浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：几何大题培优

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七年级上册数学几何图形初步(培优篇)(Word版含解析)

七年级上册几何图形初步(培优篇)(Word版含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．如图，已知：点不在同一条直线， .（1）求证： .（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，请直接写出 ________.【答案】（1）证明：过点C作，则，∵∴∴（2）解：过点Q作，则，∵，∴∵分别为的平分线所在直线∴∴∵∴（3）:1:2:2【解析】【解答】解：（3）∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴ .故答案为： .【分析】（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可.3．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数. 【答案】（1）解：∵HG⊥HE，FG⊥HG∴FG∥EH，∴∠GFE+∠HEF=180°，∵AB∥CD∴∠BEH=∠CHE∴∠EHC+∠GFE=180°（2）解：设∠EHM=x，∵HG⊥HE，∴∠GHK=90°-x,∵MH平分∠CHG，∴∠EHC=90°-2x，∵AB∥CD∴∠HMB=90°-x，∴∠HMB=∠MHG=90°-x，∵AB∥CD，∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，∴∠GHD=2∠EHM；（3）解：延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，∵AB∥CD，∠BFG=50°∴∠HRG=50°∵FG⊥HG，∴∠GHR=40°，∵HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，∵AB∥CD,∴∠FEH=∠CHE=50°，∵EP是∠HEF的平分线，∴∠SEP= ∠FEH=25°，∵GH平分∠HGF，∴∠HGS= ∠HGF=45°,∴∠HSG=45°，∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，∴∠EPS=20°，即∠NPK=20°.【解析】【分析】（1）根据HG⊥HE，FG⊥HG可证明FG∥EH，从而得∠GFE+∠HEF=180°，再根据AB∥CD可得∠BEH=∠CHE,进而可得结论；（2）设∠EHM=x，根据MH是∠CHG的平分线可得∠MHG=90°-x，∠EHC=90°-2x，根据平行线的性质得∠HMB=90°-x，从而得∠HMB=∠MHG，再由平行线的性质得∠BMH+∠DHM=180°，从而可得结论；（3）分别延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，由AB∥CD得∠HRG=50°，由FG⊥HG得∠GHR=40°，由MH平分∠CHG得∠CHE=50°，由AB∥CD得∠MEH=∠CHE=50°，可得∠SEP=25°，最后由三角形的外角可得结论.4．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE=25°，∠ACB=？；若∠ACB=150°，则∠DCE=？；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．【答案】（1）【解答】∵∠ECB=90°，∠DCE=25°∴∠DCB=90°﹣25°=65°∵∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．∵∠ACB=150°，∠ACD=90°∴∠DCB=150°﹣90°=60°∵∠ECB=90°∴∠DCE=90°﹣60°=30°．故答案为：155°，30°（2）【解答】猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE=180°（3）【解答】∠DAB+∠CAE=120°理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．【解析】【分析】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．5．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，∴AC=BC= AB=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，∴DE=8cm（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，∴BC=10cm，由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，∴DE=8cm（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC，CE= BC，∴DE= （AC+BC）= AB，∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关.6．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。

浙江省文澜中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》复习题(培优练)

一、选择题1．给出下列各说法：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个是平的，1个是曲的；③球仅由1个面围成，这个面是平的；④正方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的为（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 2．已知线段AB 、CD ，<AB CD ，如果将AB 移动到CD 的位置，使点A 与点C 重合，AB 与CD 叠合，这时点B 的位置必定是（）A ．点B 在线段CD 上(C 、D 之间）B ．点B 与点D 重合C ．点B 在线段CD 的延长线上 D ．点B 在线段DC 的延长线上3．将如图所示的直角三角形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（）A ．B ．C ．D ． 4．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（）A ．140°B ．130°C ．50°D ．40° 5．平面上有三个点A ，B ，C ，如果8AB =，5AC =，3BC =，则（）． A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上 C ．点C 在直线AB 外D ．不能确定 6．如图，∠AOB =120°，OC 是∠AOB 内部任意一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC ，∠BOC 的角平分线，下列叙述正确的是（）A ．∠AOD+∠BOE=60°B ．∠AOD=12∠EOC C ．∠BOE=2∠COD D ．∠DOE 的度数不能确定7．已知线段8AB =，在线段AB 上取点C ，使得:1:3AC CB =，延长CA 至点D ，使得2AD AC =，点E 是线段CB 的中点，则线段ED 的长度为（）．A ．5B ．9C ．10D ．168．计算：135333030306︒︒''''⨯-÷的值为（）A ．335355︒'''B ．363355︒'''C ．63533︒'''D ．53533︒''' 9．如图，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个整数点(即各点均表示整数)，且2AB ＝BC ＝3CD ，若A ，D 两点表示的数分别为-5和6，点E 为BD 的中点，在数轴上的整数点中，离点E 最近的点表示的数是（）A ．2B ．1C ．0D ．-110．如图，把APB ∠放置在量角器上，P 与量角器的中心重合，读得射线PA 、PB 分别经过刻度117和153，把APB ∠绕点P 逆时针方向旋转到A PB ''∠，下列结论： ①APA BPB ''∠=∠；②若射线PA '经过刻度27，则B PA '∠与A PB '∠互补；③若12APB APA ''∠=∠，则射线PA '经过刻度45．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 11．如果∠1的余角是∠2，并且∠1＝2∠2，则∠1的补角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 12．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中αβ∠=∠的图形的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．413．已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使25BC AC =，在AB 的反向延长线上取一点D ，使34DA AB =，则线段AD 是线段CB 的____倍 A ．98 B ．89 C ．32 D ．2314．在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是( ).A ．150°B ．165°C ．135°D ．120°15．小陆制作了一个如图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的表面展开图可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．线段3AB cm =，在线段AB 的延长线上截取1BC cm =，则AC =__________． 17．如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每个面上都是一个有理数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式a b c-的值是_________.18．如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD =76°，则∠BOM 等于________.19．某产品的形状是长方体，长为8cm ，它的展开图如图所示，则长方体的体积为_____cm 3．20．如图，点C ，M ，N 在线段AB 上，且M 是AC 的中点，CN ：NB=1：2，若AC=12，MN=15，则线段AB 的长是_______.21．如图，折一张长方形纸的一角，使角的顶点落在A′处，且使得∠ABA′＝90°，BC 为折痕，若BD 为∠A′BE 的平分线，则∠CBD ＝________°．22．已知∠A=67°，则∠A 的余角等于______度．23．如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是_____．24．已知线段MN=16cm ，点P 为任意一点，那么线段MP 与NP 和的最小值是_____cm ． 25．如图，::2:3:4AB BC CD =，AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是3cm ，则BC =______．26．如图，点A ，O ，B 在同一直线上，12∠=∠，则与1∠互补的角是________．若1283235'''∠=︒，则1∠的补角为________．三、解答题27．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .（1）若8AP cm =，①运动1s 后，求CD 的长；②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.28．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：． 29．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A 处发现一只虫子在D 处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI 方向爬行，蚂蚁预想在点I 处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.30．已知A ，B ，C 三点，他们所表示的数分别是5，-3，a.(1)求线段AB 的长度AB ；(2)若AC=6，求a 的值；(3)若d=3a ++5a -，求d 的最小值，并判定d 与AB .。

七年级上册几何专项培优练习题

七年级上册几何专项培优练习题1．如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）在图中画出△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标；（2）在y轴上求点P，使得△BCP与△ABC面积相等．2．如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：（1）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，先将△ABC向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，其中点A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，试画出△A1B1C1；（2）连接AA1、BB1，则线段AA1、BB1的位置关系为，线段AA1、BB1的数量关系为；（3）△A1B1C1的面积为（平方单位）3．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．4．如图1，已知直线m⊥n，垂足为点A，现有一个直角三角形ABC，其中∠ACB=90°，∠B=30°，现将这个三角形按如图1方式放置，使点C落在直线m上．操作：将△ABC绕点A逆时针旋转一周，如图2所示．通过操作我们发现，当旋转一定角度α时，△ABC会被直线m或n分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．5．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）建立平面直角坐标系，使点B的坐标为（﹣4，1），点C的坐标为（﹣1，1），则点A的坐标为；（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1，写出A1、B1、C1的坐标，并求线段BC扫过的面积．6．如上图所示，在对△ABC依次进行轴对称和平移两种变换后得到△A1A1C1．（1）在坐标系内画出轴对称变换的图形，并说明两次变换的步骤．（2）设点P（a，b）为△ABC的边AB上任一点，依次写出这两次变换后点P对应的坐标．7．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．8．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．9．如图，线段AB=12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN 的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．10．如图（1），∠AOB=120°，在∠AOB内作两条射线OC和OD，且OM平分∠AOD，ON平分∠BOC．①若∠AOC：∠COD：∠DOB=5：3：4，求∠MON的度数．②若将图（1）中的∠COD绕点O顺时针转一个小于70°的角α如图（2），其它条件不变，请直接写出∠MON的度数．11．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．12．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；、∠A n的关系②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠B n﹣1拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A.180°+α+β﹣γB.180°﹣α﹣γ+βC．β+γ﹣αD．α+β+γ②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是．13．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的解题思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．14．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是．。

2020-2021学年浙教版七年级上册第六章角的计算专题培优(附答案)

2020-2021学年浙教版七年级上册第六章角的计算专题培优班级姓名学号基础巩固1.若射线OC在∠AOB的内部，则下列给出的条件中，不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）.A.∠AOC = ∠BOCB.∠AOC + ∠BOC = ∠AOBC.∠AOB = 2∠AOCD.∠BOC = 12∠AOB2.若∠β= n，且∠β既有余角，又有补角，则n的取值范围是（）.A.n = 90°B.n = 180°C.90° < n < 180°D.0° < n < 90°3.用两把角度分别为30°，60°，90°和45°，45°，90°的三角尺画角，不可能画出的角度是（）.A.125°B.105°C.75°D.15°4.若∠1，∠2互为余角，且∠1 > ∠2，则∠2的补角是（）A.2（∠1 - ∠2）B.2（∠1 + ∠2）C.2∠1 + ∠2D.∠1 + 2∠25.将长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕.若∠DBA = 70°，则∠ABC = _________ .6.如图所示，∠AOB = 40°，∠AOC = 90°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数是 _________ .7.如图所示，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在点B′处，CF是∠B′CE的平分线，则∠ACF + ∠B的度数为 _________ .8.如图所示，在∠AOB的内部有3条射线OC，OD，OE，若∠AOC= 50°，∠BOE= 1n∠BOC，∠BOD = 1n∠AOB，则∠DOE = _________ °（用含n的代数式表示）.9.如图所示，已知A，O，E三点在同一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+ ∠DOE= 90°.问:∠COD与∠DOE之间有怎样的关系?请说明理由.10.钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图所示，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆.为便于研究，我们规定:钟面圆内OA表示时针，OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB.（注:本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间）（1）时针每分钟转动的角度为_________ °，分针每分钟转动的角度为_________ °.（2）5点整，钟面角∠AOB = _________ °，钟面角与此相等的整点还有: _________ 点.（3）如图所示，设OC指向12点方向，在图中画出6点15分时0A，0B的大概位置，并求出此时∠AOB的度数.11.定义:从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2的两个角的射线，叫做这个角的“三分线”，显然，一个角的“三分线”有两条，例如:如图1所示，若∠BOC = 2∠AOC，则OC是∠AOB的一条“三分线”.（1）已知:如图1所示，OC是∠AOB的一条“三分线”，且∠BOC> ∠AOC，若∠AOB= 60°.求∠AOC的度数.（2）已知:∠AOB = 90°，如图2所示，若OC，OD是∠AOB的两条“三分线”.①求∠COD的度数.②现以点O为中心，将∠COD顺时针旋转n°得到∠C′OD′，当OA恰好是∠C′OD′的“三分线”时，求n的值.拓展提优1.如图所示，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，那么乙的航向不能是（）.A.北偏东55°B.北偏西55°C.北偏东35°D.北偏西35°2.下列关系式中，正确的是（）.A.35.5° = 35°5′B.35.5° = 35°50′C.35.5° < 35°5′D.35.5 > 35°5′3.已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）.A.∠NOQ = 42°B.∠NOP = 132°C.∠PON比∠MOQ大D.∠MOQ与∠MOP互补4.已知∠AOB = 70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC = 42°，则∠BOC的度数为（）.A.28°B.112°C.28°或112°D.68°5.如图所示，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC + ∠DOB等于（）.A.90°B.120°C.160°D.180°6.计算:45°39′ + 65°41′ = _________ .7.如图所示，A，O，B三点在同一条直线上，且点O在点A与点B之间，另外四个点C，D，E，F在点A，O，B上方依次分布，且∠BOD = ∠COE = ∠DOF = ∠AOE.若∠BOC = 26°，则∠COD的度数等于 _________ .8.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大15°，则∠EBF的度数是 _________ .9.如图所示，OM是∠AOB的平分线，OP是∠MOB内的一条射线.已知∠AOP比∠BOP大30°，则∠MOP的度数是 _________ .10.罗盘、又叫罗经仪、它是古代中国人智慧的结品，它的基本作用是定向，爱动脑筋的英黄在研究罗盘剧自义了一个简易的罗盘玩具，如图所示，其中，相邻同心圆之间的距离都相等、周边均匀标注了度数、圆心为点O，电子蚂蚁A的位置如图所示.（1）电子蚂蚁B做于点O南偏东60°方向、OB = 20A，标出点B的位置，∠AOB _________ （2）若OC平分∠AOB、请标出射线OC.（3）电子蚂蚁D位于点B的正西方向，恰位于点O的南偏西60°方向，请标出点D的位置、11.如图1所示，将笔记本活页一角向内折叠，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕.（1）若∠1 = 30°，求∠A′BD的度数.（2）将图1的另一角斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，点D的对应点为D′，如图2所示，若∠1 = 30°，求∠2以及∠CBE的度数.（3）将图1的另一角斜折过去，使BD边落在∠1内部，折痕为BE，点D的对应点为D′.如图3所示，若∠1 = 40°，设∠A′BD′ = α，∠EBD = β，请直接回答:①a，β的取值范围.②a与β之间的数量关系.12.【问题提出】已知∠AOB= 70°，∠AOD= 12∠AOC，∠BOD= 3∠BOC（∠BOC< 45°），求∠BOC的度数.【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决.（1）当射线OC在∠AOB的内部时，若射线OD在∠AOC内部，如图1所示，可求∠BOC的度数，解答过程如下:当射线OC在∠AOB的内部时，若射线OD在∠AOB外部，如图2所示，请你求出∠BOC的度数.【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数.【问题解决】综上所述，∠BOC的度数分别是 _________ .冲刺重高1.已知锐角a，钝角β，赵、钱、孙、李四位同学分别计算14（α + β）的结果，分别为68.5°，22°，51.5°，72°，其中只有一个答案是正确的，那么这个正确的答案是（）A.68.5°B.22°C.51.5°D.72°2.甲、乙两人各用一张如图1所示的正方形纸片ABCD折出一个45°的角，两人的做法如下:甲:如图2所示，将纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点D上，则∠1 = 45°.乙:如图3所示，将纸片沿AM，AN折叠，分别使点B，D落在对角线AC上的一点P，则∠MAN = 45°.对于两人的做法，下列判断中，正确的是（）.图1 图2 图3A.甲、乙都对B.甲对乙错C.甲错乙对D.甲、乙都错3.如图所示为一个3 × 3的正方形网格，则图中∠1 + ∠2 + ∠3 + … + ∠9的度数是 _________ .第3题第4题4.如图所示，∠AOE = 90°，∠BOD = 45°，则不大于90°的角有 _________ 个，它们的度数之和是 _________ .5.在日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.（1）如图1所示，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于 _________ .（2）请在图2中大致画出8:20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答:从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是 _________ ，时钟的时针转过的度数是 _________ .（3）“元旦”这一天，某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看表，时针与分针正好是重合的.下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗?通过计算加以说明.。

