基本概念：动量、动量矩、动能
刚体的动量矩及转动动能
§6、刚体的动量矩及转动动能上次课我们将质点组的两个基本动力学定理，即质心运动定理和动量矩定理:M dtd dt J d M F r v m r Fre ii i i i e ic=⨯∑=⨯∑=∑=)(,)( 应用于刚体，于是就给出了描述刚体动力学规律的基本运动微分方程。
虽然上次课已经给出刚体动力学基本方程，但是对基本方程中的动量矩的具体形式并没有给出，这次课我们仍然以质点组的动量矩和动能定义为出发点推出刚体的动量矩以及刚体的转动动能。
下面我们先讨论：一、 刚体定点转动的动量矩：假设刚体在某一时刻以角速度ω转动。
取刚体上任一质点p i 的质量为m i 。
它相对固定点O 点的位矢量为i r。
那么根据质点组的动量矩定义式可得整个刚体对固定点0的动量矩是：)(v m r i i i iJ⨯=∑因为，r w v ii⨯= 所以，它就等于)(r w m r iiii⨯⨯∑ 根据矢量多重叉积的基本公式：c b a b c a c b a)()()(⋅-⋅=⨯⨯ 可得[]][r r m w r m r w r w r r m rw r m iiiiiiiiiiiiiiiiIiw i J)()()(2)(⋅=-⋅=⨯=∑-∑⋅∑⨯∑由此可以看出，动量矩J 一般不与角速度ω 共线，只有0≡⋅w r时， j 与w 才是共线的。
由于角动量是个矢量，如果我们确定了坐标系，那么就可以将它写成分量形式。
如图所示，建立直角坐标系O —X 、Y 、Z(并与绕定轴转动的刚体固连在一起，坐标这样取在目前的情况下比较方便。
因为刚体上任一点的坐标（x,y,z ）不管刚体怎样运动，它们相对刚体都是不随时间改变的常数，所以取与刚体固定的动坐标系比较方便。
)则i r 和w在三正交坐标轴的分量……则：kw jw i w wk z jy ix rz yxiiii++=++=,于是可得动量矩在x 轴上的分量：wz x m wy x m wzy m xw z wy wx m wz yx m Jxiiyiixii i iziyixii xi ii i zi i )()()()()(22222∑∑∑∑∑--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-++=同理可得：wx ym w z y m wz x m J w z y m wz ym w y x m J ziiiyii xiiz ziiyi iixii y i i i i )()()()()()(2222++--=-++-=∑∑∑∑∑∑ 在这儿我们就令：)))222222(((x y m I z x m I z ym I iiizziiiyyiii xx +∑+∑+∑=== ∑∑∑======x z m IIy z m I I y x m I Iii i xzzxii i zy yzii i yxxy则动量矩在直角坐标系中的分量式就可简写为：wI w I w I J w I w I w I J w I w I w I Jzzzyzyxzxzzyzyyyxyxy zxzyxyxxxx +---=-+=--=：由这些分量式也可以看出刚体绕固定点转动的动量矩的分量与角速度的三个分量 w w w zy x ,,都有关。
第九章 动量定理和动量矩定理
i
i
mi aC F i
(e)
C
i
i
i
C
i
——质心运动定理： 质点系的质量与质心绝对 加速度的乘积等于作用于 质点系的外力的主矢。 质点系的内力不影响质心 的运动，只有外力才能改 变质心的运动。
i
i
C
i
该定律的投影式为： 直角坐标式
mi aCx F (e) mi aCy F iy (e) mi aCz F iz 自然坐标式
F
(e) ix
0
则：vCx＝恒代数量
四、解题步骤 分析质点系所受的全部外力，含主动力和约束反力。 为求未知力，可先计算质心绝对坐标，求出质心绝 对加速度，然后用质心运动定律求解。
在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，其解 法与质点动力学第二类问题相同。
如果外力主矢为零，且初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心的坐标， 令其相等，即可求得所求质点的位移。
质点系动量的增量等于作 用于质点系的外力元冲量 的矢量和。
由dp d I i( e) F i( e ) dt
d mi v i dt mi ai F i( e )
质点系动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的 外力的矢量和（主矢）。 积分形式 由 dp F i( e ) dt
M O (F )
z
F
mv
〃Q MO(F) O y
x
直角坐标投影式为
d M x (mv ) M x (F ) dt d M y (mv ) M y (F ) dt d M z (mv ) M z (F ) dt
