线性空间和线性映射优秀课件
线性空间与线性映射
λa1 + λb1 λ a + λ b 2 2
λa1 + µa1 λa + µa 2 2
第十一章 线性空间与线性映射
a1 + b1 + c1 ②．由 a + (b + c ) = ,(a + b ) + c = a2 + b2 + c2
a1 + b1 + c1 a + b + c 2 2 2
即见 a + (b + c ) = (a + b ) + c
第十一章 线性空间与线性映射
第十一章 线性空间与线性映射
§ 11. 2
⇐：设存在不全为0的数k1,…, kn ，使得 k1a1 + … + kn an = 0 不妨设k1 ≠ 0(k1,…, kn都一样)，于是
kn k2 k3 a1 = − ⋅ a2 − ⋅ a3 - … − ⋅ an k1 k1 k1
即，a1 可由其余线性表示。 由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：
11.2.2 线性相关 给定一组向量a1,…, an ，若其中有一个可由其余线性表示,则称 向量组a1,…, an 线性相关。 你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因 为没有比这更直白的说法了。你就记住： “线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。 这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。
第十一章 线性空间与线性映射
第一章线性空间与线性映射1
第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。
§1.1 数 域定义1 设F 是至少包含两个数的数集，如果F b a ∈∀,均有ab b a ,±F b ba∈≠)0(,，则称F 是数域。
例1 全体实数构成实数域，记为R 。
全体复数构成复数域，记为C 。
全体有理数构成有理数域，记为Q 。
例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。
例3设{|,}F a a Q b Q =∈∈，证明F 是数域。
证明 ,F αβ∀∈，则1122,,,a b a b Q ∃∈，使得1122,a a αβ==，易证,αβαβ±,(0)F αββ≠∈。
例4 证明任何数域F 都包含有理数域。
证明 因为F 中至少包含两个不同元素，所以0,≠∈∃a F a ，由运算的封闭性知F aa∈=1，112,123,F +=+=∈ 121,132F -=--=-∈，所以F 包含了全体整数，又由除法封闭性知F 包含有理数域。
和号：∑∑∑∑=====∈n j mi j i m i nj ji j i a aF a 1111,§1.2 线 性 空 间在线性代数中n R 是n 维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V 关于加法封闭，即,,x y V ∀∈有唯一的V y x ∈+。
在F 与V 之间定义一种运算称之为数乘，即V x F ∈∈λ∀,有唯一确定的V x ∈λ=ω与之对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V 为数域F 上的线性空间，V 中元素也称为V 中的向量，也记)(F V V =。
V y x x y y x ∈∀+=+,.1V z y x z y x z y x ∈∀++=++,,)()(.2.3V θ∃∈使,x x x V θ+=∀∈，称θ为零元素，也记为0。
线性空间PPT课件
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
第一章线性空间与线性映射
§1.5 线性映射与线性变换一、线性映射与线性变换定义1 设12,V V 是两个集合，若对1V 中的每一个x ，按某种对应法则T ，在2V 中都有唯一确定的y 与之对应，则称T 为由1V 到2V 的映射，记为12:T V V →，()T x y =。
称y 为x 在映射T 下的象，x 为原象，记11(){|(),}T V y y T x x V ==∈，称1()T V 是1V 在T 下的象集。
显然12()T V V ⊂，若12()T V V =，则称T 为满射。
定义2 设12,V V 是数域F 上的线性空间，如果1V 到2V 的映射T 满足：（1）()()()T x y T x T y +=+ 1,x y V ∀∈ （2）()()T x T x λλ= 1,x V F λ∀∈∀∈ 则称T 为1V 到2V 的线性映射。
称1()T V 为T 值域，记为()R T 。
例1 给定m n A ⨯∈R ，n x ∀∈R ，则:T y Ax =是n R 到m R 的线性映射。
定义2 若T 是V 到V 的（线性）映射，则称T 为V 的（线性）变换。
例2 定义(())()dT f x f x dx =，()[]n f x P x ∀∈，则T 是[]n P x 的线性变换。
例3 定义(())()xa T f x f t dt =⎰，()[,]f x C ab ∀∈，则T 为[,]C a b 的线性变换。
定理1 设12:()()T V F V F →是线性映射，则 （1）12()v v T θθ=；（2）T 将1V 中的线性相关组映射为2V 中的线性相关组； （3）()R T 是2V 的子空间； （4）1dim ()dim R T V ≤； （5）若112(,,,)n V L x x x =，有12()((),(),,())n R T L T x T x T x =。
证明 （1）因为11111()()()()v v v v v T T T T θθθθθ=+=+，所以12()v v T θθ=。
第3讲(1)线性空间与线性映射
算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空间
（或线性空间）． 5
设 α、β、γ ∈V，λ、μ ∈ R (1) α + β = β + α (2) (α + β) + γ = α + ( β + γ) (3) ∃0 ∈V，对∀α ∈V，都有α + 0 = α (4) ∀α ∈V，∃β ∈V，都有α + β = 0 (5) 1α = α (6) λ(μα) = (λμ)α (7) (λ + μ)α = λα + μα (8) λ(α + β) = λα + λ β
11
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例4. 正弦函数的集合 S [ x] = {s = Asin( x + B) A, B ∈ R}
对于通常的函数及 数乘函数的乘构成线性空间。 s1 + s2 = A1 sin( x + B1) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 sin x + b1 cos x) + (a2 sin x + b2 cos x) = (a1 + a2 )sin x + (b1 + b2 )cos x = Asin( x + B) ∈ S[ x] λ s 1 = λ A1 sin( x + B1)= (λ A1)sin(x + B1) ∈ S [ x] ∴ S [ x]是一线性空间。
= [λ + (−λ )]α = 0α = 0
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4. 如果λ α = 0，则λ = 0 或 α = 0.
