三、阶跃折射率光纤(1)
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n2 n1
对于偏斜光线，情况较复杂，从光线的路径方程结合下图可以看到 有下述三种情况 1.以过P点的法线PN为轴，作以 αc为半锥角的圆锥面，此范围内 的入射的光线，其入射角 α αc，将形成折射光线。 2.以过P点的圆柱面母线为轴，作以 α c为 半锥角的圆锥面，此范围内入射的光线， 其入射角α α c ，将形成束缚光线。 3.除上述两类范围外的区域， 满足入射角 α α c ，而与母线
2
π
N
z
间的夹角满足θ z ≥ π α c 时，光 2 线介于束缚光线和折射光线之 间的第三类光线，称为漏泄光 线。
p
三类光线说明图
归纳起来，偏斜光线在传播过程中出现的三类光线是
π 0 ≤ θz 2 αc α α c π π π αc ≤ θ z ≤ ,αc ≤ α ≤ 2 2 2
τ = τ 1 τ 2 = n1 1 1 c cos θ z1 cos θ z 2
( 3-14 )
显然，所有的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线 传播的光线，其 θ z = 0 ；而路径最长的一条光线则是靠近全反射临 界角入射的光线，其倾斜角 θz = cos1 ( n2 n1 )，这两条光线传播时延差 最大，称最大时延差，为
根据入射光线成为束缚光线的 条件，有 θ π -α sin θ cos α z c z c
2
n0 sin θ n1
( 3-6 )
( 3-7 )
1 2
(3-6)代入(3-7)式有
2 n2 n0 sin θ z cos α c = 1- 2 n1 n1
sin θ
1 2 2 12 ( n1 -n 2 ) n0
( 3 19 )
可以看到，光纤中的电磁场问题，可以归结为以下几步： 第一步就是在已知的折射率分布条件下，由圆柱坐标系中二维 波动方程(3-17)式求出电磁场的横向分量； 第二步就是根据各分量间的有关系(3-19)式，求解出电磁场的横 向分量； 第三步就是根据纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定 场解中出现的一些待定系数，最终完成求解过程； 问题的核心集中在圆柱坐标系中的二维波动方程的求解上，这是 一个二阶的偏微分方程，一般采用分离变量法求解。
( 3-8)
对于空气，n0=1，从上式可以得到一个重要的结果，即从空气入 射到光纤端面上的光线被捕获为束缚光线的最大入射角必须满足
sin θ max = n -n =n1 ,
2 1 2 2 2 n1 -n 2 2 = 2 2n1
( 3-9 )
定义上述光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即为光纤的数值 孔径(NA). 这是一个重要的概念，反映了光纤捕捉光线的能力。数值越大捕捉 能力越强，从这个意义上应该使光纤的相对折射率大些，但太大又 会使光纤的多径色散现象严重起来。实际上，多模光纤NA一般取0.2， 而单模光纤NA常取0.1左右。
( n -β -l ) 2a sin φ Zp =L p cosθ z = cosθ z =2aβ 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2 2
1
2
( 3-12 )
则光线在z轴上传播单位距离所需要的时间，即传播时延为
2 L o n1 n1 τ＝ = = Zp c cβ c cos θ z
( 3-13)
x = r cos φ y = r sin φ
y
n2 n1
( 3 16 )
b
r
直接可推导出圆柱坐标系下的二维 波动方程
1 Ez r r r r
2 1 Ez + ( k02 n 2 β 2 ) Ez = 0 + 2 2 r φ
φ
z x
a
( 3百度文库 17 )
坐标系构建
纵向磁场满足的方程和上式也是一样的，显然只要将纤芯折射率和包 层折射率代入上式并进行方程求解，就可以得到电磁场的纵向分量。 又由于圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成三个 分矢量之和，即
