复变函数试题及答案解读

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复变函数考试试题及参考答案

复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。

答案：$(1+i)^3=-2+2i$。

2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。

答案：$(-2+i)^4=7-24i$。

3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。

答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。

4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。

答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。

5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。

答案：$z^*=2+i$。

6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。

答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。

7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。

答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。

答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。

答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。

10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。

答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。

复变函数习题及答案解释

第一篇复变函数第一章复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值：（1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的：（1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=，那么()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ；（6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题：（1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向；（2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向；（3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形；（5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界；（2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 $ z = a + bi $（其中 $ a, b $ 为实数），则$ \bar{z} $ 表示（）A. $ a - bi $B. $ -a + bi $C. $ -a - bi $D. $ a + bi $答案：A2. 对于复变函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，以下说法正确的是（）A. $ u $ 和 $ v $ 都是调和函数B. $ u $ 和 $ v $ 都是解析函数C. $ u $ 和 $ v $ 都是连续函数D. $ u $ 和 $ v $ 都是可微函数答案：A3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可导，则下列说法中正确的是（）A. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析B. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处连续C. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可微D. $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数为0答案：C4. 已知 $ f(z) $ 是解析函数，且 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处有孤立奇点，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的留数是（）A. 0B. $ \infty $C. 1D. $ -1 $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ z = x + yi $，且 $ |z| = 2 $，则 $ x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ $。

答案：42. 设 $ f(z) = z^2 $，则 $ f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ $。

答案：-5 + 12i3. 若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处的导数 $ f'(z_0) $ 等于 \_\_\_\_\_。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数复习题详细答案

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 $ z = a + bi $ 可以表示为平面上的一个点 $ (a, b) $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部。

复数的模 $ |z| $ 表示该点到原点的距离，即 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

2. 复数的运算两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $ 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $，模为 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

4. 复数的指数形式复数 $ z $ 可以表示为指数形式 $ z = re^{i\theta} $，其中$ r = |z| $ 是模，$ \theta $ 是 $ z $ 的辐角，满足$ \cos\theta = \frac{a}{r} $ 和 $ \sin\theta = \frac{b}{r} $。

5. 复数的对数复数 $ z $ 的对数定义为 $ \log z = \log r + i\theta $，其中 $ r = |z| $，$ \theta $ 是 $ z $ 的主辐角。

6. 复数的导数设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 是复函数，其中 $ z = x +iy $，则 $ f(z) $ 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 $ u $ 和 $ v $ 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》精彩试题库及问题详解

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题(一)一、判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、证明题、(20分) 1、函数)(z f 在区域D 内解析、证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、《复变函数》考试试题(一)参考答案一．判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、四、证明题、1、证明设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、所以()f z =2π、由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、有界整函数必为常数、 ( )5、如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、填空题、 (20分)1、设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、函数e z 的周期为__________、7、方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、三、计算题、 (40分)1、求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、在复平面上取上半虚轴作割线、试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、证明题、 (20分)1、设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、二、填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、三、计算题1、解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、解令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、证明题、1、证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、则0x y y x u v u v ====、即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根、而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、填空题、 (20分)1、设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、函数e z的周期为_________、3、若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、设1-=ze ,则___=z 、9、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、计算题、 (40分)1、将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、证明题、 (20分) 1、函数)(z f 在区域D 内解析、证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是（ B ）(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7．argz 1z 2=( A )..A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是（ B ）.A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周；D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。

复变函数考试题和答案

复变函数考试题和答案****一、选择题（每题5分，共30分）1. 复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为（）。

A. $ a - bi $B. $ a + bi $C. $ -a + bi $D. $ -a - bi $**答案：A**2. 复数 $ z = a + bi $ 的模长为（）。

A. $ \sqrt{a^2 + b^2} $B. $ \sqrt{a^2 - b^2} $C. $ \sqrt{a^2 + b} $D. $ \sqrt{a + b^2} $**答案：A**3. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z} $ 在 $ z = 0 $ 处的性质是（）。

A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案：D**4. 函数 $ f(z) = z^2 $ 在复平面上是（）。

A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案：A**5. 函数 $ f(z) = \sin(z) $ 是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**6. 函数 $ f(z) = e^z $ 在复平面上是（）。

A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**二、填空题（每题5分，共20分）1. 复数 $ z = 3 + 4i $ 的共轭复数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3 - 4i**2. 复数 $ z = 1 + i $ 的模长是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：$ \sqrt{2} $**3. 函数 $ f(z) = z^3 $ 在 $ z = 1 $ 处的导数是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

**答案：3**4. 函数 $ f(z) = \frac{1}{z-1} $ 的奇点是 $ \_\_\_\_\_\_\_ $。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则以下关系式中正确的是（）。

