构造置信区间估计的一般方法

⎧ X ⎫ ⎪ X (n) ⎪ P⎨ < θ < ( n ) ⎬ = P{λ1 < T < λ2 } = 1 − α ． n 1−α 2 nα 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
从而，端点 θ 的 1 − α 置信区间为
⎛ X (n ) X (n ) ⎞ ⎜ ⎟． , ⎜ n 1−α 2 n α 2 ⎟ ⎝ ⎠
3.5.8 构造置信区间估计的一般方法
⎧θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ),θ ) ≤ α1} ⎪ θ ∈Θ ⎨ θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0,θ ) ≥ 1 − α 2 } ⎪ θ ∈Θ ⎩
其中 α1 + α 2 = α ，且 0 < α1 , α 2 < 1 。 （2）若 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递增函数，则对 α ∈ (0,1) ，θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧） 置信下限 θ 为
即 θ 是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信下限； 同样地，当 G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) > α 时，必有 θ < θ ，由引理
P θ {θ ≤ θ } ≥ P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) > α } = 1− P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) ≤ α } ≥ 1 − α
P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { X ≤ x0 } = F ( x0 ) = y
当 F ( x0 ) < y 时， P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { X ≤ x0 } = F ( x0 ) < y ，这就证明了不等式：
P { F ( X ) ≤ y} ≤ y
（不等式： P { F ( X ) ≤ y} ≤ y 另证明： 1） 设集合 { x : F ( x ) = y} 非空，并且该集合的上确界可以达到，即
∑X
i =1
n
i
，我们基于 T 构造参数 p 的置信区间。 T 的分布函
且满足 α1 + α 2 = α 和 0 < α1 , α 2 < 1 的解。 证： （1）因为 G (t , θ ) 是 θ 的严格递减函数，则当
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < 1 − α
时，必有 θ ≥ θ ，由引理知
P θ {θ ≥ θ } ≥ P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < 1 − α } ≥ 1 − α
0
θ
nx n −1
θ
n
dx =
n θ． n +1
n +1 这样， θˆ = X ( n ) 是 θ 的有偏估计量．显然， θ 的无偏估计量为 X ( n) ． n
．利 (2) 求端点 θ 的 0.95 置信区间．选统计量 T = X (n ) θ （枢轴量，其分布与参数 θ 无关） 用 X ( n ) 的分布函数 F( n ) ( x ) ，确定两个常数 λ1 和 λ2 ，使之满足下列关系式：
其中 α1 + α 2 = α ，且 0 < α1 , α 2 < 1 。 （2）若 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递减函数，则对 α ∈ (0,1) ，θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧） 置信下限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { F ( X ) < F ( x)} = P { X < x} = F ( x − 0) ≤ y
这就证明了不等式：
P { F ( X ) ≤ y} ≤ y
）
第三章 估计理论
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下面我们来证明不等式 P { F ( X − 0) < y} ≥ y 。令 Z = − X ，并设 Z 的分布函数为 FZ ( z ) ， 由已有的结果，有
则有引理可知：
P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) ≤ y} ≤ y ≤ P {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < y}
0 ≤ y ≤ 1, ∀θ ∈ Θ
定理 3.17 （1）若 G (t , θ ) 是 θ 的严格递减函数，则对 α ∈ (0,1)
的解； θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
的解；而 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中 θ , θ 分别为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α1 ， G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α 2
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
的解； θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
定理 3.18 （1）若 G (t , θ ) 是 θ 的严格递增函数，则对 α ∈ (0,1)
θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) ≤ α }
从而，有
P { F ( X − 0) < y} ≥ y
推论：若随机变量 X 的分布函数 F ( x) 为连续函数，则 Y = F ( X ) ~ U (0,1) 。 对 给 定 的 α ∈ (0,1) ， 要 构 造 θ 的 置 信 水 平 为 1 − α 的 置 信 区 间 ， 我 们 从 统 计 量
α
2 1−
= P {T ≤ λ1} = P { X ( n ) ≤ λ1θ } = F( n ) (λ1θ ) = λ1n， λ1 =
n
α
2
；
α
2
= P {T < λ2 } = P { X ( n ) < λ2θ } = F( n ) (λ2θ ) = λ2n， λ2 = n 1 −
α
2
，
α
2
= P {T ≥ λ2 } = P { X ( n ) ≥ λ2θ } ；
ˆ 的分布函数 G (t , θ ) ； 2） 求出估计量 θ
3） 利用分布函数 G (t , θ ) 关于 θ 的单调性来构造置信区间。
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第三章 估计理论
