中考数学几何模型大全
初中数学几何模型
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是°、°、°、°及有一个角是°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇度旋度，造等边三角形遇度旋度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋度，造中心对称说明：IS 8模型变形BEFcEB说明：说明：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn口叩皿皿皿皿皿中点模型 边构诗中｛fflt 逢阳点闵iS 中幽城 几何最值模型 VH *h 轴对称模型 对称最值 线mi 差模型 fflftffw 同侧"异侧两蜒段之利罐短视它 同侧、异删芮线投之羞媪小槐型 四边形周怏垠小根地 三角形眉长 必小檢哩三线穀之和 她知爬制过桥模取旋转最值说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
简拼模型三角形j四边形E 面积等分说明：说明：3045602说明：ACOCOAA 模型一：手拉手模型-旋转型全等<2)等濮的AA Mfr=血°拟述°均为等媵直甬M 册A 结险(DA (UCtAO^l>j 超乙他»③。
E 平分£忖了儿(1)―况> Sfr ：LDW 牛底皿力能转至右囲检置A 皓论：> 右图中①bOCWMe\QAC AOSD 』 >⑨延氏M 交购于点G 必肖5氏-LBOA⑵特燥惜况＞条件m 3MB ,厶伽■剜，将AXD 龍讳至右團位蛊a gife ：右gcp fflAfJCD^iOJ^AC?JCiM£33②延长M 交加于点瓦愁有3EC -LUGA f BD 000B (5)-—--——=—-=tan ZlfX D®ACOCOA 3f^SDLAC.灘接也JC >临加*†g ・a+o>s ⑥矢"訐c&J 冊哒相垂直的四嬷)<3)任翦腰三角晤†辭，。
初中几何48个模型作业帮
初中几何是数学中的一个重要部分，它涉及到许多基本的几何概念和定理。
在学习初中几何时，了解和掌握一些常见的几何模型是非常有帮助的。
以下是48个初中几何模型：1. 等边三角形模型2. 等腰三角形模型3. 直角三角形模型4. 平行四边形模型5. 菱形模型6. 矩形模型7. 正方形模型8. 梯形模型9. 圆模型10. 扇形模型11. 弓形模型12. 切线模型13. 抛物线模型14. 双曲线模型15. 椭圆模型16. 角平分线定理模型17. 中线定理模型18. 弦长定理模型19. 勾股定理模型21. 外角和定理模型22. 线段比例定理模型23. 相似三角形判定定理模型24. 三角形内心定理模型25. 三角形外心定理模型26. 三角形重心定理模型27. 三角形垂心定理模型28. 四边形对角线性质定理模型29. 四边形面积公式模型30. 圆的周长公式模型31. 圆的面积公式模型32. 扇形面积公式模型33. 弓形面积公式模型34. 点到直线距离公式模型35. 两点间距离公式模型36. 角平分线性质定理模型37. 中位线定理模型38. 切线的性质定理模型39. 切线的判定定理模型40. 抛物线性质定理模型41. 双曲线性质定理模型43. 角的平分线性质定理的逆定理模型44. 三线合一的逆定理模型45. 线段垂直平分线的逆定理模型46. 余角、补角定理的逆定理模型47. 同位角、内错角、同旁内角定理的逆定理模型48. 正弦、余弦、正切的应用（三角函数的应用）这些几何模型可以帮助你更好地理解和掌握初中几何的知识点，并且能够让你更加熟练地解决各种几何问题。
希望这些信息对你有所帮助！。
初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学中考数学常用几何模型及构造方法大全
1.线段和角的构造：
(1)线段的平分线构造：通过线段的两个端点构造出它的平分线；
(2)角的平分线构造：通过角的两条边构造出它的平分线。
2.直线和角的性质：
(1)同位角和内错角的性质：对于两条平行线与同位角以及内错角的
关系给出了详细的构造方法；
(2)顶角与底角的性质：对于两个交角的顶角和底角的关系给出了构
造方法。
3.平面图形的特点与性质：
(1)正方形、矩形、菱形和平行四边形的构造方法：通过给出一些特
定线段的长度构造出相应的平面图形；
(2)三角形的构造方法：根据给定的边长或者角度构造出相应的三角形；
(3)全等三角形的构造方法：利用三个已知条件构造出全等的三角形；
(4)利用三角形的角平分线构造三角形的内心；
(5)利用三角形的垂心、外心和重心的构造方法。
4.圆的构造与性质：
(1)圆的半径的构造方法：通过给出的圆心和一个端点构造出圆的半径；
(2)弦的构造方法：通过给出圆上的两个点构造出相应的圆弦；
(3)弓形的构造方法：通过给出的端点和圆心构造出相应的弓形；
(4)圆的切线的构造方法：通过给出的切点构造出相应的圆的切线。
5.相似与全等的构造：
(1)利用角的平分线构造相似三角形：通过给出的角的平分线构造出相似的三角形；
(2)利用比的性质构造相似三角形：通过给出的比例构造出相似的三角形；
(3)利用比的性质构造全等三角形：通过给出的比例构造出全等的三角形。
以上是初中数学中考常用的几何模型及构造方法的大致内容。
当然，具体的内容还包括一些相关的定义和定理，这些都需要在学习中进一步深入理解和掌握。
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；OAB COBCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
初中数学必背几何模型
一、中点模型1．倍长中线条件：AD 为△ABC 的中线辅助线：延长AD 到点E ，使得AD =DE结论：△ADC ≌△EDB ，AC ∥BE2．连中点构造中位线条件：点D 、E 为AB 、AC 的中点辅助线：连接DE 结论：12DE BC DE BC =，∥3．倍长一边构造中位线条件：点D 为AB 的中点辅助线：延长AC 到点E ，使得AC =CE ，连接BE 结论：12DC BE DC BE =，∥4．构造三线合一条件：AB =AC辅助线：取BC 的中点D ，连接AD结论：AD ⊥BC ，∠BAD =∠CADB5．构造斜边中线条件：∠ABC =90°辅助线：取AC 的中点D ，连接BD 结论：12BD AC AD CD ===二、角平分线模型6．往角两边作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为E 、F结论：△ADE ≌△ADF7．在角的两边截取等长线段条件：AD 平分∠BAC辅助线：在AB 、AC 上取点E 、F ，满足AE =AF ，连接DE 、DF 结论：△ADE ≌△ADF8．过角平分线上一点作垂线条件：AD 平分∠BAC辅助线：过点D 作EF ⊥AD ，交AB 、AC 于点E 、FD CBB CCC结论：△ADE ≌△ADF三、双角平分线模型9．内内模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB 结论：1902D A ∠=︒+∠10．内外模型条件：BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACE 结论：12D A ∠=∠11．外外模型条件：BD 、CD 平分∠CBE 、∠BCF 结论：1902D A ∠=︒-∠四、平行线模型12．猪蹄模型CA BCC ED条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D =∠BED13．铅笔头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠B +∠D +∠BED =360°14．鸟头模型条件：AB ∥CD辅助线：过点E 作EF ∥AB结论：∠D +∠BED =∠B15．平行线+角平分线模型条件：AB ∥CD ，CE 平分∠ACD结论：AC =AE五、等积模型16．等底等高条件：AD ∥BCFAFBC结论：ABC DBC S S =，ADB ADC S S =17．等高模型条件：B 、C 、D 共线结论：::ABD ADC S S BD CD =18．等底模型条件：AE 、DE 为△ABC 、△DBC 边BC 上的高结论：::ABC DBC S S AE DE =六、对称半角模型19．对称半角模型-含45°角的三角形条件：∠BAC =45°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等腰直角三角形20．对称半角模型-含30°角的三角形B CB C DED条件：∠BAC =30°，AD ⊥BC辅助线：作点D 关于AB 的对称点E ，关于AC 的对称点F ， 连接AE 、AF 、BE 、CF 、EF结论：△AEF 是等边三角形七、旋转半角模型21．旋转半角模型-等腰直角三角形条件：AB =AC ，∠BAC =90°，∠MAN =45°辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACM ＇ 结论：ANM ANM '≌，222BM CN MN +=22．旋转半角模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°， ∠MDN =60°辅助线：将△BDM 绕点D 顺时针旋转120°，得到△DCM ＇ 结论：NDM NDM '≌，BM CN MN +=23．旋转半角模型-正方形条件：正方形ABCD ，∠MAN =45°，FEAM'M CAB辅助线：将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADM ＇ 结论：NAM NAM '≌，BM DN MN +=八、自旋转模型24．自旋转模型-等边三角形条件：△ABC 是等边三角形，点P 为其内任意一点辅助线：将△BAP 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BCP ＇ 结论：△BPP ＇是等边三角形25．自旋转模型-等腰直角三角形条件：△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 为△ABC 内任 意一点辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转90°，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰直角三角形26．自旋转模型-等腰三角形条件：△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 内任意一点，∠BAC =α 辅助线：将△BAP 绕点A 逆时针旋转α，得到△ACP ＇ 结论：△APP ＇是等腰三角形M'DNCBAB九、手拉手模型29．