总结证明线面平行的常用方法
证明线线平行的方法-图文
证明线线垂直的方法 （1）线面垂直的性质——
一直线与平面垂直， 则直线与平面内的所有直线垂直 （2）三垂性定理及逆定理：
注意条件 （3）等腰三角形中线即高
4、勾股定理
证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的判定定理——
直线与平面内的两相交直线垂直 （2）面面垂直的性质—— 若两平面垂直,
并交待射影与某角是直线与平面所成角
3）求—— 把角放到直角三角形中去求
关键：找射影， 找射影的关键是从斜线上一点作面的垂线
3、二面角—— 方法： （1）三垂线定理法（最常用）
（2）定义法—— 全等三角形或等腰三角形
（3）垂面法
（4）面积射影定理法—— 无棱二面角
无棱二面角的求法
法一、先作出二面角的棱，再根据有棱二 面角的平面角的作法作出其平面角求解
位置法、 元素法、 间接法
2、相邻问题
捆绑法
3、不相邻问题
插空法
4、其它 投信法、等可能法、列举法等
小结3、组合应用题的类型及处理方法
一、无条件的组合问题 二、有条件的组合问题
1、抽样问题
直接法 间接法
2、几何问题
直接法 间接法
3、分组问题
（不）均匀分组
4、其它 等可能法、无序插空法等
小结4、排列与组合的混合题
S
A B
E D
O
C
3、正棱锥的性质——
(1) 各侧棱相等，各侧面都是
S
全等的等腰三角形.
斜高相等
(2) 高、斜高和斜高射影
A
高、侧棱、侧棱射影 M
B
斜高、侧棱、底面边长的一半
E
(完整版)线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.如图⑷ 如图⑸ 如图⑹E B A D C GF F y C B E D A Sz_ M _ D_ A B _ O E P E D C B O A B CD E F N M例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法线面平行是指一条直线和一个平面上的一条直线不存在交点，且两个图形之间的距离保持不变。
在实际生活中，我们常常需要证明一条线和一个平面是平行的，以便绘制几何图形，计算并确定物体体积和面积等。
下面我们将详细讲解如何证明线面平行的方法。
首先，我们可以使用欧几里得几何学中的平行公设来证明线面平行。
这个公设源于欧几里得的《几何原本》，它认为如果有两条直线，它们在某个平面内，且这两条直线只有一个公共点，并且在该公共点处的内角相加为180度，则这两条直线在该平面中是平行的。
换句话说，如果我们知道了一个平面上的直线和另外一个直线的内角之和为180度，那么这两条直线就是在该平面中平行的。
使用这个公设时，我们可以首先检查两个线段或者两个直线是否在同一平面内，如果在同一平面内，我们就可以通过计算它们的内角之和来判断它们是否平行。
其次，我们可以利用向量的性质来证明线面平行。
向量的性质指出，如果两个向量的点积为零，那么这两个向量是垂直的，如果两个向量的叉积为零，那么这两个向量是共面的。
我们可以把这个性质应用到平行线和平面上的向量上。
如果平面上的一条直线与另一条直线平行，那么它们的向量必须是平行的。
我们可以使用向量的点积来查看这两个向量是否垂直。
如果两个向量的点积为零，那么它们是垂直的，因为它们在同一平面上，所以我们可以得出这两个向量是共面的。
如果这两个向量是共面的，那么它们所在的平面和第三条线段是在同一个平面上的，我们就可以得出第三条线段也是平行于这两个向量的平面。
最后，我们可以使用反证法来证明线面平行。
反证法是一种常用的证明方法，它认为如果我们假定一个命题的反面成立，那么这个假设将导致矛盾和不一致，从而可以说明原来的命题是正确的。
我们可以提出一个假设，即该直线不与该平面平行。
假设该直线与该平面在某一点相交。
那么在这个相交点处，该直线与该平面的切线应该是垂直的。
但是，这会导致该直线与该平面在该点形成一个角度，这个角度是不可能为零，因为一条直线和平面的夹角无法为零。
证明线面平行的判定方法
证明线面平行的判定方法
首先，根据几何学的基本原理，两条直线如果在同一平面内且不相交，则它们是平行的。
这是最基本的判定方法之一，可以通过观察两条直线是否在同一平面内，并且利用角的性质来判断它们是否相交，从而得出它们是否平行。
其次，根据平行线的性质，如果一条直线与两条平行线分别相交，则这两条直线也是平行的。
这个性质被称为同位角对顶角相等的性质，可以通过观察角的关系来判断直线的平行性。
另外，还可以利用平行线的转角定理来判定线面的平行性。
当一条直线与另外一条直线被一条截线所切割，而截线与这两条直线所成的内角和为180度时，这两条直线是平行的。
这个定理也可以用来证明线面的平行性。
最后，对于平行线与平行面的判定方法，可以利用平行四边形的性质来进行证明。
如果四边形的对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形，从而可以得出线面的平行性。
综上所述，证明线面平行的判定方法有很多种，可以通过观察
几何图形的性质和角的关系来进行判断。
通过这些方法，我们可以准确地判断线面的平行性。
立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。
若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。
2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。
设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。
3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。
如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。
以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。
证明平行的方法
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空间的平行关系
1．证明线线平行的方法：