c、传播时延和时延差
传播时延：沿 z 轴方向传播单位距离的时间，用 τ 表示。 由右图，根据几何关系可以得到P、Q 两点间的距离都为
Lp =
p
p
θz θz
n2 n1 n1
n2
( n -β -l ) 2a sin φ =2an1 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2
1
a
2
2a Q
( 3-10 )
p a p
θz θz
n2
n1
n2 n1 2a Q
Q
子午光线的传播路径及其在横截面的投影
另一种是传播路径不与光纤轴线相交的光线，称为偏斜光线(空 间光线)。它的传播路径是空间折线，在光纤截面内的投影是内 切于一个圆的多边形(可以是不封闭的) 。 偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，此圆柱面称为内焦 散面，子午光线是内焦散面半径趋于零的特例。
p a p
n1 ric
Q
θφ
T
Q
n2
偏斜光线的传播路径及其在横截面内的投影
为准确三维空间中，光线传播路径的方向，构建如图的坐标系。 一般来说，入射光线、反射光线和P点的法线PN为不在一个平面内。 由图可以看出，光线的内焦散面半径为 ric = a cos θ ( 3-1) 可见光线的偏斜角决定了内焦散面半径 的大小，光线按其大小可以分为
E = er Er + eφ Eφ + ez Ez H = er H r + eφ Hφ + ez H z
( 3 18)
将上式代入麦克斯韦公式，并进行适当推导，可得各分量之间的关系
jω0 H z E 2 kc Er = j β z r r φ jω0 H z E 2 kc Eφ = j β z φ r r 2 k 2 H = jωε 0 n Ez j β H z c r r φ r k 2 H = jωε n 2 Ez j β H z 0 c r r r φ 2 kc = ω 2 0ε 0 n 2 β 2 = k02 n2 β 2
束缚光线 折射光线 漏泄光线
( 3-3)
光线在传播过程中，方位角θ z 和 θ保持不变，可引进光线不变量
β =n1 cos θ z l=n1 sin θ z cos θ β 2＋l2 =n 2 sin 2 α 1
( 3-4 )
可以证明，引进不变量后，三类光线同样可以表述为
n 2 ≤ β n1 2 2 0 ≤ β +l n 2 n 2 β 2 +l2 n 2 ,0 ≤ β 2 n 2 1 2 束缚光线 折射光线 漏泄光线
r d dR ( r ) 2 2 2 2 2 r + ( k0 n β ) r = m R ( r ) dr dr 2 1 d Φ (φ ) = m2 Φ (φ ) d φ 2
( 3 24 )
对于上式的角度场部分，通过两次积分可以得到它的解为
cos mφ Φ (φ ) = sin mφ
( 3 20 )
ψ ( r , φ , z ) = R ( r ) Φ (φ ) e j β z
将(3-21)代入(3-20)，得到
( 3 21)
( 3 22 )
Φ (φ ) d dR ( r ) R ( r ) d 2Φ (φ ) + ( k02 n 2 β 2 ) Φ (φ ) R ( r ) = 0 r + 2 r dr dr r dφ 2
从结果可以看到，阶跃光纤的传播时延由光线与z轴间的夹角θ z 得 到，而与倾斜角 θ 无关，可见在相同的 θ z 角下，从始端同时出发的 的子午光线与偏斜光线同时到达终端。
根据上面的分析，只需要讨论子午光线，其仅在一个面内传播，分 析起来比较简单。 若在芯层中有两条束缚光线，而它们与z轴间的夹角分别为θ z1 和 θ z 2, 则在z轴方向传播单位距离时，它们走过的路径不一样，将产生时 延差，用τ 表示为
a、阶跃光纤的电磁场解
纵向电场 Ez和磁场 H z都满足同一方程，用 ψ ( r , φ , z ) 代替 Ez 和 H z， 则圆柱坐标系下的二维波动方程可写为
1 ψ 1 2ψ + ( k02 n 2 β 2 )ψ = 0 r + 2 2 r r r r φ ψ 采用分离变量法求解， ( r , φ , z )可表示为