手拉手模型-等边三角形条件：△ABC和△CDE都是等边三角形结论：△ACE≌△BCD27．手拉手模型-等腰直角三角形条件：△ABC和△CDE都是等腰直角三角形结论：△ACE≌△BCD，AE⊥BDEE28．手拉手模型-等腰三角形条件：△ABC 和△CDE 都是等腰三角形，CA =CB ， CD =CE ，且∠ACB =∠DCE结论：△ACE ≌△BCD30．手拉手模型-正方形条件：四边形ABCD 和AEFH 都是正方形结论：△ABE ≌△ADH ，BE ⊥DH十、最短路程模型31．直线同侧两线段之和最小（将军饮马）条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作点A 关于直线l 的对称点A ＇，连接A ＇B 结论：点P 为A ＇B 和l 交点时，AP +BP 最小C32．直线异侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 异侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小33．直线同侧两线段之差最小条件：点A 、B 在直线l 同侧，点P 为l 上一点辅助线：作线段AB 的垂直平分线m结论：点P 为m 和l 交点时，|AP -BP |最小34．过桥模型（将军饮马）条件：A 、B 为定点，l 1∥l 2，MN 为定长线段且MN ⊥l 1 辅助线：将点A 向上平移MN 的长度得到A ＇，连接A ＇B 结论：点N 为A ＇B 与l 1交点时，AM +MN +BN 最小35．四边形周长最小（将军饮马）条件：A 、B 为定点，M 、N 为角两边上的动点辅助线：作点A 、B 关于角两边的对称点A ＇、B ＇，连接 lAlAll 1l 2A＇B＇结论：M、N为A＇B＇与角两边交点时，四边形ABMN的周长最小B'36．三角形周长最小（将军饮马）条件：A为定点，B、C为角两边上的动点辅助线：作点A关于角两边的对称点A＇、A＂，连接A＇A＂结论：B、C为A＇A＂与角两边交点时，△ABC的周长最小37．旋转类最短路程模型条件：线段OA=a，OB=b（a＞b），OB绕点O在平面内旋转结论：点B与点N重合时，AB最小；点B与点M重合时，AB最大十一、基本相似模型38．A字型条件：BC∥DE结论：△ABC∽△ADE条件：∠ABC =∠ADE结论：△ABC ∽△ADE39．8字型条件：AB ∥CD结论：△AOB ∽△DOC条件：∠BAO =∠DCO结论：△AOB ∽△COD40．母子型条件：△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB结论：△ABC ∽△ACD ∽△CBD41．一线三等角模型条件：∠B =∠D =∠ACE结论：△ABC ∽△CDECBCC A42．手拉手相似模型条件：△ABC ∽△ADE结论：△ACE ∽△ABD十二、对角互补模型43．对角互补模型-90°全等型条件：∠AOB =∠DCE =90°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OEOC ，212OECD S OC 四边形CB ACE AB D CDD44．对角互补模型-120°全等型条件：∠AOB =120°，∠DCE =60°，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，OD +OE =OC ，24OECD S =四边形45．对角互补模型-任意角全等型条件：∠AOB =2α，∠DCE =180°-2α，OC 平分∠AOB辅助线：过点C 作CM ⊥AO ，CN ⊥BO ，垂足分别为M 、N 结论：△CDM ≌△CEN ，CD =CE ，2cos OD OE OC α+=⋅， 2sin cos OEC OCD S S OC αα+=⋅46．邻边相等的对角互补模型条件：四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC +∠ADC =180°D BAN E OB辅助线：延长CD 到E ，使得DE =BC ，连接AE结论：△ABC ≌△ADE ，CA 平分∠BCD十三、隐圆模型47．动点定长模型条件：AB =AC =AP ，点P 为动点结论：点B 、C 、P 三点共圆，点A 为圆心，AB 为半径48．直角圆周角模型条件：点C 为动点，∠ACB =90°结论：点A 、B 、C 三点共圆，线段AB 的中点为圆心，线段 AB 为直径49．定弦定长模型条件：点P 为动点，固定线段AB 所对的动角∠APB 为定值 结论：点A 、B 、P 三点共圆，线段AB 和BP 的中垂线的交点 为圆心BA50．四点共圆模型①条件：点A 、C 为动点，∠BAD +∠BCD =180°结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心当∠BAD =∠BCD =90°，BD 为直径51．四点共圆模型②条件：线段AB 为固定长度，点D 为动点，∠C =∠D结论：点A 、B 、C 、D 四点共圆，线段AB 和BC 的中垂线的 交点为圆心CCA当∠C=∠D=90°，AB为直径。
中考数学几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图,在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上（如图2），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”）①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0。
中考数学题中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。
在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。
在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。
在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。
4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。
在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。
中考数学必学几何模型大全(含解析)
中考数学必学几何模型大全（含解析）模型一：截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图①，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图①，延长AB至H点，使BH=CD，再证明AH=EF即可。
模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
例题精讲1、如图，AC平分①BAD，CE①AB于点E，①B+①D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,①CE①AB，①CF=CB，①CFB=①B①①AFC+①CFB=180°，①D+①B=180°，①①D=①AFC①AC平分①BAD，即①DAC=①F AC在①ACD和①ACF中，①D=①AFC，①DAC=①F AC，AC=AC①ACD①①ACF（AAS），①AD=AF，①AE=AF+EF=AD+BE2、如图，已知在①ABC中，①C=2①B,①1=①2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC，连接DE,①AE=AC,①1=①2，AD=AD，①①ACD①①AED，①CD=DE,①C=①3①①C=2①B，①①3=2①B=①4+①B，①①4=①B，①DE=BE,CD=BE①AB=AE+BE，①AB=AC+CD3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,①B+①E=180°，求证：AD平分①CDE.解析：延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF，AC①①1+①2=180°，①E+①1=180°，①①2=①E①AB=AE,①2=①E,BF=DE，①①ABF①①AED，①F=①4，AF=AD①BC+BF=CD，即FC=CD又①AC=AC，①①ACF①①ACD，①①F=①3①①F=①4，①①3=①4，①AD平分①CDE.4、已知四边形ABCD中，①ABC+①ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,①ADC求证：①PBQ=90°-12解析：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°①①BCD+①BCK=180°，①①BAD=①BCK在①BAP和①BKC中AP =CK ，①BAP =①BCK ，AB =BC ，①①BP A ①①BKC （SAS ），①①ABP =①CBK ,BP =BK①PQ =AP +CQ ，①PQ =QK①在①BPQ 和①BKQ 中，BP =BK ，BQ =BQ ，PQ =KQ①①BPQ ①①BKQ (SSS )，①①PBQ =①KBQ ，①①PBQ =12①ABC ①①ABC +①ADC =180°，①①ABC =180°-①ADC①12①ABC =90°-12①ADC ，①①PBQ =90°-12①ADC5、如图，在①ABC 中，①B =60°，①ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE +CD =AC .解析：由题意可得①AOC =120°①①AOE =①DOC =180°-①AOC =180°-120°=60°在AC 上截取AF =AE ，连接OF ，如图在①AOE 和①AOF 中，AE =AF ，①OAE =①OAF ，OA =OA①①AOE ①①AOF （SAS ），①①AOE =①AOF ，①①AOF =60°，①①COF =①AOC -①AOF =60°又①COD =60°，①①COD =①COF同理可得：①COD ①①COF （ASA ），①CD =CF又①AF =AE ，①AC =AF +CF =AE +CD ，即AE +CD =AC6、如图所示，AB ①CD ,BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，点E 在AD 上，求证：BC =AB +CD .