证明：假设λ ≠ 0 ⇒ 1 (λ α) = 1 0 = 0
第讲线性空间与线性变换课件
即
0 x 0, x 0,1
f 的负元素为 f1 x f1 x, x 0,1
（2）下证 dimV ，即证存在任意多个线性无关 的函数。令
f0 x 1, f1 x x, f2 x x2, , fn x xn , x 0,1
则可证 f0, f1, , fn 线性无关，由于 n 任意大，所以
2、线性空间的简单性质
（1）零元素 是唯一的； （2）任意元素 的负元素 是唯一的；
（3）0 , k ,1 ;
（4）如果 k ，则 k 0 或 .
例1、设V 是定义在闭区间0,1 上所有实函数的集
合，在V 上定义的加法为：对 f1, f2 V , f1 f2 为函数
f1 f2 x f1 x f2 x
设，存在 Vi ,1 i m 1. 若 Vm ，得证。 否则， Vm ，必存在 Vm 。我们证明存在正整数 k , 使 k Vi 对所有的 i 1, 2, , m 成立。
首先注意 k Vm。否则，我们有 Vm ，矛盾。
我们证明上述断言成立，只需证明存在正整数 k ，使
k Vi 对 i 1, 2, , m 1 成立即可。
dimV . 即V 不是有限维线性空间。
例2、设V1,V2 是数域P上的线性空间，对 k P,
1,2 , 1, 2 V1 V2 , 规定 1,2 1, 2 1 1,2 2 k 1,2 k1, k2
（1）证明：V1 V2 关于以上运算构成P上的线性空间；
（2）设 dimV1 m,dimV2 n ，求 dimV1 V2 .
A
s
，作齐次线性方程组
Ax O
T s
可得它的基础解系1, 2, , ns（其中i 为 n 维列向量），
则有 iT j
第二章线性映射与线性变换 ppt课件
（3）线性变换的乘法：T1T2()=T1(T2())
则可以验证，T1+T2,kT, T1T2都是线性变换，因此L (V,V ) 是数 域P上的线性空间。 注：数乘变换和线性变换的数pp乘t课件运算是两个不同的概念. 23
ppt课件
15
解 在R [x] n中取基1=1， 2=x, … n=xn-1 ,在R[x]n-1中取基 1=1， 2=x, … n-1=xn-2，则
D( 1)=0= 01+0 2+ …+0 n-1 D( 2)=1= 1+0 2+ …+0 n-1 D( 3)=2x= 01+2 2+ …+0 n-1
④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应
于逆矩阵.
ppt课件
28
L(V,V)与Pnn同构；
例2 设线性空间R3 的线性变换 为
()= ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x1 x 2 )
求 在自然基底 1 , 2 , 3下的矩阵.
解： ( 1 ) (1, 0, 0) (1, 0,1)
,
nn
矩阵A称为线性变换T在基 1 , 2 , , n下的矩阵.
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注：
A的第i 列是 T ( i ) 在基 1, 2 , , n下的坐标，
它是唯一的. 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.
单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；
则D在基1，x, … xn-1与1，2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
线性代数第三章线性空间课件
将线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
am1x1 am2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
amn xn bm
（1）
的系数矩阵按列进行分块， 即 A 1, 2, , n ,
则方程组（１）可以写成
1x1 2 x2 n xn 线性方程组（１）有解当且仅当方程组的常数 项向量可以由其系数矩阵的列向量组线性表出．
并且，定义向量 与 的减法为
( ).