百度第四讲几何初步易错题培优专项训练含答案

第四讲几何初步易错题培优专项训练一、选择题1、下列说法：①过两点有且只有一条线段；②连结两点的线段叫做两点之间的距离；③两点之间线段最短；④AB=BC，则点B是线段AC的中点；⑤垂直于同一条直线的两直线平行⑥由两条射线组成的图形叫做角，正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、已知线段AB = 6厘米，在直线AB上画线段AC=2厘米，则BC的长是（）A、 8厘米B、 4厘米C、 8厘米或4厘米D、不能确定3、若∠α与∠β互为同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为( )A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定4、已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30°，则∠AOC等于（）A．120° B．120°或60° C．30° D．30°或90°5、如图，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；④∠2与∠3互补；⑤∠2＝∠A⑥点A到直线BC的距离是线段AC，其中正确的有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6、如图，如果∠1＝∠2，DE∥BC，则下列结论正确的个数为( )(1)FG∥DC；(2)∠AED＝∠ACB；(3)CD平分∠ACB；(4)∠1＋∠B＝90°；(5)∠BFG＝∠BDC.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7、平面上有三个点，可以确定直线的条数是（）A、1 B．2 C．3 D．1或3二、填空题8、一条线段上有n个点（包括线段两端点），则共有线段条数为__________ 条。

9、从同一点引出n条射线，若无两条在同一直线上，则小于平角的角共有____ 个。

10、8点33分，钟表上时针与分针所成的角度是________度。

11、如图B、C两点把线段AD分成2:3:4三部分,M是AD的中点，CD=8，则MC的长______。

1.6 平行线几何模型(M模型)(巩固培优篇) 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)

专题1.16 平行线几何模型（M模型）（巩固培优篇）（专项练习）1．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1) 如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2) 如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．2．阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1) 求证：；(2) 填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．3．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1) 如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2) 当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．4．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1) 猜想：若，，试猜想______°；(2) 探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．5．如图：(1) 如图1，，，，直接写出的度数．(2) 如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．(3) 如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．6．（1）已知：如图（a），直线．求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？7．如图，，点E在直线AB，CD内部，且．（1）如图1，连接AC，若AE平分，求证：平分；（2）如图2，点M在线段AE上，①若，当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若（为正整数），当直角顶点E移动时，与是否存在确定的数量关系?并说明理由．8．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）9．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．10．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1) 若∠E＝60°，则∠F＝；(2) 请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3) 如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．11．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1) 判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2) 如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3) 将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．12．已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）13．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．14．如图1，点、分别在直线、上，，.（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．15．已知AB CD，∠ABE的角分线与∠CDE的角分线相交于点F．（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度数；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系．16．已知直线AM、CN和点B在同一平面内，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如图1，求∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，若BD⊥AM，垂足为D，求证：∠ABD＝∠C；（3）如图3，已知点D、E、F都在直线AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE 平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，请直接写出∠EBC的度数．17．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．（1）证明：；（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．18．如图1，直线AB CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD ＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn ＝．（用含x，y的式子表示）19．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．20．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．21．如图，，点A、B分别在直线MN、GH上，点O在直线MN、GH之间，若，．（1）= ；（2）如图2，点C、D是、角平分线上的两点，且，求的度数；（3）如图3，点F是平面上的一点，连结FA、FB，E是射线FA上的一点，若，，且，求n的值．22．如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．（1）求的值；（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．23．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当满足，且，分别平分和，①若，则__________°．②猜想与的数量关系．（直接写出结论）24．如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”．（1）如图1，形中，若，则______；与的数量关系，并说明理由；段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系．参考答案1．(1)证明见详解(2)；理由见详解【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形内角和是180°，可得．（1）解：如图：过点作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如图：过点作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【点拨】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．2．(1)见分析(2)①；②结论：【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．解：（1）证明：如图，过作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如图2中，由题意，，平分，平分，，，故答案为：；②结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，，故答案为：．【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．3．(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．（1）解：如图4所示：过点作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如图5过点作，∵∴∴，，∵，∴；②如图6过点作，∵∴∴，，∵，∴．【点拨】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．4．(1)(2)；证明见详解(3)【分析】（1）过点作，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点、点作、，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．（1）解：如图过点作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图过点作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如图分别过点、点作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．5．(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，见分析；(3)∠BED的度数为130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．解：（1）如图，作EF∥AB，，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度数为130°．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．6．（1）见分析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见分析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想,∵AB∥ED∥CF，∴∴.【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．7．（1）见分析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由见分析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由见分析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.（1）解：因为，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.8．（1）；（2）当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．【分析】（1）过点作，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出，再由“两直线平行，内错角相等”得出、，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点的两种情况分类讨论：①当点在直线上方时；②当点在直线下方时，同理（1）可得、，再根据角与角的关系即可得出结论．解：（1）．过点作，如图1所示．，，，，，，．（2）结论：当点在直线上方时，；当点在直线下方时，．①当点在直线上方时，如图2所示．过点作．，，，，，，．②当点在直线下方时，如图3所示．过点作．，，，，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．9．（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EM AB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EM AB，过F作FN AB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PL AB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．解：（1）过E作EM AB，∵AB CD，∴CD EM AB ，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM AB，过F作FN AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB CD，∴EM AB CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PL AB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQ GN ，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB CD，∴PL AB CD，∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点拨】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．10．(1)(2)，理由见分析(3)【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．（1）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案为：；（2）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．11．(1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．解：(1)∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如图1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED(3)由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射线DC沿DE翻折交AF于点G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE ∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（1）见分析；（2）55°；（3）【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．13．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．14．（1）见分析；（2），见分析；（3）或．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．解：（1）如图1，延长交于点，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延长交于点，交于点，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）当在直线下方时，如图，设射线交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．当在直线上方时，如图，同理可证得，则有，解得：．综上，故答案为或．【点拨】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．15．（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EG AB，FH AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的定义可求∠M的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．解：（1）如图1，作，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵的角平分线和的角平分线相交于F，∴，∴，∵、分别是和的角平分线，∴，，∴，∴；（2）如图2，∵，，∴，，∵与两个角的角平分线相交于点，∴，，∴，∵，∴，∴；（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴，，∵与两个角的角平分线相交于点，∴，，∴，∵，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．16．（1）∠A+∠C=90°；（2）见分析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．（2）画辅助平行线找角的联系．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．17．（1）见分析；（2）见分析；（3）n-1【分析】（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．解：（1）如图，连接，，，，，（2），理由：作，则如图，设，则．，，，，．即．（3）作，则如图，设，则．，，，，，故答案为．【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．18．（1）110°；（2）80°；（3）【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．解：（1）如图1，过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；（2）过点P作,，，，，，，，，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；（3）过点P作，平分，，同理，∴，同理，故答案为：，．【点拨】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．19．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见分析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．20．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA ＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．21．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如图：过O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可求出∠AOB；（2）如图：分别延长AC、CD交GH于点E、F，先根据角平分线求得，再根据平行线的性质得到；进一步求得，，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF交MN于K，由∠NAO=116°，得∠MAO=64°，故∠MAE=，同理∠OBH=144°，∠HBF=n∠OBF，得∠FBH=，从而，又∠FKN=∠F+∠FAK，得，即可求n．解：（1）如图：过O作OP//MN，∵MN//GHl∴MN//OP//GH∴∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°∵∠NAO=116°，∠OBH=144°∴∠AOB=360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC、CD交GH于点E、F，∵AC 平分且，∴，又∵MN//GH，∴；∵，∵BD 平分，∴，又∵∴；∴；（3）设FB交MN于K，∵，则；∴∵，∴，，在△FAK中，,∴，∴．经检验：是原方程的根，且符合题意.【点拨】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．22．（1）；（2）的值为40°；（3）．【分析】（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；（2）过点M作MK∥A B，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得即可得关于n的方程，计算可求解n值．解：证明：过点O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，设∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值为40°；（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO内，∴，∵∴∴即∴解得．经检验，符合题意，故答案为：．【点拨】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．23．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：；（2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；（3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得；②结合①可得，由，得出；可得，由，得出．解：（1）如图1，过点作，，，，，，；（2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；过点作，，，，，，；（3）①如图3，若当点在的左侧时，，，，分别平分和，，，；如图4，当点在的右侧时，，，；故答案为：或30；②由①可知：，；，．综合以上可得与的数量关系为：或．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．24．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见分析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α【分析】（1）过M作MN∥AB，由平行线的性质即可求得∠M的值．（2）延长BA，DC交于E，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；解：（1）过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案为：50°；（2）∠A+∠C=30°+α，延长BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如图所示，210-∠A=（180°-∠D CM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．。

浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：线段比和面积比的互相转换

浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：线段比与面积比的转化等积模型:AB∥CD→S△ABC:S△ABD 延伸(蝴蝶模型)：梯形→S△ABO:S△CDD共高模型:S1:S2=BD:DC延伸1(共边模型）：S△ABC:S△ADC=BO:OD 延伸2(燕尾模型):S△ABO:S△ACO=BE:CE练习一下：1、如图9个小长方形，其中5个小长方形的面积如图所示，其余4个长方形面积总和为____.2、如图三角形ABC的面积是180，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，那么△ABE的面积是_____。

3、如图E是AB上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是△AEC面积的4倍，那么BC=____AD.4、△ABD面积为30，△ABC面积为48，△BCD面积为50，则△AOD面积=_____。

5、如图在△ABC中，D,E,F,G分别是AC,AB,ED,BF的五等分点，四等分点，三等分点，二等分点。

若△ABC 的面积是25，则△FGD的面积是______。

6、如图△ABC面积为1，分别延长AB,BC,CA到点D,E,F，使得AB=BD,BC=2CE,CA=3AF,则△DEF的面积=______。

7、如图把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA’,BC=CB’,CD=DC’,DA=AD’,得到一个大的四边形A’B’C’D’,若四边形ABCD的面积为2，则四边形A’B’C’D’的面积是______。

8、三个正方形位置如图所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积=_____。

9、已知D，E分别是AB和AC的中点，两个阴影三角形面积差为5，则△ABC面积=_____。

共角模型(鸟头模型）:S △DBE :S △ABC =(DB ×BE):(AB ×BC)延伸：三角形面积公式S=21absinC （三角函数）练习一下：1.如图△ABC 面积是9，AB=3AD,AE=2EC,则△ADE 面积=_______。

七年级数学培优试卷有答案(第29讲：平行线问题) (浙教版)

七年级数学培优试卷有答案（第29讲：平行线问题）（浙教版）七年级数学培优试卷有答案（第29讲：平行线问题）-（浙教版）七年级数学优秀试卷（第29讲：平行线问题）中有答案（浙江教育版）第29讲期中复习专题――平行线问题一、基础训练1．如图，由ab∥cd，得∠1等于()a．∠2b．∠3c．∠4d．∠52．如图所示，下列条件中，不能判定ab∥cd的是()a、ab∥ef，cd∥efb。

∠5＝∠交流。

∠abc＋∠bcd＝1800d。

∠2＝∠3a1e三ba1d3542e51243l1l2c245d是第1题图C图2e图33．如图所示，在下列条件中，不能判断l1∥l2的是()a．∠1＝∠3b．∠2＝∠3c．∠4＋∠5＝1800d．∠2＋∠4＝18004.如图所示，将直尺和三角尺堆叠在一起。

在图中标记的角度中，与之互补的角度数∠ 1是（）a．2个b．3个c．4个d．5个5．如图，ab∥cd，直线ef分别交ab，cd于e、f，eg平分∠bef，若∠1＝500，则∠2＝()a、公元前500年600年650年750年a645321e1bc2egd图4第5题图6.已知：a（-2,4），ab‖X轴，ab=5，则B点的坐标为_________7．如图，已知∠abc＝∠adc，∠1＝∠2，则图中有哪些平行的线段？并说明理由．ad二1bc8.如图所示，AC二分法∠ 令人不快的∠ 1 = ∠ 2.验证：CD‖ab第1页共5页d2c1a3b9.如图所示，在四边形ABCD、ab‖CD、BC‖ad中，它们之间的尺寸关系是什么∠ A 和∠ C∠ B和∠ D请解释你的理由ab10.如图所示，被平分∠ 阿卜杜勒，德平分∠ BDC，∠ 1 ＋∠ 2=900，则直线AB和CD的位置关系如下：何？说明你的理由．ab1e2cd∥ 光盘∠, 电子束∠ d=1300，如图EB所示cod12.如图所示，直线ad在两点a和D处与AB和CD相交，EC和BF在e、C、B和F处与AB和CD相交，如果∠ 1.＝∠2，∠b＝∠c，说明∠a＝∠d．eab1hg2cde13．如图，已知∠1＋∠2＝l800，∠3＝∠b，试判断∠aed与∠acb的大小关系，并对结论进行证明．ade3421cb第2页共5页E14。

七年级数学培优试卷有答案(第14讲：线段与角)-(浙教版)