解析：在BC 上取点F ，使BF =AB①BE ,CE 分别是①ABC ,①BCD 的平分线，①①ABE =①FBE ,①BCE =①DCE①AB ①CD ，①①A +①D =180°在①ABE和①FBE中，AB=FB，①ABE=①FBE，BE=BE①①ABE①①FBE（SAS），①①A=①BFE，①①BFE+①D=180°①①BFE+①EFC=180°，①①EFC=①D在①EFC和①EDC中，①EFC=①D，①BCE=①DCE，CE=CE ①①EFC①①EDC（AAS），①CF=CD①BC=BF+CF，①BC=AB+CD7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE①BC,BD平分①ABC （1）证明：①BAD+①BCD=180°（2）DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.【解析】（1）过点D作BA的垂线，得①DMA①DEC（HL）①①ABC+①MDE=180°，①ADC=①MDE①①ABC+①ADC=180°，①①BAD+①BCD=180°（2）S四边形ABCD=2S①BED=188、已知：在①ABC中，AB=CD-BD,求证：①B=2①C.【解析】在CD上取一点M使得DM=DB则CD-BD=CM=AB①①AMD=①B=2①C模型二：倍长中线法模型分析：①ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，作CF①AD于F，作BE①AD的延长线于E，连接BE方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD例题精讲：1、已知，如图①ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是．【解答】1＜AD＜4．2、如图，①ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，DE ①DF ，D 是中点，试比较BE +CF 与EF 的大小．【解答】解：BE +CF ＞FP ＝EF ．延长ED 至P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP ，①D 是BC 的中点，①BD ＝CD ，在①BDE 和①CDP 中，{DP =DE∠EDB =∠CDP BD =CD①①BDE ①①CDP （SAS ），①BE ＝CP ，①DE ①DF ，DE ＝DP ，①EF ＝FP ，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）在①CFP 中，CP +CF ＝BE +CF ＞FP ＝EF ．3、已知：在①ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．【解答】证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD ＝DG ，连接BG ．①AD 是BC 边上的中线（已知），①DC ＝DB ，在①ADC 和①GDB 中，{AD =DG∠ADC =∠GDB(对顶角相等)DC =DB，①①ADC ①①GDB （SAS ），①①CAD ＝①G ，BG ＝AC又①BE ＝AC ，①BE ＝BG ，①①BED ＝①G ，①①BED ＝①AEF ，①①AEF ＝①CAD ，即：①AEF ＝①F AE ，①AF ＝EF ．4、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且①BAE ＝①CDE ．求证：AB ＝CD ．【解答】证明：延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF ，①E 是BC 的中点，①BE ＝CE ，①在①BEF 和①CED 中{BE =CE ∠BEF =∠CED EF =DE，①①BEF ①①CED ．①①F ＝①CDE ，BF ＝CD ．①①BAE ＝①CDE ，①①BAE ＝①F ．①AB ＝BF ，又①BF ＝CD ，①AB ＝CD ．5、如图，①ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．【解答】证明：如图，过点D 作DG ①AE ，交BC 于点G ；则①DGF ①①ECF ，①DG ：CE ＝DF ：EF ，而DF ＝EF ，①DG ＝CE ；①AB ＝AC ，①①B ＝①ACB ；①DG ①AE ，①①DGB ＝①ACB ，①①DBG ＝①DGB ，①DG ＝BD ，①BD ＝CE ．模型三：角平分线四大模型1、角平分线的性质2、角平分线的对称性3、角平分线+平行线，等腰现4、角平分线+垂线，等腰归例题精讲：1、如图，D是①EAF平分线上的一点，若①ACD+①ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N，则①CMD＝①BND＝90°，①AD是①EAF的平分线，①DM＝DN，①①ACD+①ABD＝180°，①ACD+①MCD＝180°，①①MCD＝①NBD，在①CDM和①BDN中，①CMD＝①BND＝90°，①MCD＝①NBD，DM＝DN，①①CDM①①BDN，①CD＝DB．2、如图，BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，BD交AC于点F，连接AD．（1）求证：①BDC=12∠BAC；（2）若AB＝AC，请判断①ABD的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①①ABC＝2①DBC，①ACE＝2①DCE，①①ACE＝①BAC+①ABC，①DCE＝①BDC+①DBC，①2①DCE＝2①BDC+2①DBC，①①BAC＝2①BDC，即①BDC=12①BAC；（2）①ABD是等腰三角形，证明：①AB＝AC，①①ABC＝①ACB，过D作DQ①AB于Q，DR①BC于R，DW①AC于W，①BD和CD分别平分①ABC的内角①EBA和外角①ECA，①DQ＝DR，DW＝DR，①DQ＝DW，①DQ①AB，DW①AC，①①GAC＝2①GAD＝2①CAD，①①GAC＝①ABC+①ACB，①①GAD＝①ABC，①AD①BC，①①ADB＝①DBC，①①ABD＝①DBC，①①ADB＝①ABD，①AB＝AD，即①ABD是等腰三角形．3、如图，在①ABC中，①ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．【解答】解：过点P作PD①AB于D，PE①BC于E，PF①AC于F，①点P是①ABC三条角平分线的交点，①PD＝PE＝PF①S ①ABC ＝S ①P AB +S ①PBC +S ①P AC =12PD •AB +12PE •BC +12PF •AC =12PD •（AB +BC +AC ）=12PD •（7+25+24）＝28PD 又①①ABC ＝90°，①S ①ABC =12AB •BC =12×7×24＝7×12，①7×12＝28PD ，①PD ＝3 答：点P 到AB 的距离为3．4、如图，AD 是①ABC 中①BAC 的平分线，P 是AD 上的任意一点，且AB ＞AC ，求证：AB −AC ＞PB −PC ．【解答】证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAD ＝①CAD ，在①AEP 和①ACP 中，{AE =AC ∠BAD =∠CAD AP =AP，①①AEP ①①ACP （SAS ），①PE ＝PC ，在①PBE 中，BE ＞PB −PE 即AB −AC ＞PB −PC ．5、在①ABC 中，AD 是①BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB +PC 与AB +AC 的大小， 并说明理由．【解答】解：PB +PC ＞AB +AC如图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连接EP ．由AD 是①BAC 的外角平分线，可知①CAP ＝①EAP ，又AP 是公共边，AE ＝AC ，故①ACP ①①AEP从而有PC ＝PE ，在①BPE 中，PB +PE ＞BE而BE ＝AB +AE ＝AB +AC ，故PB +PE ＞AB +AC ，所以PB +PC ＞AB +AC6、已知：如图，在①ABC 中，①A ＝2①B ，CD 平分①ACB ，且AC ＝6，AD ＝2．求BC 的长．【解答】解：如图，在BC 上截取CE ＝CA ，连接DE ，①CD平分①ACB，①①1＝①2，在①ACD和①ECD中{CA=CE∠1=∠2CD=CD，①①ACD①①ECD（SAS），①AD＝ED，①A＝①CED，①①A＝2①B，①①CED＝2①B，①①CED＝①B+①BDE，①①BDE＝①B，①BE＝ED，①AC＝6，AD＝2，①AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，①BC＝BE+CE＝2+6＝8．7、如图，①AOB=30°，OD平分①AOB，DC①OA于点C，DC=4cm，求OC的长.【解答】过点D作DE//OB，交OA于点E.OC=CE+OE=CE+DE=8+43.8、（1）如图①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACB，过点D作EF①BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．（2）如图，①ABC中，BD、CD分别平分①ABC，①ACG，过D作EF①BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．【解答】解：（1）①BD平分①ABC，①①ABD＝①CBD，①EF①BC，①①EDB＝①DBC，①①ABD＝①EDB，①BE＝ED，同理DF＝CF，①BE+CF＝EF；（2）BE−CF＝EF，由（1）知BE＝ED，①EF①BC，①①EDC＝①DCG＝①ACD，①CF＝DF，又①ED−DF＝EF，①BE−CF＝EF．9、如图，在①ABC ，AD 平分①BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ，求证：EF ①AB ．【解答】解：过E 作AC 的平行线于AD 延长线交于G 点， ①EG ①AC在①DEG 和①DCA 中，{∠ADC =∠GDE CD =ED ∠DEG =∠DCA，①①DEG ①①DCA （ASA ）， ①EG ＝EF ，①G ＝①CAD ，又EF ＝AC ，故EG ＝AC ①AD 平分①BAC ，①①BAD ＝①CAD ，①EG ＝EF ，①①G ＝①EFD ，①①EFD ＝①BAD ，①EF ①AB ．10、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．①B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD ＝2CE ．【解答】证明：如图，分别延长CE ，BA 交于一点F ． ①BE ①EC ，①①FEB ＝①CEB ＝90°， ①BE 平分①ABC ，①①FBE ＝①CBE ， 又①BE ＝BE ，①①BFE ①①BCE （ASA ）． ①FE ＝CE ．