大学理论力学复习(201012)
(b)
58
2、平面力系向作用面内任意一点简化，得主矢 量相等、主矩也相等，且主矩不为零，则该平面 力系简化的最后结果是： (a) 一个和力；
(b) 一个力偶；
(c) 平衡。
(b)
59
3、 两直角曲杆（自重不计），各受力偶m作 用，A1和A2处的约束力分别为R1和R2,则其 大小应满足： (a) R1>R2; (b)R1=R2; (c) R1<R2
1 1 2 2 2 T2 J O ml 2 6
1 W M O 2 mgl (1 cos )
2
动能定理 1 ml 2 2 mgl 1 mgl (1 co
l 两边求导： M O mg 2
47
下列图形在纸平面内运动，图中画出各点的 速度，图 可能，图 不可能。
A B A B C （a） （b） （c） O B A
b
a、c
32
刚体作平动时，各点的轨迹一定是直线或平 面曲线。这种说法对吗? 解答 刚体作平动时，各点的轨迹不一定是 直线或平面曲线，也可以是空间曲线。 刚体绕定轴转动时，各点的轨迹一定是圆。 这种说法对吗? 解答 刚体绕定轴转动时，转轴外各点的轨 迹一定是圆 (或圆弧)。
A
XA MA=0,
MA-Qa-Pa+M+qa(7a/2)XD(4a)+YD (2a) ＝0
MA＝2qa2
18
运
动
学
19
点的运动
描述点运动的矢量法 描述点运动的直角坐标法 描述点运动的自然坐标法 三种坐标中位置、速度、加速度的表示
20
r = r (t)
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
第十一章 动量定理
rC =
式中
∑ m r = ∑ mr M ∑m
i i i
（11-3）
M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为
xC =
∑ mx
M
yC =
∑ my
M
zC =
∑mz
M
（11-4）
质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度
（11-13）
式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力
dp = ∑ F e dt
将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1 到 p2，得
p2 − p1 = ∑ ∫ F e dt = ∑ I e
t2 t1 e
（11-14）
式中 I e 表示力 F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得
p y = − m A v A sin θ + 0 = − mv sin θ
系统的动量大小为
p=
2 px + p2 y = mv 2 (1 + cos θ )
其方向可由方向余弦来确定
cos α = px =− p 1 + cos θ 2 (1 + cos θ ) , sin β = py p =− sin θ 2 (1 + cos θ )
动量定理和动量矩定理
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
10第十章动量定理
设 FN FN FN
FN 为静约束力
FN 为附加动约束力
qV r(vb va ) G Fa Fb FN FN
G Fa Fb FN 0
Fa a a1
得附加动反力为
FN qV r(vb va )
va a a1
FN
G
b b1
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos w t
y
w
A
2(m1 m2 ) l coswt
2m1 m2
Oj
x
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
wt
m1 2m1
m2
l sin
wt
B
消去t 得轨迹方程
[
xC
]2 [
yC
]2 1
2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
则 px 为恒量
例 质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。 不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。
解: 取机车和车厢为质点系。 由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有
Px＝常量
撞接前 px1 m1v1 0 撞接后 px2 (m1 m2 )v
故有 m1v1 (m1 m2 )v
§10－2 动量定理
1、质点的动量定理 质点动力学基本方程：
ma mdv F dt
将m放入微分号内，得 d(mv) F dt
