正弦定理和余弦定理解三角形高三一轮复习专题

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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件新人教版

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件新人教版

3 2.
由sin A= 3sin B及正弦定理得a= 3b.
于是3b22+b32b-2 c2= 23,由此可得b=c.
由③c= 3b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
应用正、余弦定理的解题技能
技能 边化

角化 边
和积 互化
解读
将表达式中的边利用公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C化为角的关系
得cos A·(sin B+sin C)=0,在△ABC中,sin B+sin C≠0,
则cos A=0,所以△ABC为直角三角形.
判断三角形形状的常用技能 若已知条件中既有边又有角,则 (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三 角形的形状. (2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形 的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.

43 3
.由余弦定理DC2+BC2-
2DC·BCcos∠DCB=BD2,可得3BC2+4
3 ·BC-5=0,解得BC=
3 3

BC=-5 3 3(舍去).故BC的长为
3 3.
求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”, 将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系.解决 平面图形中的计算问题时,学会对条件进行分类与转化是非常重 要的,一般来说,尽可能将条件转化到三角形中,这样就可以根 据条件类型选用相应的定理求解.如该题中,把条件转化到 △BCD中后,利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长.
解析:选条件①. 由C=π6和余弦定理得a2+2ba2b-c2= 23. 由sin A= 3sin B及正弦定理得a= 3b. 于是3b22+b32b-2 c2= 23, 由此可得b=c. 由①ac= 3,解得a= 3,b=c=1. 因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.

正弦定理和余弦定理(解三角形)高三一轮复习专题

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正弦定理和余弦定理(解三角形)高三一轮复习专题
正弦定理和余弦定理专题讲义(约3-4 课时)
一、高考要求
1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式;
2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。

3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。

二、知识回顾(学生课前自学)
设△ABC 的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C.
1.角与角关系:A+B+C = π,
2.边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,
a-b b.
3.边与角关系:
1)正弦定理(R 为外接圆半径)
变式1:a = 2R sinA,b= 2R sinB,c= 2R sinC 变式2:变式3:,,
2)余弦定理c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 =
b2+c2-2bccosA.
变式1:;.;. .
4. 三角形面积公式:
(其中r 为内切圆半径,R 为外接圆半径,s 为半周长)
5、关于三角形内角的常用三角恒等式:三角形内角定理的变形
①由A+B+C=π,知A=π-(B+C)可得出:
sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C).
②而.有:,.三互动探究探究一正弦定理的应用。

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】

2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】

cos B=____2_a_c____; a2+b2-c2
cos C=_____2_a_b_____
④a sin B=b sin A,b sin C=c sin B,a sin C=c sin A
解斜
①已知三边,求各角;
三角 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 角,求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1.在△ABC中,已知a=7,b=5,c=3,则角A的大小为
(
A)
A.120°
B.90°
【解析C】.由60余°弦定理知 cos A=b2+2cb2c-a2D=.-4125,°所以 A=120°.
2.在△ABC 中,设 b=5,c=5 3,A=30°,则 a=
问题
个角
2.三角形常用面积公式
(1) S=12a·ha(ha 表示边 a 上的高); (2) S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A.
3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a=b sin A __一__解____
b sin A<a<b ___两__解___
6+ 2
则由正弦定理sinb B=sinc C,得 c=bssininBC=2ssiinn6705°°=2×
4 3

2+
6 3.
2
6
3 A=4,B=π,b= 3,则 a=5______,c=____5________.
53
【解析】由 cos A=45,可知 A 为锐角,所以 sin A= 1-cos2A=35.由正弦定理,得 a=

余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,面积为
3 , B =60°, a 2+ c 2=3 ac ,则 b =
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC = ac sin B =
2 2
3
ac =
4
.
3 ,则 ac =4,所以 a 2+ c 2=3 ac =
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a<b sinA
解的个数
无解
a=b sinA
⑪ 一解
b sin A<a<b


两解

a≥b
⑬ 一解

a>b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别为 a , b , c .则:
1
(1) S = ah ( h 表示边 a 上的高);
(2,8) .

2 + 1 > 0,
1
[解析] ∵2 a +1, a ,2 a -1是三角形的三边,∴ > 0,
解得 a > .显然2 a
2
2 − 1 > 0,
+1是三角形的最大边,则要使2 a +1, a ,2 a -1构成三角形,需满足 a +2 a -1
>2 a +1,解得 a >2.设最大边对应的角为θ(钝角),则 cos θ=
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2= AB 2+ BC 2-2 AB ·BC ·cos B ,得 BC 2+2 BC -15=

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c=8-(a+b)=72.
由余弦定理得 cos C=a2+2ba2b-c2=22+2×5222×-52722
=-15.
(2)由 sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C 可得:
sin
1+cos A· 2
B+sin
1+cos B· 2
a2+b2-c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=a4bRc=12(a+b+c)·r(r 是 三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3.实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1-2419=2
7 7.
而∠AEB=23π-α,所以
cos∠AEB=cos23π-α=cos23πcos α+sin23πsin α
=-12cos
α+
3 2 sin
α
=-12·2 7 7+
3 21 2 ·7

7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结

Rt△EAB
中,cos∠AEB=EBAE=B2E,故
课堂总结
5.(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中,acos A=bcos B, 则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2π, 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)