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引理 设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若 0 ≤ y ≤ 1 ，则有
P { F ( X ) ≤ y} ≤ y ≤ P { F ( X − 0) < y}
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
的解； θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
的解；而 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中 θ , θ 分别为
x0 = sup { x : F ( x ) = y} ∈ { x : F ( x) = y}
则有
P { F ( X ) ≤ y} = P { X ≤ x0 } = F ( x0 ) = y
2） 设集合 { x : F ( x) = y} 为空集，或集合 { x : F ( x) = y} 非空，但并且该集合的上确界不 能达到，则函数 F ( x) 存在这样一点 x ，使得 F ( x − 0) ≤ y < F ( x) ，则有
θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0,θ ) ≤ 1 − α }
θ ∈Θ
分别是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信下限和置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限。 而对 α ∈ (0,1) ， θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中
即 θ 是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限；
第三章 估计理论
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P θ {θ ≤ θ ≤ θ } = P θ {θ ≥ θ } − P θ {θ < θ } ≥ 1 − α1 − α 2 = 1 − α
即 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦。 （2）注意到：当 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递减函数时，则对 α ∈ (0,1) ， θ 为
第三章 估计理论
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⎧ θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) ≥ 1 − α1} ⎪ θ ∈Θ ⎨ θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ),θ ) ≤ α 2 } ⎪ θ ∈Θ ⎩
T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 出发，并基于 T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 寻找枢轴量，然后构造 θ 的置信区间。
设 T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 的分布函数为
G (t , θ ) = P θ {T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≤ t}
设总体 X 的分布函数为 F ( x, θ ) ，θ ∈ Θ ， X 1 , X 2 ,… , X n 是来自总体 X 的样本，寻找 参数 θ 的置信区间的一般方法是：
ˆ = θ ( X , X ,… , X ) ，一般首先考虑 θ 的极大似然估计， 1） 选取 θ 的一个点估计量 θ 1 2 n
或 θ 的充分统计量；
第三章 估计理论
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⎧ nx n −1 ，若0 ≤ x ≤ θ ， d ⎪ n −1 f ( n ) ( x) = F( n ) ( x) = n[F ( x)] f ( x) = ⎨ θ n dx ⎪ 0 ，若不然 ． ⎩
∞
所以
EX ( n ) =
−∞
∫ xf
(n)
( x)dx = ∫ x
第三章 估计理论
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G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α1 ， G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α 2
且满足 α1 + α 2 = α 和 0 < α1 , α 2 < 1 的解。 证 因为 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递增函数，则 G (t , θ ) 是 −θ 的连续严格递减函数，由 定理 3.17 可以得到 −θ 的（单侧）置信下限、上限与置信区间，从而证得定理。 例 3.39 设总体 X ~ b(1, p )(0 ≤ p ≤ 1) ， X 1 , X 2 ,… , X n 为来自总体 X 的样本， 试求参数 p 的置信水平为 1 − α 的置信区间。 解 数为 参数 p 的充分统计量为 T =
θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0,θ ) ≥ 1 − α }
θ ∈Θ
θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ),θ ) ≤ α }
θ ∈Θ
分别是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信下限和置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限。 而对 α ∈ (0,1) ， θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中
证明：对 0 < y < 1 ，记
x0 = sup { x : F ( x) ≤ y}
则对 ∀ε > 0 ，有 F ( x0 − ε ) ≤ y ≤ F ( x0 + ε ) ，令 ε → 0 + ，得
F ( x0 − 0) ≤ y ≤ F ( x0 )
当 F ( x0 ) = y ，由 x0 的定义知： { x : x ≤ x0 } ⊃ { F ( x ) ≤ y} ，从而
P { FZ ( Z ) ≤ 1 − y} ≤ 1 − y
由于
FZ ( z ) = P {Z ≤ z} = P { X ≥ − z} = 1 − F (− z − 0)
所以
1 − y ≥ P { FZ ( Z ) ≤ 1 − y} = P { F (− Z − 0) ≥ y} = 1 − P { F ( X − 0) < y}