热力学与统计物理课后习题答案
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。
问：（a ）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b ）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a ）根据1.2题式（2），有（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变，与的关系为（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得11,T T pακ==11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰00(,)T p ()0,T p ,T pV V000ln=ln ln ,V T pV T p -000p V pV C T T ==.pV CT =11,T T pακ==0Cnp 51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和10Cnp np .T dVdT dp Vακ=-dVdTdpdpdT.Tdp dT ακ=αTκ（1）（2）（3）根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有（4） （5）从这两个方程消去和，得（6）故（7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在2111ln ,V Q RT V =3224ln,V Q RT V =32121214lnln .V V W Q Q RT RT V V =-=-1223()(),F T V F T V =2411()(),F T V F T V =1()F T 2()F T 3214,V V V V =2121()ln,V W R T T V =-γ2111.T WQ T η==-p V-CAB故电阻器的熵变可参照§1.17例二的方法求出，为1.19 均匀杆的温度一端为，另一端为，试计算达到均匀温度后的熵增。
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。
解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。
解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
热力学与统计物理答案 第一章
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT =（1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2）11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3）2111.T T V nRT V p V p p κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T p V T p -即 00p V pV C T T ==（常量），或 .pV CT =（5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.4 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为(),.V V T p =根据习题1.2式（2），有.T dVdT dp Vακ=- （1） 将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在α和T κ可以看作常量的情形下，有()()000ln ,T VT T p p V ακ=--- （2）或 ()()()()0000,,.T T T p p V T p V T p eακ---= （3）考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开，准确到α和T κ的线性项，有()()()()0000,,1.ακ=+---⎡⎤⎣⎦T V T p V T p T T p p （4）如果取00p =，即有()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--⎡⎤⎣⎦（5）1.5 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力J ，物态方程是(),,0f J L T =实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
热力学和统计物理的答案解析第二章
第二章 均匀物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为(),p f V T = （1）式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =--得麦氏关系.T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将式（1）代入，有().T VS p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ∂⎛⎫>⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.3 求证： ()0;HS a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭ ()0.U S b V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭解：焓的全微分为.dH TdS Vdp =+ （1）令0dH =，得0.HS Vp T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为.dU TdS pdV =- （3）令0dU =，得0.U S p V T∂⎛⎫=> ⎪∂⎝⎭ （4）2.4 已知0T UV ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）求偏导数，有.T T TU U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数pS V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数(,)(,(,))S S p V S p T p V == （1）求偏导数，有.p p p p pC S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负取决于pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负. 式（2）也可以用雅可经行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)P S S p V V p S p T p T p V p ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂P PS T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有.T P p SPS V T p T T Sp C T ⎛⎫∂∂⎛⎫⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH =，故有.T PpH PH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2） 最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得0.pSH T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即(),().pV f T U U T ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：(),pV f T = （1）().U U T = （2）由式（2.2.7）和式（2），有0.T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 而由式（1）可得.Vp T df T T V dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4） 将式（4）代入式（3），有,dfTf dT= 或.df dT f T= （5） 积分得ln ln ln ,f T C =+或,pV CT = （6）式中C 是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量C 需要进一步的实验结果.2.8 证明2222,,p V T Vp TC C p V T T V T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭并由此导出0020222,.VV VV Vp p p p pp C C T dV T p C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.解：式（2.2.5）给出.V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （1） 以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有2222,V T VC S S S T T T V V T T VT ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即220.Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以 0.V TC V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VV VV Vp C C T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3） 式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.p pS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有2222.p p TC S S S T T T p p T T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在p 不变时V 是T 的线性函数，即220.pV T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以0.p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得0202.pp pp pV C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ 式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）22,V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 范氏方程（式（1.3.12））可以表为22.nRT n a p V nb V=-- （2） 由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）0202(,)(,),VV V V Vp C T V C T V T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）22,V T VC p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为,,00,002ln ln V m m V m m m m V m m m mC F C dT U T dT RT V TS TdTT C dT U TS RT V T=⎰+-⎰--=-⎰⎰+--解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量,T p 的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量,m T V 的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3）），摩尔自由能为,m m m F U TS =- （1）其中m U 和m S 是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为,0,m V m m U C dT U =+⎰ （2）,0ln ,V m m m m C S dT R V S T=++⎰（3）所以,,00ln .V m m V m m m m C F C dT T dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）利用分部积分公式 ,xdy xy ydx =-⎰⎰令,1,,V m x Ty C dT ==⎰可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为,002ln .m V mm m m dTF T C dT RT V U TS T=--+-⎰⎰ （5）2.11 求范氏气体的特性函数m F ，并导出其他的热力学函数. 解：考虑1mol 的范氏气体. 根据自由能全微分的表达式（2.1.3），摩尔自由能的全微分为,m m m dF S dT pdV =-- （1）故2,m m m m TF RT ap V V b V ⎛⎫∂=-=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 积分得()(),ln ().m m m maF T V RT V b f T V =---+ （3） 由于式（2）左方是偏导数，其积分可以含有温度的任意函数()f T . 我们利用V →∞时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数()f T . 根据习题2.11式（4），理想气体的摩尔自由能为,,00ln .V m m V m m m m C F C dT dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）将式（3）在m V →∞时的极限与式（4）加以比较，知,,00().V m V m m m C f T C dT T dT U TS T=-+-⎰⎰（5）所以范氏气体的摩尔自由能为 ()(),,00,ln .V m m m V m m m m mC aF T V C dT T dT RT V b U TS TV =----+-⎰⎰（6） 式（6）的(),m m F T V 是特性函数范氏气体的摩尔熵为(),0ln .V m mm m m C F S dT R V b S T T∂=-=+-+∂⎰ （7）摩尔内能为,0.m m m V m m maU F TS C dT U V =+=-+⎰ （8）2.12 一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长x 成正比，即X Ax =-，比例系数A 是温度的函数. 今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能F ，熵S 和内能U 的表达式分别为()()()()()()2221,,0,2,,0,21,,0.2F T x F T Ax x dAS T x S T dT dA U T x U T A T x dT =+=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 解：在准静态过程中，对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等，方向相反. 当弹簧的长度有dx 的改变时，外力所做的功为.dW Xdx =- （1）根据式（1.14.7），弹簧的热力学基本方程为.dU TdS Xdx =- （2）弹簧的自由能定义为,F U TS =-其全微分为.dF SdT Xdx =--将胡克定律X Ax =-代入，有,dF SdT Axdx =-+ （3）因此.TF Ax x ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 在固定温度下将上式积分，得()()0,,0xF T x F T Axdx =+⎰()21,0,2F T Ax =+（4） 其中(),0F T 是温度为T ，伸长为零时弹簧的自由能.弹簧的熵为()21,0.2F dAS S T x T dT∂=-=-∂ （5） 弹簧的内能为()21,0.2dA U F TS U T A T x dT ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭（6） 在力学中通常将弹簧的势能记为21,2U Ax =力学 没有考虑A 是温度的函数. 