§2.3 开腔衍射理论分析方法
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激光原理教案第二章
激光原理与技术
1，2两种损耗常称为选择损耗，不同模式的 几何损耗与衍射损耗各不相同。3，4两种称为 非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体 一样。
平均单程损耗因子：如果初始光强为 I0 ，在 无源腔内往返一次后，光强衰减为 I1 ，则
I1 I0e2
1 ln I1 ,
2 I0
为腔中各损耗因子的和
1.22
2a
W1 W1 W0
S1 S1 S0
a L 2 a2 a L 2
激光原理与技术
2L
a
2L
0.61
a2
1.22 a2
1 a2
1 N
L L
D
D
'
1 N
N：菲涅耳数，N愈大，损耗愈小。
激光原理与技术
§2.2共轴球面腔的稳定性条件 一、腔内光线往返传播的矩阵表示
激光原理与技术
0q 称为腔的谐振波长
q
q
c 2L,
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L, L
q
q
c
2 L,
L q q
2
式中 q 为物质中的谐振波长
本征模式在腔的横截面
内场分布是均匀的，而 沿腔的轴线方向(纵向)形 成驻波，驻波的波节数 由q决定，q单值地决定 模的谐振频率。
激光原理与技术
激光原理与技术
腔与模的关系： 腔内电磁场的本征态应由麦 克斯韦方程组及腔的边界条件决定。不同类型 和结构的谐振腔的模式各不相同。
对闭腔，一般可以通过直接求解微分形式的 麦克斯韦方程组来决定其模式
寻求开腔模式的问题通常归结为求解一定类 型的积分方程。
模的基本特征：模在腔的横截面内的场分 布，模的谐振频率，模在腔内往返的相对功率 损耗；模的光束发散角。
2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法
S
菲涅耳—基尔 霍夫衍射积分
x, y
u2 x, y u1 x' , y'
S1
x ' , y '
S2
ik u 2 x, y 4
u x ' , y '
1 S1
e ik
1 cos ds'
经过j次渡越后所生成的场u j+1产生它的场u j之间也应满足类似 的迭代关系：
当腔长L和镜线度a满足：L >> a，或 ： R >> a时，有：
i ik K x, y, x' , y' e L
为什么?
2.3.6、复常数 的物理意义
e
i
u j 1
1
uj e uj e
i
e - ：单程渡越的振幅衰减！ 越大，则衰减愈厉害，若 0 ，则模无损耗传播。
ik
设稳态场分布函数为v( x, y )
v( x, y ) 表示为：
v x, y K x, y, x' , y ' v x' , y ' ds ' S ik e ik 积分核为： 1 cos K x, y, x' , y' 4
四、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分 1、分析衍射的理论基础：惠更斯—菲涅耳原理 2、数学理论：菲涅耳—基尔霍夫衍射积分 功能：根据光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布 函数u(x’,y’) ，求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相仿分 布。
子波源球面波
ik u x, y 4
eik 倾斜因子 u x' , y' 1 cos ds'
菲涅耳—基尔 霍夫衍射积分
x, y
u2 x, y u1 x' , y'
S1
x ' , y '
S2
ik u 2 x, y 4
u x ' , y '
1 S1
e ik
1 cos ds'
经过j次渡越后所生成的场u j+1产生它的场u j之间也应满足类似 的迭代关系：
当腔长L和镜线度a满足：L >> a，或 ： R >> a时，有：
i ik K x, y, x' , y' e L
为什么?