①CF ＝2CE ．①AB ＝AC ，①BAC ＝90°，①ABD +①ADB ＝90°，①ADB ＝①EDC ， ①①ABD +①EDC ＝90°．又①①DEC ＝90°，①EDC +①ECD ＝90°，①①FCA ＝①DBC ＝①ABD ． ①①ADB ①①AFC ．①FC ＝DB ，①BD ＝2EC ．11、如图．在①ABC 中，BE 是角平分线，AD ①BE ，垂足为D ，求证：①2＝①1+①C ．【解答】证明：如图，延长AD 交BC 于点F ，①BE 是角平分线，AD ①BE ，①①ABF 是等腰三角形，且①2＝①AFB ， 又①①AFB ＝①1+①C ，①①2＝①1+①C ．12、（1）如图（a ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的外角平分线，过点A 作AD ①BD ，AE ①CE ，垂足分别为D 、E ，连接DE ，求证：DE ①BC ，DE =12（AB +BC +AC ）；（2）①如图（b ）所示，BD 、CE 分别是①ABC 的内角平分线，其他条件不变；①如图（c ）所示，BD 为①ABC 的内角平分线，CE 为①ABC 的外角平分线，其他条件不变；则在图（b ）、图（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与①ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中一种情况进行证明．【解答】解：（1）如图1，分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK ，①①BAD ①①BKD （ASA ）， ①AD ＝KD ，AB ＝KB ，同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK +BC +CH ＝AB +BC +AC ，①DE =12（AB +AC +BC ）； （2）①猜在想结果：图2结论为DE =12（AB +AC −BC ）． 证明：分别延长AE 、AD 交BC 于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB ， 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12HK ，又①HK ＝BK －BH ＝AB +AC －BC ，①DE =12（AB +AC −BC ）； ①图3的结论为DE =12（BC +AC −AB ）．证明：分别延长AE 、AD 交BC 或延长线于H 、K ， 在①BAD 和①BKD 中，{∠ABD =∠DBK BD =BD ∠BDA =∠BDK，①①BAD ①①BKD （ASA ），①AD ＝KD ，AB ＝KB 同理可证，AE ＝HE ，AC ＝HC ，①DE =12KH又①KH ＝BC －BK +HC ＝BC +AC －AB ．①DE =12（BC +AC −AB ）．模型四：手拉手模型模型：如图，①ABC 是等腰三角形、①ADE 是等腰三角形，AB =AC ，AD =AE ， ①BAC =①DAE = 。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
初中数学中考常见几何模型
初中数学中考常见几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ；③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ，将△OCD 旋转至右图的位置OC DE图 1OABCD E图 2OABC DE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2OB COCDE【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。
8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。
初中数学常用几何模型
目录1. 8字模型与飞镖模型2.手拉手全等模型3.三垂直全等模型4.角平分线平行线模型5. 角平分线＋两垂线段模型6.等腰三角形的存在性问题7.A型、8型相似模型8.一线三等角相似模型8字模型与飞镖模型资料编号:202109012143关键词 8字模型 飞镖模型8字模型如图所示,AC 、BD 相交于点O ,连结AD 、BC ,则有C BD A ∠+∠=∠+∠.OACBD因为这个图形像数字8,所以我们把这个模型称为8字模型. 8字模型的证明:证法一:∵D A AOB ∠+∠=∠ C B AOB ∠+∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） 证法二:∵︒=∠+∠+∠180AOD D A ︒=∠+∠+∠180BOC C B ∴AOD D A ∠-︒=∠+∠180 BOC C B ∠-︒=∠+∠180 ∵BOC AOD ∠=∠ ∴C B D A ∠+∠=∠+∠.点评 8字模型的结论常被用来求角度或证明两个角相等,多出现在几何综合题中.有些复杂的几何问题,应用8字模型的结论,往往会出奇制胜,达到意想不到的效果（见后面的例题）.如图所示,有结论:DBABCD∠+∠+∠=∠.因为这个图形像飞镖,所以我们把这个模型称为飞镖模型. 飞镖模型常被用来推导几何图形中角之间的等量关系.AB CD飞镖模型的证明:证法一:延长BC,交AD于点E,如下图所示.∵BADBCD∠+∠=∠∠+∠=∠1,1∴DBABCD∠+∠+∠=∠.证法二:作射线AC,如下图所示.∵DB∠+∠=∠∠+∠=∠42,31∴DB∠+∠+∠+∠=∠+∠4321∴DBBADBCD∠+∠+∠=∠.FBECADAEAE例1. 如图所示,求证:︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A .B EC AD证法一:（飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示. ∵︒=∠+∠+∠180BFE E B CFD BFE ∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C A CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B A . 证法二:（8字模型） 连结CD ,如图所示,则有21∠+∠=∠+∠E B∵︒=∠+∠+∠180ADC ACD A∴︒=∠+∠+∠+∠+∠18021ADB ACE A ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E ADB ACE B A . 证法三:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵︒=∠+∠+∠18021ADB EC ∠+∠=∠∠+∠=∠21 ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180ED C B A .BECDA例2. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A _________.F CBEAD解法一:（利用8字模型） ∵32∠+∠=∠+∠B A3121∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠F E D C∴=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A()3212∠+∠+∠∵︒=∠+∠+∠180321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A . 解法二:（利用三角形内角和定理与外角和定理） ∵B A ∠+∠=∠1DC FE ∠+∠=∠∠+∠=∠32∴=∠+∠+∠321F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ ∵︒=∠+∠+∠360321∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A .例3. 如图所示,=∠+∠+∠+∠+∠E D C B CAD _________.解:（利用飞镖模型）设BD 与CE 相交于点F ,如图所示.FBECD A∵︒=∠+∠+∠180BFE E B ∴︒=∠+∠+∠180CFD E B ∵D C CAD CFD ∠+∠+∠=∠ ∴︒=∠+∠+∠+∠+∠180E D C B CAD .例4. 如图,△ABC 和△DCE 均是等腰三角形,CE CD CB CA ==,,=∠BCADCE ∠.（1）求证:AE BD =;（2）若︒=∠70BAC ,求BPE ∠的度数.NMPDABCE（1）证明:∵=∠BCA DCE ∠ ∴ACD DCE ACD BCA ∠+∠=∠+∠ ∴ACE BCD ∠=∠ 在△BCD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD ACE BCD CA CB ∴△BCD ≌△ACE （SAS ） ∴AE BD =; （2）解:方法一:∵△BCD ≌△ACE∴21∠=∠ ∵CB CA =∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵PBA PAB BPE ∠+∠=∠ ∴PBA BAC BPE ∠+∠+∠=∠2︒=︒+︒=∠+︒=∠+∠+︒=140707070170ABC PBA方法二:∵︒=∠=70,BAC CB CA ∴︒=∠=∠70ABC BAC ∵︒=∠+∠+∠180ABC BAC ACB ∴︒=︒-︒-︒=∠407070180ACB ∵△BCD ≌△ACE ∴21∠=∠∵APB ACB ∠+∠=∠+∠21 ∴︒=∠=∠40APB ACB ∵︒=∠+∠180APB BPE ∴︒=︒-︒=∠14040180BPE .点评 方法二用到了“8”字模型的结论,如下图所示.例5. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰 直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥.证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12（8字模型） ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例6.（1）问题发现 如图1,△ABC 和△DCE 均为等边三角形,点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE .