蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第2~5章)【圣才出品】
数理经济学_茹少峰_第1章课后题及答案
第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。
美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。
Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。
路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。
杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。
因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。
2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。
解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。
因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。
计量经济学(第四版)习题及参考答案解析详细版
计量经济学（第四版）习题参考答案潘省初第一章 绪论1.1 试列出计量经济分析的主要步骤。
一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说） （2）建立计量经济模型 （3）收集数据 （4）估计参数 （5）假设检验 （6）预测和政策分析 1.2 计量经济模型中为何要包括扰动项?为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。
1.3什么是时间序列和横截面数据? 试举例说明二者的区别。
时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。
横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。
如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。
1.4估计量和估计值有何区别？估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。
在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。
如Y就是一个估计量，1nii YY n==∑。
现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。
第二章 计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。
2.2请用例2.2中的数据求北京男生平均身高的99％置信区间NS S x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为 x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。
数学分析第四版答案 (3)
数学分析第四版答案简介《数学分析第四版》是一本经典的数学教材，主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。
本文档旨在提供《数学分析第四版》习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握数学分析的知识。
第一章简介1.1 数学分析的基本概念习题答案：1.由已知条件可知，当a=a时，a(a)=a(a)成立。
所以函数a(a)是一个常函数。
2.对于任意实数a和a，有a(a+a)=a(a)+a(a)，即函数a(a)满足加法性。
根据题意，我们需要证明a(aa)=a(a)a(a)。
证明：设实数a和a，并令a=a和 $b=\\frac{y}{x}$，根据加法性，我们有：$$ f(a+b) = f(a) + f(b) \\quad \\text{(1)} $$将a=a和 $b=\\frac{y}{x}$ 代入上式，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(x) +f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(2)} $$又根据题目条件，我们知道a(aa)=a(a)a(a)，将$b=\\frac{y}{x}$ 代入该式，得到：$$ f(xy) = f\\left(x\\cdot\\frac{y}{x}\\right) =f(x)f\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\quad \\text{(3)} $$将式 (3) 代入式 (2)，得到：$$ f\\left(x + \\frac{y}{x}\\right) = f(xy) \\quad \\text{(4)} $$根据题目条件中的函数性质，我们得到：$$ x+\\frac{y}{x} = xy $$上式可以转化为二次方程的形式，解得：$$ x^2 - xy + \\frac{y}{x} = 0 $$由上式可知，a是方程a2−aa+a=0的一个根。