(1)面面平行的判定：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们
的交线平行。
（2〕线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线就和两平面的交线平行。
（3〕平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线。
(4)根本性质四：平行于同一直线的两直线互相平行。
（5〕线面垂直的性质 : 垂直同一平面都两条直线平行
2.证明线面平行的方法：①面面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
②线面平行的性质：如果不在一个平面内的一条直线
和平面内的一条直线
平行，那么这条直线和这个平面平行。
③定义：直线 a 与平面ａ没有公共点，那么直线与平面平行。
3.证明面面平行的方法：
(1)定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
（2〕面面平行的判定：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（3〕面面平行的性质：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面平行。
（4〕线面垂直的性质：垂直通一条直线的两个平面平行
（5〕面面平行的判定定理 : 同时与第三个平面平行的两平面平行
----。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
高中立体几何证明线面平行的常见方法1.通过“平移”再利用平行四边形的性质题目1：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
证明AF∥平面PCE。
证明：将四棱锥P-ABCD平移，使其底面平移到平面PCE上，得到四棱锥P'-A'B'C'D'，其中A'B'C'D'与ABCD平行，且P'、E'、F'分别为A'B'、C'D'、A'D'的中点。
因为AF∥PD，所以AF'=PD'=C'F'，又因为AD'=C'D'/2=AB'/2=AF'/2，所以AD'∥B'C'。
因此，根据平行四边形的性质，AF'∥B'C'，即AF∥CE。
题目3：四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，证明EB∥平面PAD。
证明：连接PE，因为E为PC的中点，所以PE∥AD。
又因为CD⊥AD，所以CD∥PE。
又因为CD=2AB，所以AB∥PE。
因此，根据平行四边形的性质，EB∥PA，即EB∥平面PAD。
2.利用三角形中位线的性质题目4：四面体ABCD中，E、F、G、M分别是棱AD、CD、BD、BC的中点，证明AM∥平面EFG。
证明：连接EF、EG、FG，因为E、F、G分别为三角形BCD、ACD、ABD的中点，所以EF、EG、FG分别是这三个三角形的中位线。
因此，EF∥AD，EG∥BD，FG∥AC。
又因为M为BC的中点，所以AM∥FG。
因此，AM∥平面EFG。
3.利用平行四边形的性质题目7：正方体ABCD-A' B' C' D'中O为正方形ABCD的中心，M为B'B的中点，求证D'O∥平面A'BC'。
判断或证明线面平行的或垂直常用方法
同学们早上先把下面知识点看完然后做后面的四个题。
做完后再看看另一个知识点解析几何常见题型。
都发布在作业里面。
线线平行的证明方法：三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。
判断或证明线面平行的常用方法包括：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．【垂直类证明方法总结】证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90度、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；1.．如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）若BB1=2，且∠B1BC=∠B1AC=60°，求三棱锥C1−ABC的体积.2.如图，四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且∠DAB=60°，AB△CD，DC=AD=2AB=2.（△）证明：BD⊥PC△（△）求A到平面PBD的距离.3.如图，在几何体ABCDEFG中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，AC∩BD=O，∠ABC= 60°，AF//DE//CG，AF⊥平面ABCD，且AF=DE=4，CG=1.（1）证明：平面FBD⊥平面GBD；（2）求三棱锥G−DEF的体积.4.已知数列{a n}的通项公式为a n=n，S n为其前n项和，则数列{a n+1S n S n+1}的前8项和为__________．答案1.（1)∵四边形BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1,∵AB⊥B1C,AB∩BC1=B,∴B1C⊥平面ABC1，又AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO．∵AB=AC1,O是BC1的中点，∴AO⊥B1C，∵B1C∩BC1=O，∴AO⊥平面BB1C1C.（2）菱形BB1C1C的边长为2，又∠B1BC=60°,∴ΔBB1C是等边三角形，则B1C=2.由（1）知，AO⊥B1C，又O是B1C的中点，∴AB1=AC，又∠B1AC=60°,∴ΔAB1C是等边三角形，则AC=AB1=B1C=2.在RtΔACO中，AO=√AC2−CO2=√32×2=√3，∴V C1−ABC =V A−BCC1=13SΔBCC1⋅AO=13×12⋅2⋅2⋅sin120°⋅√3=12.