根据热力学，U 力学是在等温过程中外界所做的功，是自由能.2.13 X 射线衍射实验发现，橡皮带未被拉紧时具有无定形结构；当受张力而被拉伸时，具有晶形结构. 这一事实表明，橡皮带具有大的分子链.（a ）试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时，它的熵是增加还是减少；（b ）试证明它的膨胀系数1ST L L α∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭是负的.解：（a ）熵是系统无序程度的量度.橡皮带经等温拉伸过程后由无定形结构转变为晶形结构，说明过程后其无序度减少，即熵减少了，所以有0.TS L ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ （1） （b ）由橡皮带自由能的全微分dF SdT JdL =-+可得麦氏关系.T LS J L T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 综合式（1）和式（2），知0.LJ T ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （3）由橡皮带的物态方程(),,0F J L T =知偏导数间存在链式关系1,L J TJ T L T L J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即.J L TL J L T T J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4） 在温度不变时橡皮带随张力而伸长说明0.TL J ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （5） 综合式（3）-（5）知0,JL T ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ 所以橡皮带的膨胀系数是负的，即10.JL L T α∂⎛⎫=< ⎪∂⎝⎭ （6）2.14 假设太阳是黑体，根据下列数据求太阳表面的温度；单位时间内投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为3211.3510J m s --⨯⋅⋅（该值称为太阳常量），太阳的半径为86.95510m ⨯，太阳与地球的平均距离为111.49510m ⨯.解：以s R 表示太阳的半径. 顶点在球心的立体角d Ω在太阳表面所张的面积为2s R d Ω. 假设太阳是黑体，根据斯特藩-玻耳兹曼定律（式（2.6.8）），单位时间内在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为42.s T R d Ωσ （1）单位时间内，在以太阳为中心，太阳与地球的平均距离se R 为半径的球面上接受到的在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为321.3510.se R d Ω⨯令两式相等，即得132421.3510.ses R T R σ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）将,s R σ和se R 的数值代入，得5760.T K ≈2.15 计算热辐射在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量. 解：根据式（1.14.3），在可逆等温过程中系统吸收的热量为.Q T S =∆ （1）式（2.6.4）给出了热辐射的熵函数表达式34.3S aT V =（2） 所以热辐射在可逆等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量为()4214.3Q aT V V =- （3）2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为41,3p aT = （1） 因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系3().T V C =常量 （2）将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V 的关系43pV C '=（常量）. （3）下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V -图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.下图是相应的T S -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为()1121.Q T S S =- （4）在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放出的热量为()2221.Q T S S =- （5） 循环过程的效率为()()2212211211111.T S S Q TQ T S S T η-=-=-=-- （6）2.17 如图所示，电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关. 试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差.解：根据式（1.4.5），当介质的电位移有dD 的改变时，外界所做的功是đ,W VEdD = （1）式中E 是电场强度，V 是介质的体积. 本题不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换,p E V VD →-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于电介质.式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有,E D D EE D C C VT T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4） 式中E C 是电场强度不变时介质的热容量，D C 是电位移不变时介质的热容量. 电路为闭路时，电容器两极的电位差恒定，因而介质中的电场恒定，所以D C 也就是电路为闭路时介质的热容量. 充电后再令电路断开，电容器两极有恒定的电荷，因而介质中的电位移恒定，所以D C 也就是充电后再令电路断开时介质的热容量.电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关，所以 ,ED dE E T dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2,DE D d T dT εε∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （5） 代入式（4），有2E D D d d C C VT EdT dTεεε⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭223.D d VT dT εε⎛⎫= ⎪⎝⎭（6）2.18 试证明磁介质H C 与M C 之差等于20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：当磁介质的磁化强度有dM 的改变时，外界所做的功是0đ,W V HdM μ= （1）式中H 是电场强度，V 是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换0p H,V VM μ→-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有0H M M HH M C C T T T μ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4）式中H C 是磁场强度不变时介质的热容量，M C 是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到1H M TM T H T H M ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5） （5）式解出HM T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭,代入(4)式,得 20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：().CM H T=居里定律 若维物质的温度不变，使磁场由0增至H ，求磁化热.解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q 与其在过程中的熵增加值∆S 满足.Q T S =∆ （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））0.T HS m H T μ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 如果磁介质遵从居里定律(),CVm H C T=是常量 （3）易知2Hm CV H T T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭, （4） 所以0.TCV H S H T μ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭2（5） 在可逆等温过程中磁场由0增至H 时，磁介质的熵变为202.2HTCV H S S dH H T μ∂⎛⎫∆==- ⎪∂⎝⎭⎰（6） 吸收的热量为20.2CV H Q T S Tμ=∆=- （7）2.20 已知超导体的磁感强度0()0B H M μ=+=，求证： （a ）M C 与M 无关，只是T 的函数，其中M C 是磁化强度M 保持不变时的热容量.（b ）200.2M M U C dT U μ=-+⎰（c ）0.MC S dT S T=+⎰解：先对超导体的基本电磁学性质作一粗浅的介绍.1911年昂尼斯（Onnes ）发现水银的电阻在4.2K 左右突然降低为零，如图所示. 这种在低温下发生的零电阻现象称为超导电性. 具有超导电性质的材料称为超导体. 电阻突然消失的温度称为超导体的临界温度. 开始人们将超导体单纯地理解为具有无穷电导率的导体. 在导体中电流密度e J 与电场强度E 满足欧姆定律.e JE σ= （1）如果电导率σ→∞，导体内的电场强度将为零. 根据法拉第定律，有,BV E t∂⨯=-∂ （2） 因此对于具有无穷电导率的导体，恒有0.Bt∂=∂ （3） 下图（a ）显示具有无穷电导率的导体的特性，如果先将样品降温到临界温度以下，使之转变为具有无穷电导率的导体，然后加上磁场，根据式（3）样品内的B 不发生变化，即仍有0B =但如果先加上磁场，然后再降温到临界温度以下，根据式（3）样品内的B 也不应发生变化，即0.B ≠这样一来，样品的状态就与其经历的历史有关，不是热力学平衡状态了. 但是应用热力学理论对超导体进行分析，其结果与实验是符合的. 这种情况促使人们进行进一步的实验研究.1933年迈斯纳（Meissner ）将一圆柱形样品放置在垂置于其轴线的磁场中，降低到临界温度以下，使样品转变为超导体，发现磁通量完全被排斥于样品之外，即超导体中的B 恒为零：()00.B H M μ=+= （4）这一性质称为完全抗磁性. 上图（b ）画出了具有完全抗磁性的样品在先冷却后加上磁场和先加上磁场后冷却的状态变化，显示具有完全抗磁性的超导体，其状态与历史无关.1953年弗·伦敦（F.London ）和赫·伦敦（H.London ）兄弟二人提出了一个唯象理论，从统一的观点概括了零电阻和迈斯纳效应，相当成功地预言了超导体的一些电磁学性质.他们认为，与一般导体遵从欧姆定律不同，由于零电阻效应，超导体中电场对电荷的作用将使超导电子加速. 根据牛顿定律，有,m qE =v （5）式中m 和q 分别是超导电子的质量和电荷，v 是其加速度. 以s n 表示超导电子的密度，超导电流密度s J 为.=s s n q v J （6）综合式（5）和式（6），有1,s t Λ∂=∂J E （7） 其中2.s mΛn q=（8） 将式（7）代入法拉第定律（2），有,s Λt t ∂∂⎡⎤∇⨯=-⎢⎥∂∂⎣⎦B J或[]()0.s Λt∂∇⨯+=∂J B （9） 式（9）意味着()s Λ∇⨯+J B 不随时间变化，如果在某一时刻，有(),s Λ∇⨯=-J B （10）则在任何时刻式（10）都将成立. 伦敦假设超导体满足式（10）. 下面证明，在恒定电磁场的情形下，根据电磁学的基本规律和式（10）可以得到迈斯纳效应. 在恒定电磁场情形下，超导体内的电场强度显然等于零，否则s J 将无限增长，因此安培定律给出0.s μ∇⨯=B J （11）对上式取旋度，有0(),s Λμμ∇⨯∇⨯∇⨯=-B J B （12）其中最后一步用了式（10）. 由于2()().∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇B B B而0∇⋅=B ，因此式（12）给出20μΛ∇=B B （13） 式（13）要求超导体中B 从表面随浓度很快地减少. 为简单起见，我们讨论一维情形. 式（13）的一维解是e≈B （14）式（14）表明超导体中B 随深度x 按指数衰减.如果2310cm s n ≈，可以得到6210cm .-≈⨯这样伦敦理论不仅说明了迈斯纳效应，而且预言磁屏蔽需要一个有限的厚度，磁场的穿透浓度是-610cm 的量级. 实验证实了这一预言. 综上所述，伦敦理论用式（7）和式（10）s ,()s tΛΛ∂=∂∇⨯=-J B J B（15） 来概括零电阻和迈斯纳效应，以式（15）作为决定超导体电磁性质的基本方程. 迈斯纳效应的实质是，磁场中的超导体会在表面产生适当的超导电流分布，使超导体内部0.=B 由于零电阻，这超导电流是永久电流，不会衰减. 在外磁场改变时，表面超导电流才会相应地改变.伦敦理论是一个唯象理论. 1957年巴丁、库柏和徐瑞佛（Bardeen ，Cooper ，Schriffer ）发展了超导的微观理论，阐明了低温超导的微观机制，并对超导体的宏观特性给予统计的解释.下面回到本题的求解. 由式（3）知，在超导体内部恒有,M H =- （16）这是超导体独特的磁物态方程. 通常的磁物态方程(,,)0f H M T =对超导体约化为式（16）.根据式（16），有0,0.HMM T H T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （17）（a ） 考虑单位体积的超导体. 式（2.7.2）给出准静态过程中的微功为0đ.W HdM μ= （18） 与简单系统的微功đW pdV =-比较知在代换0,p H V M μ→→下，简单系统得到的热力学关系同样适用于超导体. 2.9题式（2）给出22.V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 超导体相应的热力学关系为2020.M T MC H T ΜT μ⎛⎫∂∂⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （19） 最后一步用了式（17）. 由式（19）可知，M C 与M 无关，只是T 的函数.（b ）相应于简单系统的（2.2.7）式,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 超导体有000,T MU ΗT H M ΜT μμμ∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （20） 其中第二步用了式（17）.以,T M 为自变量，内能的全微分为0.M T M U U dU dT dMT M C dT MdM μ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=- 积分得超导体内能的积分表达式为200.2M M U C dT U μ=-+⎰ （21）第一项是不存在磁场时超导体的内能，第二项代表外磁场使超导体表面感生超导电流的能量. 第二项是负的，这是式（16）的结果，因此处在外磁场中超导体的内能低于无磁场时的内能. （c ）相应于简单系统的（2.4.5）式0,V V C p S dT dV S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰超导体有00M MC ΗS dT dM S T T μ∂⎛⎫=-+ ⎪∂⎝⎭⎰0,MC dT S T=+⎰（22） 第二步用了式（17）. 这意味着，处在外磁场中超导体表面的感生超导电流对熵（无序度）没有贡献.补充题1 温度维持为25C ，压强在0至1000n p 之间，测得水的实验数据如下：()363114.510 1.410cm mol K .pV p T ----∂⎛⎫=⨯+⨯⋅⋅ ⎪∂⎝⎭ 若在25C 的恒温下将水从1n p 加压至1000n p ，求水的熵增加值和从外界吸收的热量.