容易验证，向量的加法和数量乘法满足下面8条性质：
1）加法交换律： ；
2）加法结合律：( ) ( ) ；
3）对于任意的 n ，均有 0 ；
4）对于任意的 n，均存在负向量 ，使得
5） 1 ；
( ) 0;
II : 1, 2, , t 线性表出，且线性无关，则有 s t.
推论2 如果 I :1,2 , ,s 与 II : 1, 2, , t 等
价，且两个向量组均线性无关，则有 s t.
推论3 任意 n+1 个 n 维向量均线性相关．
定理5 设向量组 I :1,2 , ,s 线性无关，且
i (a1i , a2i , , ani )T , i 1, 2, , s.
于是，单个向量 组成的向量组线性相关当且仅当
0;
换句话说， 单个向量组 成的向量组线性无关当
且仅当
0.
定理2 如果向量组 I :1,2, ,s 的一个部分组线
性相关，那么这个向量组 I 就线性相关．
这个命题的逆否命题为：
如果向量组 I :1,2, ,s 线性无关，那么它任
何一个部分组也线性无关．
组系数矩阵的列向量组是线性相关的．或者说 齐次线性方程组（３）只有零解当且仅当方程
矩阵论_线性空间和线性映射课件.ppt
AX 0 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础
解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例3
设 1,2 ,
,
为
s
n
维线性空间
V
中的
一组向量，那么非空子集合
span1,2, ,s
k11 k22 kss ki F
构成线性空间 V 的一个子空间，称此子空间为有限生 成子空间，称 1,2 , ,s 为该子空间的生成元。
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F ( f )() f (t)e jtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
都是线性相关的函数组。
线性空间的基底与维数
定义：设 V 性无关的向量 1,2,,n ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1,2,,n 线性 表出:
k11 k22 knn
则称 1,2, ,n 为 V 的一个基底；(k1, k2, , kn )T 为 向量 在基底 1,2,,n 下的坐标。此时我们称 V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV=n。
an 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
线性空间与线性映射（一）
线性空间与线性映射（⼀）
关于线性空间也叫向量空间的理解
⾸先,客观上,从本质上来讲线性空间就是⽤来研究某⼀类事物在矩阵代数⾥的抽象的表⽰,线性空间也就是以向量为元素的集合,所以线性空间⾸先满⾜集合的概念和基本运算.
在集合基本运算中重点提⼀下笛卡尔积(叉乘),定义上讲X和Y的笛卡尔积就是两个集合中所有元素的有序对(x,y),平⾯就是两个直线的卡式积.通过笛卡尔积可以从映射的⾓度定义⼀下集合的加、减和数乘,例如:
给定⾮空集合V和数域F,若映射σ:V×V→V,即 (V1,V2)|→σ(V1,V2)则称σ为V上的加法,也就是从V和⾃⼰的卡式积中取出来的有序对经过映射σ后的出的元素还在V⾥⾯
若映射σ:V×F→V,即(V1,F1)|→σ(V)则称σ为V上的乘法,也就是从V和数域F的卡式积中的有序对经过映射σ后的出的元素在V⾥⾯.绕这么多的弯就是想要在这门学科中把加减乘除理解成为⼀个映射.
上⾯⼜引⼊了⼀个“域”的概念,域就是在集合的基础上要做到对加减乘除的封闭,例如⾃然数集N不是⼀个域因为他不对减法和除法封闭(1-2和3/2都不是⾃然数),有理数集R就是⼀个域对加减乘除都封闭.
所以,线性空间不仅要是向量的集合还要满⾜两个封闭性,还要满⾜加法和乘法的⼋条公理.
加法公理:交换律、结合律、有零元、有负元.
标量乘法公理:交换律、左分配律、右分配律、有1元.(其中,左分配律是指:对于标量a,向量x,yŒV,(x+y)a=xa+ya)。
7.1 线性映射PPT
(a b ) a ( ) b ( )
例1 对于 R 2的每一向量 x1 , x2 定义 x1 , x1 x2 , x1 x2 R 3 σ是否是 R 2到 R 3 的一个线性映射?
可以证明σ是一个线性映射. 例2 令H是 V3 中经过原点的一个平面.对于 V3 的每 一向量ξ，令 表示向量 ξ在平面H上的正射影. 即 : ,问这是否是 V3 到 V3 的一个线性映射. 根据射影的性质:σ是一个线性映射.
(V ) (V ) W
定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 : V W 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个子空间， 叫做σ的象, 记为 Im( ), 即 Im( ) (V ).
7.1.2 线性变换的象与核
定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 V V , 那么 (V ) { ( ) | V } 叫做 V 在σ之下的象. (2) 设 W W , 那么 { V | ( ) W } 叫做 W 在σ 之下的原象.