七年级数学培优试卷有答案(第14讲：线段与角)-(浙教版)第14讲线段与角一、线段训练1.已知线段AB ＝6cm ，P 点在AB 上，且AP ＝4BP ，M 是AB 的中点，求PM 长.2.已知线段AB ＝8cm ，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3cm ，并求线段AC 的长.3.已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝4cm ，M 是线段AC 的中点，求AM 的长.4.在线段AB 的延长上取一点P ，使AB ＝4BP ，取线段AB 的中点R ，求BR 与BP 的长度之比.二、角度训练 5.如图，在括号内填上适当的角：（1）∠AOC ＝（）＋（）；（2）∠AOD ＋∠DOE ＝∠AOB ＋（）；（3）∠AOE －∠AOC ＝（）.6.如图，直线 AB 、CD 相交于点O ，OD 平分∠AOF ，OE 丄CD 于O ，∠EOA ＝50°，求∠BOC 、∠BOE 、∠BOF 的度数.BFDO EACDC B A O E7.如图所示，直线AB 、CD 相交O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝ 40°，求∠2和∠3的度数.231O FCDE B A8.如图，直线BE 、CF 相交于O ，且∠AOB ＝90°，∠COD ＝90°，∠EOF ＝30°，求∠AOD 的度数.30°CBDFEOA9.如图，OB 平分∠AOC ，且∠2 ：∠3：∠4 ＝ 2：5：3.求∠l 、∠2、∠3、∠4的度数.4321OCBA10.已知：∠AOE ＝150°，∠AOB ：∠BOC ＝l ：2；∠COD ：∠DOE ＝2：1.求∠BOD .EDCBA O11.已知∠AOB 、∠COB 和∠COD 的度数之比是2:1:3且∠AOC ＋∠DOB ＝140°，求∠AOD 的度数.BCDOA12.如图，已知∠BOC ＝2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，∠COD ＝20°，求∠AOC 的度数.D CAOB13.如图，已知直线AB 、CD 交于O 点，OA 平分∠COE ，∠COE ：∠EOD ＝4：5，求∠BOD 的度数.A E D BOC三、综合训练14.如图，公路上依次有A 、B 、C 三站，上午8时，甲骑自行车从A 、B 之间离A 站18km 的P 点出发，向C 站匀速前进，15分钟到达距离A 站22km 的某处. （1）设x 小时后，甲离A 站y km ，用含x 的代数表示y ；APBC（2）若A 、B 和B 、C 间的距离分别是30km 和20km ，则上午______到______的时间内，甲在B 、C 两站之间（不包括B 、C 两站）.15.已知线段AB ＝6.（1）取线段AB 的三等分点，这些点连同线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和；BA（2）再在线段AB 上取两种点：第一种是线段AB 的四等分点；第二种是线段AB 的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和.16.如图，直线AB 、及AB 上一点O ，自O 作射线OC 、OE 、OF ，且OE 平分∠AOC . （1）若OF 平分∠BOC ，试说明∠EOF 的大小与OC 的位置无关？E C FB OA（2）若∠MON ＝90°，试说明OF 与∠BOC 的关系？17．如图，直线AB 、CD 交于O ，OE 平分∠AOC ．（1）OF 为OE 的反向延长线，试说明OF 平分∠BOD ；（2）若OF 平分∠BOD ，则F 、O 、E 在一条直线上吗？证明你的结论？18．如图，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ．（1）若∠BOC ＝60°，∠AOC ＝40°，求∠DOE 的度数度数；（2）若∠DOE ＝n °，求∠AOB 的度数；（3）若∠DOE ＋∠AOB ＝180°，求∠AOB 与∠DOE 的度数．ABCDEOA B CDEF O。

【3套打包】杭州市七年级上册第四章《几何图形初步》培优测试卷.doc(1)

几何图形初步单元测试卷一、选择题（本题共计12 小题，每题分，共计36分，）1. 下列图形中，不是立体图形的是（）A.棱柱B.圆锥C.正方形D.长方体2. 如图所示的棱柱有（）A.个面B.个面C.条棱D.条棱3. 如图，是一直角，，平分，则等于（）A. B. C. D.4. 如图，，是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是（）A.的度数不能确定B.C. D.5. 已知，那么的余角为（）A. B. C. D.6. 下列语句错误的是（）A.锐角的补角一定是钝角B.一个锐角和一个钝角一定互补C.互补的两角不能都是钝角D.互余且相等的两角都是7. 有同样大小的立方体个，把它们竖个，横个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（）A.个B.个C.个D.个8. 下列结论不正确的是（）A.正方体和长方体都是四棱柱B.棱柱的侧面个数与底面图形的边数一样C.三棱柱的侧面是三角形D.六棱柱的侧面是四边形9. 已知：，，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.三个角互不相等10. 下列说法正确的是（）A.在墙上固定一根木条，至少需要颗钉子B.射线和射线是同一条射线C.延长直线D.线段和线段不是同一条线段11. 下列说法正确的有（）个①连接两点的线段的长叫两点之间的距离；②直线比线段长；③若，则为的中点；④由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形．A. B. C. D.12. 把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是，，若，则A. B. C. D.二、填空题（本题共计6 小题，每题分，共计18分，）13. 有时需要把弯曲的河流改直，以达到缩短航程的目的，这样做的依据是________．14. 如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小华认为是两点确定一条直线，小阳认为是两点之间线段最短．你认为________同学的说法是正确的．15. 长方形铁片绕它的一边快速旋转一周，形成一个________体．16. 如图，已知线段，线段，是线段的中点，是线段的中点，则线段长为________．17. 如图，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段，以为顶点的角有________个．18. 今天晚上九点半安庆电几何图形初步单元测试卷一、选择题（本题共计12 小题，每题分，共计36分，）1. 下列图形中，不是立体图形的是（）A.棱柱B.圆锥C.正方形D.长方体2. 如图所示的棱柱有（）A.个面B.个面C.条棱D.条棱3. 如图，是一直角，，平分，则等于（）A. B. C. D.4. 如图，，是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是（）A.的度数不能确定B.C. D.5. 已知，那么的余角为（）A. B. C. D.6. 下列语句错误的是（）A.锐角的补角一定是钝角B.一个锐角和一个钝角一定互补C.互补的两角不能都是钝角D.互余且相等的两角都是7. 有同样大小的立方体个，把它们竖个，横个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（）A.个B.个C.个D.个8. 下列结论不正确的是（）A.正方体和长方体都是四棱柱B.棱柱的侧面个数与底面图形的边数一样C.三棱柱的侧面是三角形D.六棱柱的侧面是四边形9. 已知：，，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.三个角互不相等10. 下列说法正确的是（）A.在墙上固定一根木条，至少需要颗钉子B.射线和射线是同一条射线C.延长直线D.线段和线段不是同一条线段11. 下列说法正确的有（）个①连接两点的线段的长叫两点之间的距离；②直线比线段长；③若，则为的中点；④由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形．A. B. C. D.12. 把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是，，若，则A. B. C. D.二、填空题（本题共计6 小题，每题分，共计18分，）13. 有时需要把弯曲的河流改直，以达到缩短航程的目的，这样做的依据是________．14. 如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小华认为是两点确定一条直线，小阳认为是两点之间线段最短．你认为________同学的说法是正确的．15. 长方形铁片绕它的一边快速旋转一周，形成一个________体．16. 如图，已知线段，线段，是线段的中点，是线段的中点，则线段长为________．17. 如图，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段，以为顶点的角有________个．18. 今天晚上九点半安庆电几何图形初步单元测试卷一、选择题（本题共计12 小题，每题分，共计36分，）1. 下列图形中，不是立体图形的是（）A.棱柱B.圆锥C.正方形D.长方体2. 如图所示的棱柱有（）A.个面B.个面C.条棱D.条棱3. 如图，是一直角，，平分，则等于（）A. B. C. D.4. 如图，，是内部任意一条射线，、分别是、的角平分线，下列叙述正确的是（）A.的度数不能确定B.C. D.5. 已知，那么的余角为（）A. B. C. D.6. 下列语句错误的是（）A.锐角的补角一定是钝角B.一个锐角和一个钝角一定互补C.互补的两角不能都是钝角D.互余且相等的两角都是7. 有同样大小的立方体个，把它们竖个，横个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（）A.个B.个C.个D.个8. 下列结论不正确的是（）A.正方体和长方体都是四棱柱B.棱柱的侧面个数与底面图形的边数一样C.三棱柱的侧面是三角形D.六棱柱的侧面是四边形9. 已知：，，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.三个角互不相等10. 下列说法正确的是（）A.在墙上固定一根木条，至少需要颗钉子B.射线和射线是同一条射线C.延长直线D.线段和线段不是同一条线段11. 下列说法正确的有（）个①连接两点的线段的长叫两点之间的距离；②直线比线段长；③若，则为的中点；④由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形．A. B. C. D.12. 把一副三角板按如图方式的位置摆放，则形成两个角，设分别是，，若，则A. B. C. D.二、填空题（本题共计6 小题，每题分，共计18分，）13. 有时需要把弯曲的河流改直，以达到缩短航程的目的，这样做的依据是________．14. 如图，在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，小华认为是两点确定一条直线，小阳认为是两点之间线段最短．你认为________同学的说法是正确的．15. 长方形铁片绕它的一边快速旋转一周，形成一个________体．16. 如图，已知线段，线段，是线段的中点，是线段的中点，则线段长为________．17. 如图，图中有________条直线，有________条射线，有________条线段，以为顶点的角有________个．18. 今天晚上九点半安庆电。

几何图形-2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【浙教版】

2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题6.1几何图形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•浙江自主招生）将如图所示放置的一个直角三角形ABC，（∠C＝90°），绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（）A．B．C．D．2．（2019秋•乐清市期中）如图，在4×3的方格纸中，将若干个小正方形涂上红色，使得其中任意一个2×2正方形方格都至少含有一个红色小正方形，则涂上红色的小正方形的最少个数为（）A．4B．3C．2D．13．（2018秋•椒江区期末）用如图的图形，旋转一周所形成的图形是右边的（）A．B．C．D．4．（2018秋•天台县期末）下列哪个物体给我们以圆柱的形象（）A．B．C．D．5．（2018秋•西湖区校级月考）下列每个图形的整体面积均为1，则图中的涂色部分面积不能用0.4表示的是（）A．B．C．D．6．（2019秋•姜堰区期末）下列几何体都是由平面围成的是（）A．圆柱B．圆锥C．四棱柱D．球7．（2020春•甘南县期中）一个圆柱体切拼成一个近似长方体后（）A．表面积不变，体积变大B．表面积变大，体积不变C．表面积变小，体积不变D．表面积不变，体积不变8．（2019秋•仁怀市期末）按柱、锥、球分类，下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（）A．B．C．D．9．（2019秋•广丰区期末）如图几何体的下部是一个三棱柱，下列各多边形与这个几何体的各面（包括底面）形状不相符的是（）。

浙江省萧山中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典题(提高培优)