根据韦达定理，该方程的两个根分别为：$$ x_1 = \\frac{y+\\sqrt{y^2+4}}{2} \\quad \\text{和}\\quad x_2 = \\frac{y-\\sqrt{y^2+4}}{2} $$由于题目中没有限制a的取值范围，所以a可以取任意实数。
《数理金融》习题参考答案
题3-2CAMP模型的基本含义是什么？
解：（3.3.5）式和（3.3.7）式就是消费-资本资产定价模型的基本形式。它们非常深刻地揭示了资产价格与个人消费之间的关系，一般均衡与资产定价之间的关系。它们表明：
（1）资产的预期收益（价格）与消费的边际效用之间的协方差负相关。换句话说，其等价的命题是，消费的预期效用应该和资产的预期收益是一致的。
题1-11已知
求出收益曲线和现值函数。
解：改写 为
，
则可以给出以下的收益曲线
因此，现值函数为
第二章（P109）
题2-1在金融学中，资产和资产结构是如何定义的？
解：参考定义2.3.4和定义2.3.5。
题2-2不确定性与风险二者是什么关系？风险与协方差的基本关系是什么？
解：本题第一问可参考2.4节第一个自然段，第二问答案就是本章（2.4.15）式。
对于年利率 ，第一个现金流序列的现值为
其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是
46.083，43.794，43.760，45.627
因此，公司应在两年后购买新机器。
题1-7一个打算在20年后退休的人，决定今后240个月每月月初在银行存款 ，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息一次的名义年利率为6%，那么 的值应该为多少？
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第10章 指数函数与对数函数)【圣才
第10章指数函数与对数函数练习10.11．在一个图中绘出指数函数y＝3t和y＝32t的图形。
（a）这两个图形是否与教材图10.2（a）反映了相同的一般位置关系？（b）这两条曲线是否有相同的y截距？为什么？（c）在此图中画出函数y＝33t的图形。
解：（a）y＝3t和y＝32t分别为如图10-1所示的两条曲线。
图10-1y＝3t和y＝32t的图形与教材10.2（a）反映了相同的一般位置关系。
（b）这两条曲线具有相同的y截距，因为30＝1。
（c）函数y＝33t的图形如图10-1所示。
2．在同一图中绘出指数函数y＝4t与y＝3（4t）的图形。
（a）两条曲线是否与教材图10.2（b）表示大致相同的位置关系？（b）两条曲线是否有同样的y截距？为什么？（c）在同一图中绘出函数y＝3（4t）/2的图形。
解：（a）y＝4t和y＝3（4t）曲线为如图10-2所示的两条曲线。
y＝4t和y＝3（4t）的曲线与教材10.2（b）中的曲线有大致相同的位置关系。
图10-2（b）两条曲线不具有同样的y截距，因为40＝1，3×40＝3。
（c）函数y＝3（4t）/2的图形如图10-2所示。
3．认可e t的导数为其自身，运用链式法则求下列函数的dy/dt：（a）y＝e5t；（b）y＝4e3t；（c）y＝6e－2t。
解：（a）dy/dt＝[dy/d（5t）][d（5t）/dt]＝5e5t。
（b）dy/dt＝[dy/d（3t）][d（3t）/dt]＝12e3t。
（c）dy/dt＝[dy/d（－2t）][d（－2t）/dt]＝－12e－2t。
4．根据我们对（10.1）的讨论，你能预期函数y＝e t是以递增速率单调地递增吗？通过确定此函数的一阶和二阶导数的符号验证你的答案。
在验证答案时，记住此函数的定义域为全体实数的集合，即区间（－∞，＋∞）。
解：y′＝e t＞0，y″＝e t＞0。
所以，函数是以递增速率单调地递增。
5．在（10.2）中，若a与c被赋予负值，则教材图10.2中的曲线图形便不再适用。
经济学基础第四版习题答案
第一章1，一般的，相对于人类社会的无限欲望而言，生产人类所需物品的资源总是不足的。
这就是资源的稀缺性。
资源的稀缺性不是指资源绝对数量的多少，而是指相对于无限的欲望而言，再多的资源也是不足的。