填空: ①AEB ∠的度数为_________;②线段AD 、BE 之间的数量关系为_________;（2）拓展探究如图2,△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DCE ACB ,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为△DCE 的高,连结BE ,请写出AEB ∠的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系,并说明理由.图 1ECAB D图 2MEBCAD解:（1）①︒60; ②BE AD =;提示: ∵△ABC 和△DCE 均为等边三角形 ∴CE CD CB CA ==,︒=∠=∠60DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠ ∴BCE ACD ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） （属于“手拉手”全等模型） ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB （属于“8”字模型） ∴︒=∠=∠60ACB AEB . （2）解:︒=∠90AEB ,CM BE AE 2=-; 理由如下:∵︒=∠=∠90DCE ACB∴BCD DCE BCD ACB ∠-∠=∠-∠∴BCE ACD ∠=∠∵△ABC 和△DCE 均为等腰直角三角形 ∴CE CD CB CA ==, 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD CB CA ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）……………………………………7分 ∴21,∠=∠=BE AD ∵12∠+∠=∠+∠ACB AEB ∴︒=∠=∠90ACB AEB……………………………………8分 ∵DE CM CE CD ⊥=, ∴CM 平分DCE ∠∴︒=∠=∠=∠=∠45ECM DCM CED CDE ∴EM DM CM == ∴CM DE 2= ∵AD AE DE -= ∴CM BE AE 2=-.手拉手全等模型资料编号:202108292312关键词 手拉手全等模型 三角形全等手拉手全等模型介绍手拉手全等模型常见的有三种图形形式:两个等腰直角三角形组成的手拉手全等模型、两个等边三角形组成的手拉手全等模型以及两个普通等腰三角形组成的手拉手全等模型.必须说明的是,组成手拉手全等模型的两个等腰三角形,共用顶角的顶点（即两个顶角的顶点重合）,且两个等腰三角形的顶角相等.如图1、图2、图3所示,如果把大等腰三角形的腰长看作大手,小等腰三角形的腰长看作小手,两个等腰三角形共用顶角的顶点,类似大手拉着小手,所以把这种模型称为手拉手模型（手拉手模型还有手拉手相似模型）.图中两个等腰三角形的相对位置发生变化时,始终存在一对全等三角形. 手拉手模型常和旋转结合,作为几何综合题出现.图 1图 2图 3在图1、图2、图3中,△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,AE AD AC AB ==,,且DAE BAC ∠=∠,连结BD 、CE ,则△ABD ≌△ACE . 结论证明:（以图1为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）. 结论证明:（以图2为例） ∵DAE BAC ∠=∠∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）.点评 手拉手全等模型的依据都是SAS. 重要推论推论1 如图所示,△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,︒=∠=∠90DAE BAC ,连结BD 、CE ,则有: （1）△ABD ≌△ACE ; （2）CE BD CE BD ⊥=,.推论1证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠-∠=∠-∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）∵△ABD ≌△ACE ∴21,∠=∠=CE BD延长BD 交CE 于点F ,如图所示. ∵BCF DBC BFE ∠+∠=∠ ∴ACB DBC BFE ∠+∠+∠=∠2︒=∠+∠=∠+∠+∠=901ACB ABC ACBDBC∴CE BD ⊥.推论2 如图所示,△ABD 和△BCE 均为等边三角形,点A 、B 、C 在同一直线上,连结AE 、CD ,则有:FGHEDACB（1）△ABE ≌△DBC ; （2）DC AE =; （3）︒=∠60DHA ; （4）△ABG ≌△DBF ; （5）△BEG ≌△BCF ; （6）连结GF ,则AC GF //; （7）连结HB ,则HB 平分AHC ∠.推论2证明:（1）∵△ABD 和△BCE 均为等边三角形 ∴BC BE DB AB ==,,︒=∠=∠60CBE ABDFGHEDCAB∵点A 、B 、C 在同一直线上 ∴︒=∠=∠120DBC ABE 在△ABE 和△DBC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE DBC ABE DB AB ∴△ABE ≌△DBC ;（2）由（1）可知:△ABE ≌△DBC ∴DC AE =;（3）∵△ABE ≌△DBC ∴21∠=∠∵12∠+∠=∠+∠ABD DHA ∴︒=∠=∠60ABD DHA ; （“8”字模型）（4）∵︒=∠=∠60CBE ABD ∴︒=︒-︒-︒=∠606060180DBF ∴DBF ABG ∠=∠ 在△ABG 和△DBF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DBF ABG DB AB 21 ∴△ABG ≌△DBF （ASA ）; （5）∵△ABG ≌△DBF ∴BF BG =由前面可知:︒=∠=∠60CBF EBG 在△BEG 和△BCF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BE CBF EBG BF BG ∴△BEG ≌△BCF （SAS ）;（6）连结GF ,如图所示.∵BF BG =,︒=∠60FBG ∴△BFG 为等边三角形 ∴︒=∠=∠60ABD BGF ∴AC GF //;（7）连结HB ,如图所示,作DC BN AE BM ⊥⊥,.∵△ABE ≌△DBC ∴DBC ABE S S ∆∆=,DC AE = ∴BN DC BM AE ⋅=⋅2121 ∴BN BM =∵DC BN AE BM ⊥⊥,,BN BM = ∴点B 在AHC ∠的平分线上 ∴HB 平分AHC ∠.点评 要求学生能从复杂的几何图形中辨识出手拉手全等模型,并能用SAS 证明两个三角形全等.模型举例例1. 如图,在△ABC 和△ADE 中,AE AD AC AB DAE BAC ==︒=∠=∠,,90,点C 、D 、E 在同一条直线上,连结BD . 求证:（1）△ABD ≌△ACE ;（2）试猜想BD 、CE 有何关系,并证明.ECAB D分析:由条件可知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形,所以该图形中存在手拉手全等模型,手拉手全等模型的依据都是SAS . 证明:（1）∵︒=∠=∠90DAE BAC ∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）; （2）CE BD CE BD ⊥=,. 理由如下:∵△ABD ≌△ACE ∴E CE BD ∠=∠=1, ∵︒=∠=90,DAE AE AD ∴︒=∠=∠45E ADE ∴︒=∠451C ∴︒=︒+︒=∠+∠=∠9045451ADE BDE ∴CE BD ⊥.例2. 如图,△OAB 和△OCD 都是等边三角形,连结AC 、BD 相交于点E . （1）求证:①△OAC ≌△OBD ;②︒=∠60AEB ; （2）连结OE ,OE 是否平分AED ∠?请说明理由.EDOABC（1）证明:①∵△OAB 和△OCD 都是等边三角形 ∴OD OC OB OA ==,︒=∠=∠60COD AOB∴BOC COD BOC AOB ∠+∠=∠+∠ ∴BOD AOC ∠=∠ 在△OAC 和△OBD 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OD OC BOD AOC OB OA ∴△OAC ≌△OBD （SAS ）; ②∵△OAC ≌△OBD ∴21∠=∠∵︒=∠+∠+∠180ABE EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1802ABO EAB AEB ∴︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB ∴()︒=∠+∠+∠+∠1801ABO EAB AEB∴︒=∠+∠+∠180ABO OAB AEB ∴OAB ABO AEB ∠-∠-︒=∠180︒=︒-︒-︒=606060180C（2）OE 平分AED ∠. 理由如下:作BD ON AC OM ⊥⊥, ∵△OAC ≌△OBD ∴OBD OAC S S ∆∆=,BD AC = ∴ON BD OM AC ⋅=⋅2121 ∴ON OM =∵BD ON AC OM ⊥⊥,,ON OM = ∴OE 平分AED ∠.（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例3. 如图所示,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,BD 与CE 相交于点M ,BD 与AC 交于点N .求证:（1）CE BD =;（2）CE BD ⊥. 证明:（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AE AD AC AB ==,︒=∠=∠90DAE BAC∴CAD DAE CAD BAC ∠+∠=∠+∠ ∴CAE BAD ∠=∠ 在△ABD 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴CE BD =;（2）∵△ABD ≌△ACE ∴21∠=∠∵BAC BMC ∠+∠=∠+∠12 ∴︒=∠=∠90BAC BMC ∴CE BD ⊥.例4. 如图,在线段AE 的同侧作等边△ABC 和等边△CDE （︒<∠120ACE ）,点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点. 求证:△CPM 是等边三角形.PMDBA EC分析:本题图形中包含手拉手全等模型,我们可以证明△ACD 和△BCE 全等.另外,关于等边三角形的判定,可先证明三角形是等腰三角形,再证明三角形有一个角等于︒60.