一、解答题1．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .（1）若8AP cm =，①运动1s 后，求CD 的长；②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.解析：（1）①3cm ；②见解析；（2）9AP =或11cm.【分析】（1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案；②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ；（2）t=2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论.【详解】解：（1）①由题意可知：212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=，∵8,12AP cm AB cm ==，∴4PB AB AP cm =-=，∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=；②∵8,12AP AB ==，∴4,82BP AC t ==-，∴43DP t =-，∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-，∴2AC CD =；（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=，当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm =，∴7CB CD DB cm =+=，∴5AC AB CB cm =-=，∴9AP AC CP cm =+=，当点D 在C 的左边时，如图所示：∴6AD AB DB cm =-=，∴11AP AD CD CP cm =++=，综上所述，9AP =或11cm.【点睛】本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.2．如图，已知线段a 和b ，直线AB 和CD 相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA ，OB ，OC 上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a 相等；（2）在射线OD 上作线段OD′，使OD′与线段b 相等；（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.解析：详见解析【解析】【分析】（1）以点O为圆心，a为半径作圆，分别交射线OA，OB，OC于A′、B′、C′；、（2）以点O为圆心，b为半径作圆，分别交射线OD，于D′.（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.（2）如图所示OD′.（3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.3．（1）如图，AC=DB，请你写出图中另外两条相等的线段．（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m，则首尾两颗大树之间的距离是_____．解析：(1)AB=CD；(2)10.5m.【分析】（1）根据等式的性质即可得出结论；（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．【详解】（1）因为AC=BD，∴AC－BC=DB－BC，即AB=CD．（2）设首尾之间的距离为x，由8棵树之间共有7段间隔，可得x=7×1.5=10.5（m）．故答案为：10.5m．【点睛】本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．4．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.解析：如图①，（1）见解析，理由：两点之间线段最短；（2）见解析.【分析】（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到G的最短途径．（2）分情况讨论，作图解答即可.【详解】（1）如图①，理由：两点之间线段最短．（2）如图②，这种最短路线有4条．【点睛】本题考查了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平面图形是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．5．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x 天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x 天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x 天，可列方程(10－7.8)(x －1)＋10＝98，解得x ＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程. 6．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.解析：40°【分析】根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.【详解】解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠， 40120=︒+︒，160=︒，又∵OD 平分AOC ∠， ∴1802AOD AOC ∠=∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠，8040=︒-︒， 40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用.7．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使70AOC ∠=︒，在同一个平面内将一个直角三角板的直角顶点放在点O 处.（注：90DOE ∠=︒）（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，那么COE ∠的度数为______；（2）如图2，将直角三角板DOE 绕点O 按顺时针方向转动到某个位置，如果OC 恰好平分AOE ∠，求COD ∠的度数；（3）如图3，将直角三角板DOE 绕点O 任意转动，如果OD 始终在AOC ∠的内部，请直接用等式表示AOD ∠和COE ∠之间的数量关系.解析：（1）20︒；（2）20︒；（3）20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠.【分析】（1）如图1，如果直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OA 上，则∠COE =20°；（2）由角平分线可得70COE AOC ∠=∠=︒，再利用角的和差进行计算即可；（3）分别用∠COE 及∠AOD 的式子表达∠COD ，进行列式即可．【详解】解：（1）∵90DOE ∠=︒，70AOC ∠=︒∴907020COE DOE AOC =∠-∠=︒-︒=︒∠故答案为：20︒（2）∵OC 平分AOE ∠，70AOC ∠=︒，∴70COE AOC ∠=∠=︒，∵90DOE ∠=︒，∴907020COD DOE COE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）∵90COD DOE COE COE =∠-∠=︒-∠∠，70COD AOC AOD AOD =∠-∠=︒-∠∠∴9070COE AOD ︒-∠=︒-∠∴20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．故答案为：20COE AOD ∠-∠=︒或20COE AOD ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了角的和差关系，准确表达出角的和差关系是解题的关键．8．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1,2COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于12BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．[知识运用]（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是．（用含α的代数式表示）（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．解析：（1）40︒，16α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，根据题意，12AOM BOM ∠=∠，则111204033AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=，1122BOC AOB α∠=∠=， ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=；故答案为：40︒，16α；（2）射线OD 与OA 重合时，180365t ==（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则1805320t t --=，∴20t =；若在相遇之后，则5318020t t +-=，∴25t =；所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°；②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则12AOC COD ∠=∠，即()13180532t t t =--， ∴907t =；（ii ）如图2，OC 是OD 的伴随线时，则12COD AOC ∠=∠，即11805332t t t --=⨯， ∴36019t =；相遇之后：（iii ）如图3，OD 是OC 的伴随线时，则12COD AOD ∠=∠，即()153********t t t +-=-， ∴1807t =；（iv ）如图4，OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=∠，即()118053t 5t 1802t -=+-， ∴30t =；所以，综上所述，当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．9．如图，A、B、C三点在一条直线上，根据图形填空：（1）AC＝++；（2）AB＝AC﹣；（3）DB+BC＝﹣AD（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．解析：（1）AD，DB，BC；（2）BC；（3）AC；（4）6cm．【分析】（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；（4）AD和CD的长度相等并且都等于AC的一半，DB的长度为CD长度的一半即为AC长度的四分之一．AB的长度等于AD加上DB，从而可求出AB的长度．【详解】（1）AC＝AD+DB+BC故答案为：AD，DB，BC；（2）AB＝AC﹣BC；故答案为：BC；（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD故答案为：AC；（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4B是DC的中点，∴DB＝2∴AB＝AD+DB＝4+2，＝6（cm）．【点睛】本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．10．如图，平面上有四个点A，B，C，D．（1）根据下列语句画图:①射线BA；②直线AD ，BC 相交于点E ；③延长DC 至F （虚线），使CF=BC ，连接EF （虚线）．（2）图中以E 为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．解析：（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）(前面数过的不再重数)以EF 为始边的角有4个，以EC 为始边的角有1个，以EA 为始边的角有1个，以EC 的反向延长线为始边的有1个，以EA 的反向延长线为始边的有1个，所以以E 为顶点的角中，小于平角的角共有8个．【点睛】此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．11．如图，已知数轴上点A 表示的数为8，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且22AB =，动点P 从A 点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为()0t t >秒．（1）数轴上点B 表示的数是___________；点P 表示的数是___________(用含t 的代数式表示)（2）动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P Q 、同时出发，问多少秒时P Q 、之间的距离恰好等于2？（3）若M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．解析：（1）14-，85t -；（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，图形见解析．【分析】（1）根据点B 和点P 的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前；②点P Q 、相遇之后，分别列式求解即可．（3）分两种情况：①当点P 在点A B 、两点之间运动时；②当点P 运动到点B 的左侧时，分别列式求解即可．【详解】（1）14-，85t -；（2）分两种情况：①点P Q 、相遇之前，由题意得32522t t ++=，解得 2.5t =．②点P Q 、相遇之后，由题意得32522t t -+=，解得3t =．答：若点P Q 、同时出发，2.5或3秒时P Q 、之间的距离恰好等于2；（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为11，理由如下：①当点P 在点A B 、两点之间运动时： 11111()221122222MN MP NP AP BP AP BP AB =+=+=+==⨯=； ②当点P 运动到点B 的左侧时，1111()112222MN MP NP AP BP AP BP AB =-=-=-==； ∴线段MN 的长度不发生变化，其值为11．【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．12．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：．解析：90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB＝90 °，∠COB+∠BOD＝90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．【点睛】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．13．如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为；（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．解析：（1）3；（2）﹣2【分析】（1）根据点A、B表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB的长度；（2）设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，根据BC﹣AC＝4列方程即可得到结论．【详解】（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，故答案为：3；（2）∵点C到原点的距离为3，∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2，∴点C表示的数为﹣3，∵BC﹣AC＝4，∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，解得a＝﹣2．【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.14．直线l上有A，B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB.（1）OA=__________cm，OB=___________cm；（2）若C点是线段AO上的一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm s⁄，设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动.①当t为何值时，2OP−OQ=8；②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm s⁄的速度向右运动.当点M追上点Q后立即返回.以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程为___________cm.解析：（1）16,8;（2）83;（3）①t=165或16s;②48.【解析】【分析】（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．（2）设OC=x，则AC=16-x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16-2t）-（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t-16）-（8+x）=8，解方程即可．②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2-1）=16由此即可解决．【详解】(1)∵AB=24，OA=2OB，∴20B+OB=24，∴OB=8，0A=16，故答案分别为16，8.（2）设CO的长为x cm.由题意，得x+(x+8)=24−8−x.解得x=83.所以CO的长为83cm.(3)①当点P在点O左边时,2(16−2t)−(8+t)=8,t=165，当点P在点O右边时,2(2t−16)−(8+t)=8，t=16，∴t=165或16s时，2OP−OQ=8.②设点M运动的时间为ts,由题意：t(2−1)=16，t=16，∴点M运动的路程为16×3=48cm.故答案为48cm.【点睛】此题考查一元一次方程的应用，两点间的距离，解题关键在于根据题意列出方程. 15．线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF．解析：【分析】根据题意和图形可以求得线段EB、BC、CF的长，从而可以得到线段EF的长．【详解】∵E，F分别是线段AB，CD的中点，∴AB=2EB=2AE，CD=2CF=2FD，∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，∴AC+2CF=6，解得，CF=1，同理可得：EB=1，∴BC=2，∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．【点睛】此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．解析：（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm ，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm ，长方体纸盒高为20cm ，∴4×20+8a ＝880，解得a ＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．17．如图所示，已知O 是直线AB 上一点，90BOE FOD ∠=∠=︒，OB 平分COD ∠．（1）图中与DOE ∠互余的角有________________；（2）图中是否有与DOE ∠互补的角？如果有，直接写出全部结果；如果没有，说明理由．解析：（1）EOF ∠，BOD ∠，BOC ∠；（2）BOF ∠，COE ∠．【分析】（1）由∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，要求与∠DOE 互余的角，只要找到与∠BOD 相等的角即可，即∠BOC ，∠EOF ；（2）根据同角的余角相等，结合OB 平分∠COD ，可得∠DOE=∠AOF ，∠EOF=∠BOD=∠BOC ，则∠DOE 的补角与∠AOF 的补角相等，即∠DOE 互补的角：∠BOF 、∠EOC ；【详解】解：（1）∵∠BOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠EOF=90°，∵OB 平分∠COD ，∴∠BOD=∠BOC ，∠AOF=∠DOE ，∴与∠DOE 互余的是：∠EOF 、∠BOD 、∠BOC ；故答案为：∠EOF 、∠BOD 、∠BOC ；（2）由（1）以及同角的余角相等可知，∠AOF=∠DOE ，∠EOF=∠BOD=∠BOC ，∴∠DOE 的补角与∠AOF 的补角相等，∵∠AOF+∠BOF=180°，∠BOF=∠EOC ，∴∠AOF+∠EOC=180°，∴∠DOE 的补角有：∠BOF 和∠EOC ．【点睛】本题考查了补角和余角的定义，以及角平分线的定义，解题的关键是根据同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等进行解答．18．关于度、分、秒的换算．（1）5618'︒用度表示；（2）123224'''︒用度表示；（3）12.31︒用度、分、秒表示．解析：（1）56.3︒．（2）12.54︒．（3）121836'''︒．【分析】（1）将18'转化为118()0.360⨯︒=︒即可得到答案；（2）将24''转化为124()0.460''⨯=，32.4'转化为132.4()0.5460⨯︒=︒即可得到答案；（3）将0.31︒转化为0.316018.6''⨯=，将0.6'转化为0.66036''''⨯=即可得到答案．【详解】（1）1561856185618()56.360''︒=︒+=︒+⨯︒=︒；（2）123224︒''' 123224'''=︒++1123224()60''=︒++⨯ 1232.4'=︒+11232.4()60=︒+⨯︒ 12.54=︒；（3）12.31120.31︒=︒+︒120.3160'=︒+⨯1218.6'=︒+12180.6''=︒++12180.660'''=︒++⨯121836'''=︒++121836'''=︒．【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．19．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ．解析：（1）-4；（2）-88【分析】（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值．【详解】（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-，所以1021p =+-=-；若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-，所以3104p =--+=-．（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．【点睛】本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．20．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥（2）求该几何体的体积．解析：（1）C ；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．21．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射线OE是射线OB的反向延长线.(1)求射线OC的方向角；(2)求∠COE的度数；(3)若射线OD平分∠COE，求∠AOD的度数.解析：(1)射线OC的方向是北偏东70°；(2)∠COE＝70°；(3)∠AOD＝90°.【分析】（1）先求出∠AOC=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；（2）根据∠AOC=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COE的度数；（3）根据射线OD平分∠COE，即可求出∠COD=35°再利用∠AOC=55°求出答案即可．【详解】(1)∵射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°即∠NOA＝15°，∠NOB＝40°，∴∠AOB＝∠NOA＋∠NOB＝55°，又∵∠AOB＝∠AOC，∴∠AOC＝55°，∴∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝15°+ 55°70=°，∴射线OC的方向是北偏东70°.(2)∵∠AOB＝55°，∠AOB＝∠AOC，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝55°+55°＝110°，又∵射线OD是OB的反向延长线，∴∠BOE＝180°，∴∠COE＝180°－110°＝70°，(3)∵∠COE＝70°，OD平分∠COE，∴∠COD＝35°，∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝55°+35°＝90°.【点睛】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．22．作图：如图，平面内有 A，B，C，D 四点按下列语句画图：（1）画射线 AB，直线 BC，线段 AC（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.解析：答案见解析【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．【详解】如图：【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．23．已知，A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x ， ∵MN=8cm ，∴4x=8，∴x=2， ∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF 的长为12cm ．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.24．如图所示，点A 、O 、C 在同一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，90EOF ∠=︒，()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒.（1）求1∠的度数（请写出解题过程）.（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画DOF COF ∠=∠，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由.解析：（1）1140∠=︒；（2）边OD 与边OB 成一直线，理由详见解析.【分析】（1）因为OE 是∠BOC 的平分线所以∠BOC=2∠2，再根据点A 、O 、C 在一直线上，求出∠1和∠2关于x 的关系式，列出等式求出x 的值；（2）根据∠EOF=∠EOC+∠COF=90°和∠EOC=12∠BOC ，∠FOC=12∠DOC ，12∠BOC+12∠DOC=90°，得出∠BOC+∠DOC=180°，进而可可判断边OD 与边OB 成一直线．【详解】（1）因为OE 是BOC ∠的平分线，所以22BOC ∠=∠，因为点A 、O 、C 在同一直线上，所以1180BOC ∠+∠=︒，又因为()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒，所以()()420210180x x ++-=，解得：30x =，1140∠=︒（2）边OD 与边OB 成一直线.理由：因为90EOF EOC COF ∠=∠+∠=︒，又因为12EOF BOC ∠=∠，12FOC DOC ∠=∠. ∴119022BOC DOC ∠+∠=︒，即180BOC DOC ∠+∠=︒，所以点D 、O 、B 在同一直线上，即边OD 与边OB 成一直线.【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系.25．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π）解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积．【详解】解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．26．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．27．已知：如图AB∥CD，EF交AB于G，交CD于F，FH平分∠EFD，交AB于H，∠AGE ＝50°，求：∠BHF的度数．解析：∠BHF=115° .【分析】由AB∥CD得到∠AGE=∠CFG，由此根据邻补角定义可得∠GFD的度数，又FH平分∠EFD，由此可以先后求出∠GFD，∠HFD，继而可求得∠BHF的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠CFG=∠AGE=50°，∴∠GFD=130°；又FH平分∠EFD，∴∠HFD=12∠EFD=65°；∵AB∥CD，∴∠BHF=180°-∠HFD=115°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角等知识，两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．28．如图，已知线段AB和CD的公共部分1134BD AB CD==，线段AB、CD的中点E、F之间的间距是10cm，求AB、CD的长．解析：AB=12cm，CD=16cm【分析】先设BD=xcm，由题意得AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE=1.5xcm和CF=2xcm，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm，且E、F之间距离是EF=10cm，所以2.5x=10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．【详解】设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=12AB=1.5xcm，CF=12CD=2xcm．∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．【点睛】本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键．29．如图，已知OE是∠AOB的平分线，C是∠AOE内的一点，若∠BOC＝2∠AOC，∠AOB ＝114°，则求∠BOC，∠EOC的度数．解析：∠BOC＝76°，∠EOC＝19°．【分析】由∠BOC ＝2∠AOC ，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC ，即∠BOC=23∠AOB ，然后求解即可;再根据OE 是∠AOB 的平分线求得∠BOE ，最后根据角的和差即可求得∠EOC ．【详解】解：∵∠BOC ＝2∠AOC ，∠AOB ＝114°， ∴∠BOC ＝23∠AOB =23×114°＝76°， ∵OE 是∠AOB 的平分线，∠AOB ＝114°， ∴∠BOE ＝12∠AOB ＝12×114°＝57°. ∴∠EOC ＝∠BOC －∠BOE ＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．30．如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由．（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为 AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．解析：（1）7.5；（2）12a ，理由见解析；（3）能，MN=12b ，画图和理由见解析【分析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN 即可得出答案．（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC 即可得出答案．【详解】解：（1）点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴CM=12AC=4.5cm ， CN=12BC=3cm ， ∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm ．所以线段MN 的长为7.5cm ．（2）MN 的长度等于12a ，根据图形和题意可得：MN=MC+CN=12AC+12BC=12（AC+BC）=12a；（3）MN的长度等于12 b，根据图形和题意可得：MN=MC-NC=12AC-12BC=12（AC-BC）=12b．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．。

6.1几何图形同步培优练2024-2025学年浙教版数学七年级上册

6.1 几何图形同步培优练一、单选题1．下列结论：①正方体的每一个面都是正方形；①正方体的所有棱长都相等；①长方体的所有侧棱长都相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个2．一个正棱柱（底面边长都相等），它有30条棱，一条侧棱长为10cm，一条底面边长为1cm，此棱柱的侧面积为（）A．70cm2B．80cm2C．90cm2D．100cm2 3．下列说法错误的是（）A．长方体、正方体都是棱柱B．三棱柱的侧面是三角形C．直六棱柱有六个侧面且侧面为长方形D．棱柱的底面都是多边形4．下图中是三棱锥的立体图形是（）A．B．C．D．5．下列说法错误．．的是（）A．柱体的上、下两个底面一样大B．棱柱至少由5个面围成C．长方体属于棱柱D．圆锥由两个面围成，且这两个面都是曲面6．图中属于柱体的个数是（）A．3B．4C．5D．67．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，下列说法正确的有（）①n棱柱有n个面；①n棱柱有3n条棱；①n棱柱有2n个顶点．A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题8．在一个棱柱中，一共有5个面，则这个棱柱有条棱．9．一个棱柱有21条棱，则它有个面．10．一个长方形的长为5，宽为3，绕其一边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的体积是（结果保留π）11．把一个直角边分别为长为8cm和6cm的直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周能得到一个几何体，这个几何体的名称为，这个几何体的体积是．（结果保留π）12．如图（1）是边长为8cm的正方形纸片做成的七巧板，用这副七巧板拼成图（2）所示的房屋形状，则该房屋形状的面积是cm2．第1页共4页◎第2页共4页三、解答题13．将一个直角三角形ABC绕它的一边旋转，试画出旋转后所得到的几何体．14．计算阴影部分的面积．15．如图所示，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°．(1)上述操作能形成的几何体是_________，说明的事实是_________．(2)请计算所得几何体的体积．（结果保留π）16．如图，有一个长6cm，宽4cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°，可按两种方案进行操作．方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）．方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）．（1）上述操作能形成的几何体是，说明的事实是．（2）请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大．17．18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则m=______，n=______．(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．第3页共4页◎第4页共4页。

浙江效实中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项习题(培优提高)