（Ⅰ）由余弦定理得BD=√12+22−2×1×2cos60°=√3，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB,∵AB//DC,∴BD⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥平面PDC，又PC⊂平面PDC，∴BD⊥PC.（Ⅱ）设A到平面PBD的距离为ℎ.取DC中点Q，连结PQ,∵△PDC是等边三角形，∴PQ⊥DC.又平面PDC⊥底面ABCD，平面PDC∩底面ABCD=DC，PQ⊂平面PDC，∴PQ⊥底面ABCD，且PQ=√3，由（Ⅰ）知BD⊥平面PDC，又PD⊂平面PDC，∴BD⊥PD.∴V A−PBD=V P−ABD，即13×12×√3×2×ℎ=13×12×1×√3×√3.解得ℎ=√32.3.（1）因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥BD，又AC⊥BD，AF∩AC=A，所以BD⊥平面AOF，所以BD⊥OF.因为四边形ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，所以ΔABC与ΔADC均为等边三角形，AC=4.所以OG2=OC2+GC2=5，OF2=OA2+AF2=20，FG2=AC2+(AF−GC)2=25，则OG2+OF2=FG2，所以OF⊥OG，又BD⊥OF，OG∩BD=O，所以OF⊥平面GBD，又OF⊂平面FBD，所以平面FBD⊥平面GBD.（2）因为GC//DE，DE⊂平面ADEF，GC⊄平面ADEF，所以GC//平面ADEF，所以V G−DEF=V C−DEF，取AD的中点H，连接CH，则CH=√32×4=2√3，CH⊥AD，由AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CH，又AF∩AD=A，所以CH⊥平面ADEF.所以V C−DEF=13SΔDEF⋅CH=13×12×4×4×2√3=163√3.即三棱锥G−DEF的体积为163√3.4.由等差数列前n 项和公式可得：S n =n(n+1)2，则S n+1=(n+1)(n+2)2，由数列的通项公式可得：a n+1=n +1，∴a n+1S n S n+1=4n(n+1)(n+2)=2[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]，则数列{a n+1Sn S n+1}的前8项和为： 2[(11×2−12×3)+(12×3−13×4)+⋯+(18×9−19×10)]=2×(12−190)=4445.【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。
高中证明线线平行的方法
高中证明线线平行的方法
在高中数学中，证明两条直线平行的方法有多种，主要包括以下几种：
1. 定义法：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
2. 同位角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
3. 内错角相等法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相同，这两条直线平行。
4. 垂直于同一条直线的两条直线平行：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
5. 平行定理：两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
6. 平行四边形的对边平行：如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边平行。
7. 梯形的两底平行：梯形的两底是平行的。
8. 三角形（或梯形）的中位线平行与第三边（或两底）：三角形（或梯形）的中位线平行于第三边（或两底）。
9. 线段比例法：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。
这些方法在实际证明过程中可以灵活应用，需根据具体的几何图形和条件选择最适合的方法进行证明。
线面平行的判定和证明
线面平行
一、基础知识：
线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。
二、方法：
三角形法、平行四边形法、平行截面法。
三、典例：
（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。
问点E 在何处时，EBD //PA 平面，
练：
1⑴求证：A 1C
正三棱柱Ｃ＝2
C
图5
（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。
2、已知正方体
，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：⑴
1、如图,
2、四边形
3、如图，11C 的中点。
（Ⅰ）证明：MN ∥平面11ACC A ；（Ⅱ）求三棱锥MNC A 1-的体积。
E
C 1
A
B
C
M
N
A 1
B 1
4、如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2。
（I）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积。
5
AD
6、如图，在DM
C P
A
B
D
E。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法
在几何学中，证明两条直线平行是一个基本的问题。
平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
下面将介绍几种证明两条直线平行的方法。
1. 同位角相等法则。
同位角是指两条直线被一条横穿线所切割时，所形成的对应角。
同位角相等法则指出，如果两条直线被一条横穿线所切割，且对应角相等，那么这两条直线是平行的。
这个法则是证明两条直线平行最常用的方法之一。
2. 交叉线法则。
交叉线法则是另一种证明两条直线平行的方法。
当两条直线被一条横穿线所切割，如果同侧内角相互补，那么这两条直线是平行的。