§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1. 正弦、余弦定理在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则2. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =12(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、r .3. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下:4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等. (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α(如图②). (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中,A >B 必有sin A >sin B .( √ )(2)若满足条件C =60°,AB =3,BC =a 的△ABC 有两个,那么a 的取值范围是(3,2).( √ ) (3)若△ABC 中,a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形.( √ ) (4)在△ABC 中,tan A =a 2,tan B =b 2,那么△ABC 是等腰三角形.( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( × )2. (2013·湖南)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,若2a sin B =3b ,则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中,利用正弦定理得 2sin A sin B =3sin B ,∴sin A =32. 又A 为锐角,∴A =π3.3. (2013·陕西)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sinA ,则△ABC 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定答案 B解析 由b cos C +c cos B =a sin A ,得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,即sin(B +C )=sin 2A ,所以sin A =1,由0<A <π,得A =π2,所以△ABC 为直角三角形.4. 在△ABC 中,B =60°,AC =3,则AB +2BC 的最大值为________.答案 27解析 由正弦定理知AB sin C =3sin 60°=BCsin A, ∴AB =2sin C ,BC =2sin A .又A +C =120°,∴AB +2BC =2sin C +4sin(120°-C ) =2(sin C +2sin 120°cos C -2cos 120°sin C ) =2(sin C +3cos C +sin C )=2(2sin C +3cos C )=27sin(C +α), 其中tan α=32,α是第一象限角, 由于0°<C <120°,且α是第一象限角, 因此AB +2BC 有最大值27.5. 一船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示,依题意有AB =15×4=60,∠MAB =30°,∠AMB =45°, 在△AMB 中,由正弦定理得60sin 45°=BM sin 30°,解得BM =30 2 (km).题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A 等于( )A .30°B .60°C .120°D .150°(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C ,则sin B +sin C 的最大值为( )A .0B .1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C =23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系,再利用余弦定理求A . (2)要求sin B +sin C 的最大值,显然要将角B ,C 统一成一个角,故需先求角A ,而题目给出了边角之间的关系,可对其进行化边处理,然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C =23sin B ,由正弦定理得c =23b , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc +c 22bc =-3bc +23bc 2bc =32,又A 为三角形的内角,∴A =30°.(2)已知2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C , 根据正弦定理,得2a 2=(2b +c )b +(2c +b )c , 即a 2=b 2+c 2+bc .由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故cos A =-12,又A 为三角形的内角,∴A =120°.故sin B +sin C =sin B +sin(60°-B )=32cos B +12sin B =sin(60°+B ), 故当B =30°时,sin B +sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.(1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知8b =5c ,C =2B ,则cos C 等于( )A.725B .-725C .±725D.2425(2)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,A +C =2B ,则角A 的大小为________. 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B =csin C ,将8b =5c 及C =2B 代入得bsin B =85b sin 2B ,化简得1sin B =852sin B cos B ,则cos B =45,所以cos C =cos 2B =2cos 2B -1=2×(45)2-1=725,故选A.(2)∵A +C =2B 且A +B +C =π,∴B =π3.由正弦定理知:sin A =a sin B b =12,又a <b ,∴A <B ,∴A =π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C +3a sinC -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC 的面积为3,求b ,c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角,再利用和差公式可求出A ;面积公式和余弦定理相结合,可求出b ,c .解 (1)由a cos C +3a sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C +3sin A sin C -sin B -sin C =0.因为B =π-A -C ,所以3sin A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以sin ⎝⎛⎭⎫A -π6=12. 又0<A <π,故A =π3.(2)△ABC 的面积S =12bc sin A =3,故bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法: (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化.(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c .(1)若c =2,C =π3,且△ABC 的面积为3,求a ,b 的值;(2)若sin C +sin(B -A )=sin 2A ,试判断△ABC 的形状. 解 (1)∵c =2,C =π3,∴由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C 得a 2+b 2-ab =4. 又∵△ABC 的面积为3,∴12ab sin C =3,ab =4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得a =2,b =2.(2)由sin C +sin(B -A )=sin 2A , 得sin(A +B )+sin(B -A )=2sin A cos A ,即2sin B cos A =2sin A cos A ,∴cos A ·(sin A -sin B )=0, ∴cos A =0或sin A -sin B =0, 当cos A =0时,∵0<A <π, ∴A =π2,△ABC 为直角三角形;当sin A -sin B =0时,得sin B =sin A , 由正弦定理得a =b , 即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10 n mile 的C 处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t ,找出等量关系,然后解三角形.解 如图所示,根据题意可知AC =10,∠ACB =120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ,并在B 处与渔轮相遇,则AB =21t ,BC =9t ,在△ABC 中,根据余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos 120°,所以212t 2=102+92t 2+2×10×9t ×12,即360t 2-90t -100=0,解得t =23或t =-512(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h .此时AB =14,BC =6.在△ABC 中,根据正弦定理得BC sin ∠CAB =ABsin 120°,所以sin ∠CAB =6×3214=3314,即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去). 即舰艇航行的方位角为45°+21.8°=66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行,需23h 才能靠近渔轮.思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来,注意不要把角的含义弄错,不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°,如图所示,向山顶前进100 m 后,又从B 点测得斜度为45°,设建筑物的高为50 m .求此山对于地平面的斜度θ的余弦值.解 在△ABC 中,∠BAC =15°,∠CBA =180°-45°=135°,AB =100 m , 所以∠ACB =30°.由正弦定理,得100sin 30°=BC sin 15°,即BC =100sin 15°sin 30°.在△BCD 中,因为CD =50,BC =100sin 15°sin 30°,∠CBD =45°,∠CDB =90°+θ,由正弦定理,得50sin 45°=100sin 15°sin 30°sin (90°+θ),解得cos θ=3-1.因此,山对地面的斜度的余弦值为3-1.代数式化简或三角运算不当致误典例:(12分)在△ABC 中,若(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)·sin(A +B ),试判断△ABC 的形状.易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形; (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子,导致漏解; (3)结论表述不规范. 规范解答解 ∵(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ),∴b 2[sin(A +B )+sin(A -B )]=a 2[sin(A +B )-sin(A -B )], ∴2sin A cos B ·b 2=2cos A sin B ·a 2, 即a 2cos A sin B =b 2sin A cos B .[4分]方法一 由正弦定理知a =2R sin A ,b =2R sin B , ∴sin 2A cos A sin B =sin 2B sin A cos B , 又sin A ·sin B ≠0,∴sin A cos A =sin B cos B , ∴sin 2A =sin 2B .