一、解答题1．线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF．解析：【分析】根据题意和图形可以求得线段EB、BC、CF的长，从而可以得到线段EF的长．【详解】∵E，F分别是线段AB，CD的中点，∴AB=2EB=2AE，CD=2CF=2FD，∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，∴AC+2CF=6，解得，CF=1，同理可得：EB=1，∴BC=2，∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．【点睛】此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，所以n个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，所以这条直线上共有(1)2n n条线段.因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.3．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．解析：见解析【解析】试题分析：根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．试题如图所示：4．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．(1)若DE=9cm，求AB的长.(2)若CE=5cm，求DB的长．解析：（1）AB=18；（2）DB=15.【分析】（1）由线段中点的定义可得CD=12AC，CE=12BC，根据线段的和差关系可得DE=12AB，进而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．∴CD=12AC，CE=12BC，∵DE=CD+CE=9，∴12AC+12BC=12(AC+BC)=9，∵AC+BC=AB，∴AB=18.（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，∴AC=BC，CE=BE=12BC，，AD=CD=12AC，∴AD=CD=CE=BE，∴DB=CD+CE+BE=3CE，∵CE=5，∴DB=15.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．5．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”解析：34个【分析】在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个.【详解】用逆推法：解： ()32221234⎡⎤⨯+⨯+⨯=⎣⎦（个）【点睛】送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个.6．已知A ，B ，C 三点，他们所表示的数分别是5，-3，a.(1)求线段AB 的长度AB ； (2)若AC=6，求a 的值； (3)若d=3a ++5a -，求d 的最小值，并判定d 与AB .解析：（1）8；（2）a =11或－1；（3）8，d =AB ．【分析】（1）线段AB 的长等于A 点表示的数减去B 点表示的数；（2）AC =|A 点表示的数－C 点表示的数|，然后解方程即可；（3）要想使d 的最小，点C 一定在A 、B 两点之间，且最小值为8．【详解】（1）AB =5－（－3）=8；（2）AC =5a -=6，解得：a =11或－1；即在数轴上，若 C 点在A 点左边，则a =－1，若C 点在A 点右边，则a =11；（3）要想使d 的最小，点C 一定在A 、B 两点之间，且最小值为8，所以d =AB ．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，利用数轴上求线段长度的方法，找出等量关系，解决问题．7．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A 处发现一只虫子在D 处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI 方向爬行，蚂蚁预想在点I 处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.解析：第一问：如图沿线段AD 爬行；第二问取线段E J 的中点M ，连结AM 和MI ，此路线为蚂蚁爬行的路线．【分析】根据两点之间线段最短，结合图形得出蚂蚁爬行的路线．【详解】解：第一问：如图沿线段AD 爬行；第二问取线段E J的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．理由都是：两点之间线段最短．【点睛】本题考查了几何体的展开图与两点之间线段最短，利用展开图的性质得出答案是解题的关键．8．如图所示是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题：（1）与面B、面C相对的面分别是和；（2）若A＝a3+15a2b+3，B＝﹣12a2b+a3，C＝a3﹣1，D＝﹣15（a2b+15），且相对两个面所表示的代数式的和都相等，求E、F代表的代数式．解析：（1）面F，面E；（2）F＝12a2b，E＝1【分析】（1）根据“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E，（2）根据相对两个面所表示的代数式的和都相等，三组对面为：A与D，B与F，C与E，列式计算即可.【详解】（1）由“相间Z端是对面”，可得B的对面为F，C的对面是E.故答案为：面F，面E.（2）由题意得：A与D相对，B与F相对，C与E相对，A+D=B+F=C+E将A=a315+a2b+3，B12=-a2b+a3，C=a3﹣1，D15=-(a2b+15)代入得：a315+a2b+315-(a2b+15)12=-a2b+a3+F=a3﹣1+E，∴F1a2b，2E=1.【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，整式的加减，掌握正方体展开图的特点和整式加减的计算方法是正确解答的前提.9．如图，A、B、C三点在一条直线上，根据图形填空：（1）AC＝++；（2）AB＝AC﹣；（3）DB+BC＝﹣AD（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．解析：（1）AD，DB，BC；（2）BC；（3）AC；（4）6cm．【分析】（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；（4）AD和CD的长度相等并且都等于AC的一半，DB的长度为CD长度的一半即为AC长度的四分之一．AB的长度等于AD加上DB，从而可求出AB的长度．【详解】（1）AC＝AD+DB+BC故答案为：AD，DB，BC；（2）AB＝AC﹣BC；故答案为：BC；（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD故答案为：AC；（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4B是DC的中点，∴DB＝2∴AB＝AD+DB＝4+2，＝6（cm）．【点睛】本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．10．如图，平面上有四个点A，B，C，D．（1）根据下列语句画图:①射线BA；②直线AD，BC相交于点E；③延长DC至F（虚线），使CF=BC，连接EF（虚线）．（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有__________个．解析：（1）见解析；（2）8【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；（2）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，根据角的概念数出角的个数即可．【详解】解：（1）画图如下：（2）(前面数过的不再重数)以EF为始边的角有4个，以EC为始边的角有1个，以EA为始边的角有1个，以EC的反向延长线为始边的有1个，以EA的反向延长线为始边的有1个，所以以E为顶点的角中，小于平角的角共有8个．【点睛】此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念及直线、射线、线段的特点．11．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A，B，C，D表示．（1）连接AB，作射线AD，作直线BC与射线AD交于点E；（2）若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．解析：（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所M应建在AC与BD的交点处．理由：两点之间，线段最短．【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E 点位置；（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC 与BD 的交点处．【详解】（1）如图所示：点E 即为所求；（2）如图所示：点M 即为所求．理由：两点之间，线段最短．【点睛】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短． 12．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F ，G 在边CD 上，连接EF ，EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线BG 上的点B '处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，得折痕EN ．（1）如图（1），若点F 与点G 重合，求MEN ∠的度数；（2）如图（2），若点G 在点F 的右侧，且30FEG ︒∠=，求MEN ∠的度数；（3）若MEN α∠=，请直接用含α的式子表示FEG ∠的大小．解析：（1）90︒；（2）105︒；（3）若点G 在点F 的右侧，2180FEG α︒∠=-；若点G 在点F 的左侧，1802FEG α︒∠=-【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG ，求出∠NEF+∠MEG 即可解决问题．（3）根据题意分点G 在点F 的右侧以及点G 在点F 的左侧两种情形分别求解即可．【详解】解：（1）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEF ∠，所以12NEF AEF ∠=∠，12MEF BEF ∠=∠，所以1111()2222MEN NEF MEF AEF BEF AEF BEF AEB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠．因为180AEB ︒∠=，所以1180902MEN ︒︒∠=⨯=．（2）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF ∠=∠，12MEG BEG ∠=∠，所以1111()()2222NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠．因为180AEB ︒∠=，30FEG ︒∠=，所以()118030752NEF MEG ︒︒︒∠+∠=-=，所以7530105MEN NEF FEG MEG ︒︒︒∠=∠+∠+∠=+=．（3）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，所以12NEF AEF AEN ∠=∠=∠，12MEG BEG BEM ∠=∠=∠，若点G 在点F 的右侧，MEN NEF FEG MEG α∠=∠+∠+∠=， ()()(180)2180FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=--；若点G 在点F 的左侧，MEN NEF MEG FEG α∠=∠+∠-∠=1801802FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=∠+∠-=∠+∠-=--=-．【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．13．仓库里有以下四种规格且数量足够多的长方形、正方形的铁片（单位：分米）．从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒（不浪费材料），甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒．（1）甲型盒的容积为________立方分米；乙型盒的容积为________立方分米；（直接写出答案）（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒入一个水平放置的甲型盒，甲型盒中水的高度是多少分米？（铁片厚度忽略不计）解析：（1）40，8；（2）甲型盒中水的高度是2分米【分析】（1）甲型盒是由2块规格①、1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，可得一个长为2分米，宽为4分米，高为5分米的长方体，其中规格②为长方体的底，可求体积为40立方分米，乙型盒是容积最小，即长宽高最小，可得到长宽高都为2分米的正方体，体积为8立方分米，（2）甲盒的底面为长2分米，宽为4分米的长方形，根据体积相等，可求出高度．【详解】（1）因为甲型盒是由2块规格①，1块规格②和2块规格③焊接而成的，⨯⨯=（立方分米）．所以甲型盒的容积为24540乙型盒容积最小，即长、宽、高最小，因此乙型盒为长、宽、高均为2分米的正方体，⨯⨯=（立方分米），容积为2228故答案为40，8．⨯=（平方分米），（2）甲型盒的底面积为248⨯=（立方分米），两个乙型盒中的水的体积为8216÷=（分米）．所以甲型盒内水的高度为1682答：甲型盒中水的高度是2分米．【点睛】考查长方体、正方体的展开与折叠，长方体、正方体的体积的计算方法，掌握折叠后的长方体或正方体的棱长以及体积相等是解决问题的关键．14．如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：（1）在射线OA，OB，OC上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a相等；（2）在射线OD上作线段OD′，使OD′与线段b相等；（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.解析：详见解析【解析】【分析】（1）以点O为圆心，a为半径作圆，分别交射线OA，OB，OC于A′、B′、C′；、（2）以点O为圆心，b为半径作圆，分别交射线OD，于D′.（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.【详解】解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.（2）如图所示OD′.（3）如图所示A′C′B′D′.【点睛】此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.15．如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一个直角三角板COD 的直角顶点放在点O 处，并使OC 边始终在直线AB 的上方，OE 平分BOC ∠．（1）若70DOE ∠=︒，则AOC ∠=________；（2）若DOE α∠=，求AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）解析：（1）140︒；（2）2α【分析】（1）由70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠的度数，又因为OE 平分BOC ∠，所以可知BOC ∠的度数，180BOC ︒-∠的度数即可解决；（2）由DOE α∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠=90α︒-，又因为OE 平分BOC ∠，以可知BOC ∠=2COE ∠=1802α︒-，180BOC ︒-∠即可解决．【详解】解：（1）∵70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，∴907020COE ︒︒︒∠=-=．∵OE 平分BOC ∠，∴20COE BOE ︒∠=∠=，∴1801802140AOC BOC COE ︒︒︒∠=-∠=-∠=．故答案为140︒．（2）∵DOE α∠=，90COD ︒∠=，∴90COE α︒∠=-．∵OE 平分BOC ∠，∴21802BOC COE α︒∠=∠=-，∴()180********AOC BOC αα︒︒︒∠=-∠=--=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角和直角，熟练各概念是解决本题的关键． 16．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm ，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm ，求这个长方体纸盒的体积．解析：（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm ，根据棱长的和是880cm ，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm ，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm ，长方体纸盒高为20cm ，∴4×20+8a ＝880，解得a ＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．17．已知线段10cm AB =，在直线AB 上取一点C ，使16cm AC =，求线段AB 的中点与AC 的中点的距离．解析：13cm 或3cm ．【分析】结合题意画出简单的图形，再结合图形进行分类讨论：当C 在BA 延长线上时，当C 在AB 延长线上时，分别依据线段的和差关系求解．【详解】解：①如图，当C 在BA 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==，所以81513(cm)DE AE AD =+=+=． ②如图，当C 在AB 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==，所以853(cm)DE AE AD =-=-=．综上，线段AB 的中点与AC 的中点的距离为13cm 或3cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据题意画出图形，进行分类讨论．18．如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，点C 将线段MB 分成两部分，且:1:2MC CB =，则线段AC 的长度为________．解析：8cm【分析】先由中点的定义求出AM ，BM 的长，再根据MC ：CB=1：2的关系，求MC 的长，最后利用AC=AM+MC 得其长度．【详解】∵线段AB 的中点为M ，∴AM=BM=6cm设MC=x ，则CB=2x ，∴x+2x=6，解得x=2即MC=2cm ．∴AC=AM+MC=6+2=8cm ．故答案为：8cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．19．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．【分析】设这个锐角为x 度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个锐角为x 度，由题意得：()18049030x x -=--，解得50x =．即这个锐角的度数为50︒．905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．【点睛】本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 20．如图，点C 为线段AD 上一点，点B 为CD 的中点，且6cm AC =，2cm BD =．（1）图中共有多少条线段？（2）求AD 的长．解析：（1）6条；（2）10cm【分析】（1）根据线段的定义，即可得到答案；（2）由点B 为CD 的中点，即可求出CD 的长度，然后求出AD 的长度．【详解】解：（1）根据题意，图中共有6条线段，分别是AC ，AB ，AD ，CB ，CD ，BD ．（2）因为点B 是CD 的中点，2cm BD =，所以24cm CD BD ==，所以10cm AD AC CD =+=．【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，以及线段的定义，解题的关键是熟练掌握线段有关的计算问题．21．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥（2）求该几何体的体积．解析：（1）C ；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．22．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 的长；（2）求线段MN 的长；（3）若C 在线段AB 延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请写出你的结论（不需要说明理由）解析：（1）BC= 7cm ；（2）MN= 6.5cm ；（3）MN=2b 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC 的长，根据线段的和差，可得BC 的长；（2）根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得MN 的长；（3）根据（1）（2）的结论，即可解答．【详解】解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点，∴12MC AC ==3cm ， ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm ．（2）∵N 是BC 的中点，∴CN=12BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm ．（3）如图，MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12（AC ﹣BC ）=12b ． MN=2b ．【点睛】本题考查两点间的距离．23．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）；（3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析.【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论；（2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论．【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒， 180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒，9060150COB ∴∠=︒+︒=︒，∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒， 756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）COD ∠是直角，AOC a ∠=，1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-，9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-，∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-， ()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=．（3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠， 90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，即2AOC DOE ∠=∠．【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键．24．如图，点C 是AB 的中点，D ，E 分别是线段AC ，CB 上的点，且AD ＝23AC ，DE ＝35AB ，若AB ＝24 cm ，求线段CE 的长．解析：CE ＝10.4cm ．【分析】根据中点的定义，可得AC 、BC 的长，然后根据题已知求解CD 、DE 的长，再代入CE=DE-CD 即可.【详解】∵AC=BC=12AB=12cm ，CD=13AC=4cm ，DE=35AB=14.4cm ， ∴CE=DE ﹣CD=10.4cm. 25．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π）解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积．【详解】解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．26．已知：如图AB ∥CD ，EF 交AB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE ＝50°，求：∠BHF 的度数．解析：∠BHF=115° .【分析】由AB ∥CD 得到∠AGE=∠CFG ，由此根据邻补角定义可得∠GFD 的度数，又FH 平分∠EFD ，由此可以先后求出∠GFD ，∠HFD ，继而可求得∠BHF 的度数．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠CFG=∠AGE=50°，∴∠GFD=130°；又FH 平分∠EFD ，∴∠HFD=12∠EFD=65°； ∵AB ∥CD ，∴∠BHF=180°-∠HFD=115°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角等知识，两直线平行时，应该想到它们的性质；由两直线平行的关系可以得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 27．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．（1）如图1，求AOC ∠的度数；（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．解析：（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解；（2）直接根据角平分线的性质即可求解；（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；（2）由（1）得80AOC ∠=︒，90COD ∠=︒，10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线， 11804022AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）由（2）得40AOM ∠=︒，BOP ∠与AOM ∠互余，90BOP AOM ∴∠+∠=︒，90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，1005050COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时（如图3-2)，10050150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒．【点睛】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．28．如图，已知OE 是∠AOB 的平分线，C 是∠AOE 内的一点，若∠BOC ＝2∠AOC ，∠AOB ＝114°，则求∠BOC ，∠EOC 的度数．解析：∠BOC ＝76°，∠EOC ＝19°．【分析】由∠BOC＝2∠AOC，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC，即∠BOC=23∠AOB，然后求解即可;再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE，最后根据角的和差即可求得∠EOC．【详解】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，∴∠BOC＝23∠AOB =23×114°＝76°，∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝114°，∴∠BOE＝12∠AOB ＝12×114°＝57°.∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．29．计算（1）34°41′25″×5；（2）72°35′÷2＋18°33′×4．解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．【详解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．30．已知：如图，18cmAB=，点M是线段AB的中点，点C把线段MB分成:2:1MC CB=的两部分，求线段AC的长．请补充下列解答过程：解：因为M是线段AB的中点，且18cmAB=，所以AM MB==________AB=________cm．因为:2:1MC CB=，所以MC =________MB =________cm ．所以AC AM =+________=________+________=________(cm)．解析：12，9，23，6，MC ，9，6，15．【分析】根据线段中点的性质，可得AM ，根据线段的比，可得MC ，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：∵M 是线段AB 的中点，且18cm AB =， ∴19cm 2AM MB AB ===． ∵:2:1MC CB =， ∴26cm 3MC MB ==． ∴9615(cm)AC AM MC =+=+=．故答案为：12，9，23，6，MC ，9，6，15．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出AM ，线段的比得出MC 是解题关键．。