解：将题给的pV T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭记为.pV a bp T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+得麦氏关系.p TV S T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 因此水在过程中的熵增加值为()212121p P T p p pp p S S dpP V dp T a bp dp∂⎛⎫∆= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭=-+⎰⎰⎰()()222121.2b a p p p p ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（3）将11,1000n n n p p p p ==代入，得110.527J mol K .S --∆=-⋅⋅根据式（1.14.4），在等温过程中水从外界吸收的热量Q 为 ()112980.527J mol 157J mol .Q T S--=∆=⨯-⋅=-⋅补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为(),,23.21p m V m m m R C C a V b V RT-=--解：根据式（2.2.11），有,,.m m p m V m V pV p C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 由范氏方程2m mRT a p V b V =-- 易得,m V m p R T V b∂⎛⎫= ⎪∂-⎝⎭()232.m m Tm p RT aV V V b ⎛⎫∂=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 但1,m m V m Tp V p T T V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以m V m pm Tp T V T p V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎛⎫∂⎝⎭ ⎪∂⎝⎭()()323,2m m mm RV V b RTV a V b -=-- （3）代入式（1），得(),,23.21p m V m m mR C C a V b RTV -=--（4）补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量和内能的变化.解：式（2.4.4）给出，以,T V 为自变量的简单系统，熵的全微分为.V VC p dS dT dV T T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 对于本题的情形，作代换,,V L p →→-J （2）即有.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （3） 将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量Q 为002.L L LQ TdS T dL T ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰J （4） 由2020L L J bT L L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得220002200021,L L L dL J L L b bT T L L L L L dT⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5） 代入式（4）可得0002222200022002L L L L L L L L Q bT dL bT a dL L L L L ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 0051,2bTL a T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （6）其中0001.dL L dTα=过程中外界所做的功为002220020,L L L L L L W JdL bT dL bTL L L ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰（7） 故弹性体内能的改变为2005.2U W Q bT L α∆=+= （8）补充题4 承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.解：上题式（3）已给出.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （1）在可逆绝热过程中0dS =，故有.S L L T T J L C T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将习题2.15式（5）求得的LJ T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭代入，可得 2200022002.S L L L T bT L L T L C L L L L α⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）补充题5 实验测得顺磁介质的磁化率()T χ. 如果忽略其体积变化，试求特性函数(,)f M T ，并导出内能和熵.解：在磁介质的体积变化可以忽略时，单位体积磁介质的磁化功为（式（2.7.2））0đ.W HdM μ= （1） 其自由能的全微分为0.df SdT MdM μ=-+将()χ=T M H 代入，可将上式表为.Mdf SdT dM μχ=-+ （2）在固定温度下将上式对M 积分，得20(,)(,0).2()M f T M f T T μχ=+ （3）(,)f T M 是特性函数. 单位体积磁介质的熵为(),MS f T M T ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦221(,0).2d M S T dTμχχ=+ （4） 单位体积的内能为220002.22M d U f TS M T U dTμμχχχ=+=++ （5） 本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。
热力学统计物理第五版答案
热力学统计物理第五版答案【篇一：热力学与统计物理答案第四章】ass=txt>4.1 若将u看作独立变量t,v,n1,?,nk的函数，试证明：（a）u??nii?u?u?v; ?ni?v（b）ui??u?u?ui. ?ni?v解：（a）多元系的内能u?u?t,v,n1,?,nk?是变量v,n1,?,nk的一次齐函数. 根据欧勒定理（式（4.1.4）），有??u??uu??ni??v,（1） ??vi??ni?t,v,nj式中偏导数的下标ni指全部k个组元，nj指除i组元外的其他全部组元.（b）式（4.1.7）已给出v??nivi,i其中vi??u??niui,（2）i??v???u?偏摩尔体积和偏摩尔内能. 将式（2）,u????i??ni?t,p,nj??ni?t,p,nj代入式（1），有??u???u?（3） nu?nv?n????iiii?i????v?t,nii??ni?t,v,njii上式对ni的任意取值都成立，故有4.2 证明?i?t,p,n1,?,nk?是n1,?,nk的零次齐函数???i?ni???0. ??ni?i???u???u?ui?vi??.（4） ?????v?t,ni??ni?t,v,nj解：根据式（4.1.9），化学势?i是i组元的偏摩尔吉布斯函数 ?i????g?.（1） ???ni?t,p,njg是广延量，是n1,?,nk的一次齐函数，即g?t,p,?n1,?,?nk???g?t,p,n1,?,nk?.（2）将上式对?求导，有左方??g?t,p,?n1,?,?nk???????g?t,p,?n1,?,?nk???ni???i??ni??nii???nig?t,p,?n1,?,?nk???ni?i?t,p,?n1,?,?nk?,（3）i右边????g?t,p,n1,?,nk??? ????g?t,p,n1,?,nk???ni?i?t,p,n1,?,nk?.（4）i令式（3）与式（4）相等，比较可知?i?t,p,?n1,?,?nk???i?t,p,n1,?,nk?. （5）???i?n??0. （6） ?j?j??ni?上式说明?i是n1,?,nk的零次齐函数. 根据欧勒定理（式（4.1.4）），有4.3 二元理想溶液具有下列形式的化学势：?1?g1?t,p??rtlnx1,?2?g2?t,p??rtlnx2,xi是溶液中i组元的摩尔分数. 当物其中gi?t,p?为纯i组元的化学势，质的量分别为n1,n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后（a）吉布斯函数的变化为?g?rt?n1lnx1?n2lnx2?.（b）体积不变，即?v?0.（c）熵变?s??r?n1lnx1?n2lnx2?. （d）焓变?h?0, 因而没有混合热. （e）内能变化为多少？解：（a）吉布斯函数是广延量，具有相加性. 混合前两纯液体的吉布斯函数为g0?t,p??n1g1?t,p??n2g2?t,p?.（1）根据式（4.1.8），混合后理想溶液的吉布斯函数为g?t,p??n1?1?t,p??n2?2?t,p??n1g1?t,p??n1rtinx1?n2g2?t,p??n2rtinx2.（2）混合前后吉布斯函数的变化为?g?g?t,p??g0?t,p?其中x1??rt?n1lnx1?n2lnx2?, （3）n1n2,x2?分别是溶液中组元1，2的摩尔分数. n1?n2n1?n2（b）根据式（4.1.10），混合前后体积的变化为????v???g??0. （4）?p??t,n1,n2（c）根据式（4.1.10），混合前后熵的变化为????s????g???t?p,n1,n2??r?n1lnx1?n2lnx2?. （5）注意x1和x2都小于1，故?s?0, 混合后熵增加了.（d）根据焓的定义h?g?ts, 将式（3）和式（5）代入，知混合前后焓的变化为?h??g?t?s?0.（6）混合是在恒温恒压下进行的.在等压过程中系统吸收的热量等于焓的增加值，式（6）表明混合过程没有混合热.（e）内能u?h?pv. 将式（6）和式（4）代入，知混合前后内能的变化为?u??h?p?v?0.（7）4.4 理想溶液中各组元的化学势为?i?gi?t,p??rtlnxi.（a）假设溶质是非挥发性的. 试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时，相平衡条件为g1??g1?rtln?1?x?,其中g1?是蒸气的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数.（b）求证：在一定温度下，溶剂的饱和蒸气压随溶质浓度的变化率为p??p???. ??1?x??x?t（c）将上式积分，得px?p0?1?x?,其中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸气压. 上式表明，溶剂饱和蒸气压的降低与溶质的摩尔分数成正比. 该公式称为拉乌定律.解：（a）溶液只含一种溶质. 以x表示溶质在液相的摩尔分数，则溶剂在液相的摩尔分数为1?x. 根据式（4.6.17），溶剂在液相的化学势?1为?1?t,p,x??g1?t,p??rtln?1?x?.（1）??t,p?. （2） ?1??t,p??g1在溶质是非挥发性的情形下，气相只含溶剂的蒸气，其化学势为平衡时溶剂在气液两相的化学势应相等，即?1?t,p,x???1??t,p?.（3）??t,p?, （4） g1?t,p??rtln?1?x??g1将式（1）和式（2）代入，得式中已根据热学平衡和力学平衡条件令两相具有相同的温度t和压强p. 式（4）表明，在t,p,x三个变量中只有两个独立变量，这是符合吉布斯相律的.（b）令t保持不变，对式（4）求微分，得????g1???g1rtdp?dx?????dp. （5） 1?x??p?t??p?t??g???vm，所以式（5）可以表示为 ?p??t根据式（3.2.1），?rtdx, （6） 1?x?和vm分别是溶剂气相和液相的摩尔体积. 由于vm???vm，略去其中vm?vm??vm?dp??vm，并假设溶剂蒸气是理想气体，pvm??rt,可得rtp??p?????. （7） ????x?t?1?x?vm?1?x（c）将上式改写为dpdx??.（8） p1?x在固定温度下对上式积分，可得px?p0?1?x?, （9）式中p0是该温度下纯溶剂的饱和蒸气压，px是溶质浓度为x时溶剂的饱和蒸气压. 式（9）表明，溶剂饱和蒸气压的降低与溶质浓度成正比.4.5 承4.4题：（a）试证明，在一定压强下溶剂沸点随溶质浓度的变化率为rt??t??, ????x?pl1?x2其中l为纯溶剂的汽化热.（b）假设x??1. 试证明，溶液沸点升高与溶质在溶液中的浓度成正比，即rt2?t?x.l解：（a）习题4.4式（4）给出溶液与溶剂蒸气达到平衡的平衡【篇二：热力学统计物理_答案】程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：如果??,?t?1t1，试求物态方程。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= dp dT VdV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pT V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
热力学与统计物理课后答案.docx
《热力学与统计物理学》课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数压强系数卩和等温压缩系数為。
解：由理想气体的物态方程为PV = uRT 可得:1.2证明任何一种具有两个独立参量T,尸的物质，其物态方程可由实验测得的 体胀系数Q 及等温压缩系数紡，根据下述积分求得:\nV = \(adT-K T dP)以八尸为自变量，物质的物态方程为：V = V(T,P)如耘〒 专’试求物态方程。
解: 体胀系数: 其全微分为：dV dT + p ar dP dP = aVdT-VK T dP, y- = adT-K T dP体胀系数:压强系数：0 =等温压缩系数: 丄P等温压缩系数:这是以八P 为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得:}nV = j （adT-K T dP ） 根据题设,将6（=丄,K T =丄，代入：ln/=f 丄dT -丄dPT T P }{T P 丿得:lnr = ln- + C, PV = CT,其中常数c 由实验数据可确定。
P1.5描述金属丝的儿何参量是长度厶，力学参量是张力£,物态方程是 ./、（£, L, r ） = o,实验通常在1几下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：“丄（学］,等温杨氏模量定义为：Y = -（^},其中/是 L （打人 牡。
厶力金属丝的截面积。
一般来说，a 和Y 是厂的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如 果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由 7；降至3时，其张力的增加为：\^ = -YAa （T 2-T^ 解:由/（£,厶，T ）= 0,可得：£ = £（L, T ）微分为：〃£ = （等）血+ （善］刃\由题意可知：dL = O.即：d£ = -aAYdT,积分得：A£ = -aAY(T 2 ・TJ1. 7在25 °C 下，压强在0至1000 p n 之间,测得水的体积为：K = （18.066-0.715x 10~3P + 0.046x 1 O'6P 2\m\mor ［Q 如果保持温度不变，将 1 mol 的水从1几加压至1000 求外界所作的功。
热力学与统计物理答案 第一章
线不可能相交。
1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量
的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的
最低温度
为，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过
解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），
有
（1）
式中是热机从温度为的热源吸取的热量（吸热为正，放热为负）。 将
因此式（1）可表为
（2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
（3）
（4）
式中是系统所含物质的量。代入式（2）即有
（5）