证明:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴CE CD BC AC ==,,︒=∠=∠60DCE ACB ∴ACE DCE ACE ACB ∠+∠=∠+∠∴ACD BCE ∠=∠ 在△ACD 和△BCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CD BCE ACD BC AC ∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴BE AD =∠=∠,21∵点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点 ∴AM BP =在△ACM 和△BCP 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BP AM BC AC 21 ∴△ACM ≌△BCP （SAS ） ∴CP CM =,43∠=∠∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠6043ACB ACP ACP PCM ∵CP CM =,︒=∠60PCM ∴△CPM 是等边三角形.三垂直全等模型资料编号:202108282255关键词 三垂直全等模型 一线三等角全等模型 三角形全等三垂直全等模型介绍如图1、图2、图3所示,为三种常见的三垂直全等模型.图 1图 2图 3如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,. 结论:△BCD ≌△CAE .结论的证明:∵DE AE DE BD ⊥⊥, ∴︒=∠=∠90E D ,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠901BCD ∴1∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC E D B 1 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ）.重要推论推论1 如图1所示,BC AC BC AC DE AE DE BD =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE +=;图 1证明:由前面可知:△BCD ≌△CAE ∴BD CE AE CD ==, ∵CE CD DE += ∴BD AE DE +=.推论2 如图2所示,BC AC BC AC CD BD CD AE =⊥⊥⊥,,,,则有:BD AE DE -=.图 2证明:∵CD BD CD AE ⊥⊥, ∴︒=∠=∠9021,︒=∠+∠90BCD B ∵BC AC ⊥ ∴︒=∠+∠903BCD ∴3∠=∠B在△BCD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA BC B 213 ∴△BCD ≌△CAE （AAS ） ∴AE CD CE BD ==, ∵CE CD DE -= ∴BD AE DE -=.说明 三垂直全等模型是一种常见的几何模型,同学们要记住这种几何模型的图形特征和题目特点,以后遇到这种模型常常要证明两个三角形全等. 模型举例例1. 如图,直线l 上有三个正方形c b a ,,,若c a ,的面积分别是5和11,则b 的面积是_________.l cba IH JFEBADCGlcba IHJFEBADCG分析 三垂直全等模型作为一种重要且常见的几何模型,要求同学们能从复杂的几何图形中辨识出这种模型,若能找出这种模型,往往要证明两个三角形全等,从而解决相关的问题.解析:根据“三垂直全等模型”,本题易证:△BCG ≌△GJF . ∴JF CG =由题意可得:11,522====JF S BC S c a ∴112=CG在Rt △BCG 中,由勾股定理得:16115222=+=+==CG BC BG S b .∴b 的面积是16.例2. 如图1所示,已知在△ABC 中,︒=∠90BAC ,AC AB =,点P 为BC 上一动点（CP BP <）,分别过点B 、C 作AP BE ⊥于点E ,AP CF ⊥于点F . （1）求证:BE CF EF -=;（2）如图2,若点P 为BC 延长线上一点,其他条件不变,则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.图 1图 2PCBA（1）证明:∵AP BE ⊥,AP CF ⊥ ∴︒=∠=∠901E ,︒=∠+∠903CAE ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠902CAE ∴32∠=∠在△ABE 和△CAF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB E 321 ∴△ABE ≌△CAF （AAS ） ∴CF AE AF BE ==, ∵AF AE EF -= ∴BE CF EF -=;（2）如图3所示.图 3BECFEF+=.提示:关键在于证明△ABE≌△CAF.例3.如图,在△ABC中,BCACACB=︒=∠,90,直线MN经过点C,且MNAD⊥于D,MNBE⊥于E.（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②BEADDE+=;（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:BEADDE-=;（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE、AD、BE之间的数量关系.图 1图 2图 3图 1（1）证明:①∵MNAD⊥,MNBE⊥∴︒=∠=∠9021∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠904ACD ∵︒=∠+∠903ACD ∴43∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC 4321 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）; ②∵△ADC ≌△CEB ∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE += ∴BE AD DE +=;图 2（2）∵MN AD ⊥,MN BE ⊥ ∴︒=∠=∠90CEB ADC ∵︒=∠90ACB ∴︒=∠+∠902ACD ∵︒=∠+∠901ACD ∴21∠=∠在△ADC 和△CEB 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CB AC CEB ADC 21 ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）∴BE CD CE AD ==, ∵CD CE DE -= ∴BE AD DE -=; （3）AD BE DE -=.提示:仍然是证明△ADC ≌△CEB .图 3例4.（1）如图1所示,已知在△ABC 中,AC AB BAC =︒=∠,90,直线m 经过点A ,m BD ⊥于点D ,m CE ⊥于点E ,求证:CE BD DE +=;（2）如图2,将（1）中的条件改为:在△ABC 中,AC AB =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,且有α=∠=∠=∠BAC AEC BDA ,其中α为任意锐角或钝角,请问结论CE BD DE +=是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.m 图 1EDCBA m图 2ECD A B（1）证明:∵m BD ⊥,m CE ⊥ ∴︒=∠=∠9021 ∴︒=∠+∠903BAD ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠904BAD ∴43∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB 4321 ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴CE AD AE BD ==, ∵AE AD DE += ∴BD CE DE +=;（2）成立. 理由如下:∵︒=∠+∠+∠1801BAD BDA ∴α-︒=∠+∠1801BAD ∵︒=∠+∠+∠1802BAD BAC ∴α-︒=∠+∠1802BAD ∴21∠=∠在△ABD 和△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CA AB AEC BDA 21∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=,AD=CEBD∵AE=ADDE+∴BD=.DE+CE点评第二问所涉及到的几何模型为“一线三等角全等模型”,而我们在前面花大篇幅所介绍的“三垂直全等模型”属于“一线三等角全等模型”的特殊情况.BEFDBCA角平分线平行线模型资料编号:202108310011关键词 角平分线 平行线 等腰三角形角平分线平行线模型介绍如图所示,OM 平分AOB ∠,点P 是OM 上一点,过点P 作OB PC //,交OA 于点C ,则△POC 是等腰三角形. 下图就是角平分线平行线模型.MOBACP模型证明:∵OM 平分AOB ∠ ∴21∠=∠ ∵OB PC // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴CP CO =∴△POC 是等腰三角形.点评 在角平分线的条件下,常过角平分线上一点作一边的平行线,构造等腰三角形. 重要推论推论1 如图所示,在△ABC 中,ABC ∠、ACB ∠ 的平分线交于点D ,过点D 作BC EF //,交AB 于 点E ,交AC 于点F ,则有: （1）FC FD ED EB ==,; （2）CF BE EF +=; （3）AC AB C AEF +=∆.推论1证明: （1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; （2）∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=;（3）∵AF EF AE C AEF ++=∆ ∴AF DF DE AE C AEF +++=∆ AF CF BE AE +++= AC AB +=.推论2 如图所示,四边形ABCD 为平行四边形,把△BCD 沿对角线BD 折叠,得到△D BC ','BC 交AD 于点E ,则△BDE 为等腰三角形.EC'DBCA说明:由折叠可知:BD C CBD '∠=∠,即BD 平分BC C ',所以上图中包含角平分线平行线模型.