称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数 等于作用于质点上的所有力的合力矢。
动量矩公式
动量矩公式
动量矩公式是物理学中的一种重要公式，它可以描述物体运动的特征。
这种公式可以用来解释物体的运动，描述物体的质量、速度和位移的关系。
动量矩公式的基本概念是物体的动量，它是指物体运动的一个量，表示物体运动的总量。
动量矩公式可以用来表示物体运动的总量，它表明物体的质量和速度是相关的。
它说明，物体运动的总量是物体的质量乘以它的速度：
动量矩公式：P = mv
其中，P是物体的动量，m是物体的质量，v是物体的速度。
动量矩公式也可以用来研究物体的运动，它表明物体运动的总量是物体的质量乘以它的位移：
动量矩公式：P = mΔx
其中，P是物体的动量，m是物体的质量，Δx是物体的位移。
动量矩公式可以用来描述物体的运动，它可以帮助我们了解物体的动态特征，从而帮助我们更好地理解它的运动规律。
动量矩公式也可以用来计算物体的运动能量。
总而言之，动量矩公式是物理学中的一种重要公式，它可以用来描述物体的运动，描述物体的质量、速度和位移的关系，以及物体的运动能量。
它是一种重要工具，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，从而帮助我们更好地分析物理问题。
第18章 动能定理总结
k
绳保持不动，圆盘可看成沿细 D
s FT
绳作纯滚动，其运动分析及受 力如图 18-1b 所示。
2．计算系统的动能 设平面运动的圆盘，其质 心由静止下滚 s 距离后，速度
Cr B
θ
FP D
Cω
F
vC mg
B
FN
为 vC，动能为
T1 = 0
T2
=
1 2
mvC2
+
1 2
JCω 2
a）
b）
图 18-1 例题 18-1 图
18.1 教学要求与学习目标
1. 正确理解功的概念，能够熟练地计算重力、弹性力以及摩 擦力的功。
2. 正确理解动能的概念，能够熟练地计算质点系、刚体及刚 体系的动能。
3. 正确认识和理解动能定理以及动能定理的微分形式或积 分形式，能够准确地应用动能定理建立系统运动微分方程，解决 系统已知力求运动的问题。
2
2
3 2
mvC aC
=
3 mgs − kss − mgsf 2
8
因为 s = vC ，求得质心的加速度为
aC
=
g 3
(
3 − 2 f ) − 2ks 3m
【例题 18-2】图 18-2a 所示质量为 m 的均质杆 AB，长为 l，直立在光滑 水平面上，求杆从铅垂位置无初速倒下至 θ 角时的角速度、角加速度及 B 处的约束力。
1. 一般情形下，作用在质点系（刚体系）上的力系（包括内 力系）非常复杂，需要认真分析哪些力做功，哪些力不做功。在 动量和动量矩定理中，只有外力系起作用，内力不改变系统的动 量或动量矩；在能量方法中，内力对系统的能量改变是有影响的， 许多内力是做功的，这是学习本章内容时必须注意的。
力学11-动量矩,动量矩定理,动量矩守恒定律
v
∴ ∑ miυi = 0 v
v
转动时， 转动时，
∴ ∑ miυi = 0
结论： 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——动量矩（角动量） 动量矩（ 必须引入新的物理量 动量矩 角动量）
A外 + A = mgs 内
∆Ek = 1 mυ 2 + 1 Jω 2 2 2 = 1 mR2ω 2 + 1 MR2ω 2 2 4 mgs 2 ω= 并非匀速） R 2m + M （并非匀速）
+
2mg 2 mg 1 ds dω = = β= (2m + M )R R 2m + M 2 s dt dt
L = rp = mrv
Lz = r × p = r × mv
2
Lz = rmυ = r mω = J zω
第六章 刚体力学基础 动量矩
10
质点作任何运动都可以用动量矩来描述其运动状态
例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 v v mυ1 L v v v mυ2 ov v r2 o r1 mυ r
三. 定轴转动的动能定理 ——力矩的持续作用规律 力矩的持续作用规律
作用下，角坐标由θ 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： 角速度 由刚体转动定理：
dω M = Jβ = J dt
Mdθ = Jωdω
对于整个运动过程
∫θ
θ2
基本概念：动量、动量矩、动能
B
POC
1 = m1lω 2
PAB + PA + PB = (2m1 + m2 + m2 )lω = 2(m1+m2)lω
P = (2.5m1 + 2m2)lω
6
例题11-2. 在图示系统中,均质杆OA、AB与均质轮 的质量均为m,OA杆的长度为l1,AB杆的长度为l2,轮 的半径为R,轮沿水平面作纯滚动.在图示瞬时,OA 杆的角速度为ω,求整个系统的动量.
