大学数值计算方法(第3章解线性方程组的数值解法)1

( 2)

由（2）式回代得
i n 1,... 2 ,1
xn bn /unn n x (b 1uij x j )/uii i i j i
上三角方程组的解法
(2) 式可简写成 Ux b，其中
u11 u12 u1n u 22 u 2 n U u nn
(k (k akk ) ... akn )
(k (k ank ) ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (k ) bn
高斯顺序消去法
则第k次消元:
( aikk ) 令lik ( k ) , i k 1,..., n ak
高斯顺序消去法
( ( aij2 ) aij1) li1a1(1j) ( aij1) 1 ai(1 ) a1(1j)
a
(1) 11
(i 2,..., n; j 2,..., n)
bi( 2 ) bi(1) b1(1)li1
1 ai(1 ) (1) bi(1) (1) .b1 (i 2,..., n) a11

最后
(1 a11) (n) (n) [ A b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ... ...
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
(k (k akk ) ... akn )
引言

关于线性方程组的数值解法一般有两类。


直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但 存在收敛性及收敛速度等问题
高斯顺序消去法算法框图
高斯消去法的计算量
( (k 第k步 : lik aikk ) / akk ) (i k 1,..., n)
即n k次除法除法 由A( k ) A( k 1)需(n k )( n k 1)次乘法 故总的消元计算量为: 1 [(n k ) (n k )(n k 1)] 6 n(n 1)(2n 5) k 1 1 (n) (n) 解A X b 回代时乘除运算量为 n(n 1) 2 1 即总计算量为N n(n 2 3n 1) 3
第3章 解线性方程组的数值解法
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法。
则有
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk ) , i k 1,..., n; j k 1,..., n
bi( k 1) bi( k ) lik bk( k ) , i k 1,..., n k 1,2,..., n 1
高斯顺序消去法
i k 1,..., n j k 1,..., n
(k 1,2,..., n 1)
高斯顺序消去法
得到 A ( n ) x b( n ) 其中
(1 a11) ( n) (n) [ A b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ... ...
n 1
高斯顺序消去法条件
(1 (2 (n det(A) a11) a22) ...ann) 0
det(A) : 1 即 (k det(A) : det(A) * akk ) k 1,2,..., n 因此高斯顺序消去法要求
(k akk ) 0, k 1,2,..., n
3.1 高斯消元法

设线性方程组
a11x1 a12 x2 ...... a1n xn b1 a x a x ...... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ...... an1 x1 an 2 x2 ...... ann xn bn
a11 max a i1
高斯顺序消去法

设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中
(1 a12)
(1 a11) (k ) (k ) [ A b ]
... ...
... ... ... ...
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
Di Gramer法则：xi i 1,2,..., n，其中 D D det(A) 0，Di det(Ai )，Ai是 A的第 i列用b代替所得。

克莱姆法则在理论上有着重大意义，但 在实际应用中存在很大的困难，在线性 代数中，为解决这一困难给出了高斯消 元法。
例题

例1.用消元法解方程组
2)对i k 1,..., n做 10 20 30 aik l ik aik / a kk； bi bi l ik bk； 对j k 1,..., n做aij aij l ik a kj；
高斯顺序消去法
(3)if 1) a nn 0 then 输出算法失败信息, 并停机else做
高斯顺序消去法
设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b 1、第一次消元。设 aii 0

1 ai(1 ) 第一行 ( (1) ) 第i行（i 2，..., n） 3， a11 1 ai(1 ) 令li1 (1) , i 2,3,..., n a11 (1 (1 a11) a11) ...... a1(1) n (2 ( a22) ...... a22 ) （ n A 1） A ( 2 ) ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( ( b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 2 ) ...... bn 2 ) ]T
(n xn b ( n ) / ann) n x (b ( i ) ( ( aiji ) .x j ) / aiii ) 1 i i j i
A ( n) x b( n )
(i n 1,...,1)
高斯顺序消去法
(1)输入：aij (i, j 1,2,..., n), bi (i 1,2,..., n) (2)对k 1,2,..., n 1, 做 1)if a kk 0 then 输出算法失败信息，停机；
bn x n bn / a nn；
2)对i n 1,..., 2,1做 bi xi (bi
j i 1
a
n
ij
x j ) / aii；
3)det( A) a11a 22 ...a nn； (4)输出：方程组的解xi (i 1,2,..., n), 系数矩阵A的行列式的值 det(A)
高斯顺序消元法

算法：
1、赋初值lij , bi (i 1,2, , n 2、x1 b1 / l11 3、For i2 s 0; For j 1 to i 1 do s s lij x j ; xi (bi s ) / lii ; to n do j 1,2, , i ) ;
x1 x2 x3 6 4 x2 x3 5 2 x1 2 x2 x3 1 (1) ( 2) (3)
例题

第一步：-2 x（1）+(3)得
x x x 6 1 2 3 4 x2 x3 5 4 x2 x3 11
（1）
高斯顺序消元法

由（1）得
b x1 1 l11 x2 (b2 l 21 x1 ) / l 22 ...... n 1 x (b lni xi ) / lnn n n i 1 即 x1 b1 / l11 i 1 x (b lij x j ) / lii i i j 1 i 2,3,..., n 该法称为向前代入法。
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(n ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
高斯顺序消去法
再解 回代法
(n ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
高斯顺序消去法

也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
( (k lik aikk ) / akk ) ( k 1) (k ) (k ) aij aij lik akj b ( k 1) b ( k ) b ( k )l i k ik i

简记 AX=b
高斯消元法
Hale Waihona Puke Baidu
其中
a11 a12 a 21 a22 A a n1 a n 2 a1n a2 n (aij ) nn ann
T T
x x
1
x2 xn , b b1 b2 bn
高斯消元法
也就是次算法的缺点 .
(k 若akk ) 0, 很小 (k 此时, 用akk ) 做除数易产生解的失真,
即数值不稳定.
3.1.2 高斯主元素消去法

Gauss列主元消元法 从第一列中选出绝对值最大的元素
a11 a12 ...... a1n b1 a a 22 ...... a11 b2 21 ...... ...... ...... ...... ...... ai1 ai 2 ...... ain bi ...... ...... ...... ...... ...... a n1 a n 2 ...... a nn bn
高斯顺序消元法
(1) 式可简写成 l11 l A 21 ln1 Lx b，其中 lnn
l22 ln 2
上三角方程组的解法 设

u11 x1 u12 x2 ...... u1n xn b1 u 22 x2 ...... u 2 n xn b2 ...... u nn xn bn 其中，uii 0 ,i 1,2 ,...,n
(1) (2) (4)
例题

第二步：1 x（2）+（4）
x x x 6 1 2 3 4 x2 x3 5 2 x3 6 (1) (2) (5)

回代得：x=[1,2,3]T
3.1.1 高斯顺序消元法

下三角形方程求解 设
b1 l11x1 l x l x b2 21 1 22 2 ...... ln1 x1 ln 2 x2 ... lnn xn bn 其中，lii 0, i 1,2,..., n