分数阶傅里叶变换FRFT研究-PPT课件
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p * p
电信工程学院
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二.FRFT的基本概念
广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传 统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数
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9
二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的定义及性质
两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2
G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)] =g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)] =g(t)
4.积分相加性（完备性）
p
K ( t , u ) K ( t , u ) p p
q p q
( t , z ) K ( z , u ) dz K ( t , u ) K
5.正交性
( t , u ) K ( t , u ' ) dt ( u u ' ) K
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一.问Байду номын сангаас的提出
有用信号为 2 (t-4) 高斯信号e
干扰为 2 -j t 线性调频信号e .
电信工程学院
7
一.问题的提出
信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.
电信工程学院
8
一.问题的提出
LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探
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二.FRFT的基本概念
分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 1. 零旋转 R0=I 2. 与Fourier变换等价 R /2=F 3. 旋转相加性 RR=R + 4. 恒等变换 R2 =I
分数阶FROURIER变换
电信工程学院
1
本小组人员
李耀民
张咏梅
张陆勇 张风山 王春光 邓天乐
朱雪田 孙华明
电信工程学院
2
分数阶FROURIER变换
目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例
电信工程学院
17
二.FRFT的基本概念
信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式， 并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域 变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一 定的条件。 比如， （1）FFT与IFFT(无条件）
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3
相关术语
FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号
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二.FRFT的基本概念
p
X ( u ) { F x }( u ) x ( t ) K ( t , u ) dt p p
1 2 12 j u cot j t cot 1 j cot 2 jutcsc 2 e x ( t ) e e dt , 2 x(t), x(t),
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二.FRFT的基本概念
核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: p p p 其中核函数为:
2 2
=p/2 1 1 u cot ut csc t cot ) jcot j(1 2 e2 , 若 n 2 K t,u ) ( t u ), 若 2 n p( ( t u ), 若 ( 2 n 1 )
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4
主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 问题的提出 FRFT的基本概念 FRFT的基本性质 一些常见信号的FRFT FRFT的计算方法 FRFT的二维表示 FRFT的应用 FRFT域内的算子 我的想法
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一.问题的提出
信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波
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X ( u ) { F [ x ( t )]} ( u ) K ( t , u ) x ( t ) dt
二.FRFT的基本概念
核函数具有以下性质:
1.互换性 2. 3.
K ( t , u ) K ( u , t ) p p * K ( t , u ) K ( t , u ) p p
若 n 若 2n 若 x (2n1 )
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二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部
虚线: 虚部
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二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)
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二.FRFT的基本概念
广义Fourier变换的两个特例 1.以传统的Fourier变换为例,我们可 以看出,传统的Fourier变换为广义 Fourier变换的一个特例, 在广义 Fourier变换中,令p=1即为传统的 Fourier变换. 此时广义Fourier变换的核函数即为传 统的Fourier变换中的标准正弦正交基函数 2.在广义Fourier变换中,令p=0即为输入的时间函数 x(t),p=0 =0核函数为(t-u) 3.传统的Fourier变换为广义Fourier变换的一个特例 4.核函数为p的连续函数
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二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的定义及性质
两个函数g(t)与G(w)为Fourier变换对 G(w)= g(t) e-jwtdt /√2 g(t)= G(w) ejwtdw /√2
G(w)=F(g(t)) F2(g(t))=F[F(g(t)] =g(-t) F3(g(t))=G(-w) F4(g(t))=F[F3(g(t)] =g(t)
4.积分相加性（完备性）
p
K ( t , u ) K ( t , u ) p p
q p q
( t , z ) K ( z , u ) dz K ( t , u ) K
5.正交性
( t , u ) K ( t , u ' ) dt ( u u ' ) K
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一.问Байду номын сангаас的提出
有用信号为 2 (t-4) 高斯信号e
干扰为 2 -j t 线性调频信号e .
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一.问题的提出
信号:高斯包络的线调频信号(LFM) 干扰为加性实值白噪声.
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一.问题的提出
LFM信号可广泛应用于各种信息系统 通信 雷达 声纳 地质勘探
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二.FRFT的基本概念
分数阶的Fourier变换的定义 Fourier变换可以看成时域与频域的关系，在时频平面上为 旋转/2,我们定义一个实数=p/2,其中p为任意实数，那么是 否存在旋转角度为的Fourier变换？ 旋转角度不为/2的整数倍的情况下,存在什么样的变换呢? 如果存在,则我们称之为分数阶的Fourier变换. 它应具有的基本性质: 1. 零旋转 R0=I 2. 与Fourier变换等价 R /2=F 3. 旋转相加性 RR=R + 4. 恒等变换 R2 =I
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本小组人员
李耀民
张咏梅
张陆勇 张风山 王春光 邓天乐
朱雪田 孙华明
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目标： FRFT 的本质特征之一：旋转不变性 FRFT 的本质特征之二：FRFT的内涵 FRFT特别适用于LFM信号的分析与处理 FFT为FRFT的一个特例
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二.FRFT的基本概念
信号重构:可逆无损失的变换，仅仅改变信号的形式， 并不改变信号的内容，因而信号通过正变换由一个域 变换到另一个域，而通过反变换又回到原始域。 有的信号重构不需要条件,有的信号重构有时需要一 定的条件。 比如， （1）FFT与IFFT(无条件）
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相关术语
FRFT:Fractional Fourier Transform 广义Fourier变换: Fractional Fourier Transform STFT:Short-Time Fourier Transform MSTFT:Modified Short-Time Fourier Transform WD: Wigner Distribution LFM: 线调频信号
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二.FRFT的基本概念
p
X ( u ) { F x }( u ) x ( t ) K ( t , u ) dt p p
1 2 12 j u cot j t cot 1 j cot 2 jutcsc 2 e x ( t ) e e dt , 2 x(t), x(t),
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二.FRFT的基本概念
核概念及性质 设p为任意实数,我们定义广义Fourier变换: p p p 其中核函数为:
2 2
=p/2 1 1 u cot ut csc t cot ) jcot j(1 2 e2 , 若 n 2 K t,u ) ( t u ), 若 2 n p( ( t u ), 若 ( 2 n 1 )
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主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 问题的提出 FRFT的基本概念 FRFT的基本性质 一些常见信号的FRFT FRFT的计算方法 FRFT的二维表示 FRFT的应用 FRFT域内的算子 我的想法
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一.问题的提出
信号的时频滤波 时域滤波 频域滤波 时频域滤波
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X ( u ) { F [ x ( t )]} ( u ) K ( t , u ) x ( t ) dt
二.FRFT的基本概念
核函数具有以下性质:
1.互换性 2. 3.
K ( t , u ) K ( u , t ) p p * K ( t , u ) K ( t , u ) p p
若 n 若 2n 若 x (2n1 )
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二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线: 实部
虚线: 虚部
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二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线） 图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线） 图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部 图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部 图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部 图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)