1 vr = ωl 2
vcy
v vc vcx
B
设 杆AB质心 C 的速度为vC
ω
1 1 v cx = v + ω l cos θ vcy = ω l sin θ 2 2 1 1 PABy = m ω l sin θ PABx = mv + m ω l cos θ 2 2 1 1 Py = m ω l sin θ Px = (M + m)v + mωl cos θ 2 2
B C
o
v A
θ
解: T = TA + TAB
1 3 3 2 2 TA = × MR ω A = Mv 2 2 2 4
I
B C
v A
θ
I 为AB杆的瞬心
ωΑΒ
T AB
v = l sin θ
1 2 l 1 2 J I = ml + m = ml 12 2 3
2
1 mv 2 1 2 = J I ω AB = = mv 2 2 6 sin 2 θ 3
2. 动 量 矩 定 理
2-1.基本概念和定理 基本概念和定理
2-2.例 题 例题 2-1. 例题 2-2. 例题 2-3.
山东大学《理论力学》教案第13章 动能定理
第13章 动能定理一、目的要求1．对功和功率的概念有清晰的理解，能熟练地计算重力、弹性力和力矩的功。
2．能熟练地计算平动刚体、定轴转动刚体和平面运动刚体的动能，重力和弹性力的势能。
3．熟知何种约束反力的功为零，何种内力的功之和为零。
4．能熟练地应用动能定理和机械能守恒定律解动力学问题。
5．能熟练地应用动力学基本定理解动力学的综合问题。
二、基本内容1．基本概念力的功；质点和质点系的动能；动能定理；功率、功率方程、机械效率；势力场、势能、机械能守恒定律；动力学基本定理的综合应用。
2．主要公式微分形式 ∑==ni Fi W dT 1δ积分形式 ∑=-Fi W T T 12具有理想约束的质点系，其动能的改变（增量或对时间的一阶导数），等于作用于质点系的主动力的元功之和；在理想的约束条件下，质点系在某一段运动过程中起点和终点的动能改变量，等于作用于质点系的主动力在这段过程中所作的功的和。
三、重点和难点1．重点：（1）力的功和物体动能的计算。
（2）动能定理和机械能守恒定律的应用。
（3）动力学基本定理的综合问题。
2．难点：综合应用动力学基本定理求解动力学问题，运动学补充条件（方程）的提出。
四、教学建议1.教学提示（1）讲清力的功的一般形式，反复练习重力的功、弹性力的功和力矩的功的计算，搞清圆轮纯滚时摩擦力为什么不作功。
（2）在复习物理课程有关内容的基础上，熟练计算刚体系统的动能，强调动能表达式中的速度（角速度）一定用绝对速度（绝对角速度）；反复练习取整体为研究对象，用动能定理求运动的问题；强调用动能定理的积分形式可求解任何运动问题；强调用动能定理解题是以整体为研究对象。
（3）讲清动量、动量矩定理与动能定理的异同点。
通过练习，明确各定理适合求解的问题及解题特点。
（4）本章重点是动力学基本定理的综合应用，要多举各种类型的例子，把握“先求运动后求力”的解题思路，使学生熟练掌握。
强调求运动，可用动能定理，求力可用动量定理（质心运动定理）或达朗伯原理。
动量矩守恒定律动量守恒定律动能
动量矩守恒定律动量守恒定律动能动量矩守恒定律是物理学中的重要定律之一，它告诉我们在一个封闭系统中，如果外部力矩为零，则系统的角动量将守恒不变。
而动量守恒定律则告诉我们在一个封闭系统中，如果外部力为零，则系统的动量将守恒不变。
这两个定律在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解许多物理现象。
首先，让我们来看一下动量守恒定律。
动量是物体的运动状态的量度，它是质量和速度的乘积。
当一个物体受到外部力的作用时，它的动量会发生改变。
然而，如果一个系统是封闭的，即没有外部力的作用，那么系统的总动量将守恒不变。
这就意味着，系统中任何一个物体的动量的改变都会以相等的方式被其他物体所吸收，从而确保系统总动量守恒。