子午光线 偏 斜 光 线
θ ＝
0 θ
π
2
π
2
( 3 -2 )
光线在光纤界面上发生全反射的临界 入射角记为 α ，则有 αc =sin1 c 对于子午光线，显然当入射角 αα 时， c 则光线在P点将发生折射，光线所携带的 能量将部分地进入包层，成为折射光线； 而当入射角 αα 时，将在P点发生全反 c 射，形成束缚光线。
光纤一般由芯层、包层和敷层(护套)构成。芯层和包层材料一般 都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同。 护套的作用仅仅是保护光纤，理论分析时略去护套层，认为光纤 的包层延伸到无限远处，这种假设对光的传播特性没有影响。
y
r
n2
敷层 包层 芯层
n1
0
φ
x
n(r )
n1 n2
a 0
-a
光纤基本结构
阶跃光纤及折射率分布
三、阶跃折射率光纤(1)
按纤芯折射率分布分： a) 阶跃折射率分布光纤(SIOF); b) 渐变折射率分布光纤(GIOF); SIOF是一种理想的数学模型，认为光纤是一种无限 大直圆柱系统，包层沿径向无限延伸，光纤材料为 线性、无损、各向同性的电介质；
1、几何光学方法 2、电磁理论方法
几何光学方法
(3-22)式两边同乘以 r R ( r ) Φ (φ )，可得到 2 1 d Φ (φ ) r d dR ( r ) 2 2 2 2 r + ( k0 n β ) r = R ( r ) dr dr Φ (φ ) d φ 2
2
( 3 23)
观察上式，左边只是r的函数，右边只是φ的函数，而r、φ都是独 立变量，相互没有关系，欲使上式对任何r、φ都成立，只有两边 同时等于某一常数才有可能。 于是(3-23)式可分离为两个径向方程和角度场方程
1
dX
X dX
X
这是一个特殊的贝塞耳方程，在 X 2 0 条件下，上式是m阶贝塞耳 方程的标准形式，而在 X 2 0条件下，上式是m阶病态贝塞耳方程， 他们的解也被分别称为m阶贝塞耳函数和m阶病态贝塞耳函数。
Q
则其光程为
n -β -l ) 2a sin φ 2 ( L o =n1L p =n1 =2an1 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2 1 2
子午光线的传播路径及其在横截面的 投影
( 3-11)
p a p Q
n2
n1 ric
θφ
T Q
偏斜光线的传播路径及其在横 截面内的投影
又由几何关系，得到P、Q两点的路径在光纤轴上的投影为
a、传播路径及光线分类
阶跃光纤纤芯折射率均匀分布，所以光线在纤芯内沿直线传播，当 光线到达界面时遵守菲涅耳定律。 光纤中的光线由于入射方向的差异性，必须区分两种情形。 一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线。它的传播 路径是平面折线，在光纤截面内的投影是长度为2a的线段，也就是 光纤纤芯的某一条直径。
τ max = n1 n n - 1= 1 c sin α c c c
( 3-15)
电磁理论方法
几何光学理论是电磁波理论的零波长近似，只适用于分析多模光 纤。在实际中，使用的主要是单模光纤，这种光纤的芯径小(几个微米)， 与工作波长在同一量级，用几何光学无法得到正确结果。 光纤是圆柱状的介质光波导，采用以光纤中心轴为Z轴的圆柱坐标系 来定量描述其结构和传输特性是方便的。 与以前的直角坐标系有下列关系
( 3 25)
在圆柱坐标系中，(r,φ)和(r,φ+2π)是同一个点，所以为保证得到 单值的解，Φ(φ)必须是以2π为周期的周期函数，这就要求m只能 取整数。 再看径向场部分，作变换 X = ( k02 n2 β 2 ) 2 r ,则得到 d 2 R ( r ) 1 dR m 2 + + 1 2 R ( r ) = 0 ( 3 26 ) 2
( 3-5)
b、数值孔径
无论是子午光线，还是偏斜光线，仅当 θ z π -α c 时，光线才能 2 成为束缚光线，并沿光纤轴无衰减传播，而光线的起始倾斜角 由光纤端面入射的光线方向所决定。 以子午光线为例来说明光线从端面入射被光纤捕获并成为束缚 光线的入射条件。