即稀缺性是就相对意义而言的。
欲望的基本特点在于无限性，即人们得欲望永远没有完全得到满足的时候，人的欲望要用各种物品或劳务来满足，而物品要用各种资源来生产，这些资源包括人力资源和自然资源。
然而，人类赖以生存的地球的资源是有限的，这样无限的欲望与有限的资源的矛盾就形成了经济学所说的稀缺性。
2，人类社会作面临的基本问题。
面对资源稀缺性的事实，人类社会都必须面对和解决三个基本的经济问题。
他们是：生产什么，如何生产和为谁生产。
（1）生产什么商品和生产多少。
一个社会必须决定，在诸多可能的物品和劳务中，每一种应该生产多少以及何时生产，生产多少消费品和投资品。
（2）如何生产物品。
一个社会必须决定谁来生产，使用何种资源，以及采用何种生产技术。
（3）为谁生产。
谁来享用经济活动的成果？收入和财富的分配是公平合理的吗？社会产品如何在不同的居民之间进行分配？是否会出现贫富差距？3，微观经济学以单个经济单位为研究对象，通过研究单个经济单位的经济行为和相应的经济变量数值的决定来说明价格机制如何解决社会的资源配置问题。
可见，微观经济学研究的对象是单个经济单位的经济行为，即家庭和企业的经济行为。
微观经济学解决的问题是资源配置。
微观经济学的中心理论是价格理论。
微观经济学的研究方法是个量分析。
相对而言，宏观经济学以整个国民经济为研究对象，通过研究经济中各有关总量的决定及其变化，来说明资源如何才能得到充分利用。
可见，与微观经济学的几个方面相对应的，宏观经济学研究的对象是整个经济。
而不是经济中的各个单位。
宏观经济学解决的问题是资源利用。
它把资源配置最为既定的前提，研究现有资源未能得到充分利用的原因，大到充分利用的途径，以及如何增长等问题。
宏观经济学的中心理论是国民收入决定理论。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第20章 最优控制理论)【圣才出品】
第20章 最优控制理论练习20.2找出下面问题的控制变量、状态变量和协状态变量的最优路径：1．，且y （0）＝2，y （1）自由。
解：这个问题的哈密尔顿函数为H ＝y －u 2＋λu，对于u 是凹的，并且u 没有任何限制，所以应用一阶条件使H 最大化：∂H/∂u ＝－2u ＋λ＝0，从而u （t ）＝λ/2或y ′＝λ/2①λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－1，对其积分可解出λ＝c 1－t 。
又横截性条件为λ（1）＝0，从而c 1＝0，最优协状态变量的路径是λ*（t ）＝1－t 。
由①式，得到y′＝（1/2）（1－t ），通过积分得到y （t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋c 2，通过初始条件y （0）＝2可确定c 2＝2。
这样状态变量的最优路径为y *（t ）＝（1/2）t －（1/4）t 2＋2。
对应的最优控制路径是u *（t ）＝（1/2）（1－t ）。
2．，且y （0）＝10，y （8）自由，u （t ）∈[0，2]。
解：哈密尔顿函数为H ＝6y ＋λ（y ＋u ）＝（6＋λ）y ＋λu ，是关于u 的线性函数，斜率为λ。
为使H 最大化，当λ＞0时，取u ＝2；当λ＜0时，取u ＝0。
λ的运动方程是λ′＝－∂H/∂y ＝－6－λ，该方程的通解是λ（t ）＝Ae －t －6。
通过横截性条()120Max d ..y u t s t y u -' =⎰80Max 6d ..y t s t y y u ' =+⎰件λ（T ）＝λ（8）＝0可以确定A ＝6e 8，从而协状态变量的最优路径是λ*（t ）＝6e 8－t －6。
这是一个关于t 的单减函数，且λ*（8）＝0，从而对于t ∈[0，8]，λ*（t ）≥0。
所以取控制变量u 的最优路径为u *＝2。
由运动方程有y ′＝y ＋u ＝y ＋2，该方程的通解为y （t ）＝ce t －2。
由初始条件y （0）＝10可确定出c ＝12，从而状态变量的最优路径为y *（t ）＝12e t －2。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第6~9章)【圣才出品】
v7 v 7
v7
v7
v7
因为左极限与右极限相等，所以 v→7 时 q 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
2．已知 q＝[（v＋2）3－8]/v，（v≠0），求：
（a）
lim
v0
q
；
（b）
lim
v2
q
；
（c）
lim
va
q
。
解
：
（
a
（c）求 f′（3）和 f′（4）。
解：（a）Δy＝4（x＋Δx）2＋9－（4x2＋9）＝8xΔx＋4Δx2，差商为：Δy/Δx＝（8xΔ