[8分]在△ABC 中,0<2A <2π,0<2B <2π,∴2A =2B 或2A =π-2B ,∴A =B 或A +B =π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得: a 2b b 2+c 2-a 22bc =b 2a a 2+c 2-b 22ac,∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2), ∴(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴a 2-b 2=0或a 2+b 2-c 2=0. 即a =b 或a 2+b 2=c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形.[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断;注意不要轻易两边同除以一个式子.(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A ,B ,C 的范围对三角函数值的影响.方法与技巧1. 应熟练掌握和运用内角和定理:A +B +C =π,A 2+B 2+C 2=π2中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.2. 正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结合得sin 2A =sin 2B +sin 2C -2sin B ·sin C ·cos A ,可以进行化简或证明. 3. 合理利用换元法、代入法解决实际问题. 失误与防范1. 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论.2. 利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间:35分钟,满分:57分)一、选择题1. 在△ABC ,已知∠A =45°,AB =2,BC =2,则∠C 等于( )A .30°B .60°C .120°D .30°或150°答案 A解析 在△ABC 中,AB sin C =BC sin A ,∴2sin C =2sin 45°,∴sin C =12,又AB <BC ,∴∠C <∠A ,故∠C =30°.2. △ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若cb<cos A ,则△ABC 为( )A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ,sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sin B cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形.3. (2012·湖南)△ABC 中,AC =7,BC =2,B =60°,则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3+62D.3+394答案 B解析 设AB =a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a -3=0,∴a =3(负值舍去). ∴BC 边上的高为AB ·sin B =3×32=332. 4. (2013·辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a sin B cos C +c sin B cosA =12b ,且a >b ,则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C +c b sin B cos A =12,依正弦定理,得sin A cos C +sin C cos A =12,∴sin(A +C )=12,从而sin B =12,又a >b ,且B ∈(0,π),因此B =π6.5. 在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,已知b 2=c (b +2c ),若a =6,cos A=78,则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D .3答案 C解析 ∵b 2=c (b +2c ),∴b 2-bc -2c 2=0, 即(b +c )·(b -2c )=0,∴b =2c .又a =6,cos A =b 2+c 2-a 22bc =78,解得c =2,b =4.∴S △ABC =12bc sin A =12×4×2×1-(78)2=152.二、填空题6. (2013·安徽)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a,3sin A =5sinB ,则角C =________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得:3a =5b ,且b +c =2a , 则a =5b 3,c =2a -b =7b 3cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12,又0<C <π,因此角C =2π3.7. 在△ABC 中,若b =5,∠B =π4,tan A =2,则a =________.答案 210解析 由tan A =2得sin A =2cos A . 又sin 2A +cos 2A =1得sin A =255. ∵b =5,∠B =π4,根据正弦定理,有a sin A =bsin B ,∴a =b sin A sin B =2522=210.8. 如图,设A ,B 两点在河的两岸,一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°,则A ,B 两点的距离为________. 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB =ACsin B,所以AB =AC ·sin ∠ACBsin B =50×2212=50 2.三、解答题9. (2013·北京)在△ABC 中,a =3,b =26,∠B =2∠A .(1)求cos A 的值; (2)求c 的值.解 (1)在△ABC 中,由正弦定理 a sin A =b sin B ⇒3sin A =26sin 2A =262sin A cos A,∴cos A =63. (2)由余弦定理,a 2=b 2+c 2-2bc cos A ⇒32=(26)2+c 2-2×26c ×63则c 2-8c +15=0. ∴c =5或c =3.当c =3时,a =c ,∴A =C .由A +B +C =π,知B =π2,与a 2+c 2≠b 2矛盾.∴c =3舍去.故c 的值为5.10.(2013·江西)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知cos C +(cos A -3sin A )cos B =0. (1)求角B 的大小;(2)若a +c =1,求b 的取值范围.解 (1)由已知得-cos(A +B )+cos A cos B -3sin A cos B =0 即有sin A sin B -3sin A cos B =0, 因为sin A ≠0,所以sin B -3cos B =0, 即3cos B =sin B . 因为0<B <π, 所以sin B >0, 所以cos B >0, 所以tan B =3, 即B =π3.(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 因为a +c =1,cos B =12,所以b 2=(a +c )2-3ac ≥(a +c )2-3⎝⎛⎭⎫a +c 22=14(a +c )2=14, ∴b ≥12.又a +c >b ,∴b <1,∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间:25分钟,满分:43分)1. △ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =2a ,则ba等于( )A .2 3B .2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B +b cos 2A =2a , ∴sin A sin A sin B +sin B cos 2A =2sin A , ∴sin B =2sin A ,∴b a =sin Bsin A= 2.2. 有一长为1的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A .1B .2sin 10°C .2cos 10°D .cos 20°答案 C解析 如图,∠ABC =20°,AB =1,∠ADC =10°, ∴∠ABD =160°.在△ABD 中,由正弦定理得AD sin 160°=ABsin 10°,∴AD =AB ·sin 160°sin 10°=sin 20°sin 10°=2cos 10°.3. (2013·浙江)在△ABC 中,∠C =90°,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM =13,则sin ∠BAC =________. 答案63解析 因为sin ∠BAM =13,所以cos ∠BAM =223.如图,在△ABM 中,利用正弦定理,得BM sin ∠BAM =AM sin B ,所以BM AM =sin ∠BAM sin B =13sin B =13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中,有CMAM =sin ∠CAM =sin(∠BAC -∠BAM ).由题意知BM =CM ,所以13cos ∠BAC=sin(∠BAC -∠BAM ).化简,得22sin ∠BAC cos ∠BAC -cos 2∠BAC =1. 所以22tan ∠BAC -1tan 2∠BAC +1=1,解得tan ∠BAC = 2.再结合sin 2∠BAC +cos 2∠BAC =1,∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC =63.4. (2012·江西)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知A =π4,b sin ⎝⎛⎭⎫π4+C -c sin ⎝⎛⎭⎫π4+B =a . (1)求证:B -C =π2;(2)若a =2,求△ABC 的面积.(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4+C -c sin ⎝⎛⎭⎫π4+B =a ,应用正弦定理,得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4+C -sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4+B =sin A , sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C +22cos C -sin C⎝⎛⎭⎫22sin B +22cos B =22, 整理得sin B cos C -cos B sin C =1, 即sin(B -C )=1.由于0<B ,C <34π,从而B -C =π2.(2)解 B +C =π-A =3π4,因此B =5π8,C =π8.由a =2,A =π4,得b =a sin B sin A =2sin 5π8,c =a sin C sin A =2sin π8,所以△ABC 的面积S =12bc sin A =2sin 5π8sin π8=2cos π8sin π8=12.5. 已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,角B 所对的边b =3,且函数f (x )=23sin 2x+2sin x cos x -3在x =A 处取得最大值. (1)求f (x )的值域及周期; (2)求△ABC 的面积.解 (1)因为A ,B ,C 成等差数列, 所以2B =A +C ,又A +B +C =π, 所以B =π3,即A +C =2π3.因为f (x )=23sin 2x +2sin x cos x - 3 =3(2sin 2x -1)+sin 2x =sin 2x -3cos 2x=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以T =2π2=π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3∈[-1,1], 所以f (x )的值域为[-2,2]. (2)因为f (x )在x =A 处取得最大值, 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A -π3=1. 因为0<A <23π,所以-π3<2A -π3<π,故当2A -π3=π2时,f (x )取到最大值,所以A =512π,所以C =π4.由正弦定理,知3sin π3=csinπ4⇒c = 2. 又因为sin A =sin ⎝⎛⎭⎫π4+π6=2+64, 所以S △ABC =12bc sin A =3+34.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【含解析】