举一个简单的例子来说明动量守恒定律：假设有两个物体A和B 在一条直线上以相同的速度相向而行，它们的质量分别为m1和m2。
当它们发生碰撞时，根据动量守恒定律，它们的总动量在碰撞前后都将保持不变。
假设碰撞后物体A的速度为v1’，物体B的速度为v2’，那么根据动量守恒定律有m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’。
这个简单的例子清楚地展示了动量守恒定律的应用。
接下来，让我们来看一下动量矩守恒定律。
角动量是物体围绕某一轴旋转时的运动状态的量度，它是质量、速度和与轴的距离的乘积。
当一个物体受到外部力矩的作用时，它的角动量会发生改变。
然而，如果一个系统是封闭的，即外部力矩为零，那么系统的总角动量将守恒不变。
举一个简单的例子来说明角动量守恒定律：假设有一个转动的物体在没有外力矩的情况下保持着一定的角速度，当它改变形状或者重新分布质量分布时，它的角动量将保持不变。
这个例子清楚地展示了角动量守恒定律的应用。
总的来说，动量守恒定律和角动量守恒定律是非常重要的物理定律，它们可以帮助我们理解并解释许多物理现象。
在实际应用中，我们可以利用这些定律来计算碰撞、旋转等各种物理过程中的动量和角动量的变化，从而更好地理解系统的运动状态。
什么是动力学_有哪些内容
什么是动力学_有哪些内容动力学是理论力学的分支学科，研究作用于物体的力与物体运动的关系。
那么你对动力学了解多少呢?以下是由整理关于什么是动力学的内容，希望大家喜欢!动力学的研究对象是运动速度远小于光速的宏观物体。
原子和亚原子粒子的动力学研究属于量子力学，可以比拟光速的高速运动的研究则属于相对论力学。
动力学是物理学和天文学的基础，也是许多工程学科的基础。
许多数学上的进展常与解决动力学问题有关，所以数学家对动力学有浓厚的兴趣。
动力学的研究以牛顿运动定律为基础;牛顿运动定律的建立则以实验为依据。
动力学是牛顿力学或经典力学的一部分，但自20世纪以来，动力学又常被人们理解为侧重于工程技术应用方面的一个力学分支。
动力学的基本内容包括质点动力学、质点系动力学、刚体动力学，达朗伯原理等。
以动力学为基础而发展出来的应用学科有天体力学、振动理论、运动稳定性理论、陀螺力学、外弹道学、变质量力学以及正在发展中的多刚体系统动力学等(见振动，运动稳定性，变质量体运动，多刚体系统)。
质点动力学有两类基本问题:一是已知貭点的运动，求作用于质点上的力，二是已知作用于质点上的力，求质点的运动，求解第一类问题时只要对质点的运动方程取二阶导数，得到质点的加速度，代入牛顿第二定律，即可求得力;求解第二类问题时需要求解质点运动微分方程或求积分。
所谓质点运动微分方程就是把运动第二定律写为包含质点的坐标对时间的导数的方程。
动力学普遍定理是质点系动力学的基本定理，它包括动量定理、动量矩定理、动能定理以及由这三个基本定理推导出来的其他一些定理。
动量、动量矩和动能(见能)是描述质点、质点系和刚体运动的基本物理量。
作用于力学模型上的力或力矩与这些物理量之间的关系构成了动力学普遍定理。
二体问题和三体问题是质点系动力学中的经典问题。
刚体区别于其他质点系的特点是其质点之间距离的不变性。
推述刚体姿态的经典方法是用三个独立的欧拉角。
欧拉动力学方程是刚体动力学的基本方程，刚体定点转动动力学则是动力学中的经典理论。
理论力学基础动量定理讲解
微分形式： d(mv)FdtdI
t2
积分形式： mv2 mv1 Fdt I t1
理论力学基础动量定理讲解
21
投影形式： ddt(mvx)Fx
ddt(mvy) Fy ddt(mvz) Fz
质点的动量守恒
若 F 0 ，则 mv常矢量，
若 Fx 0 ，则 mvx 常量，
16
例题. 水平面上放一均质 三棱柱 A,在此三棱柱上又 放一均质三棱柱B. 两三棱
柱的横截面都是直角三角
B
形,且质量分别为M和m.设
各接触面都是光滑的,在图 A
示瞬时, 三棱柱A的速度为
v, 三棱柱B相对于A的速度 为u, 求该瞬时系统的动量.