2.3.6、复常数 的物理意义
e
i
u j 1
1
uj e uj e
i
e - ：单程渡越的振幅衰减！ 越大，则衰减愈厉害，若 0 ，则模无损耗传播。
ik
设稳态场分布函数为v( x, y )
v( x, y ) 表示为：
v x, y K x, y, x' , y ' v x' , y ' ds ' S ik e ik 积分核为： 1 cos K x, y, x' , y' 4
四、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分 1、分析衍射的理论基础：惠更斯—菲涅耳原理 2、数学理论：菲涅耳—基尔霍夫衍射积分 功能：根据光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布 函数u(x’,y’) ，求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相仿分 布。
子波源球面波
ik u x, y 4
eik 倾斜因子 u x' , y' 1 cos ds'
开放式光学谐振腔
= πq
q = 1, 2,3
L
（2.1.1）
——驻波频率
（2.1.3）
纵模：在腔内沿着轴线稳定存在的，由不同的常数q所表征的 腔内纵向光场的分布
2、纵模特点
谐振频率： ν q =
q是一个 很大的值
①满足谐振条件的各个频率即纵模由q决定，且是分立的
c 2η L
q
Δν q = ν q +1 −ν q =
O 2a 1 单程偏移量： λL x =θL = 2a 往返m次后射出： 2 xm = a
θ=
λ
2a
θ
x
L
O2
a a2 m= = =N 2 x Lλ
6、损耗举例
☺ 腔镜的不完全反射引起的损耗
R1 I0 Nd:YAG R2
I1
l
往返一周：
I1 = I 0 R1 R2 = I 0 e −2 δ 1 δ = − ln R1R2 2 当 R1 ≈ 1 ，R2 ≈ 1 时有： 1 δ r ≈ ⎡ (1 − R1 ) + (1 − R2 ) ⎤ ⎦ 2⎣
4、球面腔与周期性透镜波导的等价
A
L L
f1 = R1 2
L
R2 f2 = 2 R1 f1 = 2
L
f2 = R2 2
⎛ r0 ⎞ 入射光线： ⎜ ⎟ ⎝θ0 ⎠
从R1出发的光线在腔内往返 传播后的光线矩阵：
⎛ r0 ⎞ ⎛ r0 ⎞ ⎛ r4 ⎞ ⎜ ⎟ = TR1TLTR 2TL ⎜ θ ⎟ = T ⎜ θ ⎟ ⎝θ4 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠
腔的横截面内场的分布（振幅、相位） 谐振频率
模的基本特征： 每个模式在腔内往返一次经受的相对功
率损耗（往返损耗）
激光原理第二节课
光线传播矩阵法：用矩阵的形式表示光线传播和变换的方法。
光线在自由空间或光学系统中传播，通过垂直于光轴给定参考面
的近轴光线的特性可以用两个参数表示：
1. 光线距离轴线的距离x(z)
2. 光线与轴线的夹角 。
光学元件的光学变化矩阵M
x 2
2
Mx11
坐标参数的符号规则：
1 光线在轴线上方时x取正，否则为负；
光线在谐振腔往返n次的传播矩阵(利用薛尔凡斯特定理)：
x n
n
A C
B n D
x1
1
Mn
x1
1
A n
C
n
Bn x1
D
n
1
Mn
1
s in
A sin n sin(n
Csin n
1)
Bsin n
D
sin
n
sin(n
1)
上式中：
arccos
1 2
(A
D)
即： x n An x1 Bn1 n Cn x1 Dn1
福建师范大学物光学院 陈建新
6
与光学谐振腔的损耗相关的几个参数
光学谐振腔Q值的一般表示式:
Q
R
2
R
2
L/
C
•小结： 、 R 、Q的关系：
R
L
C
、
Q
2
L/
C
2 R
腔平均单程损耗因子、光子寿命、与腔的品质因数三个物理量之
间是关联的，腔平均单程损耗因子越大，光子寿命越短，腔的品
质因数越小
2004年10月13日
x3
3
1 2
R2
0 1
x2
2
第二章 开放式光腔和高斯光束
r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0
N0 t e R
t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3
E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔
稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。
24开腔模式的物理概念和衍射理论
V
x,
……..
y ik
4
V
x,
y
eik
1
cosds
开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数
•自再现模积分方程 (自洽积分方程）
V
x,
y
ik
4
V
x,
y1
cos
eik ds
L x, y L,cos 1 1 cos 2 L
V
x,
y
i L
V
x,
y eikx, y,x, yds
V x, y Kx, y, x, yV x, yds 其中 K x, y, x, y iL eik x,y,x,y －积分方程的核
Uj(xj, yj)
• 自再现条件
Uj+1(xj+1, yj+1)
场分布不变－再现
U
j1
x,
y
1
U
j
x,
y
•衍射积分公式 •自再现概念
光腔中的衍射场 自洽积分方程
L
光腔中的衍射场自洽积分方程
uu2j1x,xy, y4ik4iksus1uxj1,xy,yeeikik11
cos ds
cos ds
• 自再…现…模.. 积分方程
2. 数值解 (数值迭代法)
振幅
...