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。

高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件

高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件

[对点练]
1.在△ ABC中,c-2ca
=sin
2B 2
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则
△ ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:由cos
B=1-2sin
2B 2
得sin
2B 2
=1-co2s
B ,所以c-2ca =1-co2s
AE sin sin
45° 30°

2AB cos 15°
,因此CD=AD
sin
60°= cos
2×10 (45°-30°)
×sin 60°=10(3- 3 ).
答案:10(3- 3 )
备考第 2 步——突破核心考点,提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1.△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin
答案:BC
4.在△ ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,b>c, △ ABC的面积为5 3 ,则c=________.
解析:由三角形面积公式,得12 ×4×5sin C=5 3 ,
即sin
C=
3 2
.又b>a,b>c,所以C为锐角,于是C=60°.
由余弦定理,得c2=42+52-2×4×5cos 60°,解得c= 21 .
3.(多选)在△ ABC中,角A,B,C所对的各边分别为a,b,c,若a=1,b= 2 ,
A=30°,则B等于( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.150°
解析:根据正弦定理sina A =sinb B 得,

第五章 第七节正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 第七节正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
= .故选D.

D)
D. 41

− = − ,由余弦定理得,


− × × × − = ,所以

(2)在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a = 6,b = 2c,cos A =
1
− .
4
①求c的值;
1
2
解 因为a2 = b2 + c 2 − 2bccos A,所以6 = b2 + c 2 + bc,而b = 2c,代入得
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ;
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .


⋅ − = ,所以 = 或 = ,所以 = 或 = 或
= − (舍去),所以△ 为等腰三角形或直角三角形.
(2)(多选题)已知a,b,c分别是△ ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个说法中,正确
的有( ACD )
=
故选B.
. ∵
∈ , ,∴ > ,∴ = ,即 =

,∴△

为直角三角形.
(2)在△ ABC中,已知a + b =

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)

150°不符合题意,舍去.可得B=30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5.(易错题)在△ABC中,若ab=ccooss AB,则△ABC的形状为( D )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
解析 因为ab=ccooss BA,所以由正弦定理可得ssiinn AB=ccooss AB,即sin Acos A=sin Bcos
— 10 —
3.(2023·江门检测)在△ABC中,已知a= 13,b=4,c=3,则cos A=( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D.-
2 2
解析 在△ABC中,已知a= 13,b=4,c=3,由余弦定理得cos A= 422+×342×-313=16+294-13=12.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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— 16 —
针对训练 1.(2023·陕西渭南月考)在△ABC中,若AB=7,AC=5,∠ACB=120°,则BC =( B ) A.2 2 B.3 C.6 D. 6 解析 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB,故 49=25+BC2-2×5×BC× -12 ,即BC2+5BC-24=0,解得BC=3或BC=-8(舍 去).
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— 9—
2.在△ABC中,若AB=3,BC=3 2,∠B=45°,则△ABC的面积为( D )
A.2 2 B.4
7 C.2
9 D.2
解析 由题意,S△ABC=12AB·BC·sin∠B=12×3×3 2× 22=92.