平行线必考几何题型专训(6大题型)—2023-2024学年七年级数学下册(浙教版)(解析版)

平行线必考几何题型专训（6大题型+10道拓展培优）【题型目录】题型一根据平行线的判定与性质求解题型二根据平行线的性质探究角的关系题型三平行线的性质在生活中的实际应用题型四平行线中的旋转问题题型五平行线中的折叠问题题型六平行线中的平移问题【经典例题一根据平行线的判定与性质求解】【例1】（2023下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）如图，AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 为线段CD 延长线上一点，BAF EDF ∠=∠．(1)求证：DE AF ∥；(2)若=40F ︒∠，求DAF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析(2)40DAF ∠=︒【分析】（1）根据AB BC ⊥，DC BC ⊥得出AB CF ，根据平行线的性质可得180BAF F ∠+∠=︒，进而得出180EDF F ∠+∠=︒，根据平行线判定定理即可得结论；（2）根据平行线的性质得出ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，根据角平分线的定义即可得答案．【详解】（1）证明：∵AB BC ⊥于点B ，DC BC ⊥于点C ，∴90B C ∠=∠=︒，∴180B C ∠+∠=︒，∴AB CF ，∴180BAF F ∠+∠=︒，∵BAF EDE ∠=∠，∴180EDE F ∠+∠=︒，∴DE AF ∥．（2）解：∵DE AF ∥，∴ADE DAE ∠=∠，EDC F ∠=∠，∵DE 平分ADC ∠，∴ADE CDE ∠=∠，∴40DAF F ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式训练】 1．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，已知直线,AB CD 被直线EF 所截，EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠，1290∠+∠=︒，AB CD 吗？为什么？因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以2AEF ∠∠=___________，2EFC ∠∠=___________，所以AEF EFC ∠∠+=___________（），因为1290∠+∠=︒（），所以AEF EFC ∠∠+=___________︒，所以AB CD （）．【答案】平行，见解析【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，从而可得180AEF EFC ∠+∠=︒，再根据平行线的判定即可得．【详解】解：因为EG 平分AEF ∠，FG 平分EFC ∠（已知），所以21AEF ∠=∠，22EFC ∠=∠，所以()212AEF EFC ∠+∠=∠+∠（等量代换），因为1290∠+∠=︒（已知），所以180AEF EFC ∠+∠=︒，所以AB CD （同旁内角互补，两直线平行）． 2．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，直线AB 和CD 被直线MN 所截．(1)如图1，EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同旁内角），则1∠与2∠满足______时， AB CD ∥，并说明平行的理由；(2)如图2，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对同位角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由；(3)如图3，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（平分的是一对内错角），则1∠与2∠满足______时，AB CD ∥，并说明平行的理由．【答案】(1)1290∠+∠=︒，见解析(2)12∠=∠，见解析(3)12∠=∠，见解析【分析】（1）根据角平分线的定义可得21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足1290∠+∠=︒，即可得出()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，即可判断AB CD ∥；（2）根据角平分线的定义可得21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，故1∠与2∠满足12∠=∠，即可得BEM DFE ∠=∠，即可判断AB CD ∥；（3）同（2）的分析即得结论．【详解】（1）当1∠与2∠满足1290∠+∠=︒时， AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分BEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵1290∠+∠=︒，∴()212180BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AB CD ∥；（2）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，∴21BEM ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴BEM DFE ∠=∠，∴AB CD ∥；（3）当1∠与2∠满足12∠=∠时，AB CD ∥，理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，∴21AEF ∠=∠，22EFD ∠=∠，∵12∠=∠，∴AEF DFE ∠=∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（2023下·河北石家庄·七年级石家庄市第二十一中学校考期中）如图，直线EF 与直线AB ，CD 分别相交于点M ，O ，OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，与AB 交于点P ，Q ，已知90OPQ DOQ ∠+∠=︒．(1)若:2:5DOQ DOF ∠∠=，求FOQ ∠的度数；(2)对AB CD ∥说明理由．【答案】(1)140FOQ =︒∠(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得出EOQ DOQ =∠∠，设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，根据题意得出225180x x x ++=︒，求出x 的值，即可得出答案；（2）根据OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，得出119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，根据90OPQ DOQ ∠+∠=︒，得出COP OPQ =∠∠，根据平行线的判断即可得出结论．【详解】（1）解：∵OQ 平分DOE ∠，∴EOQ DOQ =∠∠，∵:2:5DOQ DOF ∠∠=，∴设2DOQ EOQ x ==∠∠，则5DOF x =∠，∴225180x x x ++=︒，解得：20x =︒，∴527140FOQ DOF DOQ x x x =+=+==︒∠∠∠；（2）证明：∵OP ，OQ 分别平分COE ∠和DOE ∠，∴12COP EOP COE ==∠∠∠，12EOQ DOQ EOD ==∠∠∠，∴119022COP DOQ COE EOD ∠+∠=+=︒∠∠，∵90OPQ DOQ ∠+∠=︒，∴COP OPQ =∠∠，∴AB CD ∥．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，余角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判断方法． 4．（2022下·河北保定·七年级统考期中）如图，点E 在直线DC 上，射线EF 、EB 分别平分AED ∠、AEC ∠．(1)试判断EF 、EB 的位置关系，并说明理由；(2)若5A ∠=∠，且4590∠+∠=︒，求证：AB EF ∥．【答案】(1)EB EF ⊥，理由见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；（2）由等角的余角相等可证得25∠=∠，进而可得2A ∠=∠，再由内错角相等两直线平行即可证得．【详解】（1）解：EB EF ⊥，理由如下：∵EB 平分AEC ∠，EF 平分AED ∠，∴1342AEC ∠=∠=∠，1122AED ∠=∠=∠，180AED AEC ∠+∠=︒，∴111123()180902222BEF AED AEC AED AEC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴EB EF ⊥；（2）证明：∵2390∠+∠=︒（已证），4590∠+∠=︒（已知），又∵3=4∠∠，∴25∠=∠，∵5A ∠=∠，∴2A ∠=∠，∴AB EF ∥．【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键． 5．（2021下·山西大同·七年级校考期中）已知：三角形ABC 和三角形DEF 位于直线MN 的两侧中，直线MN 经过点C ，且BC MN ⊥，其中A ABC CB =∠∠，DEF DFE ∠=∠，90∠+∠=︒ABC DFE ，点E 、F 均落在直线MN 上．（1）如图1，当点C 与点E 重合时，求证：//DF AB ；聪明的小丽过点C 作//CG DF ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．（2）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，如图2，求证：//DE AC ；（3）将三角形DEF 沿着NM 的方向平移，使得点E 移动到点E '，画出平移后的三角形DEF ，并回答问题，若DFE α∠=，则CAB ∠=________．（用含α的代数式表示）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2α．【分析】（1）过点C 作//CG DF ，得到DFE FCG ∠=∠，再根据90BCF ∠=︒，90∠+∠=︒ABC DFE ，得到ABC BCG ∠=∠，进而得到//CG AB ，最后证明//DF AB ；（2）先证明90ACB DEF ∠+∠=︒，再证明90ACB ACE ∠+∠=︒，得到DEF ACE ∠=∠，问题得证；（3）根据题意得到DFE DEF α∠=∠=，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=α，进而得到=90BC AC A B α=∠︒−∠，根据三角形内角和即可求解．【详解】解：（1）过点C 作//CG DF ，DFE FCG ∴∠=∠，BC MN ⊥，90BCF ∴∠=︒，90BCG FCG ∴∠+∠=︒，90BCG DFE ∴∠+∠=︒，90ABC DFE ∠+∠=︒，ABC BCG ∴∠=∠，//CG AB ∴，//DF AB ∴；（2）解：ABC ACB ∠=∠，DEF DFE ∠=∠，又90ABC DFE ∠+∠=︒，90ACB DEF ∴∠+∠=︒，BC MN ⊥，90BCM ∴∠=︒，90ACB ACE ∴∠+∠=︒，DEF ACE ∴∠=∠，//DE AC ∴；（3）如图三角形DEF 即为所求作三角形．∵DFE α∠=，∴DFE DEF α∠=∠=，由（2）得，DE ∥AC ，∴∠DEF=∠ECA=α，∵90ACB ACE ∠+∠=︒，∴∠ACB=90α︒−，∴ =90BC AC A B α=∠︒−∠，∴∠A=180°-A ABC CB −∠∠=2α．故答案为为：2α．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．【经典例题二根据平行线的性质探究角的关系】【例2】（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，已知AB DE ABC CED ∠∠∥，、的平分线交于点F ．探究BFE ∠与BCE ∠之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】2BCE BFE ∠=∠，见解析【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，过点C 作直线MN AB ∥，然后证明MN DE ∥，根据平行线的性质可得=DEC ECN ∠∠，=ABC BCN ∠∠，进而可得BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理可得BFE ABF DEF ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质可得2ABC ABF ∠=∠，2DEC DEF ∠=∠，等量代换可得答案．【详解】解：过点C 作直线MN AB ∥，∵AB DE MN AB ∥，∥，∴MN DE ∥，∴DEC ECN =∠∠，AB MN ，∴ABC BCN ∠=∠，∴BCE ABC DEC ∠=∠+∠，同理BFE ABF DEF ∠=∠+∠，∵ABC CED ∠∠、的平分线交于点F ，∴22ABC ABF DEC DEF ∠=∠∠=∠，，∴222BCE ABF DEF BFE ∠=∠+∠=∠．【变式训练】 1．（2024上·山西晋城·七年级统考期末）综合与探究如图，已知直线a b c ∥∥，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线c 上，P 是直线b 上的一个动点．(1)当点P 移动到如图1所示的位置时，,,PAB PCD APC ∠∠∠之间的数量关系为________(2)当点P 移动到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并说明理由．(3)如图3，已知20,50,45,15B BCD CDE E ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒．试判断AB 与EF 是否平行，并说明理由：【答案】(1)360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒(2)（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由见解析(3)平行．理由见解析【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活应用是解本题的关键．（1）利用平行线的性质证明12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，从而可得结论；（2）利用平行线的性质证明1PAB ∠=∠，2PCD ∠=∠，从而可得结论；（3）如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．求解20BCM ∠=︒．结合20B ∠=︒，进一步可得结论．【详解】（1）解：如图，∵a b c ∥∥，∴12180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，∴360PAB PCD APC ∠+∠+∠=︒．（2）（1）中结论不成立，APC PAB PCD ∠=∠+∠．理由：如图，∵a b ∥，1PAB ∴∠=∠．∵b c ∥，2PCD ∴∠=∠．12APC ∠=∠+∠，APC PAB PCD ∴∠=∠+∠．（3）平行．理由如下：如图，过点C 作CM EF ∥．由（2），得CDE DCM E ∠=∠+∠．45,15CDE E ︒∠︒∠==Q ，30DCM CDE E ∴∠=∠−∠=︒．50BCD ∠=︒，20BCM BCD DCM ∴∠=∠−∠=︒．又20B ︒∠=，BCM B ∴∠=∠．C AB M ∴∥．CM EF Q ∥，∴AB EF ∥．2．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，AB 与CD 交于点O ．(1)如图1，若AC BD ∥，请直接写出A C ∠+∠与B D ∠+∠的数量关系为_________．(2)如图2，若AC 不平行BD ，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并证明你的结论．（注：不能用三角形内角和定理）【答案】(1)A C B D ∠+∠=∠+∠，证明见解析(2)（1）中结论成立，证明见解析【分析】（1）先证明A B ∠=∠，C D ∠=∠，可得A C B D ∠+∠=∠+∠；（2），过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，证明OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，从而可得结论成立．【详解】（1）解：A C B D ∠+∠=∠+∠，理由如下：∵AC BD ∥，∴A B ∠=∠，C D ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过A 作AH BD ∥交CD 于N ，结合（1）可得：B D BAN AND ∠+∠=∠+∠，过C 作CG AH ∥，∴AND GCD ∠=∠，ACG CAN ∠=∠，∴ACN CAN ACN ACG GCN ∠+∠=∠+=∠，∴OAC ACO OAN CAN ACN OAN GCN BAN AND ∠+∠=∠+∠+=∠+∠=∠+∠，∴B D OAC ACO ∠+∠=∠+∠；【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2023上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，使刀背与直角腰的夹角为1∠，刀片转动的角为2∠．(1)若155∠=︒，求2∠的度数．(2)刀片在打开过程中，若2∠为钝角，求证：2901∠=︒+∠．【答案】(1)145︒(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得到155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，由互余得到9035DCE BCE ∠=︒−∠=︒，则35CDF DCE ∠=∠=︒，根据邻补角即可得到2∠的度数；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，则1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠，由90BCE DCE ∠+∠=︒得到90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，则901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，根据邻补角即可得到结论．【详解】（1）解：如图，过点C 作CE DF ∥，由题意可知，AB DF ∥，∴AB DF CE ∥∥，∴155BCE ∠=∠=︒，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90905535DCE BCE ∠=︒−∠=︒−︒=︒，∴35CDF DCE ∠=∠=︒，∴218018035145CDF ∠=︒−∠=︒−︒=︒；（2）由（1）可知，AB DF CE ∥∥，∴1BCE ∠=∠，DCE CDF ∠=∠，∵90BCE DCE ∠+∠=︒，∴90901DCE BCE ∠=︒−∠=︒−∠，∴901CDF DCE ∠=∠=︒−∠，∴()2180180901901CDF ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠；即2901∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查平行线的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2023下·贵州毕节·七年级校联考期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线,AB CD 和一块含60︒角的直角三角尺(90,60)EFG EFG EGF ∠=︒∠=︒”为主题开展数学活动． (1)如图1，三角尺的60︒角的顶点G 在CD 上．240∠=︒，则1∠的度数为________．(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索AEF ∠与FGC ∠之间的数量关系是_______．(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30︒角的顶点E 在AB 上．若AEG α∠=，DFG β∠=，请直接写出AEG ∠与DFG ∠的数量关系（用含,αβ的式子表示）．【答案】(1)80︒(2)90AEF FGC ∠+∠=︒(3)120αβ−=︒【分析】（1）根据平行线的性质可知1EGD ∠=∠，依据2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，可求出1∠的度数；（2）过点F 作∥FP AB ，得到FP AB CD ∥∥，通过平行线的性质把AEF ∠和FGC ∠转化到EFG ∠上即可；（3）依据AB CD ∥，可知180AEF CFE ∠+∠=︒，再根据18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，代入180AEF CFE ∠+∠=︒，即可求出120AEG DFG ∠−∠=︒．【详解】（1）解：AB CD ∥，1EGD ∴∠=∠，2180FGE EGD ∠+∠+∠=︒，260180EGD ∴∠+︒+∠=︒，80EGD ∴∠=︒，180∴∠=︒；故答案为：80︒；（2）90AEF FGC ∠+∠=︒，理由如下：如图，过点F 作∥FP AB ，CD A B ∥，FP AB CD ∴∥∥，AEF EFP ∴∠=∠，FGC GFP ∠=∠，AEF FGC EFP GFP EFG ∴∠+∠=∠+∠=∠，90EFG ∠=︒，90AEF FGC ∴∠+∠=︒；故答案为：90AEF FGC ∠+∠=︒；（3）120αβ−=︒，理由如下：AB CD ∥，180AEF CFE ∠+∠=︒∴，18090CFE DFG ∠=︒−∠−︒，30AEF AEG ∠=∠−︒，3018090180AEG DFG ∴∠−︒+︒−∠−︒=︒，120AEG DFG ∴∠−∠=︒，120αβ∴−=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．5．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）已知AB CD ∥，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点Q 为射线EF 上一点．(1)如图1，若22A ∠=︒，35C ∠=︒，则AQC ∠= ．(2)如图2，当点Q 在线段EF 的延长线上时，请写出A ∠、C ∠和AQC ∠三者之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，AH 平分QAB ∠，CH 交AH 于点H ．①若CH 平分QCD ∠，求AQC ∠和AHC ∠的数量关系．②若:1:3QCH DCH ∠∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，直接写出AQC ∠的度数为．【答案】(1)57︒(2)数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，理由见解析(3)① AHC ∠=12AQC ∠，②72AQC ∠=︒【分析】（1）过点Q 作QH ∥AB ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（2）过点Q 作MN ∥CD ，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（3）①过点H 作PH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；②根据①的结论，利用角的关系解答即可．【详解】（1）解：过点Q 作QH ∥AB ，AB ∥CD ，QH ∴∥AB ∥CD ，35C CQH ∴∠=∠=︒，22A HQA ∠=∠=︒，352257AQC CQH HQA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：57︒；（2）数量关系：A C AQC ∠−∠=∠，证明：过点Q 作MN ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥MN ，NQC C ∴∠=∠，180MQA A ∠=︒−∠，180AQC NQC MQA A C ∴∠=︒−∠−∠=∠−∠．（3）①过点H 作PG ∥CD ，AB ∥CD ，AB ∴∥PH ，PHC HCD ∴∠=∠，180GHA HAB ∠=︒−∠，AHC HAB HCD ∴∠=∠−∠．又AH 平分CAB ∠，CH 平分QCD ∠，HAB ∴∠=12QAB ∠，HCD ∠=12QCD ∠ AHC ∴∠=12 ()QAB QCD ∠−∠由（2）可得AHC ∠=12.AQC ∠②72AQC ∠=︒，理由如下：QCH ∠：1:3DCH ∠=，33HCD ∠=︒，25AHC ∠=︒，11QCH ∴∠=︒，33DCH ∠=︒，332558HAB ∴∠=︒+︒=︒，5824472AQC ∴∠=︒⨯−︒=︒，故答案为：72︒．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，关键是添加辅助线，根据两直线平行，内错角相等解答．【经典例题三平行线的性质在生活中的实际应用】【例3】（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架AB 、BC 为固定支撑杆，支架OC 可绕点C 旋转调节．已知灯体顶角52DOE ∠=︒，顶角平分线OP 始终与OC 垂直．