复数的基本概念和运算

模相除； 商： 模相除；辐角相减 z 1 i (θ 1 − θ 2 ) z1 z1 = e Arg( ) = Arg z1 − Arg z 2 z2 z2 z2 幂： z n = r n e in θ 1 根： n n
θ + 2 kπ
n
w = z = r (cos
k = 0,1, 2,3L , (n − 1)
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
不连通
单连通域 多连通域
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复变函数的极限、连续性、可导、 复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定
复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)
单值函数： 的一个值对应一个w值 单值函数：z 的一个值对应一个 值。 多值函数： 的一个值对应两个或以上 的一个值对应两个或以上w值 多值函数：z的一个值对应两个或以上 值。 反函数： 反函数：z=g(w)
z a
1.指数函数： f ( z ) = exp z = e z = e x (cos y + i sin y)
1. f ( z ) = e z ≠ 0 z ′ 2. ( e ) = e z 处处解析 3. 满足加法定理：e z1 e z2 = e z1 + z2 4. 周期性：周期为 2kπ i
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3
3、 复数运算 、
加法、减法： 加法、减法： 乘法: 乘法 除法: 除法
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i ( y1 ± y2 )
z1 z2 = ( x1 + i y1 )( x2 + i y2 ) = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )
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连续、可导、解析的关系：
高 层 中 层 低 层
f ( z )在 D 内解析
f ( z )在 D 内可导
f ( z ) 在 z 0 解析
f ( z ) 在 z 0 可导
f ( z ) 在 z 0 连续
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初等函数
e , L n z, z , sin z
注意性质：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性
4、解析 f ( z)在z0及z0的邻域内处处可导,则w = f ( z)在点z0解析 、
f ( z )在 z 0 不解析 ⇒ z 0 为奇点。 为奇点。
内解析： 内每一点解析。 在区域 D 内解析： f ( z )在 D 内每一点解析。 z0点： 可导
解析
区域D： 可导
解析
定理五： 如果f ( z)，g ( z)在z0处解析,则 f ( z) f ( z) ± g ( z), f ( z) ⋅ g ( z), (g(z) ≠ 0), f [ g ( z)] 在z0处都解析。 g ( z)
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2、连续性 、
如果 lim f ( z ) = f ( z0 ), 称f ( z )在z0处连续。
z → z0
如果f ( z )在区域D内处处连续,称f ( z )在D内连续。
定理三、 定理三、 f ( z )在z 0处连续的充分必要条件 为：
x → x0 y → y0
lim u( x , y ) = u( x 0 , y 0 ) lim v ( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
e z的性质：
2.对数函数：Ln z = ln
z + iArg z = ln z + i arg z + i 2kπ
多值！
主值： ln z = ln z + i arg z 分支： Ln z = ln z + 2kπ i
− π < arg z ≤ π k = ±1, ±2L
性质: (1) Ln( z1 ⋅ z2 ) = Lnz1 + Lnz2 , 性质 z1 (2) Ln = Lnz1 − Lnz2 , z2 1 n n （3）Lnz ≠ nLnz Ln z ≠ Lnz n
4
乘积： 模相乘；辐角相加。 乘积： 模相乘；辐角相加。 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2), z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] 于是: |z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2
z1 z2 = z1 z2 ei (θ1 +θ2 ) Arg( z1 z2 ) = Arg z1 + Arg z2
定理一： f ( z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) 在一点 z = x + iy可导的充分必要条件为： （1） u ( x , y ), v ( x , y )在点 z ( x , y )可微(可导)； ∂u ∂v ∂u ∂v =− （2）满足柯西 -黎曼(C-R)方程： = , ∂x ∂y ∂y ∂x
0
1、 )′ = 0 (c 2、z n )′ = nz n −1 ( n正整数 ′ 3、 f ( z ) ± g ( z )} = f ′( z ) ± g ′( z ) {
dz
z = z0
∆z → 0
∆z
′ 4、 f ( z ) ⋅ g ( z )} = f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g ′( z ) { ′ f (z) f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′( z ) 5、 = 2 g ( z) [ g ( z )] ′ 6、 f [ g ( z )]} = f ′( w ) g ′( z ) w = g ( z ) { 1 7 f ′(z) = 、 , w= f (z)与 =ϕ(w 是 个 为 函 的 值 数且 ′(w ≠ 0. z ) 两 互 反 数 单 函 , ϕ ) 10 ϕ′(w )