x＋4Δx2）/Δx＝8x＋4Δx。
（b） dy f x lim y lim 8x 4x 8x
dx
x x0
x 0
（c）f′（3）＝3×8＝24，f′（4）＝4×8＝32。
2．已知函数 y＝5x2－4x： （a）求作为 x 和Δx 的函数的差商； （b）求导数 dy/dx； （c）求 f′（2）和 f′（3）。 解：（a）Δy＝5（x＋Δx）2－4（x＋Δx）－（5x2－4x）＝10xΔx＋5Δx2－4Δx。 差商为：Δy/Δx＝（10xΔx＋5Δx2－4Δx）/Δx＝10x＋5Δx－4。
（a）
lim
v
q
；
（b）
lim q
v
。
解：（a） lim q lim 5 1 5
v
v
v
（b） lim q lim 5 1 5
v
v
v
4．运用教材图 6.3 证明：我们不能将（L＋a2）看做当 v 趋近于 N 时 q 的极限。 证：教材中图 6.3 如下所示：
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蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第17~20章)【圣才出品】
蒋中一《数理经济学的基本方法》（第4版）课后习题详细分析和解答第17章离散时间：一阶差分方程练习17.21．将下列差分方程变换为（17.2″）的形式。
（a）Δy t＝7（b）Δy t＝0.3y t（c）Δy t＝2y t－9解：（a）y t＋1＝y t＋7。
（b）y t＋1＝1.3y t。
（c）y t＋1＝3y t－9。
2．用迭代法解下列差分方程：（a）y t＋1＝y t＋1（y0＝10）；（b）y t＋1＝αy t（y0＝β）；（c）y t＋1＝αy t－β（当t＝0时，y t＝y0）。
解：（a）y1＝y0＋1，y2＝y1＋1＝y0＋2，y3＝y2＋1＝y0＋3。
不难看出，一般而言，对任意时期t，y t＝y0＋t＝10＋t。
（b）y1＝αy0，y2＝αy1＝α2y0，y3＝αy2＝α3y0。
不难看出，一般而言，对任意时期t，y t＝αt y0＝βαt。
（c）y 1＝αy 0－β，y 2＝αy 1－β＝α2y 0－αβ－β，y 3＝αy 2－β＝α3y 0－α2β－αβ－β。
不难看出，一般而言，对任意时期t，()120=1t t t t y y αβααα---++++ 3．按（17.6）式改写上题中的差分方程，并用公式（17.8′）或（17.9′）解之（哪个方便用哪个）。
答案与用迭代法求得的答案一致吗？解：（a）改写：y t＋1－y t ＝1（y 0＝10）。
a＝－1，c＝1，由（17.9′），定解为y t ＝y 0＋ct＝10＋t。
答案与用迭代法求得的答案一致。
（b）改写：y t＋1－αy t ＝0（y 0＝β）。
a＝－α，c＝0。
若α≠1，由（17.8′），定解为y t ＝y 0αt ＝βαt 。
若α＝1，则a＝－1，由（17.9′），定解为y t ＝y 0＋ct＝β。
不难发现，定解的形式可以统一为y t ＝βαt 。
答案与用迭代法求得的答案一致。
（c）改写：y t＋1－αy t ＝－β（当t＝0时，y t ＝y 0）。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第9章 最优化：一类特殊的均衡分析)
第9章最优化：一类特殊的均衡分析练习9.21．假设定义域为全部实数的集合，求下列函数的稳定值，并检验其为相对极大值、极小值还是拐点：（a）y＝－2x2＋8x＋7；（b）y＝5x2＋x；（c）y＝3x2＋3；（d）y＝3x2－6x＋2。
解：（a）令y′＝－4x＋8＝0，解得x＝2。
当x＜2时，y′＞0；当x＞2时，y′＜0。
所以，稳定值y＝－2×22＋8×2＋7＝15是函数的极大值。
（b）令y′＝10x＋1＝0，解得x＝－1/10。
当x＜－1/10时，y′＜0；当x＞－1/10时，y′＞0。
所以，稳定值y＝5×（－1/10）2－1/10＝－1/20是函数的极小值。
（c）令y′＝6x＝0，解得x＝0。
当x＜0时，y′＜0；当x＞0时，y′＞0。
所以，稳定值y ＝3是函数的极小值。
（d）令y′＝6x－6＝0，解得x＝1。
当x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝3×1－6×1＋2＝－1是函数的极小值。
2．假设定义域为区间[0，∞），求下列函数的稳定值，并检验其为相对极小值、极大值，还是拐点：（a）y＝x3－3x＋5；（b）y＝x3/3－x2＋x＋10；（c）y＝－x3＋4.5x2－6x＋6。
解：（a）令y′＝3x2－3＝0，解得x＝1。
当0≤x＜1时，y′＜0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝1－3＋5＝3是函数的极小值。