推论2证明:由折叠可知:21∠=∠∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴BC AD // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠∴EDEB=∴△BDE为等腰三角形.模型举例例1.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿BD对折,使点C落在点E处,BE与AD 相交于点O.（1）由折叠可知△BCD≌△BED,除此之外,图中还存在其他的全等三角形,请写出一组全等三角形:________________;（2）图中有等腰三角形吗?请你找出来:__________;（3）若8AB,求OB的长度.,6==BC解:（1）△ABD≌△EDB;（或△ABD≌△CDB或△AOB≌△EOD）（2）△BOD;提示:如图上所示,由折叠可知:=∠1∠2∵BCAD//（为什么?）∴3=∠1∠∴3∠2∠=∴OD OB =,即△BOD 为等腰三角形. （3）由（2）可知:OD OB =. 设x OD OB ==,则x OA -=8 ∵四边形ABCD 为长方形 ∴︒=∠90A在Rt △AOB 中,由勾股定理得:222OB AB OA =+∴()22268x x =+-解之得:425=x ∴425=OB . 例2. 如图,点O 是△ABC 的边AC 上一个动点,过点O 作直线BC MN //.直线MN 交ACB ∠的平分线于点E ,交ACB ∠的外角平分线于点F . （1）求证:OF OE =;（2）若6,8==CF CE ,求OC 的长.DNMEF BCAO（1）证明:∵CE 平分ACB ∠ ∴21∠=∠ ∵BC MN // ∴32∠=∠ ∴31∠=∠ ∴OC OE = 同理可证:OC OF = ∴OF OE =;（2）解:∵CF 平分ACD ∠ ∴ACD ∠=∠215 ∵51∠+∠=∠ECF ∴ACD ACB ECF ∠+∠=∠2121 ()︒=︒⨯=∠+∠=901802121ACD ACB在Rt △ECF 中,由勾股定理得:10682222=+=+=CF CE EF由（1）可知:521==EF OC . 例3. 如图,在△ABC 中,AD 平分BAC ∠,点E 、F 分别在BD 、AD 上,AB EF //,且CD DE =. 求证:AC EF =.EDBCAF证明:作AB CG //交AD 的延长线于点G . ∴G ∠=∠1 ∵AD 平分BAC ∠ ∴21∠=∠ ∴G ∠=∠2 ∴GC AC = ∵AB EF // ∴31∠=∠ ∴G ∠=∠3在△EDF 和△CDG 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DC DE G 543 ∴△EDF ≌△CDG （AAS ） ∴CG EF = ∴AC EF =. 例4. 解答下列问题:（1）如图1所示,在△ABC 中,BC EF //,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分ACB ABC ∠∠、,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系;（2）如图2所示,BD 平分ABC ∠,CD 平分外角ACG ∠,BC DE //交AB 于点E ,交AC 于点F ,写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系,并说明理由;（3）如图3所示,BD 、CD 为外角BCN CBM ∠∠、的平分线,BC DE //交AB 的延长线于点E .交AC 的延长线于点N ,直接写出线段EF 与BE 、CF 的数量关系.图 1EFDBCAG图 2FEDBC AMN图 3F EDBCA（1）∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC EF // ∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF += ∴CF BE EF +=; （2）CF BE EF -=. 理由如下:∵BD 平分ABC ∠ ∴21∠=∠ ∵BC DE //∴31∠=∠ ∴32∠=∠ ∴EB ED = 同理可证:FC FD =; ∵DF DE EF -= ∴CF BE EF -=; （3）CF BE EF +=.例5. 如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,点E 在CD 上,且AE 平分BAD ∠,BE 平分ABC ∠.求证:BC AB AD -=.EB CAD证明:延长AE 交BC 的延长线于点F . ∵AE 平分BAD ∠ ∴21∠=∠ ∵BC AD // ∴F ∠=∠2 ∴F ∠=∠1 ∴BF BA =∵BF BA =,BE 平分ABC ∠ ∴FE AE =在△ADE 和△FCE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FEC AED FE AE F 2F∴△ADE ≌△FCE （ASA ） ∴FC AD = ∵BC BF FC -= ∴BC AB AD -=.点评 利用右图所示的辅助线也能证明问题.角平分线＋两垂线段模型资料编号:202112022157关键词 角平分线性质定理 等腰三角形 三角形全等 辅助线 垂线段 模型介绍 角平分线＋两垂线段模型如图1,点P 是AOB ∠的平分线上一点,过点P 作OB PE OA PD ⊥⊥,,由角平分线的性质定理则有PE PD =.这就是角平分线＋两垂线模型.这种模型蕴含了边相等、角相等和三角形全等,还可以构造出等腰三角形.在图1中,若连结DE ,则得到等腰三角形PDE 和等腰三角形DOE .图 1模型推论（1）PED PDE ∠=∠; （2）Rt △POD ≌Rt △POE ; （3）OE OD =.证明:（1）∵OP 平分AOB ∠,OB PE OA PD ⊥⊥, ∴PE PD = ∴PED PDE ∠=∠; （2）∵OB PE OA PD ⊥⊥, ∴△POD 和△POE 都是直角三角形 在Rt △POD 和Rt △POE 中∵⎩⎨⎧==PE PD OP OP∴Rt △POD ≌Rt △POE （HL ）;（3）由（2）可知: Rt △POD ≌Rt △POE ∴OE OD =.模型应用例1. 如图2所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 平分CAB ∠,若4,6==BD BC ,那么点D 到直线AB 的距离是__________.图 2图 3分析 本题条件中有角平分线,有角平分线上一点到一边的垂线段（距离）,唯独缺少该点到另一边的垂线段（距离）,若作出该垂线段,则可构造出角平分线＋两垂线段模型. 解:作AB DE ⊥,则线段DE 的长度即为点D 到直线AB 的距离. ∵AD 平分CAB ∠,AB DE AC DC ⊥⊥, ∴DC DE = ∵4,6==BD BC∴246=-=-=BD BC DC ∴2=DE∴点D 到直线AB 的距离是2.例2. 如图4所示,在△ABC 中,︒=∠︒=∠70,50C B ,AD 是△ABC 的角平分线,AB DE ⊥于点E .（1）求EDA ∠的度数;（2）若3,8,10===DE AC AB ,求ABC S ∆.图 4图 5分析 对于（1）,可根据直角三角形的两个锐角互余解决问题;对于（2）,可构造角平分线＋两垂线段模型求出AC 边上的高DF ,从而求出△ACD 的面积,继而求出△ABC 的面积. 解:（1）∵︒=∠︒=∠70,50C B∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠607050180180C B CAB ∵AD 平分CAB ∠ ∴︒=∠=∠30211CAB ∵AB DE ⊥ ∴︒=∠+∠901EDA∴︒=︒-︒=∠-︒=∠603090190EDA ; （2）作AC DF ⊥.∵AD 平分CAB ∠,AB DE ⊥,AC DF ⊥ ∴3==DF DE∴DF AC DE AB S S S ACD ABD ABC ⋅+⋅=+=∆∆∆2121 382131021⨯⨯+⨯⨯=27=.例3. 如图6所示,在△ABC 中,︒=∠90C ,AD 是BAC ∠的平分线,AB DE ⊥,DF BD =,求证: （1）EB CF =; （2）EB AF AB 2+=.图 6图 7分析 根据条件知图6中存在角平分线＋两垂线段模型,故有DE DC =,这就为Rt △DCF 和Rt △DEB 全等提供了条件.证明:（1）∵AD 平分BAC ∠,AB DE ⊥,AC DC ⊥（︒=∠90C ） ∴DE DC =在Rt △DCF 和Rt △DEB 中∵⎩⎨⎧==DE DC DB DF∴Rt △DCF ≌Rt △DEB （HL ） ∴EB CF =;（2）在Rt △ACD 和Rt △AED 中∵⎩⎨⎧==DE DC AD AD∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ） ∴AE AC = ∵EB AE AB +=∴EB AF EB EB AF EB CF AF EB AC AB 2+=++=++=+=.例4. 如图8所示,在四边形ABCD 中,BD DC AD AB BC ,,=>平分ABC ∠. 求证:︒=∠+∠180BCD BAD .图 8ABC D图 9E分析 本题难度较高,要证明︒=∠+∠180BCD BAD ,可证明BCD ∠等于BAD ∠的邻补角,而证明两个角相等,可通过证明两个角所在的三角形全等完成,必要时需要添加辅助线来构造全等三角形.题中已有角平分线的条件,过角平分线上的点向角的两边作垂线段,即作出角平分线＋两垂线段模型,即可构造出全等三角形. 证明:过点D 作BC DE ⊥,BA DF ⊥,交BA 的延长线于点F . ∵BD 平分ABC ∠,BC DE ⊥,BA DF ⊥ ∴DF DE =在Rt △DCE 和Rt △DAF 中∵⎩⎨⎧==DF DE DA DC∴Rt △DCE ≌Rt △DAF （HL ） ∴1∠=∠C ,即1∠=∠BCD ∵︒=∠+∠1801BAD ∴︒=∠+∠180BCD BAD .例5. 如图10所示,AD 平分BAC ∠,DE 所在直线是BC 的垂直平分线,E 为垂足,过点D 作AC DN AB DM ⊥⊥,.求证:（1）CN BM =; （2）()AC AB AM +=21. 图 10图 11分析 对于（1）,我们能想到的最直接的方法是全等法,那就是证明BM 和CN 所在的三角形全等即可,图中只需连结DB 、DC ,就可以构造出全等三角形;对于（2）,直接下手证明会比较困难,于是我们把等式转化为AM AC AB 2=+,证明这个等式成立即可,当然,第（1）问的结论会为我们提供重要的条件. 