第08讲 正余弦定理解三角形(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第08讲 正余弦定理解三角形(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第08讲正余弦定理解三角形(10类核心考点精讲精练)1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容,设题稳定,难度较中等,分值为13-15分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容,一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查,需重点复习。

1.正弦定理(1)基本公式:R CcB b A a 2sin sin sin ===(其中R 为ABC ∆外接圆的半径)(2)变形C B c b C A c a B A b a C B A c b a R C cB b A a sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin ++=++=++=++++====CB A c b a sin :sin :sin ::=2.三角形中三个内角的关系π=++C B A ,A +B 2=π2-C2A CB sin )sin(=+∴,AC B cos )cos(-=+,AC B tan )tan(-=+2cot22πtan 2tan(,2sin 22πcos 2cos(,2cos 22πsin )2sin(C C B A C C B A C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴3.余弦定理(1)边的余弦定理A bc c b a cos 2222-+=,B ac c a b cos 2222-+=,Cab b a c cos 2222-+=(2)角的余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=,ac b c a B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=4.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆1.(2023·全国·高考真题)在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若cos cos a B b A c -=,且5C p=,则B Ð=( )A .10pB .5pC .310pD .25p 2.(2024·湖南永州·三模)已知在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos cos 2cos a B b A c C +=-,π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()cos A B -=.3.(2024·四川凉山·二模)设ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+,则A = .4.(2024·全国·高考真题)记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =.(1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC V 的周长.1.(2024·江西九江·三模)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知22cos c a b A -=,则B =( )A .π6B .π3C .2π3D .5π62.(2024·河北沧州·模拟预测)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若3cos cos cos b B a C c A =+,且34b c =,则C =.3.(2024·内蒙古呼和浩特·二模)在ABC V 中,记角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos sin =+B c B .(1)求角C ;(2)已知点D 在AC 边上,且2AD DC =,6BC =,BD =,求ABC V 的面积.1.(2023·浙江·模拟预测)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若π,43B a ==,且该三角形有两解,则b 的范围是( )A .()+¥B .()C .()0,4D .()42.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ,则能使同时满足条件π,66A b ==的三角形不唯一的a 的取值范围是( )A .()36,B .()3,+¥C .()0,6D .()0,33.(2023·广东茂名·三模)(多选)ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .以下结论中正确的有( )A .若40,20,25a b B ===o ,则ABC V 必有两解B .若sin2sin2A B =,则ABC V 一定为等腰三角形C .若cos cos a B b A c -=,则ABC V 一定为直角三角形D .若π,23B a ==,且该三角形有两解,则b 的范围是)+¥1.(23-24高二下·浙江·期中)在ABC V 中,π,4,3A AB BC a Ð===,且满足该条件的ABC V 有两个,则a 的取值范围是( )A .()02,B .(2,C .()2,4D .()42.(2023·安徽·模拟预测)(多选)在ABC V 中,60AB B ==o ,若满足条件的三角形有两个,则AC 边的取值可能是( )A .1.5B .1.6C .1.7D .1.83.(2024·辽宁沈阳·模拟预测)(多选)在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且已知2a =,则( )A .若45A =o ,且ABC V 有两解,则b 的取值范围是(2,B .若45A =o ,且4b =,则ABC V 恰有一解.C .若3c =,且ABC V 为钝角三角形,则b 的取值范围是D .若3c =,且ABC V 为锐角三角形,则b 的取值范围是1.(2023·北京·高考真题)在ABC V 中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C Ð=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π62.(2021·全国·高考真题)在ABC V 中,已知120B =︒,AC 2AB =,则BC =( )A .1B C D .33.(2023·全国·高考真题)在ABC V 中,60,2,BAC AB BC Ð=︒==BAC Ð的角平分线交BC 于D ,则AD =.4.(2023·全国·高考真题)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2222cos b c aA+-=.(1)求bc ;(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+,求ABC V 面积.1.(2021·安徽安庆·二模)在ABC V 中,a b c ,,分别是A Ð,B Ð,C 的对边.若2b ac =,且22a c ac +=+,则A Ð的大小是( )A .π6B .π3C .2π3D .5π62.(2024·安徽合肥·一模)在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若()2cos 2b C a c =-,且π3B =,则=a ( )A .1B C D .23.(2023·广东广州·三模)在ABC V 中,点D 在边BC 上,AB =,3CD =,45B =︒,60ADB Ð=︒,则AC 的长为.4.(2023·全国·高考真题)在ABC V 中,已知120BAC Ð=︒,2AB =,1AC =.(1)求sin ABC Ð;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD Ð=︒,求ADC △的面积.1.(22-23高三·吉林白城·阶段练习)已知ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若()()3a b c b c a bc +++-=,且sin 2sin cos A B C =,那么ABC V 是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形2.(22-23高三上·河北·阶段练习)在ABC V 中,角,,A B C 对边为,,a b c ,且22cos2Ac b c ×=+,则ABC V 的形状为( )A .等边三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形3.(2024高三·全国·专题练习)设△ABC 的三边长为BC a =,=CA b ,AB c =,若tan2A a b c=+,tan2B ba c =+,则△ABC 是( ).A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形1.(2024高三·全国·专题练习)在ABC V 中,若cos cos a A b B =,则ABC V 的形状一定是( )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰或直角三角形2.(22-23高三·河南商丘·阶段练习)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin22A c bc-=,则△ABC 是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .等边三角形D .30A =︒的三角形3.(22-23高三·阶段练习)设ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若222b c a ca =+-,且sin 2sin A C =,则ABC V 的形状为( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形4.(2023·四川凉山·二模)在ABC V 中,角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c .命题221tan cos()2:01tan2Ab A C p A a -++=+,命题:q ABC V 为等腰三角形.则p 是q 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件1.(2023·全国·高考真题)在ABC V 中,已知120BAC Ð=︒,2AB =,1AC =.(1)求sin ABC Ð;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD Ð=︒,求ADC △的面积.2.(2022·浙江·高考真题)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知34,cos 5a C ==.(1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC V 的面积.3.(2024·全国·高考真题)记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC V的面积为3c .4.(2022·北京·高考真题)在ABC V中,sin 2C C =.(1)求C Ð;(2)若6b =,且ABC V的面积为ABC V 的周长.1.(2024·北京大兴·三模)ABC V 中,角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c,cos a B =,sin 1b A =.(1)求B Ð的大小;(2)若b =ABC V 的面积.2.(2024·福建莆田·三模)在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()()cos 12cos b C c B +=-.(1)证明:2a b c +=.(2)若6a =,9cos 16C =,求ABC V 的面积.3.(2024·浙江·模拟预测)已知ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知23,sin ABC c S b C ==V .(1)求a 的取值范围;(2)求B Ð最大时,ABC V 的面积.4.(2024·安徽滁州·三模)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,,2cos 2a b c b C c a -=.(1)求B 的大小;(2)若3a =,且AC ABC V 的面积.1.(2024·贵州六盘水·三模)在ABC V 中,2AB =,3AC =, π3A Ð=,则ABC V 外接圆的半径为( )A B C D 2.(2024·浙江·模拟预测)如图,在平面内的四个动点A ,B ,C ,D 构成的四边形ABCD 中,1AB =,2BC =,3CD =,4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围;(2)若四边形ABCD 存在外接圆,求外接圆面积.3.(2023·湖北·二模)已知在ABC V 中,其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ,且满足cos sin b C C a c =+.(1)若b =ABC V 的外接圆半径;(2)若a c +=,且6BA BC ×=uuu r uuu r,求ABC V 的内切圆半径1.(2024·河南信阳·模拟预测)设ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知9,8,5a b c ===,则ABC V 的外接圆的面积为( )A .225π11B .125π11C .123π6D .113π62.(2024·辽宁大连·一模)在ABC V 中,π,3,23A AB AC Ð=== (1)求点A 到边BC 的距离:(2)设P 为边AB 上一点,当22PB PC +取得最小值时,求PBC V 外接圆的面积.3.(2024·山西晋城·一模)在ABC V 中,AB =AC =,BC =.(1)求A 的大小;(2)求ABC V 外接圆的半径与内切圆的半径.4.(2024·全国·模拟预测)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且22sin 2sin 2sin sin 4A BA B ××=.(1)求C ;(2)若2c =,求ABC V 内切圆半径取值范围.1.(2024·福建泉州·一模)在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos cos c B b C a b -=-,点D 是BC 上靠近C 的三等分点(1)若ABC V 的面积为AD 的最小值;(2)若π6BAD Ð=,求sin 2B .2.(2024·山东日照·二模)ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ,且123S S S --=.(1)求角A ;(2)若4BD CD =uuu r uuu r ,π6CAD Ð=,求sin ACB Ð.3.(2024·山东菏泽·模拟预测)在ABC V 中,D 为BC 边的中点.(1)若AC =π6ACD DAC Ð=Ð=,求AB 的长;(2)若π2BAD ACD ÐÐ+=,0AC AB ¹×u u r uu r uu,试判断ABC V 的形状.4.(2024·河北衡水·模拟预测)如图,在平面四边形ABCD 中,120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=︒,设DAC Ðq =.(1)若2AD =,求BD 的长;(2)若15ADB Ð=︒,求tan q .1.(2024·河北沧州·模拟预测)在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2a c c b =+.(1)求证:3πB C +=;(2)若ABC Ð的角平分线交AC 于点D ,且12a =,7b =,求BD 的长.2.(2024·河南·三模)已知P 是ABC V 内一点,π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q =,求AC ;(2)若π3q =,求tan BAP Ð.3.(23-24高三下·安徽·阶段练习)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角的对边,且sin cos A a C b c +=+.(1)求A ;(2)若2BC =,将射线BA 和CA 分别绕点B ,C 顺时针方向旋转15o ,30o ,旋转后相交于点D (如图所示),且30DBC Ð=o ,求AD .1.(2024·全国·模拟预测)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan A =πsin 2sin()3b C C =+.(1)求c ;(2)若点D 在边BC 上,且13BD a =,AD =ABC V 的面积.1.(2024·山东济南·二模)如图,已知平面四边形ABCD 中,2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆,求AC ;(2)求四边形ABCD 面积的最大值.2.(2024·河北·二模)已知ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为,2S a b =.(1)若S ABC =V 为等腰三角形,求它的周长;(2)若3sin 5C =,求sin sin A,B .1.(23-24高二下·浙江杭州·期中)在ABC V 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足2cos b a b C =-.(1)求证:2C B =;(2)求2sin cos sin C B B +-的最大值.2.