活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看
作，其物态方程为
（6）
与式（3）比较，知
（7）
1.8 满足的过程称为多方过程，其中常数名为多方指数。试证明：
1.4 简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小，在一
定温度范围内可以把和看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可
近似为
解: 以为状态参量，物质的物态方程为
根据习题1.2式（2），有 （1）
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在和可以看作常量的情形
下，有 （2）或 （3）
考虑到和的数值很小，将指数函数展开，准确到和的线性项，有 （4）
样的等温线总是存在的），则在循环过程中，系统在等温过程中从外界
吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正
值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，
有
。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为
功了，
这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热
热力学与统计物理课后习题答案
T
S T
V
；即
T T 0 S V CV
于是： 0>
p 正p数
V T V S
于是：
< 0p
V S
CP
T
S T
P
T
S , T ,
p p
T
S, p S,V
S,V T , p
T
p V
S
S,V T , p
T p V S
S T
,V ,V
T ,V T , p
化简。
解：由式(3.2.7)得：U TS pV ；又由式(3.4.6)得：
dp L dT TV
；L TS
Pa
U L L p dT T dp
L1
p T
dT dp
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡
=0。
解： 由式(2.2.7)得：
(
U V
)T
p
=T
( T
)V
-p;
(
U V
)T
=0
;
p
T
( p T
)V
( U V
)T
=
(U ,T ) (V ,T )
(U ,T )
=
( p,T )
( p,T ) (V ,T )
U =0= ( p )T
(
p V
)T
∵
( p V
)T≠0
;
(
U p
)=T 0。
习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无
)U
>0
证: 由式(2.1.2)得： dH TdS VdP
等H过程: (TdS )H (VdP)H
热力学统计物理 课后习题 答案
第七章 玻耳兹曼统计7．1试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212zy x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P l ll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。
7．2根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于极端相对论粒子 ()212222z y x n n n Lc cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有VUP 31=上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()21222,,2z y x n n nn n n Lczy x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1）为书写简便，我们将上式简记为31-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()212222z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。
热力学与统计物理课后答案 汪志诚
147第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .S k Ω=解:对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!l ll l l Ωa a ωω=−∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()ln ln ln ln .l l l l l l l l lΩa a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN Uαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++()ln ,l l l k Ξa αβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()ln ln 1.l l lΞe αβεω−−=+∑（4）由费米分布e 1l ll a αβεω+=+易得1481e l l l la αβεωω−−+=−（5）和l n.l ll la a ωαβε−+=（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为ln ln.ll ll lΞa ωωω=−∑（7）将式（6）和式（7）代入式（3），有ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑()()ln ln ln .l l l l l l l l lk a a a a ωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）比较式（8）和式（2），知ln .S k Ω=（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,ln 1ln 1,s s s s ss s s s sS k f f f f S k f f f f =−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数.s∑表示对粒子的所有量子态求和.同时证明，当1s f <<时，有()B.E. F.D.M.B.ln .s s s sS S S k f f f ≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l ll l l l l l l ll S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑1491ln 1ln ,lll l l l l l l l a a a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑（1）式中l∑表示对粒子各能级求和.以ls la f ω=表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到~,l lsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =−+−−⎡⎤⎣⎦∑（2）由于1s f ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =−−++⎡⎤⎣⎦∑（3）对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1s f <<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln 11s s s s sf f f f f ±≈±≈−∓∓∓∓所以，在1s f <<的情形下，有()B.E. F.D.ln .s s s sS S k f f f ≈≈−−∑（4）注意到s sf N =∑，上式也可表示为B.E. F.D.ln .s s sS S k f f Nk ≈≈−+∑（5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2N h U NkT g V mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利150用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3Up V=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2h p nkT n g mkT ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（3）式中Nn V=是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为32272311,22π2V VU C T h Nk n mkT ∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦∓（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VC S dT S V T=+∫（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln .22π2hS Nk T Nk n S V g mkT ⎛⎞=±+⎜⎟⎝⎠（6）式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在322312πN hn V mkT λ⎛⎞=<<⎜⎟⎝⎠的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln .22π2mkT hS Nk ng h g mkT ⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱151简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0.在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度c T 由条件()0d e1ckT D nεεε+∞=−∫（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e1ckT L m n h εε+∞=−∫（2）二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定.令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=−∫（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x−−−−==+++−−⋯则d 111e 123xx +∞=+++−∫⋯11.n n∞==∑（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱152因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y z ωωω=++中运动.如果原子是玻色子，试证明：在c T T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y z εωωω=++ℏ的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠ℏ其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222x y z n n n x x y y z z n n n εωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ℏℏℏ,,0,1,2,x y z n n n =⋯（2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωµ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−ℏℏℏ（3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即153()0.2x y z µεωωω<≡++ℏ（4）化学势µ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεµ⎡⎤+++−⎣⎦=−∑ℏ（5）确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，µ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：()1,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=−∑ℏ（6）或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=−∑（7）其中(),,.ii i cn n i x y z kT ω==ℏ在1ickT ω<<ℏ的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎞=⎜⎟⎝⎠−∫ℏ（8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()11e 1e 1eee.x y z x y z x y z x y zx y zn n n n n n n n n n n n l n n n l ++−++++∞−++−++==⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦=∑积分等于154000030d d d e d e d e d e 111.202.y xz x y z x y z l n l n l n x y zn n n l l n n n n n n l ∞+∞+∞+∞−−−++=∞==−==∑∫∫∫∫∑所以式（8）给出13.1.202C N kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（9）式（9）意味着，在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.在c T T <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ上式可改写为31.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果,z x y ωωω>>，则在z kT ω<<ℏ的情形下，原子在z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明C T T <时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+ℏ的基态，在2,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：21.645,C kT N ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中()12.x y ωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为21.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠155解:在,z x y ωωω>>的情形下，原子z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在c T T <时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+ℏ的基态.临界温度c T 由下式确定：2d de 1x y x y C n n kT n n N ω+∞+⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫ℏ21.645,C kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（1）其中()12,x y ωωω=201d d 11.645.e 1x yx y n n l n n l∞+∞+===−∑∫（2）在,0N ω→∞→而N ω保持有限的热力学极限下c kT 为有限值，有12.1.645C N kT ω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（3）C T T ≤时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比由下式确定：20 1.645,kT N N ω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ或21.C N T N T ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovo et al及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirż̇et al.