专题正反比例函数

第二部分：正比例 ，反比例函数

一、 知识点梳理： （一）正比例函数

1、定义：y = kx （k ≠ 0）

2、图象：过点（0，0）和（1，k ）的一条直线。

3、性质：当k ＞ 0 时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大； 当k ＜ 0 时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小。 （二）反比例函数：

1、定义：y = x

k

（k ≠ 0）

2、图象：双曲线。

3、性质：

（1）当k ＞ 0 时，图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小； （2）当k ＜ 0 时，图象在二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大。 （三）拓展：

1、正比例函数y=kx 过点P （x 0, y 0） 则k=

0x y

；

2、 反比例函数x

k y = 过点P （x o , y o ） 则k=x o y o 。

二、知识点检测：

1．已知y 是x 的正比例函数，且当5

1

=x 时，1-=y ，则y 关于x 的函数关系式

是 ，

2．函数x y 9

1

=的图象经过第 象限；当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值

也 ；

3．已知函数x

k

y 21-=在每个象限内自变量x 逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增

大，则k 的取值范围是 ；

4．点P (1，4)、Q (－2，b) 是反比例函数图象上的两个点，则PQ 的长是 ；

5．已知反比例函数图象过P (a ，b)，且a 、b 是方程x 2 －4x + 1=0的两个根，则此反比例函数的解析式为 ； 6．甲、乙两地相距180公里，一辆汽车以每小时40公里的速度从甲地开往乙地，已知汽车行驶t 小时后离乙地的距离是S 公里，则S 与t 的函数关系式为 。

三、校正： 1．已知正比例函数图象过点A (2，－4)，则此正比例函数的解析式为 ； 2．已知y 是x 的反比例函数，它的图象经过点（－1，3），那么这个函数的解析式是 ；

3．已知正比例函数y=（3k+2）x 的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围

为 ；

4．如果y = (m －2)x + (n + 3)是正比例函数，且图象经过A (1，3)，那么m + 2n = ；

5．正比例函数y = kx 的图象和反比例函数y = x

1

-的图象有一个公共点A 的横

坐标为2，这个正比例函数的解析式是 ；

6．某车间每月固定成本是15万元，每生产一台仪器需增加成本2万元，则该车间每月的成本数y （万元）与每月生产仪器的台数x 间的函数关系式是 ；

四、 典型例题： 1．已知函数y = (m －1)2

2-m x

+ n （m 、n 是实数）

（1）当m 、n 取哪些值时，该函数是正比例函数，且函数的图象在第一、三象限？

（2）当m 、n 取哪些值时，该函数是反比例函数，且函数的图象经过第二、四象限？

（一）处理方法：学生思考，老师针对性的讲评。

（二）讲评：解本题的关键是要掌握正、反比例函数解析式及图象的特征。 （三）本题的答案：（1）3=m ，n=0；（2）1-=m ，n=0。

2．已知21y y y +=，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当x=1和x=2时y 的值都是3，求y 与x 之间的函数关系式。

（一）处理方法：学生练习、板演，老师讲解解题方法。

（二）讲评：解本题过程中，需要注意的是正比例函数中的比例系数与反比例函数中的比例系数是两个不同的比例系数，应采用不同的字母21,k k 加以区别。应设x

k x k y 2

1+

=。 （三）本题的答案：2,121==k k ，解析式为x y =+x

2

3．已知在同一直角坐标系中，如果（2，-1）是双曲线x k y =上的一个点，又函

数x

k y =与函数y=-2x 的图象交于P 、Q 两点，点M 在y 轴的负半轴上，且离开

原点的距离为4，求：（1）P 与Q 两点的坐标；（2）∆PMQ 的面积

（一）处理方法：学生讨论、交流，老师讲评。 （二）讲评：“数”与“形”是数学中两个最基本的研究对象，有时要数形结合，

互相联系，将需要求解的问题化难为易。本题在理解题意的基础上，可先画出图形，注意：（1）求P 与Q 两点的坐标要解由这两个函数的解析式所组成的方程组，方程组的解就是这两个点的坐标，所以先要求出反比例函

数的解析式。（2）∆PMQ 的面积可以看作是PMO ∆的面积与QMO ∆的面积的和。

（三）本题的答案：（1）)2,1(-P ，Q )2,1(-；（2）∆PMQ 的面积为4。 五、 课后作业：

简答题：

1． 已知函数12)1(2++-=m x m y ，

（1）当m 为何值时，该函数的图象经过原点，此时的函数解析式是什么？ （2）画出这个函数的图象。

2． 已知13-y 与2x+1成正比例， （1）试用x 的代数式表示y ；

（2）已知当1-=x 时，y=3；求当3

1

-=y 时，x 的值。

3．已知y = y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，并且当x = －1时，y =

－4，当x = 3 时，y = 3

20

，求y 与x 之间的函数关系式

4．已知，正比例函数图象过点A (－4，8) （1）求函数关系式；

（1）如果在y 轴上有一点B ，使S △AOB = 12，求点B 的坐标。