c b c -<- B ．log (1)log (1)a b c c +<+ C ．log log 2a c c a +≥ D ．22224a c b c c >>【答案】BD 【解析】对于A ，利用幂函数的性质判断，对于BC ，利用对数函数的性质判断，对于D ，利用不等式的性质分析判断【详解】对于A ，因为01c <<，所以c y x =在(0,)+∞上单调递增，因为,01a b c c >><<，所以0a c b c ->->，所以()()cca cbc ->-，所以A 错误，对于B ，因为1a b >>，所以当1x >时，log log a b x x <，因为01c <<，所以11c +>，所以log (1)log (1)a b c c +<+，所以B 正确，对于C ，因为1,01a b c >><<，所以log 0,log 0a c c a <<，所以log log 0a c c a +<，所以C 错误，对于D ，因为1,01a b c >><<，所以22210a b c >>>>，所以22224a c b c c >>，所以D 正确，故选：BD12．（2022·河北保定·一模）已知a 、b 分别是方程20x x +=，30x x +=的两个实数根，则下列选项中正确的是（）. A ．10b a -<<< B ．10a b -<<< C ．33a b b a ⋅<⋅ D ．22b a a b ⋅<⋅【答案】BD 【解析】【分析】在同一直角坐标系中画出2,3,x x y y y x ===-的图象，可判断AB ，然后结合不等式的性质可判断CD. 【详解】函数2,3,x x y y y x ===-在同一坐标系中的图象如下：所以10a b -<<<，所以22,33,0a b a b b a<<<-<-所以()()22,33a b a bb a b a -⋅<-⋅-⋅<-⋅所以22b a a b ⋅<⋅，33a b b a ⋅⋅> 故选：BD 三、填空题13．（2022·四川泸州·三模（文））已知x ，R y ∈，满足224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +<；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______（写出所有成立结论的编号）．【答案】①④ 【解析】【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为224x y +=，所以有4222422x y x y x y +=+≥≥≥⇒+≤，故本结论一定成立； ②：当20,log 3x y ==时，显然224x y +=成立，但是1xy ≥不成立，故本结论不一定成立； ③：当1x y ==时，显然224x y +=成立，但是23x y +<不成立，故本结论不一定成立； ④：因为224x y +=，所以114421644162x y x y x y x y ++++++=⇒+=-，由①可知： 1311213228281621688x y x y x y x y x y +++++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-⇒-≥-=，所以448x y +≥，因此本结论一定成立，故答案为：①④14．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））已知实数x 、y 满足223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，则34x y -的取值范围为______．【答案】[7,2]- 【解析】【分析】设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，利用待定系数法求出,m n 的值，然后根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设34(2)(2)x y m x y n x y -=++-，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩，所以34(2)x y x y -=-++2(2)x y -，因为223x y -≤+≤，220x y -≤-≤，所以3(2)2x y -≤-+≤，42(2)0x y -≤-≤，所以7342x y -≤-≤，故答案为：[7,2]-.15．（2022·全国·高三专题练习）如果a >b ，给出下列不等式：①11a b<；②a 3>b 32ac 2>2bc 2；⑤ab >1；⑥a 2＋b 2＋1>ab ＋a ＋b .其中一定成立的不等式的序号是________．【答案】②⑥ 【解析】【分析】对,a b 分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立. 【详解】令1,1a b ==-，11a b>=11a b =-<，排除⑤.当0c 时，排除④.由于幂函数3y x =为R 上的递增函数，故33a b >，②是一定成立的.由于()()()()22222111102a b ab a b a b a b ⎡⎤++-++=-+-+->⎣⎦，故221a b ab a b ++>++.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥. 【点睛】本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的,a b 举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.16．（2022·全国·高三专题练习）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12 【解析】利用方程组形式，可得()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求得,m n 后结合不等式性质即可求得3x y 的最小值. 【详解】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y≤≤，所以()121183xy-≤≤ 由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x yxy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==. 综上可知，3x y的最小值为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）已知1a >，1b >，2222,1111a b b a M N a b a b =+=+----．（1）试比较M 与N 的大小，并证明；（2）分别求M ，N 的最小值．【答案】（1）M N ≤；证明见解析；（2） M ，N 的最小值都是8．【解析】【分析】（1）利用作差比较法，得到2()()0(1)(1)a b a b M N a b -+-=-≤--，即可求解；（2）化简1111411a b a M b =-++-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）M 与N 的大小为M N ≤，证明：由22222()()1111(1)(1)a b b a a b a b M N a a b b a b -+-=-+-=-------，因为1a >，1b >，所以0a b +>，10a ->，10b ->，2()0a b -≥，所以2()()0(1)(1)a b a b a b -+-≤--，所以M N ≤. （2）因为2222[(1)1][(1)1]1111a b a b M a b a b -+-+=+=+----111144811a b a b =-++-++≥=--，当2a b ==时取等号，又由（1）N M ≥，所以M ，N 的最小值都是8．18．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b 均为正实数.试比较33+a b 与22a b ab +的大小；（2）已知a ≠1且a ∈R ，试比较11a-与1a +的大小. 【答案】（1）33+a b ≥22a b ab +；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）将目标代数式作差得2()()a b a b -+，即可知大小关系；（2）利用“作差法”有21(1)11a a a a-+=--，对a 分类讨论即可判断大小. 【详解】（1）∵a ，b 均为正实数，∴332222222()()()()()()()0a b a b ab a a b b a b a b a b a b a b +-+=---=--=-+≥，即33+a b ≥22a b ab +. （2）由21(1)11a a a a-+=--. ①当a =0时，21a a=-0，则11a =-1a +； ②当a <1且a ≠0时，21a a >-0，则11a >-1a +； ③当a >1时，21a a<-0，则11a <-1a +. 综上，当a =0时，11a =-1a +；当a <1且a ≠0时，11a >-1a +；当a >1时，11a<-1a +. 19．（2022·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①0ab >；②c da b>；③bc ad >，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明. 【答案】可组成3个正确命题，证明见解析. 【解析】【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可. 【详解】（1）对②变形：0c d bc ad a b ab->⇔>，由0,ab bc ad >>得②成立，∴①③⇒②.。