证明:（1）连结DB 、DC ,如图11所示. ∵DE 垂直平分BC ∴DC DB =∵AD 平分BAC ∠,AC DN AB DM ⊥⊥, ∴DN DM =在Rt △DBM 和Rt △DCN 中∵⎩⎨⎧==DNDM DC DB ∴Rt △DBM ≌Rt △DCN （HL ）∴CN BM =;（2）在Rt △ADM 和Rt △ADN 中∵⎩⎨⎧==DN DM AD AD∴Rt △ADM ≌Rt △AND （HL ） ∴AN AM =∵CN AN BM AM AC AB -++=+ ∴AM AN AM AC AB 2=+=+ ∴()AC AB AM +=21.等腰三角形的存在性问题资料编号:202111182021关键词 等腰三角形 分类讨论 尺规作图 垂直平分线在八年级数学中,学完了等腰三角形的性质和判定后,我们会遇到等腰三角形的存在性问题,这类问题往往需要学生根据情况分类讨论,确定等腰三角形的各种存在形态,然后根据每种形态解决相关问题.然而我看到的是,学生不能考虑到每一种可能的形态,从而造成漏解.究其原因,我想是学生分类讨论思想方法欠缺,不会借助于圆和线段垂直平分线的性质辅助解决问题造成的.下面,我将教会大家如何借助于圆的知识和线段垂直平分线的性质,将等腰三角形的各种存在性（形态）“一网打尽”.如图1所示,已知线段AB ,现确定一点C ,使△ABC 为等腰三角形.图 1AB由于没有指明线段AB 是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论:（1）当AB 为等腰三角形的腰长时:①以点A 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图2所示;图 2B图 3②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆,则圆上任一异于直线AB 与圆的交点的点都可以作为点C ,如图3所示;（2）当AB为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线l,垂足为点D,则垂直平分线l上任一异于点D的点都可以作为点C,如图4所示.B图 4使△ABC为等腰三角形.下面讨论已知线段AB和直线m,在直线m上确定一点C,B Array m图 5由于没有指明线段AB是腰长还是底边长,所以我们需要分为两种情况进行讨论: （1）当AB为等腰三角形的腰长时:①以点A为圆心,AB的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m的交点即为点C,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图6所示;m图 6②以点B 为圆心,AB 的长为半径画圆（或圆弧）,则圆（或圆弧）与直线m 的交点即为点C ,注意交点的个数可能不唯一,不要漏掉其中任何一个交点,造成漏解,如图7所示;m图 7（2）当AB 为等腰三角形的底边长时,根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,利用尺规作图作出线段AB 的垂直平分线l ,直线l 与直线m 的交点即为点C ,如图8所示.m图 8我们知道,角平分线和平行线组合在一起,即构成角平分线+平行线模型,这种模型中就存在等腰三角形,如图9所示.B图 9若要在OB边上确定一点D,使得△COD为等腰三角形,根据角平分线+平行线模型的特征,我们过点C作OA边的平行线,该平行线与OB边的交点,即为其中一个点D的位置,如图10所示,该点D也是线段OC的垂直平分线与OB边的交点,只不过作平行线更容易找出该点.B图 10其余各点D的确定如图（11）、（12）所示,你是否知道这些点是怎样确定出来的吗?B图 11图 12以上共有3个点D,使得△COD为等腰三角形.解决等腰三角形的存在性问题,一般分为三步:分类、画图、计算.当然,随着学习的深入,以后我们还会遇到因动点而产生的等腰三角形问题,让我们拭目以待.应用例1.如图所示,在正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两个格点,若点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则符合条件的点C有__________个.第 6 题图图 1图 2答案 8解析 本题考查等腰三角形的存在性问题.分别以点A 、B 为圆心,以AB 的长为半径作圆,如图1所示,则可以找到这样的点C 有4个.这两种情况下,△ABC 是以AB 为腰长的等腰三角形.若AB 为底边长,则作出AB 的垂直平分线,如图2所示,可以找到这样的点C 有4个.综上所述,符合条件的点C 有8个.例2. 如图所示,︒=∠60AOB ,OC 平分AOB ∠,如果射线OA 上的点E 满足△OCE是等腰三角形,那么OEC ∠的度数为__________.解:∵OC 平分AOB ∠,∴︒=∠=∠3021AOB AOC 分为三种情况:①当CE CO =时,如图1所示,∴︒=∠=∠30EOC OEC ;图 1图 2②当OE OC =时,如图2所示. ∵OE OC = ∴OCE OEC ∠=∠ ∴︒=︒-︒=∠75230180OEC ; ③当EC EO =时,如图3所示.图 3（说明:此时,点E 在线段OC 的垂直平分线上或OB CE //） ∵EC EO =∴︒=∠=∠30ECO EOC∴︒=︒-︒-︒=∠1203030180OEC .综上所述,OEC ∠的度数为︒30或︒120或︒75.点评 在讨论一个三角形为等腰三角形时,常常需要分为三种情况进行讨论.。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)
专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE .若连结BE ，则BDE CDA ；若连结EC ，则ABD ECD ；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC ，连结AF ，则BCE ACF ;若延长DC 至点G ，使得CG DC ，连结BG ，则ACD BCG .3、中点+平行线型：如图3,//AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF .例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若8AB ，5AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，180BCD，以C为顶点作，100，CB CDB D一个50 的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE ，连接CF ，证明ADE CFE ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF ，求证：AC BF ．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD ，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ，证明△ADE ≌△CFE ，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE ＝EF ，求证：AC ＝BF ．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD ＝FD ，连接MC ，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ．F 是线段BE 的中点，连接DF ，CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学几何模型汇总
中考数学压轴题常考的9种出题形式
1、线段、角的计算与证明问题
中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
2、图形位置关系
中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3、动态几何
从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，
一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平
移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4、一元二次方程与二次函数
在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几
何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合
5、多种函数交叉综合问题
初中数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
6、列方程(组)解应用题
在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。
方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。
实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。
7、动态几何与函数问题
整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。
而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。
但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。
其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。
做这类题时一定要有“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。
8、几何图形的归纳、猜想问题
中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。
对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。
9、阅读理解问题
如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。
阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。
对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的
话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。
所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。