同侧内角相互补是指两个角的度数之和为180度。
这个法则也是证明两条直线平行常用的方法之一。
3. 垂直线法则。
垂直线法则是通过证明两条直线的斜率相等来判断它们是否平行。
如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
这个方法适用于代数几何中，通过计算直线的斜率来判断它们的关系。
4. 距离法则。
距离法则是通过证明两条直线上任意一点到另一条直线的距离相等来判断它们是否平行。
如果两条直线上任意一点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是平行的。
总结。
在几何学中，证明两条直线平行有多种方法，包括同位角相等法则、交叉线法则、垂直线法则和距离法则。
这些方法可以根据具体问题的要求来选择使用，以便
有效地证明两条直线是否平行。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用几何学知识，解决相关问题。
证明平行的五种方法
证明平行的五种方法嘿，咱今儿个就来聊聊证明平行的五种方法呀！这可是几何世界里相当重要的玩意儿呢！第一种方法，那就是同位角相等啦！你就想象一下，两条线被第三条线所截，那同位角就像是一对双胞胎，长得一模一样，只要它们相等，那两条线就乖乖地平行啦！这就好比两个人走在路上，步伐一致，那肯定是朝着同一个方向前进呀，是不是很形象？再来说说内错角相等。
这就像是两个在幕后悄悄配合的小伙伴，它们默默地达成一致，只要它们相等了，那两条线也就平行咯！就好像一场精彩的魔术表演，观众看到的是神奇的效果，而背后是内错角这两个小伙伴在默契配合呢！同旁内角互补也能证明平行哦！这就好像是两个相互扶持的朋友，一个有了缺点，另一个就来补足，它们加起来就是一个完整的整体，这样一来，那两条线也就平行啦！你想想看，要是没有这种互补，那可就乱套啦！还有平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这就像是在一条大道上，大家都朝着同一个方向走，那肯定都是平行的呀！多简单直接的道理呢！最后一种，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
这就好比两根柱子直直地立在那里，它们都和地面垂直，那它们之间肯定也是平行的呀！哎呀，这五种方法是不是很有意思呀！在几何的世界里，它们就像是我们的秘密武器，帮助我们解开一个又一个难题。
每次用这些方法成功证明出两条线平行的时候，那种成就感，简直无与伦比！大家可别小瞧了这五种方法哦，它们可是几何学习中的宝贝呢！就像我们生活中的各种小技巧一样，掌握了就能让事情变得更轻松、更有趣。
当你在做几何题的时候，就试着把这些方法都用上，看看哪个最适合，就像挑选最合适的工具去完成一项任务一样。
所以呀，大家一定要把这五种方法牢记在心，多去练习，多去运用。
相信我，一旦你熟练掌握了，几何的大门就会为你敞开，里面有着无数的奇妙和惊喜等待着你去发现呢！让我们一起在几何的海洋里畅游吧！。
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法有以下几种：
1. 平行线的定义法：若两条直线在平面上没有交点，且不存在既与一条直线平行又与另一条直线垂直的第三条直线，则可以判断这两条直线是平行线。
2. 使用向量法：设直线l1过点A(Ax, Ay)且与向量u(ux, uy)平行，直线l2过点B(Bx, By)且与向量v(vx, vy)平行。
若向量u与向量v的比值
u/v=(ux/vx)=(uy/vy)，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
3. 使用斜率法：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
若k1=k2，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
注意要排除垂直于x轴的直线，此时斜率为无穷大。
4. 使用截距法：设直线l1与y轴的交点为A(0, b1)，直线l2与y轴的交点为B(0, b2)。
若b1=b2，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
注意要排除垂直于x轴的直线，此时截距为无穷大。
这些方法可以根据具体题目的条件和要求选择合适的方法进行证明。
线线平行的五种证法
线线平行的五种证法湖南省 龙志明一、定义法即证明两条直线在同一个平面上且没有公共点。
【例1】如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 已知：//,,a b αβγαγβ==，求证：//a b ． 证明：∵//,,a b αβαβ⊂⊂，∴,a b 没有公共点，又∵,a b γγ⊂⊂，∴//a b ． 二、平行公理平行于同一直线的两条直线平行【例2】经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B证明：11111111111////B BEE AA B BEE BB B BEE AA BB AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄1111111111111////EE AA EE B BEE A ADD A ADD AA B BEE AA ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ 111111//////EE BB EE AA BB AA ⇒⎭⎬⎫三、利用“平行链”即利用直线与平面平行的判定与性质定理。
【例3】已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面α平面β=b ，求证//a b ．证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ，∵a ∥平面α，a ∥平面β，∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ⊂平面β，c ∉平面β，∴c ∥平面β， 又c ⊂平面α，平面α∩平面β=b ，∴c ∥b ，又∵a ∥c ，所以，a ∥b ． 点评：本题的证明综合了直线与平面平行的判定与性质定理以及公理4，利用了一系列的“平行链”。