2a
2a
2a
相位
2a
…...
例：平行平面腔模的迭代解法
平行平面腔的优点：光束方向性好（发散角小 ）、模体积大、比较容易获得单横模
缺点：调整精度要求极高，与稳定腔比较，损 耗也比较大
平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至 今尚得不到精确的解析解
利用迭代公式，直接进行数值计算。u j1 Ku jds'
激光腔
• 共轴球面腔的稳定性条件：
对于复杂开腔，稳定性条件为： 对简单共轴球面腔，稳定性条件为：
1 −1 < ( A + D) < 1 2
0 < (1 −
• 稳区图
L L )(1 − ) < 1 R1 R2
g1=g2=0
三、稳定开腔中模式的衍射理论分析方法
• 开腔模的物理概念：
开腔镜面上的经过一次往返能再现的稳态场分布称 为开腔的自再现模或横模 自再现模或横模。 为开腔的自再现模或横模。自再现模一次往返所经 受的能量损耗称为模的往返损耗，所发生的相移称 为往返相移，该相移等于2π的整数倍。
第二章 开放式光腔与高斯光束
• 讨论光腔模式问题；只讨论无源腔 • 开放式光腔可以分为稳定腔、非稳腔和临界腔 • 稳定腔模式理论是以对称共焦腔模的解析理论为基 础的，推广到一般稳定球面腔 • 采用稳定腔的激光器所发出的激光，将以高斯光束 的形式在空间传播。研究高斯光束在空间的传播规 律以及光学系统对高斯光束的变换规律 • 稳定腔不适用于某些高功率激光器，非稳腔却能同 时满足高输出功率和良好光束质量这两个要求
单透镜对高斯光束发散角的影响 l=F时，ω0′达到极大值，θ0′达到极小值，θ0′/θ0=f/F； 用单个透镜将高斯光束转换成平面波，从原则上说是 不可能的。 利用倒装望远镜将高斯光束准直 M ′ = θ 0 = F2 1 + ( l )2
θ 0′′
F1 f
八、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
• 利用透镜实现自再现变换
(2)若l一定，当F<R(l)/2时，透镜才能对高斯光束起聚 焦作用。F愈小，聚集效果愈好 结论：为获得良好聚集， 结论：为获得良好聚集，采用 用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点， 用短焦距透镜；使高斯光束远离透镜焦点，从而满足 l>>f、l>>F；取l=0，并使 、 ； ，并使f>>F。 。
第二章开放式光腔和高斯光束21教材
R越小，腔内损耗越大，光腔衰减越快
2、无源谐振腔的Q值
定义：
腔内储藏的能量
Q 2 单位时间损耗的能量
Q 2
P
P
Q
R
2
L
dc
腔内损耗越小，Q值越高
3、损耗举例 （1）、由镜反射不完全所引起的损耗 （2）、腔镜倾斜时的几何损耗 （3）、衍射损耗 （ 菲涅尔数N）
r4
4
1 0
Lr3
1
3
TL
r3
3
M1 r11 r1
r44
1 r55
M2 r22 r33
L
• 光线又在M1镜面上发生反射时，有
r5
5
1
2 R1
0 1
r4
4
TR1
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。
（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起 的损耗。
激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸 收、散射引起的损耗
引入平均单程损耗因子
定义1： 由
I1 I0e2d
定义2： 2d I0 I1
r2
2
1 0
r1 L 1 x1 11
上述方程可以表示为下列矩阵形式：
r1, 1
r2 2
L=0
L
r2
2
1 0
Lr1
1
1
TL
r1
1
1 L TL 0 1
2、无源谐振腔的Q值
定义：
腔内储藏的能量
Q 2 单位时间损耗的能量
Q 2
P
P
Q
R
2
L
dc
腔内损耗越小，Q值越高
3、损耗举例 （1）、由镜反射不完全所引起的损耗 （2）、腔镜倾斜时的几何损耗 （3）、衍射损耗 （ 菲涅尔数N）
r4
4
1 0
Lr3
1
3
TL
r3
3
M1 r11 r1
r44
1 r55
M2 r22 r33
L
• 光线又在M1镜面上发生反射时，有
r5
5
1
2 R1
0 1
r4
4
TR1
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。
（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起 的损耗。
激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸 收、散射引起的损耗
引入平均单程损耗因子
定义1： 由
I1 I0e2d
定义2： 2d I0 I1
r2
2
1 0
r1 L 1 x1 11
上述方程可以表示为下列矩阵形式：
r1, 1
r2 2
L=0
L
r2
2
1 0
Lr1
1
1
TL
r1
1
1 L TL 0 1
衍射理论基础
第三章衍射理论基础衍射是波动在传播途中遇到障碍物后所发生的偏离“直线传播”的现象。
“光的衍射”也可以叫作“光的绕射”，就是光可以“绕过”障碍物而在某种程度上传播到障碍物后面的阴影区。
对于声波和无线电波来说，由于它们的波长较长，在日常生活中可以很明显地感觉到它们的衍射现象；而光的衍射现象，由于光的波长较短，只有光通过很小的孔或狭缝时才能明显地观察到。
光的衍射现象，按光源、衍射孔（或屏障）和观察衍射的场三者之间的距离的大小，通常分为两种类型：一种叫菲涅耳（Fresnel）衍射，这是光源和衍射场或二者之一到衍射孔的距离都比较小的情况；另一种叫夫琅和费（Fraunhofer）衍射，这是光源与衍射场都在离衍射物无限远处的情况。
§3-1 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯（Huggens）原理是描述波的传播过程的一个原理。
如图所示，设波源S在某一时刻的波阵面为Σ，Σ面上每一点都是一个次波源，发出球面波。
次波源在随后的某一时刻的包络面形成一个新的波阵面Σ’。
波面的法线方向就是波的传播方向。
这就是惠更斯原理。
只根据惠更斯原理是不能确定衍射花样的分布的。
菲涅尔在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来自同一光源，应该相干，因而波阵面Σ’上每一点的光振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的次波叠加的结果。
这样用干涉理论补充的惠更斯原理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
据此我们可以建立一个单色波在传播过程中两个任意面上光振动分布之间的关系。
我们现在来考察一个单色点光源M对于任意一点P的作用，如图所示。
根据惠更斯-菲涅尔原理，光源M 对P 点的作用可以看成M 与P 之间的任一个波面Σ上各点所发出的次波在P 点叠加的结果。
如果我们不考虑时间因子t j e ω，单色点光源M 在波面Σ上任一点Q 产生的光振动的复振幅可以表示为a 0e jkr /R （其中a 0是离点光源M 单位距离处的振幅，R 是波面Σ的半径）。
在波面Q 点取微元波面ds ，则ds 面元的次波源发出的次波在P 点产生的复振幅可以表示为ds re R e a K P dU jkrjkR ⋅=0)()(θ式中r =QP ，K (θ)为倾斜因子，表示次波的振幅随元波面法线和QP 的夹角θ而变(θ称衍射角)。
第二章 开放式光腔与高斯光束2
谐振腔模式理论的基础
模式自再现概念
菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基本步骤：
光的衍射理论
自再现模所满足的积分方程
求解积分方程
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射起主要作用。 理想的开腔模型：两块反射镜片沉浸在均匀的、无限的、各向 同性的介质中。无侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜 的边缘所构成。
可以得到：
xx yy i vmn x, y mn exp ikL vmn x, yexp ik dxdy L L a a
a a
方形镜对称共焦腔自再现模积分方程
按照博伊德和戈登的方法 进行无量纲变换:
a2 C C a 2k X x, Y y, C 2 2N a a L L
4、自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大 。 结果光谱不断变窄，空间相干性不断增强，光强 不断增大，最终形成高强度的激光输出。
三、菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
1、惠更斯－菲涅耳原理
惠更斯：球面子波
菲涅耳：子波相干叠加
2、衍射积分公式
基尔霍夫：用数学公式描述出惠更斯－菲涅耳原理 如果知道光波场在其所达到的任意空间曲面上的振 幅和相位分布，可求出该光波场在空间其他任意位 置处的振幅和相位分布。
自再现模在开腔中的单程总相移一般不等于由腔长L所 决定的几何相移kL。通常有这么一个关系：
kL
表示腔内单程渡越时相对于几何相移的单程附加相移
2 L q c
mn
qc c mn 2 L 2L
也就是说，本征值 决定了不同横模的谐振频率
根据分离变量： vmn ( x, y) Fm X Gn Y 令 mn m n 则积分方程转化为：
自再现模.