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K 的平衡辐射.（b）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为156()223d d .πV D c ωωωω=（1）温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=−ℏ（2）因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=−∫ℏ（3）引入变量x kTω=ℏ，上式可表示为()3223033233d πe 12.404.πx V kT x x N T c k VT c +∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠=∫ℏℏ或()332332.404.πk n T T c =ℏ（3）在1000K 下，有163210.n m −≈×在3K 下，有835.510.n m −≈×8.8试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e1hc kThc u T λλλλλ=−并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠5 5.x e x −+=这个方程的数值解为 4.9651.x =因此,4.9651m hcT kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.157解:式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kTu T c ωωωωω==−ℏℏ（1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有22πd d .c ωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e1hc kThc u T λλλλλ=−−（3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定：5d 0.d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）由式（4）易得55e .x x −−=（5）这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5x y x y −=−=如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.精确的数值解给出 4.9651.x =所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hc T kλ=15832.89810m K.−=×⋅（6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u T ω为极大的m ω并不相同.原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，(),u T ω是单位频率间隔的内能密度.m λ与m ω分别由5d 0d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）和3d 0d e 1x x x ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（7）确定，其中.hcx kT kTωλ==ℏ由这两个方程解得m x 显然不同.8.9按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度.解:由上题式（6）知32.89810m K.m T λ−=×⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T −−×==×8.10试根据热力学公式d VC S T T=∫及光子气体的热容量求光子气体的熵.解:式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15k U VT c =ℏ（1）由此易得其定容热容量为159243334π15V V U k C VT T c ∂⎛⎞==⎜⎟∂⎝⎠ℏ（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d ,V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（3）积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V ）到（T ，V ）的直线，即有24242333334π4πd ,1545Tk k V S T T T c c ==∫ℏℏ（4）其中已取积分常量0S 为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T ，V ）的直线，结果如何？8.11试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值.解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cp p p h βθθϕ−（1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元.以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数.它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数.因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cpp p c cp h βθθϕθ⋅⋅−（2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为160π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p pJ h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅−=−∫∫∫∫令x cp β=，上式可表示为4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x xJ h c c kT h c β+∞⎛⎞=⋅⎜⎟−⎝⎠⎛⎞=⋅⋅⎜⎟⎝⎠∫或24423π.60u k J T c =ℏ（3）在6000K ，有727.1410J m ;u J −=×⋅在1000K ，有520.5510J m .u J −=×⋅8.12室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m ,n −=×某半导体中导电电子的数密度为28310m n −=，试验证这两种电子气体是否为简并气体.解:根据§8.5，在e 1α>>，即31n λ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e 1α<<，即31n λ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πh n n mkT λ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（1）将283300,610m T K n −==×代入，得33101,n λ≈>>（2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体.将203300K,10m T n −==代入，得35101,n λ−≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.161金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13银的导电电子数密度为28 3.5.910m −×试求0K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.解:根据式（8.5.6）和（8.5.8），0K 下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n .式（8.5.6）给出()()222303π.2n mµ=ℏ（1）将31342839.110kg, 1.0510J s, 5.910m m n −−−=×=×⋅=×ℏ代入，即得()1800.87610J 5.6eV.µ−=×=（2）费米速率F υ等于61F 1.410m s .υ−==×⋅（3）式（8.5.8）给出0K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa.5p n µ=≈×（4）8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p =>（1）其中F p 是费米动量，即0K 时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为FF34F 30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp h p p V p p p h ===∫∫（2）因此电子的平均速率为162F F 33.44p p υυm m ===（3）8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4nυΓ=其中Nn V=是电子的数密度，υ是平均速率.解:绝对零度下电子速率分布为F F 1,,0,,f υυf υυ=≤=>（1）式中F υ是0K 时电子的最大速率，即费米速率.单位体积中速率在dυd d θϕ间隔的电子数为()32F 32sin d d d .m υυυυhθθϕ≤（2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z 轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cos sin d d d .m d υυυhΓθθθϕ=⋅（3）将上式积分，υ从0到F ,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0K 时电子气体的碰壁数为F π32π32300034F 32d sin cos d d 211242υm υυh m υh Γθθθϕπ==⋅⋅⋅∫∫∫34F3π.2m υh=（4）但由式（2）知单位体积内的电子数n 为163F 3π2π2300033F 32d sin d d 2122π3υm υυh m υh Γθθϕ==⋅⋅⋅∫∫∫33F 38.3m υh π=（5）所以F 31.444n υnυΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速a = 1.8.8）），试证明在0K理想费米气体中a =解:式（1.8.8）已给出声速a为a =，（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数.根据能氏定理，0K 下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0K 下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0K 下理想费米气体的压强为()()()22523220523π52p n n mµ==ℏ()()22523353213π.52m mρ=ℏ（2）故()2222F32213π,323Sp p n m m m ρ⎛⎞∂==⎜⎟∂⎝⎠ℏ即164a ==（3）8.17等温压缩系数T κ和绝热压缩系数S κ的定义分别为1T Tp V κρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠和1.S Sp V κρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠试证明，对于0K 的理想费米气体，有()()()3100.20T S n κκµ==解:根据式（8.5.6）和（8.5.4），0K 下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552N p n mV µ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠ℏ（1）在温度保持为0K 的条件下，p 对V 的偏导数等于()2223223π.32T p N V m V ∂⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠ℏ由式（A.5）知()()222232313.23π2T TV V p p N N V m V −⎛⎞∂==⎜⎟∂∂⎛⎞⎝⎠⎛⎞⎜⎟∂⎜⎟⎝⎠⎝⎠ℏ（2）所以0K 下()()5223231331.2203π2T T V V V p n N m V κµ⎛⎞∂=−==⎜⎟∂⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ（3）根据能氏定理，T =0的等温线与S =0的等熵线是重合的，因此0K 下.T SV V p p ⎛⎞⎛⎞∂∂=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠由此可知165()131.20S S V V p n κµ⎛⎞∂=−=⎜⎟∂⎝⎠（4）式（4）也可以从另一角度理解.式（2.2.14）和（2.2.12）给出s VT pC C κκ=（5）和2.p V TVT C C ακ−=（6）由式（6）知，0K 下,p V C C =所以式（5）给出0K 下.S T κκ8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f µµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch µεεµ==⋅∫故166()1330.8n ch µπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（3）0K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch µµεεεεεµ===⋅∫∫()30.4N µ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34U p n V µ==（5）8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解:根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m h πεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f µµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()02204π4πd 0,A A N m m h hµεµ==∫即()220.4π4πh N h m A mµ==（3）0K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m NU m h h µεεµµ===∫（4）167仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5）因此0K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n µ=（6）8.20已知0K 时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV,µ=试求300K 时的一级修正值.解:根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kT T µµµ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦300K 下化学势()T µ对()0µ的一级修正为()()()22350 1.121001207.8810eV.kT πµµµ−⎡⎤−=−×⎢⎥⎣⎦=−×这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小.这一点可以从下图直接看出.图中画出了在不同温度下电子分布函数()f ε随ε的变化.0K 时电子占据了能量ε从零到()0µ的每一个量子态，而()0εµ>的状态则全部未被占据，如图中的0T 线所示.