(2024·全国·模拟预测)在ABC V 中,点D ,E 都是边BC 上且与B ,C 不重合的点,且点D 在B ,E 之间,AE AC BD AD AB CE ××=××.(1)求证:sin sin BAD CAE =∠∠.(2)若AB AC ^,求证:222221sin AD AE BD CE DAE+=-Ð.3.(23-24高三上·河南信阳·阶段练习)设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B --=.(1)证明:22πA B +=.(2)求22a c的取值范围.1.(23-24高三上·广东·阶段练习)已知ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,D 是边BC 上一点,BAD Ð=a ,CAD b Ð=,AD d =,且2sin 2sin 3ac ab bc a b +=.(1)若5π6A =,证明:3a d =;(2)在(1)的条件下,且2CD BD =,求cos ADC Ð的值.2.(22-23高一下·山东枣庄·期中)ABC V 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin sin cos sin cos a A b C A c A B =+.(1)求sin sin AC的值;(2)若BD 是ABC Ð的角平分线.(i )证明:2··BD BA BC DA DC =-;(ii )若1a =,求BD AC ×的最大值.3.(23-24高三上·江苏·开学考试)如图,在△ABC 内任取一点P ,直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F .(1)试证明:sin sin BD AB BADDC AC DACÐ=Ð(2)若P 为重心,5,4,3AD BE CF ===,求ABC V 的面积.1.(2021·全国·高考真题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点E ,H ,G 在水平线AC 上,DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG 称为“表距”,GC 和EH 都称为“表目距”,GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =( )A .´+表高表距表目距的差表高B .´-表高表距表目距的差表高C .´+表高表距表目距的差表距D .´-表高表距表目距的差表距2.(2024·陕西西安·模拟预测)在100m 高的楼顶A 处,测得正西方向地面上B C 、两点(B C 、与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75o 和15o ,则B C 、两点之间的距离为( ).A .B .C .D .3.(2024·江苏扬州·模拟预测)《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作,书中有一道测量山上松树高度的题目,受此题启发,小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C ,D ,CD 与地面垂直,小李先在地面上选取点A ,B ,测得AB =,在点A 处测得点C ,D 的仰角分别为30︒,60︒,在点B 处测得点D 的仰角为30︒,则塔高CD 为 m .1.(2024·广东·二模)在一堂数学实践探究课中,同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为1 1.00m a =,之后将小镜子前移 6.00m a =,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为20.60m a =,已知人的眼睛距离地面的高度为5m 1.7h =,则钟楼的高度大约是( )A .27.75mB .27.25mC .26.75mD .26.25m2.(2024·湖南·模拟预测)湖南省衡阳市的来雁塔,始建于明万历十九年(1591年),因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度,因地理条件的限制,分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点,已知点A 为塔底,,,A C D 在水平地面上,来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面(如图所示).测得18m,15m CD AD ==,在C 点处测得E 点的仰角为30°,在E 点处测得B 点的仰角为60°,则来雁塔AB 的高度约为( ) 1.732»,精确到0.1m )A .35.0mB .36.4mC .38.4mD .39.6m3.(2024·山东临沂·一模)在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台,A 在B 的正东方.某次演习时,A 向西偏北q 方向发射炮弹,B 则向东偏北q 方向发射炮弹,其中q 为锐角,观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标,接着A 改向向西偏北2q方向发射炮弹,弹着点为18公里外的点M ,则B 炮台与弹着点M 的距离为( )A .7公里B .8公里C .9公里D .10公里一、单选题1.(2024·浙江·模拟预测)在ABC V 中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,若tan 3A =,π4B =,bc ==a ( )A .2B .3C .D .2.(2024·重庆·模拟预测)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若222π,6,33B b a c ac ==+=,则ABC V 的面积为( )A B .94C D .92二、多选题3.(2024·重庆·三模)在ABC V 中,角,,A B C 的对边为,,,a b c 若2,6b c C p ===,则ABC V 的面积可以是( )A B .3C .D .三、填空题4.(2024·山东威海·二模)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a 4b c +=,cos C =.则sin A = .5.(2024·北京西城·三模)在ABC V 中,若2c =,a =π6A Ð=,则sin C = ,b = .四、解答题6.(2024·陕西西安·模拟预测)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2b c =.(1)若cos sin B C =,求tan B ;(2)若3cos ,4A a =,求ABC V 的面积.7.(2024·河北·一模)在ABC V 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足222a b c +=.(1)求角C 的大小;(2)若1b =,2cos c b B =,求ABC V 的面积.8.(2024·贵州黔东南·二模)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin 02A Cb A Bc ++-=.(1)求B ;(2)若5,8b a c =+=,求ABC V 的面积.9.(2024·江西新余·二模)在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且ABC V 的面积()2221sin 2S a c b B =+-.(1)求角B ;(2)若ABC Ð的平分线交AC 于点D ,3a =,4c =,求BD 的长.10.(2024·陕西西安·一模)在ABC V 中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ,πsin sin 02c A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,6c =.(1)求角C ;(2)若=c ,求ABC V 的周长.一、单选题1.(2024·安徽芜湖·模拟预测)记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3sin()sin ,2B C A b -+=,则角C =( )A .π6B .π3C .π4D .π22.(2024·陕西·模拟预测)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()()()sin sin sin sin c A C a b A B -=-+,若ABC V 3b ,则AC 边上的高为( )A B C D .二、多选题3.(2024·江苏宿迁·三模)在ABC V 中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,.若2cossin 2A Cb C +=,且边AC 上的中线BD )A .π3B =B .b 的取值范围为[2,C .ABC V 面积的最大值为D .ABC V 周长的最大值为三、填空题4.(2024·湖北武汉·二模)在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,4cos a bC b a+=.且tan tan tan tan tan tan B A B C A C +=,则cos A = .5.(2024·陕西安康·模拟预测)在ABC V 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2b =,22cos cos cos a cC B C=+,则2a c +的最大值为.四、解答题6.(2024·福建泉州·模拟预测)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数.(1)证明:2tan 1tan tan B A C -=;(2)设AC 的中点为D ,求CDB Ð的余弦值.7.(2024高三下·全国·专题练习)在①()()()sin sin sin sin b A B c a C A +=+-,②tan tan B C +=sinsin 2A Bc B +=这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且______.(1)求角C 的大小;(2)已知7c =,D 是边AB 的中点,且CD CB ^,求CD 的长.8.(2024·全国·模拟预测)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222222b b c a c b a c b +-=-+-.(1)求A ;(2)若D 为AB 的中点,且6CD =,求cos ACB Ð.9.(2023·黑龙江佳木斯·三模)ABC V 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知sin cos sin cos cos c C B b C C A +=.(1)求∠A ;(2)若A ABC CB =Ð∠,满足3BD =,2CD =,四边形ABDC 是凸四边形,求四边形ABDC 面积的最大值.10.(2024·河北·二模)若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA q Ð=Ð=Ð=,则称点P 为ABC V 的布洛卡点,q 为ABC V 的布洛卡角.如图,已知ABC V 中,BC a =,AC b =,AB c =,点P 为的布洛卡点,q 为ABCV 的布洛卡角.(1)若b c =,且满足PBPA=ABC Ð的大小.(2)若ABC V 为锐角三角形.(ⅰ)证明:1111tan tan tan tan BAC ABC ACBq =++ÐÐÐ.(ⅱ)若PB 平分ABC Ð,证明:2b ac =.1.(2024·上海·高考真题)已知点B 在点C 正北方向,点D 在点C 的正东方向,BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒ÐÐ,则BCA Ð= (精确到0.1度)2.(2024·北京·高考真题)在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A Ð为钝角,7a =,sin 2cos B B =.(1)求A Ð;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC V 存在,求ABC V 的面积.条件①:7b =;条件②:13cos 14B =;条件③:sin c A 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.3.(2024·天津·高考真题)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a B b c ===,,.(1)求a ;(2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.4.(2022·浙江·高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法S =a ,b ,c 是三角形的三边,S 是三角形的面积.设某三角形的三边2a b c ===,则该三角形的面积S =.5.(2022·天津·高考真题)在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值;(2)求sin B 的值;(3)求sin(2)A B -的值.6.(2022·全国·高考真题)记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.(1)若2A B =,求C ;(2)证明:2222a b c =+7.(2022·全国·高考真题)记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+;(2)若255,cos 31a A ==,求ABC V 的周长.8.(2022·全国·高考真题)记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++.(1)若23C p=,求B ;(2)求222a b c +的最小值.9.(2021·天津·高考真题)在ABC V ,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin :sin :sin 2A B C =b =.(I )求a 的值;(II )求cos C 的值;(III )求sin 26C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.10.(2021·北京·高考真题)在ABC V 中,2cos c b B =,23C p=.(1)求B Ð;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC V 存在且唯一确定,求BC 边上中线的长.条件①:c =;条件②:ABC V 的周长为4+条件③:ABC V 11.(2021·全国·高考真题)记ABC V 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C Ð=.(1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC Ð.1.1.12.(2020·全国·高考真题)如图,在三棱锥P –ABC 的平面展开图中,AC =1,AB AD =AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE =30°,则cos ∠FCB =.13.(2020·天津·高考真题)在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知 5,a b c ===(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.14.(2020·北京·高考真题)在ABC V 中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(Ⅰ)a 的值:(Ⅱ)sin C 和ABC V 的面积.条件①:17,cos 7c A ==-;条件②:19cos ,cos 816A B ==.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.15.(2020·浙江·高考真题)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin 0b A =.(I )求角B 的大小;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.16.(2020·山东·高考真题)在①ac =②sin 3c A =,③=c 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC V ,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin A B =,6C p=,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.17.(2020·江苏·高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ==︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC Ð=-,求tan DAC Ð的值.18.(2020·全国·高考真题)ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a ,b ,求ABC V 的面积;(2)若sin A C ,求C .19.(2020·全国·高考真题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25cos ()cos 24A A p ++=.(1)求A ;(2)若b c -=,证明:△ABC 是直角三角形.20.(2020·全国·高考真题)ABC V 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin C .(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC V 周长的最大值.。