光线传播遵守菲涅耳定律，有
n 0 sin θ =n1 sin θ z sin θ z =
对于偏斜光线，情况较复杂，从光线的路径方程结合下图可以看到 有下述三种情况 1.以过P点的法线PN为轴，作以 αc为半锥角的圆锥面，此范围内 的入射的光线，其入射角 α αc，将形成折射光线。 2.以过P点的圆柱面母线为轴，作以 α c为 半锥角的圆锥面，此范围内入射的光线， 其入射角α α c ，将形成束缚光线。 3.除上述两类范围外的区域， 满足入射角 α α c ，而与母线
2
π
N
z
间的夹角满足θ z ≥ π α c 时，光 2 线介于束缚光线和折射光线之 间的第三类光线，称为漏泄光 线。
p
三类光线说明图
归纳起来，偏斜光线在传播过程中出现的三类光线是
π 0 ≤ θz 2 αc α α c π π π αc ≤ θ z ≤ ,αc ≤ α ≤ 2 2 2
τ = τ 1 τ 2 = n1 1 1 c cos θ z1 cos θ z 2
( 3-14 )
显然，所有的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线 传播的光线，其 θ z = 0 ；而路径最长的一条光线则是靠近全反射临 界角入射的光线，其倾斜角 θz = cos1 ( n2 n1 )，这两条光线传播时延差 最大，称最大时延差，为
根据入射光线成为束缚光线的 条件，有 θ π -α sin θ cos α z c z c
2
n0 sin θ n1
( 3-6 )
( 3-7 )
1 2
(3-6)代入(3-7)式有
2 n2 n0 sin θ z cos α c = 1- 2 n1 n1
sin θ
1 2 2 12 ( n1 -n 2 ) n0
( 3 19 )
可以看到，光纤中的电磁场问题，可以归结为以下几步： 第一步就是在已知的折射率分布条件下，由圆柱坐标系中二维 波动方程(3-17)式求出电磁场的横向分量； 第二步就是根据各分量间的有关系(3-19)式，求解出电磁场的横 向分量； 第三步就是根据纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定 场解中出现的一些待定系数，最终完成求解过程； 问题的核心集中在圆柱坐标系中的二维波动方程的求解上，这是 一个二阶的偏微分方程，一般采用分离变量法求解。
( 3-8)
对于空气，n0=1，从上式可以得到一个重要的结果，即从空气入 射到光纤端面上的光线被捕获为束缚光线的最大入射角必须满足
sin θ max = n -n =n1 ,
2 1 2 2 2 n1 -n 2 2 = 2 2n1
( 3-9 )
定义上述光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即为光纤的数值 孔径(NA). 这是一个重要的概念，反映了光纤捕捉光线的能力。数值越大捕捉 能力越强，从这个意义上应该使光纤的相对折射率大些，但太大又 会使光纤的多径色散现象严重起来。实际上，多模光纤NA一般取0.2， 而单模光纤NA常取0.1左右。
( n -β -l ) 2a sin φ Zp =L p cosθ z = cosθ z =2aβ 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2 2
1
2
( 3-12 )
则光线在z轴上传播单位距离所需要的时间，即传播时延为
2 L o n1 n1 τ＝ = = Zp c cβ c cos θ z
( 3-13)
x = r cos φ y = r sin φ
y
n2 n1
( 3 16 )
b
r
直接可推导出圆柱坐标系下的二维 波动方程
1 Ez r r r r
2 1 Ez + ( k02 n 2 β 2 ) Ez = 0 + 2 2 r φ
φ
z x
a
( 3百度文库 17 )
坐标系构建
纵向磁场满足的方程和上式也是一样的，显然只要将纤芯折射率和包 层折射率代入上式并进行方程求解，就可以得到电磁场的纵向分量。 又由于圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成三个 分矢量之和，即