温度升高时热激发使一些电子从能量低于µ的状态跃迁到能量高于µ的状态.温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T 线和2T 线所示()12.T T <费米分布1e 1hTf εµ−=+168要求在任何温度下εµ=的状态12f =，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势µ必然随温度升高而减少，即()210.µµµ<<8.21试根据热力学公式VC S dT T=∫，求低温下金属中自由电子气体的熵.解:式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20V kTC Nk µ=（1）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d .V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（2）取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有()()2220ππd ,2020T Nk kTS T Nk µµ==∫（3）其中已取积分常量0S 为零.8.22由N 个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为r ω，轴向频率为r λω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22x y z r m p p p x y z m εωλ=+++++试求0K 时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量.假设5-1210,3800s ,8r N ωλ===，求出数值结果.解:由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,x y z n n n r x y z n n n εωλ=++ℏ,,0,1,2,x y z n n n =⋯（1）式中已将能量零点取为1.2r λω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ℏ理想费米气体的化学势(),T N µ由下式确定：169(),,1.e1r x y z x y zn n n n n n N βωλµ⎡⎤++−⎣⎦=+∑ℏ（2）如果N 足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于r ωℏ，或者温度足够高使r kT ω>>ℏ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分.令,,,d ,d ,d ,x x r y y r z z r x r y r z r n n n εωεωελωεωεωελω======ℏℏℏℏℏℏ式（2）可表达为()()3d d d 1.e 1x y z x y zrN βεεεµεεελω+++=+∫ℏ（3）引入新的积分变量x y z εεεε=++，可进一步将式（2）改写为()()31d d d ,e 1xyrN βεµεεελω−=+∫∫∫ℏ（4）式中被积函数只是变量ε的函数，与x ε和y ε无关.对一定的ε，d x ε和d y ε的积分等于以x ε轴、y ε轴和x y εεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε所以式（4）可表达为()()d ,1D N eβεµεε−=+∫（5）其中()()231d d .2r D εεεελω=ℏ（6）它是能量在ε到d εε+范围内粒子的状态数.0K 时系统尽可能处在能量最低的状态.由于泡利原理的限制，粒子将从170能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0µ的状态止.()0µ由下式确定：()()()()30233011d .322rr N µµεελωλω==∫ℏℏ由此可得()()1306.r N µωλ=ℏ（7）0K 时费米气体的能量为()()()()()()0003343d 1d 20142rr E D µµεεεεελωµλω===∫∫ℏℏ()30.4N µ=（8）粒子的平均能量为()30.4εµ=（9）对于题给的数据，可得30nK,r ω=ℏ()0 3.5μK,F T k µ==2.7μK.Ek=8.23承上题，试求低温极限F T T <<和高温极限F T T >>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解:首先讨论低温极限F T T <<的情形.根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()0d ,e1kTI εµηεε+∞−=+∫（1）在低温极限下可展开为171()()()220πd 6I kT µηεεηµ′=++∫⋯（2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有20d ,e1kTc N εµεε+∞−=+∫（3）其中()31.2r c λω=ℏ上式确定费米气体的化学势.利用式（1），（2）可得2321π,3c kT N µµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦因此11233231πN kT c µµ−⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kT µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4）气体的内能为30d ,1kTc U eεµεε+∞−=+∫利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300C kT U C kT kT kT kT N µµµµµµµµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kT N µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5）热容量为()2d π.d 0U kTC Nk T µ==（6）172在高温极限F T T >>的情形下，有F e ee1.T kTTµα−−=≈≈（7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布.按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数()()1023e d 1e d 2rZ D βεβεεεεελω+∞−+∞−==∫∫ℏ()3312.2r βλω=ℏ（8）内能为1ln 3.U NZ NkT β∂=−=∂（9）上式与能量均分定理的结果相符.根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Z ln ln 6.0kT kT kT N µµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=−=−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强.见B.DeMarco,D.S.Jin.Science.1999,285(1703).A.G.Truscott et al.Science.2001,191(2570).8.24关于原子核半径R 的经验公式给出()151/31.310m ,R A −=×⋅式中A 是原子核所含核子数.假设质子数和中子数相等，均为A /2，试计算二者在核内的密度.n 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0µ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.n m −=×解:根据核半径的经验公式()11531.310m ,R A −=×⋅173假设核内质子数和中子数相等，均为2A ，则二者的密度均为()45-31520.0510m .4π1.310m 3A n A −=≈××⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0µ为()()22231103π20.4310J 27MeV.n mµ−==×≈ℏ由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J 16MeV.εµ−==×≈核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型.它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功.核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子.从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心.将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m −×，核内核子之间的平均距离约为152.410m −×，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎞≈⎜⎟⎝⎠，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分.其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态.作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.253He 是费米子，其自旋为1/2在液3He 中原子有很强的相互作用.根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He 看作是由与原子数目相同的3He 准粒子构成的费米液体.已知液3He 的密度为-381kg m ⋅，在0.1K 以下的定容热容量为 2.89.V C NkT =试估算3He 准粒子的有效质量*.m174解:我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0K 理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量F p 的费米球：()123F 3π,p n =ℏ（1）F p p >的状态则完全未被占据.气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.F p 的大小取决于气体的数密度.n 朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子.液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同.对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量p 和自旋S 描述.在0K 费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为F p 的费米球，F p 仍由式（1）确定，但n 是液体的粒子数密度.费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.以()d f p ω表示单位体积中动量在p 到d p p +的准粒子数.在自旋量子数为1/2的情形下，有32d d .phω=()f p 满足归一化条件()d .f p n ω=∫（2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量()p ε与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关.因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即()()d ,Ep f p V εω≠∫（3）而是分布函数()f p 的泛函.准粒子能量()p ε由下式定义：()()δδd ,Ep f p V εω=∫（4）或()()δ.δE V p f p ε⎛⎞∂⎜⎟⎝⎠=∂⎡⎤⎣⎦（5）上式的意义是，准粒子能量()p ε等于增加一个动量为p 的粒子所引起的系统能175量的增加.()p ε既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数()f p 的泛函.习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式()()()(){}ln 1ln 1d ,S kV f p f p f p f p ω=−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫（6）式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布()f p 和空穴具有分布()1f p −所导致的熵.式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态.如果()f p 是某非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值.根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系.将式（6）中的()f p 理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达.在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值.可以证明，平衡态的分布具有下述形式：()()1.e1p kTf p εµ−=+（7）这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，1kT 和kTµ是拉氏乘子.显然，T 和µ分别是费米液体的温度和化学势.需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于()p ε是分布函数()f p 的泛函，式（7）实际上是分布函数()f p 的一个复杂的隐函数表达式.以()()()()00,f p p ε和()0µ分别表示0K 时的分布函数、准粒子能量和化学势.由式（7）可知，()()0f p 是一个阶跃函数：()()()()()()()()0001,0;0,0.p fp p εµεµ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩（8）上式给出0K 时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0K 的低温下，分布函数应与阶跃分布()()0f p 接近.作为一级近似，可以用()()0f p 近似地确定准粒子的能量().p ε这意味着()p ε简单地成为p 的确定的函数()()0.p ε对于F p p ≈的动量值，可以将函数()()0p ε按F p p −作泰勒展开，即()()()()0F F 0,p υp p εµ−=−（9）其中()()F 0F p p υp ε⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦（10）176是准粒子在费米面的速度.对于理想费米气体，有()2F F ,.2pp p υm mε==可以类似地引入准粒子有效质量*m 的概念，定义*FF,p m υ=（11）并将()0µ和F ~p p 处的()()0p ε简单地记为()2F*0,2p mµ=（12）()()()20F *.2p p p p mε=≈（13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））()()222223ππ.203πV C kT mkTNk n µ==ℏ（14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为()()22*2223ππ,203πV C kT m kT Nk n µ==ℏ（15）其中*m 是费米液体准粒子的有效质量.将题中所给液3He 的实测数据代入，注意3He 的质量密度nm ρ=（m 是3He 原子的质量），可得3He 准粒子的有效质量约为*3.m m ≈（16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编写组）§5.5和Lifshitz,Pitaevskii.Statistical Physics Ⅱ.§1,§2.177补充题1写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.