理论力学基础动量定理讲解
17
解:取系统为研究对象
B
PAx = M v PAy = 0
A
v vcy vc
C
vcx
设 杆AB质心 C 的速度为vC
由 vc = ve + vr
ve = v
vr
1 2
l
B
1 vcxv2lc os
vcy
1l 2
sin
PAB x m v1 2mlcos PABy12mlsin
PxMmv1 2mlcos
பைடு நூலகம்
Py
1mlsin 2
理论力学基础动量定理讲解
则小三角块 vavvr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M(v)mavx0 M ( v) m (vrx v) 0
vvrxM m m S S rxM m 理论m 力学基础 动S 量 定理M 讲m 解m Srx M m m (ab)25
工程力学知识点总结
作用力和反作用力大小相等、方向相反、作 用在同一直线上。
牛顿第二定律
物体加速度与作用力成正比，与质量成反比。
应用
分析物体的运动状态、求解作用力的大小和 方向。
动量矩定理和动能定理
动量矩定理
刚体转动动量矩的变化 等于作用力矩与时间的 乘积。
动能定理
物体动能的变化等于合 外力所做的功。
应用
摩擦力与摩擦定律
详细描述：摩擦力是阻碍物体相对运动的力， 其方向与物体相对运动方向相反。
详细描述：摩擦定律指出滑动摩擦力的大小与接触面 的粗糙程度和正压力有关，而与接触面的面积无关。
总结词：摩擦力 总结词：摩擦定律
03 材料力学
材料的基本性质
弹性与塑性
材料在外力作用下发生形变，外力消失后恢复原状的性质 称为弹性；而外力作用后材料发生不可逆的形变，即塑性。
通过优化设计方法，寻求最优的结构 设计方案，以满足性能要求和降低成 本。
弹性力学基础
弹性力学基本方程
包括平衡方程、几何方程和物理方程，用于 描述弹性体的位移、应变和应力等。
弹性力学问题分类
根据问题的边界条件和载荷类型，将弹性力 学问题分为静力学问题和动力学问题。
弹性力学问题的求解方法
包括解析法和数值法，如有限元法、有限差 分法和边界元法等。
总结词
力的作用线
详细描述
力的作用线是连接力作用点与受力点的假想直线， 它决定了力的方向和大小。
总结词
力的平行四边形法则
详细描述
两个力合成时，以这两个力为邻边构成01
总结词：力的合成
02
详细描述：力的合成是通过求两个或多个力的合力来简化问题的方法。
3
加速度描述
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的半径为R,轮沿水平面作纯滚动.在图示瞬时,OA
杆的角速度为,求整个系统的动量.
A
B
O
7
解:系统由三个物体组 成. OA杆作定轴转动C为质心.
轮作平面运动B为质心.
O
A
vA
C
vC vB
B
AB杆作瞬时平动.
vC 1 2 l1
ml 1
v A v B l1
P POA PAB PB
POA
1 2
PAB ml 1
PB ml 1
5 2 ml 1
8
P
1 2
ml 1 ml 1 ml 1
例题1-2.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一 质量为m长度为 l的均质杆
A C
v
AB,当AB 杆与铅垂线的夹
角为 时,滑块A 的速度为
B
v, 杆AB的角速度为,求该
瞬时系统的动量.
解:取系统为研究对象.
P PA PAB
A
C
vcy
v
vc vcx
B
PAx = M v 由 vc = ve + vr
v cx v 1 2
1 2
PAy = 0 ve = v
vr 1 2 l
设 杆AB质心 C 的速度为vC
l cos
i
mi
v´
i
例题 2-1. 例题 2-2.
LO= JO JO = Meo
d dt Lo
LC= Jc JC = MeC
o
M
i 1
n
例题 2-3.
