热力学与统计物理课后习题答案

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.1 试根据式（）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

解: 式（）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

3d d d .x y z V

p p p h

（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为

2

3

4πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此

将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

()13

2232π()d 2d .V

D m h

εεεε= （3）

6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为

解: 根据式（），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为

在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为

2d .L

p h

（1） 将能量动量关系 代入，即得

()1

2

2d d .2L m D h εεεε⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的

能量范围内，量子态数为

解: 根据式（），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为

21

d d d d .x y x y p p h

（1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为

在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为

22

d d .L p p h θ

（2） 对d θ积分，从0积分到2π，有

可得在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为

2

2

2πd .L p p h （3） 将能量动量关系 代入，即有

()2

22πd d .L D m h

εεε= （4）

6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为

2

34d .V p p h

π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系

代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为

()()

23

4πd d .V

D ch εεεε=

（2）

6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和

其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.

解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

,

,

l

l l l l l

l

l

l

l

a

N a N a a E

εε''==''+=∑∑∑∑ （1）

才有可能实现.

在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}

l a '时各自的微观状态数为

!

,!!.!l l a l l

l l

a l l

l l

N Ωa N Ωa ωω'=

'''='∏∏∏∏ （2）

系统的微观状态数()0Ω为

()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得

为求使()0ln Ω为极大的分布，令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}

l a '必使 即

但这些δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件

用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得 即

.

l l l l l l a e a e

αβεαβεωω--'

'--=''= （4）

拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同，但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.

6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为

V 时，粒子的分布{}l a 和{}

l a '必须满足条件

l l

l

l

l

l

a a E εε''+=∑∑ （1）

才有可能实现.

玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}

l a '时，其微观状态数分别为

系统的微观状态数()0Ω为

()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）

平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得 令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权

()0

ln Ω为极大的分布{}l a 和{}

l a '必使

即

但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件 用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得 即

,

1

.

1

l l l

l l

l a e a e αβεαβεωω--''--=

-''=+ （4） 拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α和α'不同，但β相等.