第七章 线性变换
7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
7.1.1 线性映射的定义、例
设F是一个数域，V和W是F上的向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被满 足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 当V=W时, σ称为的向量空间V的一个线性变换. 等价地: ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,
线性空间与线性变换ppt课件
设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
T(1) a111 a212 ... an1n
T
(2 )
a121 a222
又对任意A=[a,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
c 2;
b
2c
1;
a b c 1 .
c 2;
b
5;
a 4 .
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
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在不至混淆的情况下，简记 g○ f 为 gf
映射的例子
❖ 例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则
f(A)=det(A) 为S到F的映射。 ❖ 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运 算：
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F(f) () f(t)ejtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
R { a 1 ,a [ 2 ,a 3 , ] |a i R ,i 1 ,2 ,3 , }
在R∞中定义加法与数乘：
[a1,a2,a3,][b1,b2,b3,] [a1 b1,a2 b2,a3 b3,] k[a1,a2,a3,][ka1,ka2,ka3,]
则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。
线性空间的例子（续）
线性空间和线性映射优秀课件
本章知识要点
❖ 线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换； ❖ 线性空间的分解：子空间、值域(列空间)与核空间
(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和； ❖ 线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空
间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变 子空间、Jordan标准形; ❖ 欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准 正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、 对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、 正规矩阵与可对角化、谱分解。 ❖ Hibert空间：平方可积空间和平方可和空间。
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量
组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关； （4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不
唯一； （5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那
么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩； （6）等价的向量组秩相同。
例1 实数域 R上的线性空间 RR 中，函数组
e1x,e2x,,enx
是一组线性无关的函数，其中 1,2,,n 为一组互不相同
的实数。
例2 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
上的线性空间。 例3：实数域 R 上全体次数小于或等于 n 的多项式集合 R[x]n
构成实数域 R 上的线性空间。 例4：全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数
域上的线性空间：对任意 k∈R, a,b∈R+
加法运算 a： bab 数乘运算 ka： ak
线性空间的例子（续）
例5：R∞表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的 集合。即
映射
❖ 映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则) f : S → S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为： f(a)=a’ 或 a→a’。一般称a’为a的象，a为a’的原象。
❖ 变换：若S=S‘，则称映射为变换。
❖ 映射的相等：设有两个映射f : S → S’和 g: S → S’，若第任 何元素a∈S都有 f(a)=g(a)则称f与g相等。
都是线性相关的函数组。
线性空间的基底与维数
定义：设 V 为数域 F上的一个线性空间。如果在
V 中存在 n 个线性无关的向量 1,2,,n，使得
V 中的任意一个向量 都可以由 1,2,,n 线性
表出:
k 11 k 22 knn
x1,x2,,xn
是一组线性无关的函数，其中 1,2,,n பைடு நூலகம்一组互不相同
的正整数。
例3 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1 ,c o sx ,c o s 2 x ,,c o s n x
也是线性无关的。
例4 实数域 R 上的线性空间 RR 中，函数组
1,cos2x,cos2x
与函数组
sinx,cosx,sin2 x,cos2 x,, sinn x,cosn x, n4.
集合
❖ 集合
元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）
❖ 例：数域是一个集合含有加法+和乘法*
含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有1，满足对任何元素a，有 a*1=a； 任何元素 a 存在负元素 b，满足a+b=0； 非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1； 对加法和乘法封闭
❖ 常用数域有：有理数域、实数域、复数域
（1）加法交换律：α+β= β + α （2）加法结合律： (α+β)+ γ= α+(β+γ) （3）零元素：在 V 中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V
都有
α+ 0 =α （4）对于V中的任意元素α都存在一个元素 β使得：α+β= 0
线性空间的定义（续）
（5）数1：对α∈V，有： 1∙α=α
（6）对k,l∈F,α∈V 有： (kl) ∙α= k ∙ (l ∙α)
例 6 在 R 中满足Cauchy条件的无限序列组成的
子集合也构成 R上的线性空间。Cauchy条件是：
0,N0, 使得对于 m,nN都有
am an
例7 在 R 中满足Hilbert条件的无限序列组成的
子集合构成 R 上的线性空间。
Hilbert条件是：级数
a n 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
（7）对k,l∈F,α∈V 有： (k+l) ∙α= k ∙ α+l ∙α
（8）对k∈F,α, β∈V 有： k ∙(α+β)= k ∙ α+k ∙β
称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
线性空间的例子
例1：全体实函数集合 RR构成实数域 R 上的线性空间。 例2：复数域 C上的全体 m×n 阶 矩阵构成的集合Cm×n 为 C