四、利用线面垂直的性质定理即垂直于同一平面的两直线平行。
【例4】如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥⊂⊥⊥=⋂αβαβα于于求证a ∥l证明：d c b aδγβαD 1C 1B 1ABCDA 1E 1E,,,,,//.EA EB l EA l EABl l EB a EA a EA a AB a EAB a l αβαβαα⊥⊥⊥⎫⎫⇒⇒⊥⎬⎬⋂=⊥⎭⎭⊂⊥∴⊥⊥∴⊥∴平面又又平面五、利用面面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
线面平行的证明
4. 面面平行模型：
a
例. 如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,2CE=FD． 求证：BE//平面ADF.
F
E G
D A
C B
证明:
∵ CE // DF , DF 平面ADF , CE 平面ADF ∴ CE // 平面ADF , ∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ BC// AD ∵ AD 平面ADF , BC 平面ADF ∴ BC // 平面ADF ∵ BC CE C
F
4. 如图，在三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点.
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥E-ABC的体积.
A1
E
C1
B1
A G
C F B
5. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2 ， BA=BD = ， PA=PD= , E、F分别2 是棱AD、PC5的中点.
F B
E C
10. 三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直， ∠ABC=90° ， AB=BC=BB1=2，M、N分别是AB、AC1的中点． 求证：MN//平面BCC1B1；
A
M
B
C
N
A1
B1
C1
11.如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC, 且各棱长均相等. D、 E、F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明：EF//平面A1CD； (Ⅱ) 证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面
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B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
图２
A
F
E G
α
a
b
A
图1
总结证明线面平行的常用方法
空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：
方法一、反证法
【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）
已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．
求证：a ∥α．
【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．
【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．
下面只要说明a
A α=不可能即可．
∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又a
A α=， ∴,A a A β∈∈．
又b ,A αα⊂∈，
∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．
方法二、判定定理法
【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．
【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且1
2
EF CD =
又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且11
2
D G CD =
∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =
B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
A
Ｎ
Ｍ
E Ｆ
图３
故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG
又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.
方法三、运用面面平行的性质定理
【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．
【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．
【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴
1CM CP
MB PB
=． ∵1BD B C =，DN CM =，
∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CP
NB PB
= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB
【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。