变 数 讨 ⇔ 个 变 数 讨 复 函 的 论 两 实 函 的 论
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1、极限 zlim f ( z ) = A 、 →z
0
或
z → z0，f ( z ) → A
z → z 0的方式是任意的，即无 论从哪个方向趋近； 论从哪个方向趋近； 的方式是任意的， f ( z )都要趋于同一个常数 A。
定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0 定理一：
z= z1 x + iy1 x x + y1 y 2 y x 2 − x1 y 2 = 1 = 1 2 +i 1 2 , 2 2 2 z2 x 2 + iy 2 x2 + y2 x2 + y 2 z2 ≠ 0
运算法则:
• • • • • z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
z = re iθ • 指数表示：
eiθ = cos θ + i sin θ
2
y
y π 辐角主值公式： 辐角主值公式：− < arc tg < 2 x 2
π
2 3
θ0
1 x 4
≥0 y 当 x > 0, y (1，象限） 4 arc tg x ≤0 y 0 arc tg x + π 当 x < 0, y > （2象限） arc tg y − π 当 x < 0, y < （3象限） 0 θ 0 = arg z = x >0 π 当 x = 0, y （ y轴上） ±2 <0 当 x < 0, y = （ − x轴上） 0 π 当 x > 0, y = （ + x轴上） 0 0
2 2
iv) z + z = 2R z), z −z = 2i Im z) e( (
注意： 个复数不能比较大小; 注意： (1) 2个复数不能比较大小 个复数不能比较大小 (2) 当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。 当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。
1
2、复数的表示 、
• 直角坐标：z=x+iy
z → z0
lim f ( z ) = A的充分必要 条 件： u ( x, y ) = u0 , lim v ( x, y ) = v0 lim
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
定理二： 定理二：
lim { f ( z ) ± g ( z )} = A ± B z → z0 lim { f ( z ) ⋅ g ( z )} = A ⋅ B z→ z 0 lim f ( z ) = A , lim g ( z ) = B 有 : z → z0 z → z0 f (z) A lim = z → z0 g (z) B
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
n 得到n个不同的根。
+ i sin
θ + 2 kπ
)
注意根的多 注意根的多 值性！ 5 值性！
区域的概念
区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件： 区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件： 是连通的。 1）D是一个开集。 是一个开集。 2）D是连通的。 单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内 单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线， 部总属于B 部总属于B，称B为单连通区域。 为单连通区域。 多连通域：不满足单连通域条件的区域。 多连通域：不满足单连通域条件的区域。
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f ( z ) ⋅ g ( z ),
f (z) g( z )
g ( z 0 ) ≠ 0,
f [ g ( z )]
复平面内，下列各式连续： 复平面内，下列各式连续：
3、导数 导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。 、
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) w = f ( z ) 定义在区域D内，0 ∈ D，如果 lim z ∆z → 0 ∆z f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) 存在， 称 f ( z ) 在 z0 可导 f ′( z ) = dw = lim
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
z
z
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3.乘幂与幂函数：a 、z
求导公式:
∂u ∂v ∂v ∂u f ′( z ) = +i = −i ∂x ∂x ∂y ∂y
定理二：f ( z ) = u ( x, y ) + v ( x, y )i 在区域D内解析的充分必要条件为： 1）u ( x, y ), v ( x, y )在D内可微(可导)； ∂u ∂v ∂u ∂v 2）在D内（C − R方程）： = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x
有理多项式 w = P ( z ) = a0 + a1 z + L + an z n 在整个复平面上解析。 P( z) 有理分式 w = （两个多项式的商）除分母不为0的点外， Q( z) 处处解析, 使分母为零的点是它的奇点。
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重要定理： 重要定理： 函数解析的条件柯西 黎曼(Cauchy-Riemann)方程 柯西-黎曼 函数解析的条件柯西 黎曼 方程
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )