简单线性规划-高中数学知识点讲解

简单线性规划

1．简单线性规划

【概念】

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．

【例题解析】

푥+2푦≤8

例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件

{

0≤푥≤4

．

0≤푦≤3

（1）试确定可行域的面积；

（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．

解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，

其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），

则可行域的面积S =1

2퐵퐶⋅퐴퐵

=

1

2×1×2=1．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，

则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，此时z 最小为z＝2+3＝5，

当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，

此时z 最大为z＝4+3＝7，

1/ 5

故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）

这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】

题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是（）

7343

A．3B．7C．3D．

4

4 4

分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平

33

面区域面积的条件即可．

解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx +44

过定点（0，）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx +

33

4

3

能平分平面区域．

15

因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（，）．

22

当y＝kx +4155

过点（，）时，

3222

=

푘

2

+

4

3

，所以k =

7

3

．

答案：A．

点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值

2/ 5

典例 2：设x，y 满足约束条件：，求z＝x+y 的最大值与最小值．

分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．

解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y

达到最大值．故z min＝2，z max＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．

（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题

典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

黄瓜 4 吨 1.2 万元0.55 万元

韭菜 6 吨0.9 万元0.3 万元

为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分

别为（）

A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50

分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化

为线性规划问题．

3/ 5

푥+푦≤50

解析设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知

{

1.2푥+0.9푦≤54

푥，푦∈푁+

求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，

根据题意画可行域如图阴影所示．

当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B

点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：

（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；

（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；

（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值

푦

典例 4：（1）设实数x，y 满足，则푥的最大值为．

→（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|푂퐴+

→

푂푀|的

最小值是．

分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．

푦3

解答：（1）푥表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．

2