（b）令y′＝x2－2x＋1＝0，解得x＝1。
当0≤x＜1时，y′＞0；当x＞1时，y′＞0。
所以，稳定值y＝1/3－1＋1＋10＝31/3是函数的拐点。
（c）令y′＝－3x2＋9x－6＝0，解得x1＝1，x2＝2。
当0≤x＜1时，y′＜0；当1＜x＜2时，y′＞0；当x＞2时，y′＜0。
所以，稳定值y＝－1＋4.5－6＋6＝3.5是函数的极小值，稳定值y＝－23＋4.5×22－6×2＋6＝4是函数的极大值。
数理经济学习题参考答案
1
2
则有
6
x >0 ⇒ u =1 2
⇒ 2−x −x = 0
⇒
(2x
) 1
2
−1 x
=0
1
1
⇒ x = 0 or x = 1
1
12
⇒ x = 2 or x = 3
2
1
2
其中所用到的条件依次为第二互补条件, 第三互补条件, 第一互补条件. 由于 x = (0,2)T
不满足梯度差非负的第一个条件, 删去. 同理
kλ
l =1 1l
= 1,
kλ
l =1 2l
= 1,
且使得
∑k
y1 = λ xl 1l l =1 ∑k
y2 = λ xl 2l l =1
对于任意 λ ∈ (0,1), 由于 λλ + (1 − λ)λ ≥ 0, l = 1, 2, ", k , 且
1l
2l
因此
( ) ( ) ( ) ∑k λλ + (1−λ)λ = ∑k λλ + ∑k (1− λ)λ
11. 证明: 显然所有包含 S 的半空间的交集仍然包含 S . 现证该交集也包含于 S , 否则必存 在 x 属于半空间的交集但不属于 S , 则根据凸集分离定理, 存在实数 α 与不为 0 的向量 u 使得对于任意 z ∈ S 都有
uT z > α > uT x
{ } { } 这表明 S ⊂ y : uTy ≥ α , x ∉ y : uTy ≥ α , 或者说我们找到了一个新的包含了 S 的半
x1 x1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + (1 − λ)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜f
x2 x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝λf
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第12章 具有约束方程的最优化)【圣
第12章具有约束方程的最优化练习12.21．运用拉格朗日乘数法求z的稳定值：（a）z＝xy，满足约束x＋2y＝2；（b）z＝x（y＋4），满足约束x＋y＝8；（c）z＝x－3y－xy，满足约束x＋y＝6；（d）z＝7－y＋x2，满足约束x＋y＝0。
解：（a）拉格朗日函数为：Z＝xy＋λ（2－x－2y），稳定值的必要条件为：Zλ＝2－x－2y＝0Z x＝y－λ＝0Z y＝x－2λ＝0解得：λ*＝1/2，x*＝1，y*＝1/2，故z的稳定值为z*＝1/2。
（b）拉格朗日函数为：Z＝xy＋4x＋λ（8－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝8－x－y＝0Z x＝y＋4－λ＝0Z y＝x－λ＝0解得：λ*＝6，x*＝6，y*＝2，故z的稳定值为z*＝36。
（c）拉格朗日函数为：Z＝x－3y－xy＋λ（6－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝6－x－y＝0Z x＝1－y－λ＝0y解得λ*＝－4，x*＝1，y*＝5，故z的稳定值为z*＝－19。
（d）拉格朗日函数为：Z＝7－y＋x2＋λ（－x－y），稳定值的必要条件为：Zλ＝－x－y＝0Z x＝2x－λ＝0Z y＝－1－λ＝0解得λ*＝－1，x*＝－1/2，y*＝1/2，故z的稳定值为z*＝27/4。
2．在上题中，约束条件略微放松是增加还是降低了z的最优值，增加或降低的速率是多少？解：（a）增加，增加的速率为：dz*/dc＝λ*＝1/2。
（b）增加，增加的速率为：dz*/dc＝λ*＝6。
（c）降低，降低的速率为：dz*/dc＝λ*＝－4。
（d）降低，降低的速率为：dz*/dc＝λ*＝－1。
3．写出下列函数的拉格朗日函数和稳定值的一阶条件（不必解方程）：（a）z＝x＋2y＋3w＋xy－yw，满足约束x＋y＋2w＝10；（b）z＝x2＋2xy＋yw2，满足约束2x＋y＋w2＝24和x＋w＝8。