(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

( “分解因式 ”、配方成同号项的和等 )； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法 :
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f (x)在区间 D 内为增函数；如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为减函数．注意： (补充 ) （ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个，
一、知识梳理《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！
知识点一函数的单调性 1. 单调函数的定义
1
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性，区间 D 叫做 f (x)的单调区间 .
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
ax1 ax2 则 f(x1)－f (x2)＝x1＋ 1－ x2＋1
ax1 x2＋ 1 － ax2 x1＋ 1
＝
x1＋1 x2＋ 1
a x1－x2
＝ x1＋ 1
x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0， x1＋1>0，x2＋ 1>0.
6
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递增．同理当 a<0 时， f (x1)－f (x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， ∴函数 y＝f (x)在(－1，＋ ∞）上单调递减．
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝3x2－6a，若 a≤０，则 f ′x（) ≥０，∴ f(x)单调增，排除 A ；若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a 时，f ′x（)>0，f(x)单调增，当－ 2a<x < 2a时，f (x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝ 2.

高中数学函数单调性的判定和证明方法

高中数学函数单调性的判定和证明方法函数的单调性判定是数学函数研究中的重要内容，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和特征。

本文将详细介绍高中数学中常用的函数单调性判定和证明方法。

一、函数的单调性概念在讨论函数的单调性之前，我们首先要了解函数的增减性和单调性的概念。

1.增减性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为减函数。

2.单调性设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)小于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递增函数；若对于任意的x1,x2在[a,b]上，当x1小于x2时，有f(x1)大于等于f(x2)，则称函数f(x)在[a,b]上为递减函数。

二、判定函数单调性的方法根据函数的定义，我们可以得出一些判定函数单调性的常用方法。

1.导数法如果函数f(x)在区间(a,b)上是单调的，那么它在该区间上的导数f'(x)恒大于0（或恒小于0），即函数的增减性与导数的正负性相同。

因此，通过求函数的导数并研究导数的正负性可以得出函数的单调性。

以f(x)为例，通过以下步骤可以判断f(x)的单调性：（1）求函数f(x)的导数f'(x)。

（2）研究f(x)的导数f'(x)在区间(a,b)上的正负性。

（3）若f'(x)在区间(a,b)上恒大于0（或恒小于0），则f(x)在(a,b)上递增（或递减）。

（4）若f'(x)在区间(a,b)上既大于0又小于0，或在一些点上为0，则f(x)在(a,b)上不是单调函数。

2.函数表和图像法函数表和图像法是直观判断函数单调性的方法。

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利用定义法证明函数的单调性和利用单调性比较大小或解不等式
1.证明函数()x a x f 11-=
在()+∞,0上单调递增.
2.证明函数()x x x f 2+
=在()+∞,2上单调递增.
3.证明函数()1
+=
x x x f 在()+∞-,1上单调递增.
4.已知函数()x f 在()+∞,0上单调递增，求不等式()()()28->x f x f 的解集.
5.已知函数()x f 在[]1,1-上单调递增，求满足()()x f x f -<-12中实数x 的取值范围.
6.已知函数()x f 是[)+∞,0上的单调递增函数，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f ，求实数x 的取值范围.
7.已知函数()x f 的定义域为R ，并且在()+∞,0上单调递减，则⎪⎭⎫ ⎝⎛43f 和()
12+-a a f 的大小关系.
8.已知偶函数()x f 在[)+∞,0上单调递增，则()()()4,3,0-f f f 的大小关系.
9.对任意R x x ∈21,，且()()()[]02121>--x f x f x x ，则()3-f 与()π-f 的大小关系.
10.已知函数()x f 在R 上单调递增，且()()()()b f a f b f a f -+->+，则（）.
A.0>>b a
B.0>-b a
C.0>+b a
D.0,0>>b a。