解:根据（6.2.14），二维空间中在面积A 内，在x p 到d ,x x y p p p +到d y yp p +的动量范围内，光子可能的量子态数为22d d .x yA p p h（1）换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A 内，动量大小在p 到d p p +范围内，光子的量子态数为24πd .Ap p h（2）再利用光子的能量动量关系cp ε=和能量频率关系εω=ℏ，可得二维空间中在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子的量子态数为()2d d .AD cωωωωπ=（3）根据玻色分布和式（3），可得温度为T 时二维平衡辐射在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子数为()2,d d .πe 1A N T c βωωωωω=−ℏ（4）对频率积分，得温度为T 时二维平衡辐射击的总光子数为()()02220,d d πe 11d πe 1x N T N T A cA x x c βωωωωωβ+∞+∞+∞==−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫∫∫ℏℏ2222π.6A k T c =ℏ（5）温度为T 时在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内，二维平衡辐射的能量为()22,d d .πe 1A u T c βωωωωω=−ℏℏ（6）这是二维平衡辐射的普朗克公式.对频率积分，得温度为T 时二维辐射场的内能为178()223220d πe 11d πe 1x Au T cA x x c βωωωβ+∞+∞=−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫∫ℏℏℏℏ33222.404.πA k T c =ℏ（7）参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度u J 与内能密度的关系为33221.202.2πu c J u k T c π==ℏ（8）应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔.（参阅E.Yablonovitch.Jour.Mod·Opt.1994,41（173）.章蓓.光学微腔.见：介观物理.北京：北京大学出版社，1995.276）.不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.补充题2金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性.这是泡利（Pauli ）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性.试根据费米分布导出0K 金属中自由电子的磁化率.解:§7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向.离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。
热力学与统计物理课后习题答案
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式（）证明：在体积V内，在到E+d£的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为解：式（）给出，在体积V L3内，在P x到P x dP x, P y到P y dP y,P x 到P xdP x的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为V /八3 dP x dP y dP z. （h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在P到P dP范围内三维自由粒子可能的量子态数为4 n 2^ -P dp. h(2)上式可以理解为将空间体积元4 Vp2dp （体积V,动量球壳4nP2dp ）除以相格大小h3而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为因此将上式代入式（2）,即得在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为D（）d - 2m 2 'd . （3）h6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为解：根据式（），一维自由粒子在空间体积元dxdp x内可能的量子态数为在长度L内，动量大小在P到P dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2Ldp.（1）h将能量动量关系代入，即得1D d 21卫為.（2）h 26.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在到d的D d 年 ch2d . (2)能量范围内，量子态数为解：根据式（），二维自由粒子在 空间体积元dxdydp x dp y 内的量 子态数为对d 积分，从0积分到2 n ，有可得在面积L 2内，动量大小在p 到p dp 范围内（动量方向任意） 维自由粒子可能的状态数为誓 pdp.h将能量动量关系 代入，即有D d M^md .h 26.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为试求在体积V 内，在 到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式（）已给出在体积V 内，动量大小在p 到P dp 范围内三维 自由粒子可能的状态数为4 V 2^ 有 pdp.将极端相对论粒子的能量动量关系 代入，可得在体积V 内，在到d 的量子态数为12 dxdydp x dp y . h用二维动量空间的极坐标 p,描述粒子的动量，为用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为在面积L 2内，动量大小在p 到p dp 范围内，动量方向在 到 d 范 围内，二维自由粒子可能的状态数为L 2pdpd(1)P ，P ， 与P x ,P y 的关系(2)(3)(4)(1)的能量范围内，极端相对论粒子a i i ei(4)a ii ei6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和N .粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个 个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最 概然分布分别为 和其中i 和i 是两种粒子的能级，i 和i 是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和N ，总能量为 和a 必须满足条件 N ,(1)i a i系统的微观状态数Q 0为Q.（ 3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Q 0或In Q 0为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得 为求使in Q 0为极大的分布，令a i 和a 各有a i 和a i 的变化，I n Q 0将 因而有亦Q 0的变化.使i n Q为极大的分布a i 和 即 但这些色和迥不完全是独立的，它们必须满足条件 用拉氏乘子，和 分别乘这三个式子并从 餉Q 0中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个 即拉氏乘子，和 由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵 从玻耳兹曼分布.两个分布的 和 可E ,体积为V 时，两种粒子的分布 a N ,a ii a i才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情 形下，两种粒子分别处在分布 aN! a! i IN ! a !和a 时各自的微观状态数为aii ,aii(2)a 和a i 必使 E 和迥的系数都等于零，所以得以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数N,N 和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的.6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解：当系统含有N个玻色子，N个费米子，总能量为E,体积为V时，粒子的分布a i和a i必须满足条件Qi | Q E（1）l l才有可能实现.玻色子处在分布a i，费米子处在分布a i时，其微观状态数分别为系统的微观状态数Q 0为Q0Q Q.（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使Q 0或in Q0为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得令各a i和a i有词和込的变化，in Q 0将因而有3ln Q 0的变化，使用权in Q 0为极大的分布a i和Q必使即但这此致色和阳不完全是独立的，它们必须满足条件用拉氏乘子，和分别乘这三个式子并从餉Q 0中减去，得根据拉氏乘子法原理，每个色和迥的系数都等于零，所以得即iai ---- ,i e i1(4)ia i --------e i1拉氏乘子，和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中和不同，但相等.。
热力学统计物理课后习题答案
第七章玻耳兹曼统计222 Un y n z ，( n x ,n y ,n z 0, 1, 2,)有 P3 V上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为个量子数。
7. 2根据公式Pa iiL证明，对于极端相对论粒子V2 2 22 12n z ,n x ,n y ,n z0, 1, 2,有 P1 Ucp cn x n y3VL上述结论对于玻尔兹曼分布， 玻色分布和费米分布都成立。
证明：处在边长为 L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为2 2 2 2 12n x ,n y ,n zCL "x山n x ,n y ,n z 0, 1, 2, -------(1)为书写简便，我们将上式简记为aV ----------------- -——(2)其中V=L 3是系统的体积，常量 a2 2 22 c n xn yn z‘2 ,并以单一指标 i 代表 n x ,n y ,n z个量子数。
7. 1试根据公式a i—证明，对于非相对论粒子VP 2 1 2m 2m2 nx2 2P 21 2n x ，n y ,n z2m 2m L2 nx2 2n y n z ( n x ,n y ,n z 0, 1, 2,) (1)为书写简便，我们将上式简记为aV(2)其中V=L 3是系统的体积，常量(2 )2 2n x 2m2 nyn ；，并以单一指标I 代表 n x ,n y ,n z由（2）式可得」-aV 353(3)代入压强公式,a i2 3Va i2U 3 V(4)式中Ui上述证明未涉及分布的具体表达式， 都成立。
注：（4 ）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。
如果粒子还有其他的自由度，式（ U 仅指平动内能。
a i i是系统的内能。
因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布4）中的由（2）式可得L1aV 43 V31 I 3 V -------- (3)代入压强公式，有Pa I -IV1 a I I3V I1 U (4 )3V- (4丿式中Ua , II 是系统的内能。
热力学与统计物理课后习题答案第一章复习课程
热力学与统计物理课后习题答案第一章1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数Tκ的定义，可将上式改写为.TdVdT dpVακ=-（2）上式是以,T p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln.TV dT dpακ=-⎰（3）若11,TT pακ==，式（3）可表为11ln.V dT dpT p⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰（4）选择图示的积分路线，从00(,)T p积分到()0,T p，再积分到（,T p），相应地体积由V最终变到V，有000ln=ln ln,V T pV T p-即00p VpVCT T==（常量），或.pV CT=（5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学统计物理 课后习题 答案
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡4.1 证明：若将U 看作独立变量T,V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的函数，试证明 (1) VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑ (2) VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=解：（1）多元系的内能()k n n V T U U 1,,=是变量V ,n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数。
根据εular 定理，()k n n V T U U λλλλ 1,,'=⋅，mf x fx iii=∂∂∑ 有U V U V n U n x f x j jn V T n V T i i ii i=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑,,,, ------------------（1） 式子中偏导数的下标n i 指全部K 个组元，n j 指除i 组元外的其他全部组元。
（2）根据体积和内能为广延量，有iii v n V ∑=，iii u n U ∑= --------------------（2）根据（1）结论 VUVn U n U i ii∂∂+∂∂=∑------------------（1） 将（2）式代入（1）式，有i ii u n U ∑=V UV n U n i ii∂∂+∂∂=∑V U v n n U n ii i ii i ∂∂+∂∂=∑∑------------------（3） 上式对n i 的任意取值都成立，故有VUv n U u ii i ∂∂+∂∂=4.2证明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数,0)(=∂∂∑jiii n n μ。
证明：根据式jnP T i i n G ,,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ------------------（1） μi 是第i 个组元的化学势。
G 是广延量，是n 1,⋅⋅⋅,n k 的一次齐函数，即()()k k n n p T G n n p T G 11,,,,λλλ=------------------（2）将上式对λ求导，有 左式=()()λλλλλλλλ∂∂∂∂=∂∂∑)(,,)(,,11i k i k n n n p T n G n n p T G()k i in n p T n Gn λλλ 1,,)(∂∂=∑()k i i n n p T n λλμ 1,,∑=---------------（3）右式=()()k k n n p T G n n p T G 11,,],,[=∂∂λλ()k i i n n p T n 1,,μ∑=------（4） 令式（3）与式（4）相等，比较后可以知道()()k i k i n n p T n n p T 11,,,,μλλμ= --------------（5）上式说明μi (T,P,n 1,⋅⋅⋅,n k )是n 1,⋅⋅⋅,n k 的零次齐函数，根据欧勒定理有0)(=∂∂∑jiii n n μ 4.4理想溶液中各组元的化学势为i i x RT P T ln ),(g i +=μ(1)假设溶质是非挥发性的。
热力学与统计物理答案汪志诚
热力学与统计物理答案(汪志诚) 第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡态及其描述1.什么是热力学系统？热力学系统有哪些分类？答：热力学系统是指由大量相互作用的粒子组成的集合体，可以用一些宏观物理量来描述其状态。
热力学系统可以分为孤立系统、封闭系统和开放系统。
2.什么是热力学平衡态？热力学平衡态有哪些性质？答：热力学平衡态是指在没有外界影响的情况下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。
热力学平衡态具有均匀性、各向同性和稳定性等性质。