解：（a）拉格朗日函数为：Z＝x＋2y＋3w＋xy－yw＋λ（10－x－y－2w）稳定值的一阶条件为：Zλ＝10－x－y－2w＝0Z x＝1＋y－λ＝0y Z w ＝3－y －2λ＝0 （b ）拉格朗日函数为：Z ＝x 2＋2xy ＋yw 2＋λ（24－2x －y －w 2）＋v （8－x －w ） 稳定值的一阶条件为： Z λ＝24－2x －y －w 2＝0 Z v ＝8－x －w ＝0 Z x ＝2x ＋2y －2λ－v ＝0 Z y ＝2x ＋w 2－λ＝0 Z w ＝2yw －2λw －v ＝04．若将约束条件写成G （x ，y ）＝0，而不是写成g （x ，y ）＝c 的形式，那么，拉格朗日函数和一阶条件应如何修正？ 解：拉格朗日函数应修正为：一阶条件应修正为： Z λ＝－G （x ，y ）＝0 Z x ＝f x －λG x ＝0 Z y ＝f y －λG y ＝05．在讨论全微分法时，我们曾指出已知约束条件g （x ，y ）＝c ，可以推导出dg ＝0。
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第8章 一般函数模型的比较静态分析)
5．上题中两个偏弹性如何随 P 和 R 的变化而变化？若 P 和 R 为正，变化是严格单调的吗？ 解：∂εQP/∂P＝4bP（a＋R1/2）/（a＋bP2＋R1/2）2，∂εQP/∂R＝－bP2R－1/2/（a＋bP2＋R1/2） 2＜0。 所以，供给的价格弹性随 R 增大而减小；如果 a＋R1/2＞0，则随 P 的增大而增大，如果 a ＋R1/2＜0，则随 P 的增大而减小，如果 a＋R1/2＝0，则不随 P 变化。但是供给的价格弹性 关于 R 和 P 的变化都是单调的。
4．某商品的供给函数为： Q＝a＋bP2＋R1/2（a＜0，b＞0）[R：降雨量] 求供给的价格弹性 εQP，供给的降雨量弹性 εQR。 解：供给的价格弹性为：εQP＝（∂Q/∂P）/（Q/P）＝2bP/[（a＋bP2＋R1/2）/P]＝2bP2/ （a＋bP2＋R1/2）。 供给的降雨量弹性为：εQR＝（∂Q/∂R）/（Q/R）＝（R－1/2/2）/[（a＋bP2＋R1/2）/R]＝ R1/2/8.2
1．以梯度向量▽U 表示全微分 dU。
dx1
dx2
解：▽U 为行向量（U1，U2，…，Un），而 dx 为列向量 dxn
那么全微分
dU U1,U2 ,
dx1
,U
蒋中一《数理经济学的基本方法》(第4版)课后习题详细分析和解答(第4章 线性模型与矩阵代数)【圣才出
4 30
CB 也有定义：
CB
7 6
2 2
2 3
3 3
7 6
0 0
2 8 3 8
20
21
16 24
BC＝CB 不成立。
3．在例 9 给出的矩阵的基础上，判断 BA 是否有定义？若有，计算其积。在此例中，我们 是否有 AB＝BA？
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5．在例 7 中，如果我们将数量和价格写成列向量而非行向量，Q·P 有定义吗？我们能否将 总采购成本表示为 Q·P？或 Q′·P？或 Q·P′？ 答：Q·P 有定义。两个元素个数相同的向量的内积是对应元素的积的和，两个行向量、两个 列向量、一个行向量和一个列向量、一个列向量和一个行向量的内积均有定义。所以能将采 购成本表示为 Q·P 或 Q′·P 或 Q·P′。
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Qd1 Qs1 Qd1
Qs1
0
a1P1 a2 P2 a0
b1P1 b2 P2 b0
Qd 2 Qs2
0
Qd 2
1P1 2 P2 0
Qs2 1P1 2 P2 0
则系数矩阵为
1 1 0 0 0 0
Qd－Qs＝0
Qd＋bP＝a
Qs－dP＝－c
1 1 0
0
1 0
b
a
如果系数矩阵为 0 1 d ，则常数向量为 c 。
2．变量按下列顺序排列：Qd1，Qs1，Qd2，Qs2，P1，P2。按（4.1）方式改写方程组（3.12）。 写出系数矩阵、变量向量和常数向量。 解：将方程组（3.12）改写为：
，常数向量为
《数理经济学的基本方法》作业题答案
凸函数，或者都不是。
(������)������ = ������������
解：此题可采用海塞行列式或一阶导数判断。
方法 1：由题目可知������������ = −������，������������ = −������，������������������ = 0，������������������ = 0，������������������ = ������������������ = −1。
������′(3) = ������"(3) = ������(3)(3) = ������(4)(3) = ������(5)(3) = 0, ������(6)(3) = 720 > 0
故������(3) = 7为函数的相对极小值点。
(������)������ = (������ − ������������)������ + ������
������(������)
=
−3
+
(−2)
∙
(������
+
2)
+
(−4) 2!
