正弦定理和余弦定理解三角形高三一轮复习专题

正弦定理和余弦定理（解三角形）高三一

轮复习专题

正弦定理和余弦定理专题讲义（约3-4课时）

一、高考要求

1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式；

2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。

3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。

二、知识回顾（学生课前自学）

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．

1．角与角关系：A+B+C = π，

2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，

a－b c，b－c a，c－a b．

3．边与角关系：

1）正弦定理（R为外接圆半径）

变式1：a = 2R sinA，b= 2R sinB，c= 2R sinC变式2：变式3：，，

2）余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．

变式1：；.；. .

4. 三角形面积公式：

（其中r为内切圆半径，R为外接圆半径，s为半周长）

5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形

①由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：

sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．

②而．有：，．三互动探究探究一正弦定理的应用

考点分析：①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形.

方法点拨：针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况：无解、一解、两解；判定方法：方法1【代数法】：大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于1；

方法2【几何法】：当为锐角时、①或时、一解；②时、两解；③时、无解.当为直角或钝角时、①时、一解；②时、无解.

例如1：在中、求其余的边和角.

例如2：在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.

变式训练1：(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b ＝(

)

A．2B．4＋2C．4－2D.－

变式训练2：在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．

变式训练3：3.下列判断中不正确的结论的序号是.

①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解；②△AB C中，a=30,b=25,A=150°，有一解

③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解；④△ABC中，

b=9,c=10,B=60°,无解

答案：例1：；例2：A=60°,C=75°,c=或A=120°,

C=15°,c=；变式1：A；变式2：：2 ， (，)；变式3：

①③④；探究二余弦定理应用

考点分析：①知三边、解三角形. ②知两边及夹角、解三角形.

例如3：（1）在三角形中，,则的大小为（）A．B． C．D．

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝.

变式训练4：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.

（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；

答案：例3：A、；变式4：，1。探究三正、余弦定理的综合应用考点一判定三角形形状

方法点拨：①知识要求：灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式；②能力要求：统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想.

例如4：在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=

（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.

变式训练5：在△ABC中, ，则这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形

变式训练6：.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且

sinC=2sinAcosB,则△ABC是三角形.

答案：例4：△ABC为等腰或直角三角形.变式5：B；变式6：等边三角形；考点二三角形面积（注重方程组思想）

例如5：(2009·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.

(1) 求△ABC的面积； (2)若c＝1，求a的值．

变式训练7：.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的

面积等于(

)

A.B.C.或D.或

答案：例5：S△ABC＝2. a＝2. 变式7：D考点三角或边的

范围

方法点拨：主要是函数思想、基本不等式、三角函数有界性

的应用。

例如6：（1）锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 (

)

A．(1,2) B．(1，) C．(，2)D．(，)

(2) 在△ABC中，，则边的取值范围是（）A．B．C．D．

变式训练8：在△ABC中, ,若三角形有两解，则边的范围是（）

若三角形有一解，则边的范围是（）

A．B． C．D．

变式训练9：在△ABC中，①则角A的取值范围是（）；

② -------.

A．B．C．D．

答案：例6： D， B；变式8：D，B;；变式9：A ， 1.探

究四正、余弦定理的实际应用

例如7：为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架，如图所示，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

答案： AC最短为(2+)米，此时，BC长为(1+)米.

变式训练10：如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=，求△POC面积的最大值及此时的值.