c、传播时延和时延差
传播时延：沿 z 轴方向传播单位距离的时间，用 τ 表示。 由右图，根据几何关系可以得到P、Q 两点间的距离都为
Lp =
p
p
θz θz
n2 n1 n1
n2
( n -β -l ) 2a sin φ =2an1 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2
1
a
2
2a Q
( 3-10 )
p a p
θz θz
n2
n1
n2 n1 2a Q
Q
子午光线的传播路径及其在横截面的投影
另一种是传播路径不与光纤轴线相交的光线，称为偏斜光线(空 间光线)。它的传播路径是空间折线，在光纤截面内的投影是内 切于一个圆的多边形(可以是不封闭的) 。 偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，此圆柱面称为内焦 散面，子午光线是内焦散面半径趋于零的特例。
p a p
n1 ric
Q
θφ
T
Q
n2
偏斜光线的传播路径及其在横截面内的投影
为准确三维空间中，光线传播路径的方向，构建如图的坐标系。 一般来说，入射光线、反射光线和P点的法线PN为不在一个平面内。 由图可以看出，光线的内焦散面半径为 ric = a cos θ ( 3-1) 可见光线的偏斜角决定了内焦散面半径 的大小，光线按其大小可以分为
E = er Er + eφ Eφ + ez Ez H = er H r + eφ Hφ + ez H z
( 3 18)
将上式代入麦克斯韦公式，并进行适当推导，可得各分量之间的关系
jω0 H z E 2 kc Er = j β z r r φ jω0 H z E 2 kc Eφ = j β z φ r r 2 k 2 H = jωε 0 n Ez j β H z c r r φ r k 2 H = jωε n 2 Ez j β H z 0 c r r r φ 2 kc = ω 2 0ε 0 n 2 β 2 = k02 n2 β 2
束缚光线 折射光线 漏泄光线
( 3-3)
光线在传播过程中，方位角θ z 和 θ保持不变，可引进光线不变量
β =n1 cos θ z l=n1 sin θ z cos θ β 2＋l2 =n 2 sin 2 α 1
( 3-4 )
可以证明，引进不变量后，三类光线同样可以表述为
n 2 ≤ β n1 2 2 0 ≤ β +l n 2 n 2 β 2 +l2 n 2 ,0 ≤ β 2 n 2 1 2 束缚光线 折射光线 漏泄光线
r d dR ( r ) 2 2 2 2 2 r + ( k0 n β ) r = m R ( r ) dr dr 2 1 d Φ (φ ) = m2 Φ (φ ) d φ 2
( 3 24 )
对于上式的角度场部分，通过两次积分可以得到它的解为
cos mφ Φ (φ ) = sin mφ
( 3 20 )
ψ ( r , φ , z ) = R ( r ) Φ (φ ) e j β z
将(3-21)代入(3-20)，得到
( 3 21)
( 3 22 )
Φ (φ ) d dR ( r ) R ( r ) d 2Φ (φ ) + ( k02 n 2 β 2 ) Φ (φ ) R ( r ) = 0 r + 2 r dr dr r dφ 2
从结果可以看到，阶跃光纤的传播时延由光线与z轴间的夹角θ z 得 到，而与倾斜角 θ 无关，可见在相同的 θ z 角下，从始端同时出发的 的子午光线与偏斜光线同时到达终端。
根据上面的分析，只需要讨论子午光线，其仅在一个面内传播，分 析起来比较简单。 若在芯层中有两条束缚光线，而它们与z轴间的夹角分别为θ z1 和 θ z 2, 则在z轴方向传播单位距离时，它们走过的路径不一样，将产生时 延差，用τ 表示为
a、阶跃光纤的电磁场解
纵向电场 Ez和磁场 H z都满足同一方程，用 ψ ( r , φ , z ) 代替 Ez 和 H z， 则圆柱坐标系下的二维波动方程可写为
1 ψ 1 2ψ + ( k02 n 2 β 2 )ψ = 0 r + 2 2 r r r r φ ψ 采用分离变量法求解， ( r , φ , z )可表示为