∙
(������
+
2)2
+
(−12) 3!
∙
(������
+
2)3
+
(−48) 4!
∙
(������
+
2)4
+
⋯
= −3 − 2(������ + 2) − 2(������ + 2)2 − 2(������ + 2)3 − 2(������ + 2)4 − ⋯
4
������"(������) =
数理经济学参考答案
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1
( y )
1 1 ( )x ( )y
(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
N / RN 5. 不是。因为 x ∈ RN ++ 故 R+ 在标量乘法的意义上不是闭的。 ++ , α < 0 ⇒ αx ∈
6. 证明：∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ，S1 是 X 的子空间 ⇒ αx + β y ∈ S1 , 同理, αx + β y ∈ S2 7. 证明： (a) ∀x ∈ intS ⇒ ∃Br (x) ⊆ intS ; S ⊆ T ⇒ Br (x) ∈ T ⇒ intS ⊆ intT ¯ ⇒ x ∈ intS ∪ ∂ (S ), 若 x ∈ intS , S ⊆ T ⇒ x ∈ T ⊆ T ¯; 若 x ∈ ∂ (S ) ⇒ ∀Br (x) 包 (b) ∀x ∈ S ¯⊆T ¯ 含 S 中的某些点，由于 S ⊆ T, 因此或者 x ∈ intT, 或者 x ∈ ∂ (T )。综上，S 8. ∂ (S ) = S ∪ {0} 9. 若 ∂ (S ) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ ∂ (S ), 由于 S ＝ intS ∪∂ (S ), 因此 x ∈ S , 这与 S 是开集矛盾，故 ∂ (S ) = ∅ 10. 证明： (a) 令 G = ∪α Gα , ∀Gα 为开集。∀x ∈ G ⇒ ∃α, x ∈ Gα ; Gα 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Gα ⊆ G ⇒ G 为开集 (b) 令 H = ∩N i=1 Hi , Hi 为开集。∀x ∈ H ⇒ x ∈ Hi , i = 1, . . . , N ; Hi 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Hi ⇒ Br (x) ∈ H ⇒ x 为内点 ⇒ H 为开集 ( )C C C (c) (2) 利用 ∩N = ∪N i=1 Gi i=1 Gi ，(∪α Hα ) = ∩α Hα 2
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练习 2.4
1．给定 S1＝{3，6，9}，S2＝{a，b}及 S3＝{m，n}，求笛卡儿积： （a）S1×S2；（b）S2×S3；（c）S3×S1。 答：（a）S1×S2＝{（3，a），（3，b），（6，a），（6，b），（9，a），（9，b）}。 （b）S2×S3＝{（a，m），（a，n），（b，m），（b，n）}。 （c）S3×S1＝{（m，3），（m，6），（m，9），（n，3），（n，6），（n，9）}。
A∪（B∩C）可以表示为：
（A∪4
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（A∪B）∩（A∪C）可以表示为：
所以 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）成立。 然后验证 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）。 （B∪C）可以表示为：
9．例 6 表明∅ 是 U 的补集，但因空集是任意集合的子集，所以它必定是 U 的子集。 因为“U 的补集”这个术语具有“不．在．U 中”的含义，而“U 的子集”这一术语又有“包 含在 U 中”的含义。∅ 同时具有这两种含义，似乎是自相矛盾的，你如何解释这个谜？
答：全集 U 的补集为 U x | x U ，该术语的含义“不在 U 中”是通过符合“∉ ”
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蒋中一《数理经济学的基本方法》（第 4 版）课后习题详细分析和解答
第 2 章 经济模型
练习 2.3
1．用集合符号写出下列集合：（a）大于 34 的所有实数集；（b）大于 8 但小于 65 的 所有实数集。
答：（a）大于 34 的所有实数集可以表示为：A＝{x|x＞34}。 （b）大于 8 但小于 65 的所有实数集可以表示为：A＝{x|8＜x＜65}。