专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)

专题24 正弦定理和余弦定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题24正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.基础知识融会贯通1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则2.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况3.三角形常用面积公式(1)S =12a ·h a (h a表示边a 上的高);(2)S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ;(3)S =12r (a +b +c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A +B +C =π; 变形:A +B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A +B )=sin C ;(2)cos(A +B )=-cos C ; (3)sinA +B 2=cosC 2;(4)cos A +B 2=sin C 2. 3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ; b =a cos C +c cos A ; c =b cos A +a cos B .重点难点突破【题型一】利用正、余弦定理解三角形【典型例题】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,△ABC 的面积为S ,且.(1)若C =60°且b =1,求a 边的值;(2)当时,求∠A 的大小.【再练一题】在△ABC 中,AB =6,.(1)若,求△ABC 的面积;(2)若点D 在BC 边上且BD =2DC ,AD =BD ,求BC 的长.思维升华 (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.【题型二】和三角形面积有关的问题【典型例题】△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知.(1)求角A ;(2)若a =2,求△ABC 面积的最大值. 【再练一题】如图所示,在平面四边形ABCD 中,若AD =2,CD =4,△ABC 为正三角形,则△BCD 面积的最大值为 .思维升华 (1)对于面积公式S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【题型三】正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状 【典型例题】已知a .b .c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边,若c <b cos A ,则△ABC 的形状为( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .等边三角形【再练一题】 在△ABC 中,若22,则△ABC 是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形命题点2 求解几何计算问题 【典型例题】在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且b =2,B =60°,△ABC 的面积为,则a +c =( )A .4B .C .2D .【再练一题】如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,∠BAC =90°,.(1)设∠DAC =30°,求角B 的大小; (2)设BD =2DC =2x ,且,求x 的值.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系.②化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,此时要注意应用A +B +C =π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意:①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.基础知识训练1.【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试(一)】平行四边形ABCD 中,AB=2,AD=3,AC=4,则BD=( ) A .4BCD2.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】在ABC ∆中,1cos 3A =,2AB =,3BC =,则ABC ∆的面积为( ) A .1B .2C .12x x D.3.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试(一模)】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1a =cos )cos 0A C C b A ++=,则角A =( )A .23πB .3πC .6πD .56π 4.【山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试试题】在ABC ∆中,角,,A B C 对边分别是,,a b c ,满足22()6,3c a b C π=−+=,则ABC ∆的面积为( )A .B .2C .2D .325.【江西省名校(临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】在ABC ∆中,543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==,则sin :sin :sin A B C =( )A .9:7:8BC .6:8:7D 6.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在V ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos cos a A b B =,且2c = ,3sin 5C =,则V ABC 的面积为( )A .3B .23C .3或13 D .6或237.【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若ABC ∆的面为S ,且()22a b c =+−,则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1BCD 8.【广东省六校2019届高三第四次联考】在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ,满足()22sin 40a a B B −+=,b =ABC △的面积为A .BC .D9.【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知在锐角ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2cos cos b C c B =,则111tan tan tan A B C++的最小值为( )A B C D .10.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b =4c =.且cos 3cos a B b A =,则ABC ∆的面积为( )A .2B .3C .4D .11.【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试】设V ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若a =6b =,1cos 2B =−,那么角C 的大小为__________.12.【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷(新课标I)】若ABC ∆)222a c b +−,则B ∠=________.13.【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,a b c ,,若cos cos 2cos b C c B a B +=,且4,6a b == ,则ABC ∆的面积为_______. 14.【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,BC 边上的高为2a ,则22b cc b +的最大值是______. 15.【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos Ccos cos cos 2ab Ac A B +=,ABC ∆,则ABC ∆周长的最小值为______. 16.【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且=c ,2sin B A =.(1)求cos B ;(2)若2a =,求ABC ∆的面积.17.【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】如图所示,锐角ABC ∆中,AC =D 在线段BC上,且CD =ACD ∆的面积为,延长BA 至E ,使得EC BC ⊥.(Ⅰ)求AD 的值; (Ⅱ)若2sin 3BEC ∠=,求AE 的值. 18.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图ABC ∆中,D 为BC 的中点,AB =4AC =,3AD =.(1)求边BC 的长;(2)点E 在边AB 上,若CE 是BCA ∠的角平分线,求BCE ∆的面积.19.【陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a b c =+,且ABC ∆外接圆的半径为1,求ABC ∆的面积.20.【天津市南开区2019届高三下学期模拟考试】在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,B=2C ,sinC=4Ⅰ.求cosA 的值; Ⅱ.设bc=24,求边a 的长.能力提升训练1.【安徽省江淮十校2019届高三第三次联考】已知在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且6a =,点O 为其外接圆的圆心.已知·15BO AC =,则当角C 取到最大值时ABC △的面积为( )A.B .C D .2.【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为,,a b c ,若4ac =,sin 2sin cos 0B C A +=,则ABC ∆面积的最大值为( ) A .1B .3C .2D .43.【福建省2019届高三毕业班3月质量检测考试】在ABC ∆中,30B =,3BC =,AB =点D 在边BC 上,点,B C 关于直线AD 的对称点分别为B ,C '',则BB C ''∆的面积的最大值为A .92−B .7C .7D .24.【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a C c A b B +=,且cos22sin sin 1B A C +=,则2a b c −+=( )A .2B C .2 D .05.【湘赣十四校(湖南省长郡中学、江西省南昌市第二中学等)2019届高三下学期第一次联考】在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2(sin sin cos )sin a A c B A b B −=,且230cos()9cos 21650B C A λλ++++≤恒成立,则λ的取值范围是( )A .11,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ B .71,8⎡⎤−⎢⎥⎣⎦C .7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .7,88⎡⎢⎣⎦6.【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试】设分别是的内角的对边,已知,设是边的中点,且的面积为,则等于( )A .2B .4C .-4D .-27.【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测】已知在△ABC 中,222a c ac b +−=. (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)求cos cos A C +的最大值.8.【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试】已知ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c ,,,若cos sin a b C c B =+(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b = ,求ABC ∆面积的最大值。

高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理

高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理



,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2


a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,





sin B=2× = ,


2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,


2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+




综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=



=


.


- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.








解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×


(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】

2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】
_ _______; _ _______; ________
(注: 为 外接圆的半径)
2.三角形常用面积公式
(1) ( 表示边 上的高).
(2) __________=__________.
(3) ( 为三角形内切圆半径).
(4) .
【练一练】
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 ,则 _ _.
解析:由题意,得 ,又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形(自主练透)
1.在 中,已知 , , ,则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析:选C.在 中,设 , , ,由余弦定理得 ,因为 为 的内角,所以 .故选C.

3.已知 中, , , ,则 ( )A. B. C. D.
解析:选D.由正弦定理,得 ,得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.

4.在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 , , ,则 ____, ___.
解析:选C.由正弦定理得 ,所以 ,所以 不存在,即满足条件的三角形不存在.

2.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 , , ,则 _ _, ___.
5
解析:在 中,由正弦定理得 ,所以 ,所以 .在 中,由余弦定理得 ,得 ,即 ,解得 或 ,经检验, 不符合要求,所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且 , , ,则 ___.
2
解析:因为 ,所以由正弦定理得 ,又 ,所以 ,因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ,解得 或 (舍去),故 .

第04讲 解三角形(八大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

第04讲 解三角形(八大题型)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
所以sin( − )
sin
cos
(2)由题意可知cos =
= sinsin,所以sin( − )sin = sinsincos,
即sincossin − cossinsin = sinsincos,
2 + 2 −2
2
− ⋅
2 + 2 −2
【解析】 − cos < 0,
在三角形中sin > 0,
所以由正弦定理可得2sin − 2sincos < 0
所以cos < 0,
所以sin − sincos < 0,
所以为钝角,
所以sin( + ) − sincos < 0,
所以sincos + cossin − sincos < 0,
∴△ 为等腰三角形或直角三角形.
故选:D.