A. u_x = v_yB. u_y = -v_xC. u_x = -v_yD. u_y = v_x答案：B2. 复变函数中，柯西-黎曼方程成立的条件是（）。

A. u和v都是调和函数B. u和v都是解析函数C. u和v都是连续函数D. u和v都是可微函数答案：D3. 以下哪个函数是解析函数？（）A. f(z) = |z|B. f(z) = z^2C. f(z) = z^3D. f(z) = z^4答案：B4. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别是（）。

A. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)B. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)C. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)D. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)答案：C5. 以下哪个函数是多值函数？（）A. f(z) = log(z)B. f(z) = sin(z)C. f(z) = cos(z)D. f(z) = z^2答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z2. 函数f(z)=z+1/z的极点是________。

答案：z=03. 函数f(z)=1/z的留数在z=0处为________。

答案：14. 函数f(z)=z^3的导数是________。

答案：3z^25. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z三、解答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(z)=z^2是解析函数，并求其导数。

答案：函数f(z)=z^2是解析函数，因为其满足柯西-黎曼方程。

设z=x+iy，则f(z)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy。

复变函数试题及答案解析

复变函数试题及答案解析一、选择题（每题3分，共15分）1. 若复数z满足|z|=1，则z的辐角的取值范围是（）。

A. [0, 2π)B. [0, π]C. [0, π/2]D. [π/2, 3π/2]答案：A解析：复数z的模长|z|=1表示z在复平面上位于单位圆上，因此其辐角可以取遍[0, 2π)范围内的所有值。

2. 函数f(z)=1/z在z=0处（）。

A. 可导B. 不可导C. 连续D. 间断答案：B解析：函数f(z)=1/z在z=0处没有定义，因此不可导。

3. 函数f(z)=z^2在z=i处的导数为（）。

A. 2iB. -2iC. -2D. 2答案：A解析：根据复变函数的导数定义，f'(z)=2z，代入z=i得到f'(i)=2i。

4. 若f(z)是解析函数，则以下哪个选项是正确的（）。

A. f(z)的实部和虚部都是调和函数B. f(z)的实部和虚部都是解析函数C. f(z)的实部和虚部都是连续函数D. f(z)的实部和虚部都是可导函数答案：A解析：解析函数的实部和虚部都是调和函数，这是解析函数的基本性质之一。

5. 以下哪个函数不是解析函数（）。

A. f(z)=sin(z)B. f(z)=e^zC. f(z)=z^2D. f(z)=|z|答案：D解析：解析函数在其定义域内处处可导，而函数f(z)=|z|在z=0处不可导，因此不是解析函数。

二、填空题（每题4分，共20分）6. 复数z=3+4i的共轭复数为______。

答案：3-4i解析：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，因此z=3+4i的共轭复数为3-4i。

7. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的实部为______，虚部为______。

答案：u(x,y)；v(x,y)解析：根据复变函数的表示，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)为实部，v(x,y)为虚部。

8. 若f(z)在区域D内解析，则f(z)满足柯西-黎曼方程，即______。

复变函数考试题及答案

复变函数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 复变函数中，以下哪个选项是解析函数的必要条件？A. 函数在定义域内连续B. 函数在定义域内可导C. 函数在定义域内满足柯西-黎曼方程D. 函数在定义域内处处有界答案：C2. 如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析的，则以下哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B3. 在复平面上，以下哪个区域是单连通的？A. 整个复平面B. 去掉原点的复平面C. 去掉实轴的复平面D. 去掉单位圆的复平面答案：A4. 复变函数的柯西积分定理适用于以下哪种情况？A. 函数在整个复平面上解析B. 函数在简单连通域内解析C. 函数在任意区域解析D. 函数在任意区域连续答案：B5. 对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，以下哪个等式是正确的？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果f(z)是解析函数，且f(z)=z^2，则f'(z)=________。

答案：2z2. 函数f(z)=1/z在z=0处是________。

答案：无定义的3. 函数f(z)=e^z的导数是________。

答案：e^z4. 函数f(z)=z^n（n为正整数）的n阶导数是________。

答案：n!5. 函数f(z)=sin(z)的解析延拓是________。

答案：sin(z)三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算积分∮_C z^2 dz，其中C是由z=1和z=i围成的矩形的边界。

答案：02. 计算积分∮_C (z^2-1)/z dz，其中C是单位圆|z|=1的正向边界。

答案：2πi四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明如果f(z)是解析函数，且f(z)在某个区域内有界，则f(z)在该区域内是常数函数。

