4.空间问题的有限单元法

(2-14)
16
4-3 空间问题有限元法
1）单元类型：八 节点正六面体 的位移向量
e u1 v1 u5 v5 w1 u2 w5 u6 v2 v6 w2 w6 u3 u7 v3 v7 w3 u4 w7 u8 v4 v8 w4 w8
T
2）位移函数
u ( x, y, z ) a1 a2 x a3 y a4 z a5 xy a6 yz a7 zx a8 xyz v( x, y, z ) a9 a10 x a11 y a12 z a13 xy a14 yz a15 zx a16 xyz w( x, y, z ) a17 a18 x a19 y a20 z a21 xy a22 yz a23 zx a17 xyz 24
B2 B3
63
e B4 B e 612 121
22
4-3 四面体单元
3）应变矩阵
其中
bi 0 1 0 Bi c 6V i 0 di
0 ci 0 bi di 0
0 0 di 0 ci bi
Bm e [ B] e
ai ci 其中 fi bi z i,j,m轮换 为r的函数，故 r r
[B]的元素不是常量，与平面三角形单元有区别。 当r---》0时，f不存在，即奇异，需近似处理。
10
B 46 , Bi 42
4-2 轴对称问题
5、物理方程
空间分析的优点：精确。
2
4-2 轴对称问题
1）几何形状关于轴线对称； 2）作用于其上的载荷关于轴 柱坐标系 （P41~42页） z
线对称。
3）约束条件关于轴线对称。
( r , , z )
p
x
3
r
4-2 轴对称问题
因过z轴的任一子午面都
是对称面，其上任一点p只
在该平面上发生位移，即弹 性体内任一点的位移、应力 与应变只与坐标r、z 有关， 与
15
4-3 空间问题有限元法
1、基本方程
D
x y z xy yz zx
1 1 对 1 1 1 1 E (1 ) 1 2 D 0 0 称 (1 )(1 2 ) 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 2(1 ) 1 2 0 0 0 0 0 2(1 )
第四章
空间问题的有限单元法
1
4-1 空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题， 如受任意空间载荷作用的任意形状几何体，受对 称于轴线载荷作用的回转体，本章简单介绍两类 问题：轴对称问题和空间问题的有限元计算。
空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）未知量的数目剧增。———— （对某些问 题简化） ———— （轴对称问题）
显然[B]为常量矩阵，故四面体单元为常应变单元。
23
4-3 四面体单元
4）刚度矩阵
k
e
B D B dV
T V
1212
24
k
e
B D B V
T
柱坐标系 （P41~42页）
z
无关。从而，轴对称
p
( r , , z )
问题可转化为二维问题，但
因与平面问题有区别，常称 为二维半问题。
x
4
r
4-2 轴对称问题
2、基本方程
位移分量
Βιβλιοθήκη Baidu
w
ur
{ur
应力分量
w}
T
u =0
T
{ } { r z rz }
5
4-2 轴对称问题
12
4-2 轴对称问题
6、刚度矩阵
K 66 2 B [D][B]rdrdz
e T
7、轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别） 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；
1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；
13
4-2 轴对称问题
3）单元边界是一回转面；
ur ，即应变不是常量； 4）应变分量 中出现了 r
2、基本方程 应变分量
{ } { r z rz }T ={
2
ur
r
ur
r
w
z
ur
z
w
r
}
T
虚功方程
d 2 则 { } {F } 2 { } { }rdrdz
* T * T 0
6
4-2 轴对称问题
刚度矩阵的推导：
步骤1：选择单元类型
11
4-2 轴对称问题
5、物理方程
D
0 0 0 1 2 2(1 )
1 1 1 1 1 1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 1 1 1 0 0 0
i(ri z) i
m(r z) m m
r
1 Ni (ai bi r ci z) i,j,m轮换 2A
9
4-2 轴对称问题
4、应变矩阵
bi r f 1 i { } z 2A 0 rz ci = Bi Bj 0 0 ci bi bj fj 0 cj 0 0 cj bj bm fm 0 cm 0 uri 0 wi cm bm wm
21
4-3 四面体单元
3）应变矩阵
u x x v y y w z z v B1 xy x u y yz v w y zx z w u x z
步骤2：选择位移函数
步骤3：确定应变位移和应力应变关系
步骤4：推导单元刚度矩阵
7
4-2 轴对称问题
单元类型：三角形轴对称单元 （环形单元）
z
wj
j(rj z) j
urj
3、单元位移函数
u r 1 2 r 3 z w 4 5r 6 z
o
wm urm m(r z) m m
且应变矩阵在r--》0时，存在奇异点，需特殊处 理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。
14
4-3 空间问题有限元法
1、基本方程
u x x v y y w z z u v xy y x yz v w y zx z u w z x
wi
uri
i(ri z) i
r
8
4-2 轴对称问题
单元类型：三角形轴对称单元 j(rj z) （环形单元） j z 利用节线位移， 待定系数，可得
wj
urj
wi
uri
ur N i uri N j urj N murm w Ni wi N j w j N m wm
o
wm urm
其中 Ni (1)
i 1
1 (ai bi x ci y di z) i 1, 2,3, 4 19 6V
4-3 四面体单元
Ni (1)
i 1
1 (ai bi x ci y di z) i 1, 2,3, 4 6V
y2 y3 y4 z2 z3 z4
1 b1 1 1 y2 y3 y4 z2 z3 z4
4-3 四面体单元
1）单元类型：四面体单 元节点位移向量
u
e
1
v1
w1 u2
v2
w2
u3
v3
w3
u4
v4
w4
T
2）位移函数
线性位移函数
u ( x, y , z ) a1 a2 x a3 y a4 z v( x, y, z ) a5 a6 x a7 y a8 z
x2 a1 x3 x4
1 c1 1 1
x2 x3 x4
z2 z3 z4
1 x2 d1 1 x3 1 x4
y2 y3 y4
20
4-3 四面体单元
这些系数为四面体体积V各行各元素 的代数余子式。
1 x1 6V 1 x2 1 x3 1 x4
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
18 w( x, y, z ) a9 a10 x a11 y a12 z
4-3 四面体单元
利用节点位移可求待定系数，并整理为如下形式
u ( x, y , z ) v ( x, y , z ) w( x, y, z ) N1 0 0 N 2 0 0 N3 0 0 N 4 0 0 u1 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 1 2 3 4 0 0 N1 0 0 N 2 0 0 N3 0 0 N 4 w4
1 r r ( z ) E 1 ( r z ) E 1 z z ( r ) E 1 rz rz G
E (1 ) r ( r z ) (1 )(1 2 ) 1 1 E (1 ) ( r z ) (1 )(1 2 ) 1 1 E (1 ) z ( r z ) (1 )(1 2 ) 1 1 E rz rz 2(1 )