j浙江省高考中的解析几何大题

高二理科数学寒假网络课程（五）
--浙江省高考中的解析几何大题
浙江省近几年高考中，解析几何大题难度较大，作为压轴题能较好的区分学生的程度，题目新颖，变化多端，掌握起来没有固定套路。

2013年：椭圆,圆,直线综合.(1)求椭圆方程 (2)最值条件下求直线方程2012年：椭圆,直线综合. (1)求椭圆方程 (2)最值条件下求直线方程2011年：抛物线,圆,直线综合. (1)求点到准线距离 (2)求直线方程2010年：椭圆,圆,直线综合. (1)求直线方程 (2)求参数取值范围2009年：椭圆,抛物线,直线综合.(1)求椭圆方程 (2)求参数的最值
（2013年浙江）
如图，点P(0，－1)是椭圆C1：22
221
x y
a b
+=(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．
(1)求椭圆C
1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：
x 2＋y 2＝4的直径，l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D ． (1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
解：(1)由题意得1,2.
b a =⎧⎨=⎩ 所以椭圆C 的方程为2
4x ＋y 2＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．
由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.
又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离2
1
1
d k =+，
所以22
2
43
||2421
k AB d k +=-=+. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由22
0,44,
x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩ 得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故02
84k
x k
=-+. 所以|PD |＝22814k k ++. 设△ABD 的面积为S ，
则S ＝1
2
|AB |·|PD |＝22
8434k k ++， 所以S ＝2232
134343k k +++≤22321613131324343
k k =+⋅+，
当且仅当10
2
k =±
时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝10
2
x ±
－1.
（2012年浙江） 如图，椭圆C ：22
22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12
，其左焦点到点
P (2，1)
的距离为
10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB
被直线OP 平分． (1)求椭圆C 的方程；
(2) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．
如图，椭圆C ：22
22+1x y a b =(a ＞b ＞0)的离心率为12
，其左焦点到点P (2，1)的距离为
10．不过原点
O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． (1)由题：12
c e a ==； (1)
左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：
22(2)1d c =++=
10． (2)
由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．
∴所求椭圆C 的方程为：22
+143
x y =．
(2)易得直线OP 的方程：y ＝1
2x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12
x 0． ∵A ，B 在椭圆上，
∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=
=-=-=-⎨-+⎪=⎪⎩． 设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒
-+-=⎨
⎪+⎪⎩＝-．
显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->． ∴﹣12＜m ＜12且m ≠0．
由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB |＝1AB k +|A B x x -|＝1AB k +2
()4A B A B x x x x +-＝1AB
k +243
m -
．
∵点P (2，1)到直线l 的距离为：31211AB
AB
m m d k k -+-+=
=
++．
∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝1
2
|m ＋2|243m -，
当|m ＋2|＝
2
43
m -
，即m ＝﹣3 or m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝12
．
此时直线l 的方程y ＝﹣312
2
x +．
(2011年浙江）
已知抛物线
1:
C2x＝y，圆2:
C22
(4)1
x y
+-=的圆心为点M。

（Ⅰ）求点M到抛物线
1
C的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线
1
C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条
切线，交抛物线
1
C于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线
l的方程.
已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.
A
B
P
O
1F
2F
x
y
[练习]
如图，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，
2(0)F c ，．已知(1)e ，和32e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，
2AF 与1BF 交于点
P ．若126
2
AF BF -=
，求直线1AF 的斜率；。