3.如何描述热力学系统的状态？常用的状态参量有哪些？答：热力学系统的状态可以用一组状态参量来描述，常用的状态参量有体积、温度、压力和熵等。
1.2 热力学第零定律温度1.热力学第零定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第零定律的内容是：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
这个定律说明了温度是描述热力学系统状态的一个重要参量，也是进行热交换的驱动力。
2.什么是温度？温度有哪些性质？答：温度是描述热力学系统状态的一个宏观参量，表示系统的冷热程度。
温度具有可加性和可比较性等性质，可以用温度计来测量。
3.温度与微观粒子运动的关系是什么？答：温度与微观粒子运动的关系可以通过麦克斯韦-玻尔兹曼分布来描述。
在一定温度下，系统中微观粒子的速度分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，粒子的平均动能与温度成正比。
1.3 热力学第一定律能量守恒定律1.热力学第一定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第一定律的内容是：物体内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所作的功的总和。
这个定律说明了能量守恒和转换的规律，即能量既不会凭空产生也不会凭空消失，只会从一种形式转换成另一种形式。
2.什么是内能？内能有哪些性质？答：内能是指热力学系统中所有微观粒子的动能和势能之和。
内能是一个状态函数，具有可加性和单调性等性质。
热力学·统计物理第五版答案
热力学·统计物理第五版答案【篇一：热力学与统计物理答案第二章】=txt>2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为p?f?v?t,（1）式中f(v)是体积v的函数. 由自由能的全微分df??sdt?pdv得麦氏关系将式（1）代入，有p??sp?f(v)?.（3）t??v?t??t?vs0. 这意味着，在温度保持不变时，该?v??t??sp. （2） ??v?t??t?v由于p?0,t?0，故有??气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：p?f(v)t,试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：故有p?f(v). （2） ?t??v但根据式（2.2.7），有u?p?tp, （3） ?v?t??t??v所以utf(v)?p?0. （4） ??v?t这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.2.3 求证： (a)s?)p0; (bs?h??v 0.u解：焓的全微分为dh?tds?vdp. 令dh?0，得sp?v0. ht内能的全微分为du?tds?pdv. 令du?0，得s?v?p?0. ut2.4 已知u0，求证?u?v?tp?0. t解：对复合函数u(t,p)?u(t,v(t,p))求偏导数，有uuv?p?v?.ttpt如果??uv?0，即有 tu?p?0. t式（2）也可以用雅可比行列式证明：（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）u(u,p?t?(p,(u,(v,t)t)t)?(v,t)t)?(p,t)u?v. （2） ??v?tp?t2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数??用??s描述等压过程中的熵随体积的变化率，?v??pt描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关??v?p 系，对复合函数求偏导数，有cp??tsst?. （2） ??v?p??t?p??v?pt??v?ps?s(p,v)?s(p,t(p,v)) （1）因为cp?0,t?0，所以??st的正负取决于的正负. ??v?p??v?p式（2）也可以用雅可经行列式证明：(s,sv?p?(v,(s,(t,p)p)p)?(t,p)p)?(v,p)s?t （2） ?t?v??p??p2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数?t?t?和描述. 熵函数s(t,p)的全微分为 ??p?s??p?hs?s?ds??dtdp. ?tppt在可逆绝热过程中ds?0，故有s?v?t??pt??t?p???t?. （1） spcspt?p最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓h(t,p)的全微分为h?h?dh??dtdp. ?t?pp?t在节流过程中dh?0，故有h?v?t??v??pt???t???t?p. （2） ??cp??hp?ht?p最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得t?t?v0.（3） p?pc??s??hp所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p与体积v的乘积以及内能u都只是温度的函数，即pv?f(t),u?u(t).试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：pv?f(t),（1）u?u(t). （2）由式（2.2.7）和式（2），有而由式（1）可得tdf??p?t??. （4） ??tvdt??vu?pt?p?0. （3） ??v?t??t?v将式（4）代入式（3），有tf, dt或积分得lnf?lnt?lnc,dfdt?. （5） ft或pv?ct, （6）式中c是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量c需要进一步的实验结果.2.8 证明2p?cv?t?2?,??v?t??t?vcp?2v?t?2?,t?pp?t并由此导出【篇二：热力学统计物理课后习题答案】t>8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式．解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足lnlln1?ell在弱简并情况下：2?v2?v3/23/22lng3?2m1/2ln1?e??ldg3?2md?3/2ln1?el30hh02?v3/22?3/2g3?2mln1?e?l3?h3/2dln1?el2?vd?3/22 ??g3?2m3/2l30he?1与（8.2.4）式比较，可知ln??再由（8.2.8）式，得3/23/21n?h21?h2nkt?1??lnnkt?1??v2?mkt??2?mkt??4242??2u 3en?h2?v?2?mkt??3/23/2h2n?? ?ev?t?2?mkt?nn v3/23/21?n?h2n?n?h2p?ln??kt?1???nkt?1v2?mkt?t2?mkt?t???? 42?42??8.10试根据热力学公式 s?熵。
《热力学与统计物理学》习题解答
《热力学与统计物理学》习题解答
热力学与统计物理学习题解答：
P1. 一个双分子物质中有两个粒子，其中一个是A粒子而另一个则是B
粒子。
当它们达到蒸汽相时，请估计它们各自的平均表面速度。
答：根据热力学原理，在蒸汽相中，A粒子和B粒子的平均表面速
度应该是相同的，且都等于Boltzmann常数乘以绝对温度的平方根
（kT^(1/2)）。
P2. 甲烷气体在室温下的布朗运动速度是多少？
答：甲烷气体的平均布朗运动速度等于Boltzmann常数乘以绝对
温度的平方根 (kT^(1/2))，在室温（293K）下，则为1.25×10^5 m/s。
P3. 为什么热力学第三定律的最终状态是均匀的熵？
答：热力学第三定律的最终状态是均匀的熵，这是因为概率分布
函数定义熵，而不断扩大分布函数来接近熵最大值，就可以最大化熵。
而这正是热力学第三定律所要求的。
热力学统计物理课后习题答案
1. 1试求理想气体的体胀系数 :，压强系数：和等温压缩系数：T解：已知理想气体的物态方程为 pV 二nRT 由此得到体胀系数-貯。
诵冷，1. 2证明任何一种具有两个独立参量 T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和 等温压缩系数，根据下述积分求得 InV =:・dT -：T dp ，如果：•二丄「.T -，试求物态方TP程。
解：体胀系数:=-—V 5丿p等温压缩系数K T =--—]V 2P 人这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得根据题设，若〉=丄，冷=丄T p则有InV =ln T C ， PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1. 4描述金属丝的几何参量是长度 L ,力学参量是张力£，物态方程是（£丄,T ）=0，实验通 1 r 鬥）常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为a =丄丄| ，等温杨氏模量L 5丿F定义为Y -L 「匚 ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，：和Y 是T 的函数，对£仅有微A I^L 人第一章热力 学 的 基 本压强系数1 仔、_ n R _ 1 B JT 厂而=T等温压缩系数'-T =以T ，P 为自变量, 物质的物态方程为V =V T,p其全微分为 dV =eVdp 二 V ： dT -V T dp i印」n RT ) T~) p所以C n = C Vn -1弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当 温度由T1降至T2时，其张力的增加为厶£ = -YA/T 2-TJ 。
解：f ( £ 丄,T)=0, £ =F £ (L,T)d £=空；dT +( dL — i dT (dL=0)©丿Li 此丿T &T .丿L所以：£= -YA MT ? -TJ1. 6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体 所做的功和所吸收的热量。
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第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1 试根据式（）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
解: 式（）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
3d d d .x y z V
p p p h
（1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为
2
3
4πd .V p p h （2） 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π（体积V ，动量球壳24πd p p ）除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此
将上式代入式（2），即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
()13
2232π()d 2d .V
D m h
εεεε= （3）
6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为
解: 根据式（），一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为
在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
2d .L
p h
（1） 将能量动量关系 代入，即得
()1
2
2d d .2L m D h εεεε⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（2） 6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的
能量范围内，量子态数为
解: 根据式（），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为
21
d d d d .x y x y p p h
（1） 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为
22
d d .L p p h θ
（2） 对d θ积分，从0积分到2π，有
可得在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为
2
2
2πd .L p p h （3） 将能量动量关系 代入，即有
()2
22πd d .L D m h
εεε= （4）
6.4 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（）已给出在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为
2
34d .V p p h
π （1） 将极端相对论粒子的能量动量关系
代入，可得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
()()
23
4πd d .V
D ch εεεε=
（2）
6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和
其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.
解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}
l a '必须满足条件
,
,
l
l l l l l
l
l
l
l
a
N a N a a E
εε''==''+=∑∑∑∑ （1）
才有可能实现.
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}
l a '时各自的微观状态数为
!
,!!.!l l a l l
l l
a l l
l l
N Ωa N Ωa ωω'=
'''='∏∏∏∏ （2）
系统的微观状态数()0Ω为
()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得
为求使()0ln Ω为极大的分布，令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}
l a '必使 即
但这些δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件
用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得 即
.
l l l l l l a e a e
αβεαβεωω--'
'--=''= （4）
拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同，但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.
6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？ 解: 当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为
V 时，粒子的分布{}l a 和{}
l a '必须满足条件
l l
l
l
l
l
a a E εε''+=∑∑ （1）
才有可能实现.
玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}
l a '时，其微观状态数分别为
系统的微观状态数()0Ω为
()0.ΩΩΩ'=⋅ （3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得 令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权
()0
ln Ω为极大的分布{}l a 和{}
l a '必使
即
但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的，它们必须满足条件 用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去，得 根据拉氏乘子法原理，每个δl a 和δl a '的系数都等于零，所以得 即
,
1
.
1
l l l
l l
l a e a e αβεαβεωω--''--=
-''=+ （4） 拉氏乘子,αα'和β由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α和α'不同，但β相等.。