常见的滤波器函数

附件9-2-1 常见的滤波器函数

由于理想滤波器的特性不可能实现，因而在实际滤波器的设计中通常采用某个函数来逼近。根据逼近函数有很多种，以下介绍根据常用的逼近函数所设计的巴特沃兹滤波器（Butterworth filter ）、切比雪夫滤波器（Chebyshev filter ）和椭圆函数滤波器（elliptic filter ）。

由这些函数所决定的实际滤波器特性各有其突出特点，有的衰减特性在过渡区很陡峭，有的相位特性（即延时特性）较为规律，应用中要根据实际需要来选用。

一、巴特沃兹滤波器

巴特沃兹滤波器的特点是通带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻带则逐渐下降为零。巴特沃兹滤波器的时域特性也比较好，其脉冲响应具有适当的过冲及振铃。R p =3dB 的巴特沃兹滤波器幅频特性的数学表达式为：

()

n

n f f H 22c 1lg 101lg 10lg 20Ω+-=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=

式中f c 是截止频率，Ω=f /f c 是归一化频率，n 是其阶数。这个响应在Ω=0处有20lg|H |=0dB ，其后随Ω增大而单调增大，在Ω<1即f 1即f >f c 的阻带内，曲线增长甚快，比较陡峭。因为函数Ω2n 在Ω=0处的一阶、二阶直至2n -1阶导数均为0，反映了函数的变化率极小，所以巴特沃兹响应也称为最平坦响应。

阻带曲线增长的速率由n 来决定，n 越大，增长越快。一阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频6分贝。二阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶巴特沃兹滤波器的衰减率为每倍频18分贝，如此类推。图1所示为一阶至五阶巴特沃兹低通滤波器的幅频特性。

f

20lg|H |/dB

图1 一阶至五阶巴特沃兹低通滤波器

二、切比雪夫滤波器

在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带内是最平坦且没有起伏的，在阻带内是单调下降的，然而衰减速度相对较为缓慢。如果选择一种在通带或阻带允许等纹波起伏的特性而不是单调特性的逼近方法，可以加快过渡带幅度衰减的速度，从而降低所要求的滤波器阶次。

切比雪夫滤波器就是在通带或者阻带上幅度频率响应等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“切比雪夫I 型滤波器”，在阻带波动的为“切比雪夫II 型滤波器”。

切比雪夫滤波器I 型幅频特性的数学表达式为：

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=c 221lg 10lg 20f f T H n ε

式中，ε表示通带内的幅值波纹情况，为小于1的正数；C n 为切比雪夫多项式，而n 是其阶数。

()()[]

()

[

]

⎪⎩⎪⎨⎧>ΩΩ≤ΩΩ=--1

cosh cosh 1cos cos 11

n n x T n

这样，当|Ω|≤1时，()Ω22n T ε在0至ε2之间波动，函数()Ω+221n T ε的值在1至1+ε2之间波动。所以f 在0到f p 之间幅频特性有波动，最小值为0，最大值为10lg(1+ε2)。当f >f p 时，L A 随f 的增加，而迅速增大。

不同阶数的切比雪夫I 型低通滤波器的频率响应如图2所示，图中ε=5dB

f

20lg|H |/dB

图2 一阶至五阶切比雪夫I 型低通滤波器

切比雪夫II 型滤波器幅频特性的数学表达式为：

⎪⎭⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-1

c 2

21lg 10lg 20f f T H n ε

切比雪夫II 型滤波器的特点是阻带内具有等纹波的起伏特性，而在通带内是单调、平滑的。如果需要快速衰减而允许通带存在少许幅度波动，可用切比雪夫I 型滤波器；如果需要快速衰减而不允许通带存在幅度波动，可用切比雪夫II 型滤波器。

切比雪夫滤波器在过渡带比相同阶数的巴特沃兹滤波器衰减得更快，但频率响应的幅频特性不如巴特沃兹滤波器平坦，另外相对于巴特沃兹滤波器而言，切比雪夫滤波器的脉冲响应具有更大的振铃。

不同阶数的切比雪夫II 型低通滤波器的频率响应如图3所示，图中R s =20dB

f

20lg|H |/dB

图3 一阶至五阶切比雪夫II 型低通滤波器

三、椭圆函数滤波器

如果在通带和阻带的幅频响应都允许有波动，就可以在过渡带获得更快的滚降速度。

椭圆函数滤波器（Elliptic filter ）又称考尔滤波器（Cauer filter ），是在通带和阻带都有等波纹起伏的一种滤波器，幅频特性的数学表达式为：

⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=c 221lg 10lg 20f f E H n

ε

其中，ε表示通带内的幅值波纹情况，为小于1的正数；E n 为椭圆函数，而n 是其阶数。

椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最陡峭的过渡带。因此在选择滤波器的时候，椭圆滤波器能够以较低的阶数获得较窄的过渡带，但是它在通带和阻带上都有波动。

以上介绍的四种滤波器的逼近函数在阶数相同（n =5）时的频率响应如图4所示

f

20lg|H |/dB

I 型II 型

图4 四种同阶低通滤波器频率响应比较

综合比较以上几种逼近所述，不难发现这些逼近具有各自的特点。巴特沃兹响应的优点是提供了最大的通带幅度响应平坦度，具有良好的综合性能，但通带外衰减较差。切比雪夫响应的优点是与巴特沃兹相比，具有更良好的通带外衰减；而缺点是通带内纹波令人不满。椭圆函数响应的优点是具有最好的通带外衰减，能够以较低的阶数获得较窄的过渡带；而缺点是通带和阻带内都有等纹波起伏。