2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)
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高考数学一模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.
=（ ）
A.
B.
C.
2. 设集合 A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则 A∩B=（ ）
A. ∅
B. {-1}
C. {-1，0}
D. D. {0，1}
3. 若 x，y 满足不等式组
，则 z=2x-3y 的最小值为（ ）
22. 已知曲线 C1 的参数方程为
B. π
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 cosα=- ，则 cos2α=______．
14. 在（1+x）（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为______（用数字作答）．
15. 已知函数 f（x）是奇函数，且 0≤x1＜x2 时，有
＜1，f（-2）=1，则不等式 x-3≤f
参考公式：K2=
，其中 n=a+b+c+d
临界值表 P（K2≥k0） k0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
第 3 页，共 16 页
20. 已知 O 为坐标原点，椭圆 C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1（-c，0
），F2（c，0），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y=- 与椭圆 C 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
A. （0， ]
B. （0， ]
C. （0， ]
D. （0， ]
11. 已知半圆 C：x2+y2=1（y≥0），A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使
∠BPQ= ，则 t 的取值范围是（ ）
（Ⅱ）是否存在直线 l：y=k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（
）
＜1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！
21. 已知函数 f（x）=ex-ax． （Ⅰ）若函数 f（x）在 x∈（ ，2）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e3＞ 19） （Ⅱ）设 g（x）=f（x）-ax2，若函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2 证明： ．
A.
B.
C.
D.
6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4=3S2，a7=15，则{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4Leabharlann Baidu
7. 运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2017
第 1 页，共 16 页
8. 已知函数 f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标” 与性别有关？ （Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻 炼体会交流， （i）求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ （ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人 数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
4. 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点坐
标为（1，0），若 e=p，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. y= x
B. y=
x
C. y= x
D. y= x
5. 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之 地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图 形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图 标共分为 3 部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩 形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆 半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一 点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）
，C= ．
（Ⅰ）求 cosB 的值； （Ⅱ）若 c= ，求 S 的值．
第 2 页，共 16 页
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，∠BCD= ，PA⊥BD，
AB=2，PA=PD=CD=BC=1． （Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
（x）≤x 的解集为______． 16. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足，Sn=3an-2，数列{nan}的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn
＞100 的最小的 n 值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，△ABC 的面积为 S，且 S=bccosA
19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均 每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼 的时间/分钟
[0，10）
[10，20） [20，30） [30，40）
[40，50） [50，60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在 [40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表；
为 y=2x，则实数 a 的值为（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
9. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC=CC1=1，∠AB1D= ，则直线 AB1 与 BC1 所成角的
余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 f（x）= cosx-sinx 在（0，α）上是单调函数，且 f（α）≥-1，则 α 的取值 范围为（ ）
A. [- ，0）
]
B. [- ，0）∪（0， ]
C. [- ，0）∪（0， ]
D. [- ，0）∪（0， ]
12. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BD=2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面
角 B-AC-D 的余弦值为 ，则所得三棱锥 A-BCD 的内切球的表面积为（ ）
A.
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.
=（ ）
A.
B.
C.
2. 设集合 A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则 A∩B=（ ）
A. ∅
B. {-1}
C. {-1，0}
D. D. {0，1}
3. 若 x，y 满足不等式组
，则 z=2x-3y 的最小值为（ ）
22. 已知曲线 C1 的参数方程为
B. π
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知 cosα=- ，则 cos2α=______．
14. 在（1+x）（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为______（用数字作答）．
15. 已知函数 f（x）是奇函数，且 0≤x1＜x2 时，有
＜1，f（-2）=1，则不等式 x-3≤f
参考公式：K2=
，其中 n=a+b+c+d
临界值表 P（K2≥k0） k0
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
第 3 页，共 16 页
20. 已知 O 为坐标原点，椭圆 C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1（-c，0
），F2（c，0），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 相交所得的弦长为 3，直线 y=- 与椭圆 C 相切． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
A. （0， ]
B. （0， ]
C. （0， ]
D. （0， ]
11. 已知半圆 C：x2+y2=1（y≥0），A、B 分别为半圆 C 与 x 轴的左、右交点，直线 m 过点 B 且与 x 轴垂直，点 P 在直线 m 上，纵坐标为 t，若在半圆 C 上存在点 Q 使
∠BPQ= ，则 t 的取值范围是（ ）
（Ⅱ）是否存在直线 l：y=k（x+c）与椭圆 C 相交于 E，D 两点，使得（
）
＜1？若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明理由！
21. 已知函数 f（x）=ex-ax． （Ⅰ）若函数 f（x）在 x∈（ ，2）上有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．（注 e3＞ 19） （Ⅱ）设 g（x）=f（x）-ax2，若函数 g（x）恰有两个不同的极值点 x1，x2 证明： ．
A.
B.
C.
D.
6. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S4=3S2，a7=15，则{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4Leabharlann Baidu
7. 运行如图程序，则输出的 S 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2017
第 1 页，共 16 页
8. 已知函数 f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程
锻炼不达标
锻炼达标
合计
男
女
20
110
合计
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标” 与性别有关？ （Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出 10 人，进行体育锻 炼体会交流， （i）求这 10 人中，男生、女生各有多少人？ （ii）从参加体会交流的 10 人中，随机选出 2 人作重点发言，记这 2 人中女生的人 数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
A. -2
B. -3
C. -4
D. -5
4. 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点坐
标为（1，0），若 e=p，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. y= x
B. y=
x
C. y= x
D. y= x
5. 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之 地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图 形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图 标共分为 3 部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩 形的长为 3、宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆 半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一 点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）
，C= ．
（Ⅰ）求 cosB 的值； （Ⅱ）若 c= ，求 S 的值．
第 2 页，共 16 页
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，∠BCD= ，PA⊥BD，
AB=2，PA=PD=CD=BC=1． （Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值．
（x）≤x 的解集为______． 16. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足，Sn=3an-2，数列{nan}的前 n 项和为 Tn，则满足 Tn
＞100 的最小的 n 值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，△ABC 的面积为 S，且 S=bccosA
19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生平均 每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼 的时间/分钟
[0，10）
[10，20） [20，30） [30，40）
[40，50） [50，60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均体育锻炼时间在 [40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面 2×2 列联表；
为 y=2x，则实数 a 的值为（ ）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
9. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BC=CC1=1，∠AB1D= ，则直线 AB1 与 BC1 所成角的
余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数 f（x）= cosx-sinx 在（0，α）上是单调函数，且 f（α）≥-1，则 α 的取值 范围为（ ）
A. [- ，0）
]
B. [- ，0）∪（0， ]
C. [- ，0）∪（0， ]
D. [- ，0）∪（0， ]
12. 在边长为 2 的菱形 ABCD 中，BD=2 ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使二面
角 B-AC-D 的余弦值为 ，则所得三棱锥 A-BCD 的内切球的表面积为（ ）
A.