3．一般而言，S1×S2＝S2×S1 是否成立？在什么条件下，这两个笛卡儿积相等？ 答：一般而言，S1×S2＝S2×S1 不成立，原因在于：笛卡尔积是有序偶构成的集合，叉 乘的顺序不同，笛卡尔积中元素的顺序可能不同。只有在 S1＝S2 的条件下，这两个笛卡尔 积相等。
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2．根据上题给出的信息，求笛卡儿积 S1×S2×S3。 答：S1×S2×S3 的笛卡尔积为：{（3，a，m），（3，a，n），（3，b，m），（3，b，n）， （6，a，m），（6，a，n），（6，b，m），（6，b，n），（9，a，m），（9，a，n），（9，b， m），（9，b，n）}。
3．根据上题给出的四个集合，求：
（a）S1∪S2； （b）S1∪S3； （c）S2∩S3；
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（d）S2∩S4；
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（e）S4∩S2∩S1；
（f）S3∪S1∪S4。
答：（a）S1∪S2＝{2，4，6，7}。
（b）S1∪S3＝{2，4，6}。
5．已知集合 A＝{4，5，6}，B＝{3，4，6，7}，C＝{2，3，6}，验证分配律。 证明：首先验证 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C），有： A∪（B∩C）＝{4，5，6}∪{3，6}＝{3，4，5，6} （A∪B）∩（A∪C）＝{3，4，5，6，7}∩{2，3，4，5，6}＝{3，4，5，6} 所以 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）成立。 然后验证 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），则有： A∩（B∪C）＝{4，5，6}∩{2，3，4，6，7}＝{4，6}
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（A∩B）∪（A∩C）＝{4，6}∪{6}＝{4，6} 所以 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）成立。 综上，分配律得证。
6．用维恩图法，根据逐次形成阴影的不同顺序，验证分配律。 答：首先验证 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）。 （B∩C）可以表示为：
（c）S2∩S3＝{2，6}。
（d）S2∩S4＝{2}。
（e）S4∩S2∩S1＝{2}。
（f）S3∪S1∪S4＝{2，4，6}。
4．下述哪些说法是正确的？
（a）A∪A＝A；（b）A∩A＝A；（c）A∪∅ ＝A；（d）A∪U＝U；（e）A∩∅ ＝∅ ；（f）
A∩U＝A；（g） A 的补集是 A。
答：（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）都是正确的。
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8．列举集合 S＝{a，b，c，d}的所有子集。共有多少个？ 答：S＝{a，b，c，d}的所有子集为：∅ 、{a}、{b}、{c}、{d}、{a，b}、{a，c}、{a， d}、{b，c}、{b，d}、{c，d}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，c，d}、{b，c，d}、{a，b，c， d}。共有 16 个子集。
2．给定集合 S1＝{2，4，6}，S2＝{7，2，6}，S3＝{4，2，6}，S4＝{2，4}，下面哪些 说法正确？
（a）S1＝S3；（b）S1＝R；（c）8∈S2；（d）3∉ S2；（e）4∉ S3；（f）S4⊂R；（g）S1 ⊃S4；（h）∅ ⊂S2；（i）S3⊃{1，2}。
答：（a）（d）（f）（g）（h）是正确的。（b）应为 S1⊂R，（c）应为 8∉ S2，（e）应为 4 ∈S3，（i）应为{1，2}⊄ S3。
A∩（B∪C）可以表示为：
（A∩B）可以表示为：
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（A∩C）可以表示为：
（A∩B）∪（A∩C）：
所以，A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）成立。 综上，分配律得证。 7．列举集合{5，6，7}的所有子集。 答：{5，6，7}的所有子集为：∅ 、{5}、{6}、{7}、{5，6}、{5，7}、{6，7}、{5，6， 7}。 注：集合包含 n 个元素，其子集数为 2n。