复变函数试题及答案

复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。

下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。

若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。

答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。

复变函数课后习题答案解析(全)

习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i --（3）131i i i-- （4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+，因此：32Re , Im 1313z z ==-，1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-，因此，35Re , Im 32z z ==-，34535, arg arctan , 232i z z z +==-=（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3zz =-=，10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3．求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5）3i （6）1i +解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5）3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6）1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4．设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5．解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）51,z i += 由此2551k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6．证明下列各题：（1）设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明：首先，显然有22z x y x y =+≤+；其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。

复变函数的积分例题及解析

复变函数的积分例题及解析例题1：计算复变函数 f(z) = z^3 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周。

解析：根据复变函数的积分定义，可以将复变函数积分转化为对参数t的实函数积分。

即∮ γ f(z) dz = ∫ f(γ(t)) γ'(t) dt。

对于本题中的γ(t) = Rcos(t) + iRsin(t)，γ'(t) = -Rsin(t) + iRcos(t)。

因此：∮ γ f(z) dz = ∫ [Rcos(t) + iRsin(t)]^3 [-Rsin(t) +iRcos(t)] dt= ∫[(R^3cos^3(t) + 3Rcos^2(t)iRsin(t) +3Rcos(t)i^2R^2sin^2(t) + i^3R^3sin^3(t))(-Rsin(t) + iRcos(t))]dt= ∫[-R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +3R^2cos(t)sin^3(t) - iR^4cos(t)sin^3(t) + iR^2cos(t)sin^2(t) - iRsin^4(t) + R^4cos^4(t) + 3R^2cos^3(t)sin^2(t) -3R^2cos(t)sin^4(t) + iR^4cos^3(t)sin(t) - iR^2cos^3(t)sin(t) +iR^4cos(t)sin^3(t)] dt= ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +6R^2cos(t)sin^3(t) - 3R^2cos(t)sin^4(t) + R^4cos^4(t) +6R^2cos^3(t)sin^2(t) + i(R^4cos(t)sin^3(t) - R^2cos(t)sin^2(t) + R^4cos^3(t)sin(t) - R^2cos^3(t)sin(t))] dt对上式分别对t进行积分，积分得到：∮ γ f(z) dz = ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t)] dt -∫[3R^2cos^2(t)sin^2(t)] dt + ∫[6R^2cos(t)sin^3(t)] dt -∫[3R^2cos(t)sin^4(t)] dt + ∫[R^4cos^4(t)] dt +∫[6R^2cos^3(t)sin^2(t)] dt + i[∫(R^4cos(t)sin^3(t)) dt -∫(R^2cos(t)sin^2(t)) dt + ∫(R^4cos^3(t)sin(t)) dt -∫(R^2cos^3(t)sin(t)) dt]=0-0+0-0+π*R^4/2+0+i[0-0+0-0]=π*R^4/2因此，复变函数f(z)=z^3在以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周上的积分值为π*R^4/2例题2：计算复变函数 f(z) = e^z 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为沿单位圆的逆时针方向正向的圆周。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =. 令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -.6. 2k i π，()k z ∈.7. 0；8. i ±；9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑. 2. 解令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)nn n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R < 内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