( Fi )
e
例题2-3. 均质直杆AB长
l ,质量为M ,静止于光滑
水平面上如图所示.若突 然把绳 OA 剪断,求此瞬 时点 B 的加速度和杆AB 的角加速度.
2
联立(3) (5)式得:
aB
3 g sin cos sin
2
3. 动 能 定 理
3.1.基本概念和定理
T
2m v
i
1
2 i
TO
1 2
JO
TI
1 2
JI
dT=dW 3.2. 例 题
T2 - T1 = W
T+V=c
例题 3-1; 例题 3-2;
O
A
C
t
B
度为常量.求图示瞬时系统
的动量.
5
解:系统由四个物体组成. 滑块A和B的质心与椭圆规尺AB 的质心C总是重合在一起,而AB作 平面运动.瞬心为I. IC = OC = l OA杆作定轴转动D为质心.
vD 1 2
POC
A
I
vC
vD
O
D t
C
B
l
vC l
1 2 m 1l
动力学习题课
内容提要
1.动量定理 2.动量矩定理
3.动能定理
4.综合应用
5.总结 6.课后练习
1.动 量 定 理
1-1.基本概念和定理
rc = mi ri / M
1-2.例 题
P = mi vi
P = M Vc
例题1-1. 例题1-2. 例题1-3.
P2 - P1 = Ie
(3) (4)
l sin
对AB进行受力分析并应用平面运动微分方程得: M c = 0 x M c = N - Mg y
1 12
(5) (6)
C
O A
Ml
2
Nl sin
(7)
B Mg N
联立(4) (6) (7)式得:
6 g sin l ( 1 6 sin
杆AB,在铅直平面内一端沿着水
B
平地面 ,另一端沿着铅垂墙面由
与铅垂方向成角的位置无初速 地滑下.不计接触处的摩擦力,求 在图示瞬时杆的角加速度 .
A
解:取杆AB 为研究对象,系统机械能守恒.
T 1 2 [ 1 12
2
ml
m ( ) ] 2
2
l
1 6
ml
2
V
1 6
B
C
3 2 A Mv 4
2
v
A
I 为AB杆的瞬心
T AB
v l sin
1 2 J I
2 AB
1 l JI ml m ml 12 3 2 1
2
2
2
mv 6 sin
2 2
1 3
2
mv
2
T
1 12
9 M
4 m v
例题3-2. 质量为m长为l的均质
例题3-1. 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑
的墙上,下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱中心速度 为v,杆与水平线的夹角=45 ,求该瞬时系统的动能.
B C
o
v A
解: T = TA + TAB
3 T A MR 2 2 1
2
I
1 2
mgl cos
B
I
ml
2
1 2
mgl cos c
A
两边同时求导并化简得:
g sin 4l
B
O A C
解:取AB杆为研究对象进行运动分析
AB = 0 aB= aC + aBC + anBC anBC = 0
a
BC
(1)
O A
1 2
l
(2)
aBC
B
C
把(1)式分别向x y 轴投影得:
- aB = 1 l cos xc 2
y 0 = c +
1 2
m l cos
v cy
1 2
l sin
1 2
1 2 m l sin
PABx mv
PABy
Py
m l sin
Px M m v
1 2
m l cos
2. 动 量 矩 定 理
2-1.基本概念和定理
2-2.例 题
LO= ri mi vi LC= r ´
P POC PAB PA PB
PAB PA PB ( 2 m 1 m 2 m 2 ) l
= 2(m1+m2)l
6
P = (2.5m1 + 2m2)l
例题11-2. 在图示系统中,均质杆OA、AB与均质轮
的质量均为m,OA杆的长度为l1,AB杆的长度为l2,轮
M ac = R e
11-2.质点系的动量定理 (1)动量: P = mi vi 质心: rc 质心ห้องสมุดไป่ตู้度:
mr m M m m i vi v
i i i
i
ri
c
M
质点系的动量
P = M vc
4
例题11-1. 图示椭圆规尺AB
的质量为 2m1 ,曲柄OC的质
量为m1 ,而滑块A和B的质量 均为m2.已知OC=AC=CB=l , 曲柄和尺的质心分别在其中 点上,曲柄绕O轴转动的角速