题型三:判断三角形的形状
【对点训练4】(2023·全国·高三专题练习)在△ 中,角,,的对边分别为,,,且 − cos < 0,则△
形状为(

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
所以sincos < 0,
2024
高考一轮复习讲练测
第04讲 解三角形
导师:稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定
理及其变形.

正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

三角形面积问题的常见类型
(1)求三角形面积,一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等,求出角与边,再求面积;
(2)已知三角形面积解三角形,常选用已知邻边求出其夹角,或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
(3)已知与三角形面积有关的关系式,常选用关系式中的角作为面积公
式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
(1)求∠;
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×



= ,解得 = (负值已舍去).

方法一:由正弦定理,得

=

,即∠





以 =
, = ,所以



△ = ∠ =






− =



×


=


− ,所以



+

,所以

= ,即 + − = ,又 = ,所
× ×


=

.


1.已知在△ 中,角,,的对边分别为,,, = , = , = ∘ ,
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解


解析:选C.由正弦定理得

D.有解但解的个数不确定
=

,所以

所以不存在,即满足条件的三角形不存在.
=

2025届高考数学一轮复习讲义

高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第六节 正弦定理和余弦定理(课件)

高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第六节 正弦定理和余弦定理(课件)

关键能力—考点突破
答案:B
答案:A
答案:A
答案:D
反思感悟 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
考点二 判断三角形的形状 [基础性、综合性] [例1] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C +c cos B=a sin A,则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
答案:A
答案:B
答案:D
(2)若a=3,求△ABC的面积.
反思感悟 求三角形面积的方法
角度2 与最值(范围)有关的问题 [例3] 在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(a+b+ c)·(a+b-c)=3ab. (1)求角C的值;
(2)若c=2,且△ABC为锐角三角形,求a+b的取值范围.
反思感悟 求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题
在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时,一般将其转 化为一个角的一个三角函数,利用三角函数的有界性求解,或利用余 弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.
答案:A
答案:A
答案:B
4.[2023·浙江高三模拟]在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,AC sin A=2sin ∠ABD,则BD=__1__,△ABC面积的最大值为______.
答案:C
5.(忽视cos C=0,出现丢根)在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为____直_角__三__角_形__或__等__腰_三__角__形__.
解析:∵sin A cos C-sin B cos C=0 ∴cos C(sin A-sin B)=0 即cos C=0或sin A=sin B. 若cos C=0,则C=90°,即为直角三角形;若sin A=sin B,则A=B.即为等腰三 角形.
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正弦定理和余弦定理(解三角形)高三一
轮复习专题
正弦定理和余弦定理专题讲义(约3-4课时)
一、高考要求
1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式;
2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。

3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。

二、知识回顾(学生课前自学)
设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C.
1.角与角关系:A+B+C = π,
2.边与边关系:a + b c,b + c a,c + a b,
a-b c,b-c a,c-a b.
3.边与角关系:
1)正弦定理(R为外接圆半径)
变式1:a = 2R sinA,b= 2R sinB,c= 2R sinC变式2:变式3:,,
2)余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA.
变式1:;.;. .
4. 三角形面积公式:
(其中r为内切圆半径,R为外接圆半径,s为半周长)
5、关于三角形内角的常用三角恒等式:三角形内角定理的变形
①由A+B+C=π,知A=π-(B+C)可得出:
sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C).
②而.有:,.三互动探究探究一正弦定理的应用
考点分析:①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形.
方法点拨:针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况:无解、一解、两解;判定方法:方法1【代数法】:大边对大角、内角和为、三角函数值不能大于1;
方法2【几何法】:当为锐角时、①或时、一解;②时、两解;③时、无解.当为直角或钝角时、①时、一解;②时、无解.
例如1:在中、求其余的边和角.
例如2:在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.
变式训练1:(2009·广东高考)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=c=+,且∠A=75°,则b =(
)
A.2B.4+2C.4-2D.-
变式训练2:在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于______,AC的取值范围为________.
变式训练3:3.下列判断中不正确的结论的序号是.
①△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解;②△AB C中,a=30,b=25,A=150°,有一解
③△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解;④△ABC中,
b=9,c=10,B=60°,无解
答案:例1:;例2:A=60°,C=75°,c=或A=120°,
C=15°,c=;变式1:A;变式2::2 , (,);变式3:
①③④;探究二余弦定理应用
考点分析:①知三边、解三角形. ②知两边及夹角、解三角形.
例如3:(1)在三角形中,,则的大小为()A.B. C.D.
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知则A=.
变式训练4:△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.
(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;
答案:例3:A、;变式4:,1。

探究三正、余弦定理的综合应用考点一判定三角形形状
方法点拨:①知识要求:灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式;②能力要求:统一成边的思想、或统一成角的思想和方程组思想.
例如4:在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=
(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.
变式训练5:在△ABC中, ,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
变式训练6:.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且
sinC=2sinAcosB,则△ABC是三角形.
答案:例4:△ABC为等腰或直角三角形.变式5:B;变式6:等边三角形;考点二三角形面积(注重方程组思想)
例如5:(2009·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,·=3.
(1) 求△ABC的面积; (2)若c=1,求a的值.
变式训练7:.在△ABC中,AB=,AC=1,B=,则△ABC的
面积等于(
)
A.B.C.或D.或
答案:例5:S△ABC=2. a=2. 变式7:D考点三角或边的
范围
方法点拨:主要是函数思想、基本不等式、三角函数有界性
的应用。

例如6:(1)锐角△ABC中,若A=2B,则的取值范围是 (
)
A.(1,2) B.(1,) C.(,2)D.(,)
(2) 在△ABC中,,则边的取值范围是()A.B.C.D.
变式训练8:在△ABC中, ,若三角形有两解,则边的范围是()
若三角形有一解,则边的范围是()
A.B. C.D.
变式训练9:在△ABC中,①则角A的取值范围是();
② -------.
A.B.C.D.
答案:例6: D, B;变式8:D,B;;变式9:A , 1.探
究四正、余弦定理的实际应用
例如7:为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架,如图所示,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固,要求AC的长度越短越好,求AC最短为多少米?且当AC最短时,BC长度为多少米?
答案: AC最短为(2+)米,此时,BC长为(1+)米.
变式训练10:如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等于60°,半径为2,在弧AB上有一动点P,过P引平行于OB的直线和OA交于点C,设∠AOP=,求△POC面积的最大值及此时的值.
答案:=时,S()取得最大值为.四思维训练与能力提高
1.(2010上海)18.若△的三个内角满足,则△
(A)一定是锐角三角形.(B)一定是直角三角形.
(C)一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
2.(2010湖南)6、在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,,则
A、ab
B、ab
C、a=b
D、a与b的大小关系不能确定
3、定义在R上的偶函数满足,且在区间上是减函数,若A、B是锐角三角形的两个内角,则
A、B、
C、D、
4.(2010广东理)11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC=.
5.在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且=-. (1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
答案:1.C ;2.A 3.A;4.1;5.B=,.。

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