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且满足，（）分
点列 = 以为聚点
在点列上,
由解析函数的唯一性定理
在的邻域内 = 分
但在这个邻域内又有矛盾
在解析的函数不存在分
一、填空题（每小题2分）
1、复数的指数形式是
2、函数 = 将上的曲线变成 ( )上
的曲线是
3、若 ,则＝
4、 =
5、积分 =
6、积分
7、幂级数的收敛半径R=
8、是函数的奇点
9、
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1、设为任意实数，则 =（）
A无意义B等于1
A B
C D
三、判断题（每小题2分）
1、（）幂级数在 <1内一致收敛
2、（）z= 是函数的可去奇点
3、（）在柯西积分公式中，如果，即a在之外，其它条件
不变，则积分 0，
4、（）函数在的去心邻域内可展成洛朗级数
5、（）解析函数的零点是孤立的
四、计算题（每小题6分）
1、计算积分，C： 1+ 的直线段
＝ = 分
2解: 为一阶极点分
为二阶极点分
分
分
…6分
3解： = …2分
= …5分
（0< <2）…6分
4解：在C内有一个二阶极点＝0和
一个一阶极点 …1分
…3分
…5分
所以原式＝ i …6分
5解：令
…1分
= …3分
被积函数在内的有一个
一阶极点
…5分
I= …6分
6解：分
所以分
于是所求变换分
2、 =
3、若0<r<1，则积分
4、若是的共轭调和函数，那么的共轭调和函数是
5、设为函数 = 的m阶零点，则m =
6、设为函数的n阶极点，那么 =
7、幂级数的收敛半径R=
8、是函数的奇点
9、方程的根全在圆环内
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）
1 ，2 ，3 (2k+1) ,(k=0, )，4 (k=0, )
5 , 6 0 , 7 , 8可去，9 ，10
二单选题（每小题2分，共20分）
1 D 2 D3 A4 A5 B 6 B7C8 D9 A10 A
三判断题（每小题2分，共10分）
1 2 3 4 5
1、若函数在区域D内解析，则函数在区域D内（）
A在有限个点可导B存在任意阶导数
C在无穷多个点可导D存在有限个点不可导
2、使成立的复数是（）
A不存在B唯一的C纯虚数D实数
3、（）
A－ sin1 B sin1C－2 sin1 D 2 sin1
4、根式的值之一是（）
A B C D
5、是的（）
2、计算积分
3、将函数在的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围
4、计算实பைடு நூலகம்分I=
5、求在指定圆环内的洛朗展式
6、求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换
，使符合条件，
五、证明题（每小题7分）
1、设（1）函数在区域内解析
（2）在某一点有，（）
证明：在内必为常数
2、证明方程在单位圆内有个根
一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分）
1 ，2 (k=0,±…)，30，4 ，59
6 ，7 ，8本质，9 ，10
二单选题（每小题2分，共20分）
1B 2 D3C4D5 A6 C7C8D9A10 A
三判断题（每小题2分，共10分）
1 2 3 4 5
四计算题（每小题6分，共36分）
1解：C的参数方程为：z=i+t,0 dz=dt 分
四计算题（每小题6分，共36分）
1解： , 分
…5分
解得: 分
2解：被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0
及二阶极点z=1 分
= 2i(-2+2)=0 分
3解：
= …4分
（ <2）…6分
4解:被积函数为偶函数在上半z平面有两个
一阶极点i,2i…1分
I= …2分
= …3分
= …5分
= …6分
5解： …1分
A可去奇点B一阶极点C一阶零点D本质奇点
6、函数，在以为中心的圆环内的洛朗展式
有m个，则m=( )
A 1 B2C3 D 4
7、下列函数是解析函数的为（）
A B
C D
8、在下列函数中，的是（）
A B
C D
9、设a ，C： =1，则（）
A 0 B i C 2 ie D icosi
10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（）
A B C D
5、下列函数在的去心邻域内可展成洛朗级数的是（）
A B C D
6、下列积分之值不等于0的是( )
A B C D
7、函数在处的泰勒展式为（）
A （ <1）B （ <1）
C （ <1）D （ <1）
8、幂级数在内的和函数是（）
A B C D
9、设a ，C： =1，则（）
A 0 B i C 2 ie D icosi
五证明题（每小题7分，共14分）
1证明：设f(z)=u（x，y）+iv（x，y）
= u（x，y）-iv（x，y）
= v（x，y）-i u（x，y）分
f（z）在D内解析，
四个偏导数为v ，v ，-u ，-u 分
比较f（z）的C－R方程也满足C-R方程
且四个偏导数在D内连续在D内解析分
2证明：假设在解析的函数存在
10、将单位圆共形映射成单位圆外部的分式线性变换是（）
A B
C D
三、判断题（每小题2分）
1、（）对任何复数z, 成立
2、（）若是和的一个奇点,则也是的奇点
3、（）方程的根全在圆环内
4、（）z= 是函数的三阶极点
5、（）解析函数的零点是孤立的
四、计算题（每小题6分）
1、已知在上解析,求a,b,c,d的值
C是复数其实部等于1 D是复数其模等于1
2、下列命题正确的是（）
A B零的辐角是零
C仅存在一个数z,使得 D
3、下列命题正确的是（）
A函数在平面上处处连续
B如果存在,那么在解析
C每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D如果v是u的共轭调和函数,则u也是v的共轭调和函数
4、根式的值之一是（）
2、求函数在所有孤立奇点（包括）处的留数
3、将函数在的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域
4、计算积分 ,C: ，
5、计算实积分I=
6、求将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换
使符合条件，
五、证明题（每小题7分）
1、设函数在区域内解析，证明：函数也在内解析
2、证明：在解析，且满足的，（）的函数不存在
= …3分
= …6分
6解: =L(i)=k 分
…3分
…4分
…6分
五证明题（每小题7分，共14分）
1证明:设在解析
由泰勒定理 …2分
由题设， …4分
由唯一性定理 …7分
2证明：令，分
(1）及在解析
(2）上，
<5 分
故在上，由儒歇定理在内
…7分
一、填空题（每小题2分）
1、的指数形式是