子午光线 偏 斜 光 线
θ ＝
0 θ
π
2
π
2
( 3 -2 )
光线在光纤界面上发生全反射的临界 入射角记为 α ，则有 αc =sin1 c 对于子午光线，显然当入射角 αα 时， c 则光线在P点将发生折射，光线所携带的 能量将部分地进入包层，成为折射光线； 而当入射角 αα 时，将在P点发生全反 c 射，形成束缚光线。
光纤一般由芯层、包层和敷层(护套)构成。芯层和包层材料一般 都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同。 护套的作用仅仅是保护光纤，理论分析时略去护套层，认为光纤 的包层延伸到无限远处，这种假设对光的传播特性没有影响。
y
r
n2
敷层 包层 芯层
n1
0
φ
x
n(r )
n1 n2
a 0
-a
光纤基本结构
阶跃光纤及折射率分布
三、阶跃折射率光纤(1)
按纤芯折射率分布分： a) 阶跃折射率分布光纤(SIOF); b) 渐变折射率分布光纤(GIOF); SIOF是一种理想的数学模型，认为光纤是一种无限 大直圆柱系统，包层沿径向无限延伸，光纤材料为 线性、无损、各向同性的电介质；
1、几何光学方法 2、电磁理论方法
几何光学方法
(3-22)式两边同乘以 r R ( r ) Φ (φ )，可得到 2 1 d Φ (φ ) r d dR ( r ) 2 2 2 2 r + ( k0 n β ) r = R ( r ) dr dr Φ (φ ) d φ 2
2
( 3 23)
观察上式，左边只是r的函数，右边只是φ的函数，而r、φ都是独 立变量，相互没有关系，欲使上式对任何r、φ都成立，只有两边 同时等于某一常数才有可能。 于是(3-23)式可分离为两个径向方程和角度场方程
1
dX
X dX
X
这是一个特殊的贝塞耳方程，在 X 2 0 条件下，上式是m阶贝塞耳 方程的标准形式，而在 X 2 0条件下，上式是m阶病态贝塞耳方程， 他们的解也被分别称为m阶贝塞耳函数和m阶病态贝塞耳函数。
Q
则其光程为
n -β -l ) 2a sin φ 2 ( L o =n1L p =n1 =2an1 2 sin θ z n1 -β 2
2 1 2 1 2
子午光线的传播路径及其在横截面的 投影
( 3-11)
p a p Q
n2
n1 ric
θφ
T Q
偏斜光线的传播路径及其在横 截面内的投影
又由几何关系，得到P、Q两点的路径在光纤轴上的投影为
a、传播路径及光线分类
阶跃光纤纤芯折射率均匀分布，所以光线在纤芯内沿直线传播，当 光线到达界面时遵守菲涅耳定律。 光纤中的光线由于入射方向的差异性，必须区分两种情形。 一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线。它的传播 路径是平面折线，在光纤截面内的投影是长度为2a的线段，也就是 光纤纤芯的某一条直径。
τ max = n1 n n - 1= 1 c sin α c c c
( 3-15)
电磁理论方法
几何光学理论是电磁波理论的零波长近似，只适用于分析多模光 纤。在实际中，使用的主要是单模光纤，这种光纤的芯径小(几个微米)， 与工作波长在同一量级，用几何光学无法得到正确结果。 光纤是圆柱状的介质光波导，采用以光纤中心轴为Z轴的圆柱坐标系 来定量描述其结构和传输特性是方便的。 与以前的直角坐标系有下列关系
( 3 25)
在圆柱坐标系中，(r,φ)和(r,φ+2π)是同一个点，所以为保证得到 单值的解，Φ(φ)必须是以2π为周期的周期函数，这就要求m只能 取整数。 再看径向场部分，作变换 X = ( k02 n2 β 2 ) 2 r ,则得到 d 2 R ( r ) 1 dR m 2 + + 1 2 R ( r ) = 0 ( 3 26 ) 2
( 3-5)
b、数值孔径
无论是子午光线，还是偏斜光线，仅当 θ z π -α c 时，光线才能 2 成为束缚光线，并沿光纤轴无衰减传播，而光线的起始倾斜角 由光纤端面入射的光线方向所决定。 以子午光线为例来说明光线从端面入射被光纤捕获并成为束缚 光线的入射条件。
光线传播遵守菲涅耳定律，有
n 0 sin θ =n1 sin θ z sin θ z =