(1)如图2，当支架OC 旋转至水平位置时，OD 恰好与BC 平行，求支架BC 与水平方向的夹角θ∠的度数；(2)若将图2中的OC 绕点C 顺时针旋转15︒到如图3的位置，求此时OD 与水平方向的夹角OQM ∠的度数．【答案】(1)64︒(2)49︒【分析】（1）利用角平分线定义可得1262DOP DOE ∠=∠=︒，由垂直定义可得90COP ∠=︒，得出116COD COP DOP ∠=∠+∠=︒，再运用平行线性质即可得出答案；（2）过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：如图2，52DOE ∠=︒，OP 平分DOE ∠，1262DOP DOE ∴∠=∠=︒，OP OC ⊥，90COP ∴∠=︒，9026116COD COP DOP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，OD BC ∥，180********C COD ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，OC BF ∥，64COF C ∴∠=∠=︒，即64θ∠=︒；（2）如图3，过点C 作CG MN ∥，过点O 作OF CG ∥，则15COF OCG ∠=∠=︒，116COD ∠=︒，11615131FOQ COD COF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，CG MN ∥，OF CG ∥，OF MN ∴∥，180OQM FOQ ∴∠+∠=︒，180********OQM FOQ ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒．【点睛】本题考查了平行线性质等，适当添加辅助线，构造平行关系是解题关键．【变式训练】 1．（2023下·江苏·七年级期中）如图1，某段道路AB CD ，两旁安装了两个探照灯M 和N ．灯M 光束从MB 开始旋转至180︒便立即回转，灯N 光束从NC 开始旋转至180︒便立即回转．灯M 转动的速度是每秒1度，灯N 转动的速度是每秒2度，灯M 转动的时间为t 秒． (1)如图2，灯M 光束先转动30秒后，灯N 光束才开始转动．①直接写出灯M 光束和灯N 光束，灯先回转；(填M 或N )②在灯M 光束回转之前，当两灯的光束平行时，求t 的值；(2)如图3，两灯同时转动，且均不回转．连接MN ，且2BMN MND ∠=∠，若两灯光束交于点E ，在转动过程中，请探究BME ∠与MEF ∠的数量关系是否发生变化？并说明理由．【答案】(1)①N ；②当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行(2)不变，BME MEF ∠=∠．理由见解析【分析】（1）①分别计算M 、N 回转时间，然后比较即可；②根据M 、N 均未回转即30120t <<和N 回转后即120180t <<两种情况，进行求解即可；（2）由AB CD ，可得180BMN MND ∠+∠=︒，则12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，由2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，得1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，求得180MEN t ∠=︒−︒，则MEF t ∠=︒，进而可得BME MEF ∠=∠．【详解】（1）①解：光束M 回转时间为1801180t =÷=（秒）；光束N 回转时间180230120t =÷+=（秒）；∵120180<，∴光束N 先回转，故答案为：N ；②解：当30120t <<时，如图1，∵AB CD ，∴BMM MM C ''∠=∠， ∵MM NN ''∥，∴N NC MM C ''∠=∠， ∴BMM N NC ''∠=∠，∴()230t t =−，解得60t =；当120180t <<时，如图2，∵AB CD ，∴180BMM MM D ''∠+∠=︒， ∵MM NN ''∥，∴N ND MM D ''∠=∠， ∴180BMM N ND ''∠+∠=︒，∴()230180180t t +−−=⎡⎤⎣⎦，解得140t =，综上所述，当t 的值为60或140时，两灯的光束互相平行；（2）解：不变，BME MEF ∠=∠．理由如下：∵AB CD ，∴180BMN MND ∠+∠=︒，∵2BMN MND ∠=∠，∴12060BMN MND ∠=︒∠=︒，，∵2BME t CNF t ∠=︒∠=︒，，∴1202120NME t MNF t ∠=︒−︒∠=︒−︒，，∴()()1801202120180MEN t t t ∠=︒−︒−︒−︒−︒=︒−︒，∴MEF t ∠=︒，∠=∠．∴BME MEF【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，一元一次方程的应用．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．2．（2022下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为°，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD 分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)70(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确AB∥CD时的t值．【详解】（1）解：AB∥CD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，故答案为：70；（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，若AB∥CD，则∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴当t=10s时AB∥CD；②当20s＜t≤40s时，如下图，有∠BAE ＜90°＜∠ACD ，则AB 与CD 不平行；③当40s ＜t≤80s 时，如下图，有∠BAC ＜∠ACD ，AB 与CD 不平行；④当80s ＜t≤120s 时，如下图，若AB ∥CD ，则∠BAC=∠DCF ，即3t -240=t -40，解得t=100，∴当t=100s 时，AB ∥CD ；综上可知，在射线AB 转动一周的时间内，存在时间t ，使得CD 与AB 平行，其t=10s 或100s ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 3．（2023下·吉林松原·七年级统考期末）如图，PQ MN ∥，A 、B 分别为直线MN 、PQ 上两点，且45BAN ∠=︒，若射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 后立即回转，射线BQ 绕点B 逆时针旋转至BP 后立即回转，两射线分别绕点A 、点B 不停地旋转，若射线AM 转动的速度是/a ︒秒，射线BQ 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足2|6|(1)0a b −+−=．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）(1)=a ，b = ；(2)若射线AM 、射线BQ 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．(3)若射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒，射线BQ 才开始绕点B 逆时针旋转，在射线BQ 到达BA 之前，问射线AM 再转动多少秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行？【答案】(1)6，1(2)907t =s(3)射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行【分析】（1）依据()2610a b −+−=，即可得到a ，b 的值；（2）依据90ABO BAO ∠+∠=︒，180ABQ BAM ∠+∠=︒，即可得到射线AM 、射线BQ 第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，列出方程即可得到射线AM 、射线BQ 互相平行时的时间．【详解】（1）2|6|(1)0a b −+−=， 60a ∴−=，10b −=，6a ∴=，1b =，故答案为：6，1；（2）设至少旋转t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相垂直．如图，设旋转后的射线AM 、射线BQ 交于点O ，则BO AO ⊥，90ABO BAO ∴∠+∠=︒，PQ MN ∥，180ABQ BAM ∴∠+∠=︒，90OBQ OAM ∴∠+∠=︒，又OBQ t ∠=︒，6OAM t ∠=︒，690t t ∴︒+︒=︒，90()7t s ∴=；（3）设射线AM 再转动t 秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．如图，射线AM 绕点A 顺时针先转动18秒后，AM 转动至AM '的位置，186108MAM '∠=⨯=︒，分两种情况：①当918t <<时，QBQ t '∠=︒，6M AM t '''∠=︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，645BAM M AM M AB t ''''''∠=∠−∠=−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，此时，45645t t ︒−︒=−︒，解得907t =；②当1827t <<时，QBQ t '∠=︒，690NAM t ''∠=︒−︒，45BAN ABQ ∠=︒=∠，45ABQ t '∴∠=︒−︒，45(690)1356BAM t t ''∠=︒−︒−︒=︒−︒，当ABQ BAM '''∠=∠时，BQ AM '''，此时，451356t t ︒−︒=︒−，解得18t =；综上所述，射线AM 再转动907秒或18秒时，射线AM 、射线BQ 互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．【经典例题四平行线中的旋转问题】【例4】（2023上·吉林长春·七年级校考期末）将一副直角三角板按如图①方式摆放在直线MN 上（直角三角板ABC 和直角三角板EDC ，90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，30DCE ∠=︒，90ABC ∠=︒，45BAC BCA ∠=∠=︒），保持三角板EDC 不动，将三角板ABC 绕点C 以每秒5︒的速度顺时针旋转，旋转时间为t 秒，当AC 与射线CN 重合时停止旋转．(1)如图②，当AC 为DCE ∠的平分线时，t =____________；(2)当18t =时，求BCD ∠的度数；(3)在旋转过程中，当三角板ABC 的AB 边平行于三角板EDC 的某一边时（不包含重合的情形），直接写出t 的值．【答案】(1)3(2)15︒(3)t 的值为15或27或35【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．（1）根据角平分线的定义求出1152ACE DCE ∠=∠=︒，然后求出t 的值即可；（2）当18t =时，旋转角为90︒，可求出ACE ∠，即可求出BCD ∠；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t 的值即可．【详解】（1）解：如图2，∵90EDC ∠=︒，60DEC ∠=︒，∴30DCE ∠=︒，∵AC 平分DCE ∠， ∴1152ACE DCE ∠=∠=︒， ∴1535t ==，（2）当18t =秒时，CA 的旋转角度为185=90⨯︒︒，即90ACE ∠=︒，如图，∴=BCD ACE ACB DCE ∠∠−∠−∠=904530︒−︒−︒15=︒；（3）①当AB DE ∥时，如图，此时BC 与CD 重合，旋转角度为75BCA ECD ∠+∠=︒，∴()3045515t =+÷=；②当AB CE ∥时，如图，∵AB CE ∥，∴90BCE B ∠=∠=︒，∴9045135ACE ∠=︒+︒=︒，∴135527t =÷=；③当AB CD ∥时，如图，∵AB CD ∥，∴90BCD D ∠=∠=︒，∴309045175ACE ∠=︒+︒+︒=︒，∴175535t =÷=．【变式训练】 1．（2023下·江苏连云港·七年级校考阶段练习）为了美化夜景，在某段道路两旁安置了两座可旋转激光灯．如图，灯A 射线自AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a ︒/秒，灯B 转动的速度是b ︒/秒，且a 、b 满足()2340a a b −++−=．假定主道路是平行的，即PQ MN ∥，且:1:3BAN ABP ∠∠=．(1)填空：=a _______，b =_______，BAN ∠=_______︒；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，灯A 射线转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】(1)3 1 45(2)15秒或82.5秒(3)不发生改变32BAC BCD ∠=∠【分析】（1）根据绝对值与平方数的非负性即可求解；根据同旁内角互补并结合已知条件可求得BAN ∠的度数．（2）根据题意，当两灯的光束互相平行时，内错角相等即可列出方程求解．（3）设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=设法把BAC ∠与BCD ∠用含x 的代数式表示出来即可获得两角的关系式．【详解】（1）∵()2340a a b −++−=，∴30,40a a b −=+−=∴3,1a b ==．∵PQ MN ∥，∴180BAN ABP ∠+∠=︒．由:1:3BAN ABP ∠∠=得3ABP BAN ∠=∠∴4180BAN ∠=︒，∴45BAN ∠=︒．（2）如图．设在灯B 射线赶到达BQ 之前，灯A 射线转动t 秒，两灯的光束平行，①在灯射线到达AN 之前，由题意得，303t t +=，解得：15t =（秒）②在灯A 射线到达AN 之后，由题意得：()()318030180t t −︒++︒=︒（同旁内角互补，两直线平行）解得：82.5t =（秒）∴灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．（3）BAC ∠与BCD ∠的数量关系不发生变化．理由如下：如图．由⑴知45BAN ∠=︒，∴18045135ABP MAB ∠=∠=︒−︒=︒．设灯B 射线转动的角度PBC x ∠=，则灯A 射线转动的角度3MAC x ∠=∴3x 135BAC MAC MAB ∠=∠−∠=−︒，①135ABC ABP PBC x ∠=∠−∠=︒−，∴()()18018031351351802BCA BAC ABC x x x ∠=︒−∠−∠=︒−−︒−︒−=︒−∵CD AC ⊥，∴()90901802290BCD BCA x x =︒−=︒−︒−=−︒∠∠②由①②得，23BAC BCD ∠=∠ ∴32BAC BCD ∠=∠【点睛】本题考查了绝对值与平方数的非负性、平行线的判定、三角形内角和、用含字母的代数式表示角度等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）综合与实践数学社团的同学以“两条平行线AB ，CD 和一块含45︒角的直角三角尺()90EFG EFG ∠=︒”为主题开展数学活动，已知点E ，F 不可能同时落在直线AB 和CD 之间．探究：（1）如图1，把三角尺的45︒角的顶点E ，G 分别放在AB ，CD 上，若150BEG ∠=︒，求FGC ∠的度数；类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，若点E 恰好落在AB 和CD 之间，且AB 与EF 所夹锐角为25︒，求FGC ∠的度数；迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G 放在CD 上，且保持不动，旋转三角尺，若存在()545FGC DGE DGE ∠=∠∠<︒，直接写出射线GF 与AB 所夹锐角的度数．【答案】（1）105︒（2）115︒（3）67.5︒或11.25°【分析】（1）根据平行线的性质得出180BEG EGD +=︒∠∠，得出30EGD ∠=︒，即可求解．（2）设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，推出EN AB ∥．根据平行线的性质得出则25NEM BME ∠=∠=︒．求出NEG ∠，即可求解；（3）根据题意，进行分类讨论：①当点E 在CD 上方时，②当点E 在CD 下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可.【详解】解：（1）∵AB CD ∥，180BEG EGD ∴∠+∠=︒．又150BEG ∠=︒，30EGD ∴∠=︒，1803045105FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（2）如图1，设AB 交EF 于点M ，则25BME ∠=︒，过点E 作EN CD ∥，∵AB CD ∥，EN CD ∥EN AB ∴∥．25NEM BME ∴∠=∠=︒．452520NEG ∴∠=︒−︒=︒．又EN CD ∥，20DGE NEG ∴∠=∠=︒，1802045115FGC ∴∠=︒−︒−︒=︒．（3）67.5︒或11.25°．如图2，AB 交GF 于点H ，当点E 在CD 上方时，设EGD x ∠=，则5FGC x ∠=，∴545180x x +︒+=︒，解得22.5x =︒．∴4522.567.5AHG HGD ∠=∠=︒+︒=︒；如图3，延长GF 交AB 于点H ，当点E 在CD 下方时，设EGD y ∠=，则5FGC y ∠=，∴()545180y y +︒−=︒，解得33.75y =︒，∴4533.7511.25AHG HGD ∠=∠=︒−︒=︒．综上所述，AHG ∠的度数为67.5︒或11.25°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 3．（2022上·陕西延安·七年级统考阶段练习）如图1，已知PQ MN ∥，点A ，B 分别在MN ，PQ 上，且45BAN ∠=︒，射线AM 绕点A 顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转（速度是a ︒/秒），射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转（速度是b ︒/秒）、且a 、b 满足()2310a b −+−=．(1)如图2，两条射线同时旋转，设旋转时间为t 秒()60t <，两条旋转射线交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，求BAC ∠与BCD ∠的数量关系；(2)若射线BP 先旋转20秒，射线AM 才开始旋转，设射线AM 旋转时间为t 秒()160t <，若旋转中AM BP ∥，求t 的值．【答案】(1)23BAC BCD ∠=∠；(2)若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到a ，b 的值，由题意可得3135BAC t ∠=−︒，再根据PQ MN ∥即可得到ACB CBD CAN ∠=+∠，从而可得1802BCA t ∠=︒−，再根据=90ACD ∠︒，可得290BCD t ∠=−︒，从而可得32BAC BCD ∠∠=：：，即可得出结论；（2）分三种情况讨论，列出方程即可得到射线AM 、射线BP 互相平行时的时间．【详解】（1）解：∵a 、b 满足()2310a b −+−=．∴3010a b −=−=，，∴31a b ==，，由题意得3CAM t CBD t ∠=∠=，，∵180345CAN t BAN ∠=︒−∠=︒，， ∴4518033135BAC t t ∠=︒−︒−=−︒（），过点C 作CE PQ ∥，∴CBD BCE t ∠=∠=，∵PQ MN ∥，∴PQ CE MN ∥∥，∴1803CAN ACE t ∠=∠=︒−，∵ACE BCE ACB ∠+∠=∠，∴18031802ACB CBD CAN t t t ∠=+∠=+︒−=︒−，∵CD AC ⊥，∴=90ACD ∠︒，∴()90901802290BCD ACB t t ∠=︒−∠=︒−︒−=−︒，∴32BAC BCD ∠∠=：：，即23BAC BCD ∠=∠；（2）解：∵160t <，∴()2011803480t t +⨯<<，，即射线BP 旋转的角度小于180︒，①当3180t <，即060t <<时，()3201t t =+⨯，解得：10t =；②当1803270t <<且()20190t +⨯>，即7090t <<时， ()3180201180t t −++⨯=，解得：85t =；③当()360348020190t t <<+⨯>且，即120160t <<时， ()3360201t t −=+⨯，解得：190t =（不合题意，舍去）；∴若旋转中AM BP ∥，t 的值为10或85．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，旋转的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 4．（2023上·广西贵港·七年级校考期末）如图，直线AB CD ∥，MN AB ⊥分别交AB ，CD 于点M 、N ，射线MP 、MQ 分别从MA 、MN 同时开始绕点M 顺时针旋转，分别与直线CD 交于点E 、F ，射线MP 每秒转10︒，射线MQ 每秒转5︒，ER ，FR 分别平分PED ∠，QFC ∠，设旋转时间为t 秒()018t <<．(1)用含t 的代数式表示：AMP ∠=________︒，QMB ∠=________︒；(2)当4t =时，REF ∠=________︒．(3)当130MEN MFN ∠+∠=︒时，求出t 的值．【答案】(1)10t ，()905t −(2)70(3)8t =或283t =.【分析】（1）由题意不难得出10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，继而得到()905QMB t ∠=−︒；（2）由平行线的性质可得10MEF AMP t ∠=∠=︒，再结合ER 是PED ∠的平分线，即可求解；（3）由平行线的性质可得10MEN AMP t ∠=∠=︒，再由MN AB ⊥得到MN CD ⊥，从而求得905MFN t ∠=︒−︒，分两种情况讨论：当点E 在N 左侧时和当点E 在N 右侧时，结合已知条件，即可求解；【详解】（1）解：由题意得：10AMP t ∠=︒，5NMF t ∠=︒，AB CD ∥，MN AB ⊥，()90905905QMB NMF t t ∴︒∠=︒−∠=︒−︒=−；故答案为：10t ，()905t −；（2）AB CD ∥，10MEF AMP t ∴∠=∠=︒，ER Q 是PED ∠的平分线，()()111801801090522REF MEF t t ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒−︒，∴当4t =时，905470REF ∠=︒−⨯︒=︒；故答案为：70；（3）①当点E 在N 左侧时，AB CD ∥，10MEN AMP t ∴∠=∠=︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，10905130t t ∴︒+︒−︒=︒，解得：8t =；②当点E 在N 右侧时，如图，AB CD ∥，10AMP t ∠=︒，180MEN AMP ∴∠+∠=︒，18010MEN t ∴∠=︒−︒，MN AB ⊥，MN CD ∴⊥，5NMF t ∠=︒，905MFN t ∴∠=︒−︒，130MEN MFN ∠+∠=︒，180********t t ∴︒−︒+︒−︒=︒，解得：283t =；【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是对这些知识点的掌握和熟练应用． 5．（2022下·天津南开·七年级校联考期中）将一副三角板中的两个直角顶点C 按如图方式叠放在一起．(1)若45DCE ∠=︒，则ACB ∠的度数为________；若140ACB ∠=︒，则DCE ∠的度数为________；(2)猜想ACB ∠与DCE ∠的大小关系，并说明理由；(3)若将三角板BCE ∠绕点C 按顺时针方向继续旋转，当90ACE ∠<︒时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请画出图形，并直接写出ACE ∠的大小．【答案】(1)135︒；40︒(2)180ACB DCE ∠+∠=︒，见解析(3)存在，见解析，当AC EB ∥时45ACE ∠=︒，当AD BC ∥时，30ACE ∠=︒【分析】（1）根据角度之间的和、差计算即可；（2）根据角度之间的和、差计算即可；（3）分两种情况讨论：AC EB ∥和AD BC ∥，根据图形，利用平行线的性质和角度之间的和、差关系求解即可．【详解】（1）解：若45DCE ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，904545ACE ACD DCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，4590135ACB ACE DCE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；若140ACB ∠=︒，90ACD BCE ∠=∠=︒，1409050ACE ACB BCE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，905040DCE ACD ACE ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒；故答案为：135︒；40︒；（2）证明：90ACB DCB ∠=︒+∠，90DCE DCB ∠=︒−∠，9090180ACB DCE DCB DCB ∴∠+∠=︒+∠+︒−∠=︒；（3）解：如图所示，当AC EB ∥时，45CEB ∠=︒，∴45ACE CEB ∠=∠=︒；。

浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：各类求值问题

浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：七年级各类求值问题1. 例题：已知当x=-2时，代数式73-+bx ax 的值为6，那么当 x=2时，代数式13++bx ax 的值是．2.当x ＝2时，代数式13+-bx ax 的值等于-17，那么当x ＝-1时，代数式12ax —3bx 3—5的值等于．3. 已知代数式24352)(dxx cx bx ax x +++，当x ＝l 时，值为l ，那么该代数式当x ＝一l 时的值是______．222222224.-21,--2,2---2x-4y-3y -_____x y z x y z x y z x z +=+=+=已知代数式（）（）（）3315.2,-451997,-421-3-244986_______2x y ax by x y ax by ==++===+=已知时，代数式求当，时，代数式6. 已知当x=1时,3ax 3+bx 2−2cx+4=8,并且ax 3+2bx 2−cx −15=−14,那么,当x=−1时,5ax 3−5bx 2−4cx+2019的值是___.7.已知关于x 的二次多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a ，当 x=2时的值为一17，求当x=一2时，该多项式的值=________．小结：当题目告诉我们未知数的值时，我们只需要将未知数代入，然后仔细观察化简后的式子与要求值的式子的特点，寻找最合适的方法求值。

1.例题：若5,3,2=--=-=-d c c b b a ，则)())((d a d b c a -÷--＝．2.______)()()(,693222=-+-+-+=-=+a c c b b a c b a 则若3._____122,23222=-+++--=-b ab a b ab a b a b a 则互为相反数，且与若4._____,512513,513512222=+--=-=c b a a c a b 则已知5.______12444,2242222=-+++---=a y ay xy ax x a x y 则若6.已知代数式(2x 2+ax-y+6)－(2bx 2-3x+5y-1)．(1)当a= ，b= 时，此代数式的值与字母x 的取值无关；(2)在(1)的条件下，多项式3(a 2-2ab-b 2)一(4a 2+ab+b 2)的值为．小结：直接代入后运算及其不便，先观察所求代数式特点，变形之后再整体代入事半功倍。

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浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练：几何大题综合练习
1.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB
3．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于
D ．求证：AD +BC =AB ．
4、如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B
5、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
N
E
B M A D
P D
A
C
B
P
E
D
C
B A
D
C
B A
6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线
交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
N
C
D
E
B M A
7、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
F
E
D
C
B
A
8、在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.
9.如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE
10、如图，已知△ ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE=BD ，连接CE 、DE.求证：EC=ED
11. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，
BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．
求证：BD ＝CG ．
E ＝∠
F 。

D
B
C
F E A
图2
上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC CD =
2
C
图11
A
B
D E
14、如图，AB C
∆中，ο
100
=
∠
=A
AC
AB，，BD平分ABC
∠。

求证：B C
B D
AD=
+
15.如图，三所学校分别记作A，B，C．体育场记作O，它是△ABC的三条角平分线的交点．O，A，B，C每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各
校再回到O点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC＞BC＞AB），并说明理由．
16.如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，
连接AD．求证：AD平分∠CDE．
17. 如图，等边∆ABC的边长a =
+
25
123，点P是∆ABC内的一点，且PA PB PC
222
+=，若PC=5，求PA、PB的长。

A
B C
P
18．如图41，在直角∠AOB 内有一点P ，OP=a ，∠POA=30°，过P 点做一直线MN 与OA 、OB 分别相交于M 、N ，使△MON 的面积最小．
（1）此时线段MN 的位置是 [ ] A ．MN ⊥OP B ．OM=ON. C ．OM=2ON D ．PM=PN
（2）此时△MON 的面积是______．
（3）若∠AOB 为一锐角，P 是锐角内一定点（如图42）．过P 点的直线与OA 、OB 交于M 、N ，使△OMN 的面积最小，应怎样画出MN 的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论．
19.如图，已知D 、E 、F 分别是锐角△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于点P ，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE ＝y ，PF ＝z ，若xy ＋yz ＋zx ＝28，求xyz 的大小．
20、如图，正三角形ABC 的边长为a ，D 是BC 的中点，P 是AC 边上的点，连结PB 和PD 得到△PBD 。

求：
⑴当点P 运动到AC 的中点时，△PBD 的周长； ⑵△PBD 的周长的最小值。

A
B
C
D
P
21. 如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ACD ＝60°，点S 、P 、Q 分别是OD 、OA 、BC 的中点，（1）求证：△PQS 是等边三角形；（2）若AB ＝5，CD ＝3。

求△PQS 的面积；（3）若△PQS 的面积与△AOD 的面积的比是7∶8，
求梯形上、下两底的比CD ∶AB.
22.如图,在锐角△ABC 中,AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高,AD 、CE 相交于F, BF 的中点为P,AC 的中点为Q,连接PQ 、DE.
(1)求证:直线PQ 是线段DE 的垂直平分线;
(2)如果△ABC 是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.
B
P
Q F E
D
C
B
A。