2p 2p umn ( x, y ) Cmn H m ( x) H n ( y )e L L
TEM00 场的分布 因为
所以
x2 y2 L
p
① 基模: 取（3-18）式中 m=n=0，得到共焦腔方型镜上基模
H 0 ( ) 1
u 00 ( x, y ) C 00 e
x2 y2 L
光线出射方向在轴线上方， 为正 光线出射方向在轴线上方， 为负
2. 自由空间区的光线传播矩阵
B
r0 ,0
A
r,
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
L
自由空间光线传播矩阵
r0 r A B r0 1 L C D 0 1 TL TL 0 0
R1 R2
1 1 < A D < 1 2
L L 0 < 1 1 <1 R1 R2
0 < g1g2 < 1
0 < g1 g2 < 1 或g1 0, g2 0 g1 g2 > 1, g1 g2 < 0 g1 g2 0，g1g2 1 临界腔
场分布的影响可以忽略！
• 自再现条件
Uj+1(xj+1, yj+1)
1 U j1 x, y U j x, y
场分布不变－再现
•衍射积分公式 •自再现概念 二. 光腔中的衍射场自洽积分方程
光腔中的衍射场 自洽积分方程
……..
ik e ik u2 x, y u1 x, y 1 cos ds 4p s ik e ik u j1 x, y u j x, y 1 cos ds 4p s
衍射的概念和衍射的求解方法
1
衍射光学
衍射的概念和衍射的求解方法
基本概念和公式复习 例题分析 作业题讲解
基本概念和公式复习
2
1 光的衍射
当光波在传播过程中遇到障碍物时偏离直线传播、强度发生重新分布的现 象称为光的衍射。
两个要点：（1）光波的波面可以看成连续分布的次波点源。
（2）次波点源之间是相干源，观察场中的衍射强度分布是次波 点源发出的次波相干迭加的结果。
An ]
A(P0
)
1 2
A1
(P0
)
A(P0 )
1 2
An1
K
Rb k
Rb
k 1
f
2 k
/ k
12
/
(k 1,2,3, )Fra bibliotek11 1 Rb f
2) 夫琅和费衍射：光源和接收屏幕距离衍射屏幕无限远。
4
夫琅和费单缝衍射：
U~
U~0
sin
e ikr0
a sin
I (P0
U~0
)I
a
0
(
0
或者将积分公式近似处理成：
U~(P) dU~(P) U~i (P)
2）半波带法：
0
将衍射波前分割成整数个半波带，求出每个半波带的复振幅，然后将复振 幅相加求出总复振幅的振幅A，就可以得到衍射光强度。
适用条件：
7
（1）只适用于能整分成整数个半波带的情况。 （2）只能求菲涅耳衍射的中心场点的的光强度。 （3）可以计算夫琅和费衍射焦平面上的衍射光强分布。
设前 k（取k为偶数）个半波带中偶数半波带被露出。
22
A
A2
A4
Ak
k 2
A2
kA0
衍射光学
衍射的概念和衍射的求解方法
基本概念和公式复习 例题分析 作业题讲解
基本概念和公式复习
2
1 光的衍射
当光波在传播过程中遇到障碍物时偏离直线传播、强度发生重新分布的现 象称为光的衍射。
两个要点：（1）光波的波面可以看成连续分布的次波点源。
（2）次波点源之间是相干源，观察场中的衍射强度分布是次波 点源发出的次波相干迭加的结果。
An ]
A(P0
)
1 2
A1
(P0
)
A(P0 )
1 2
An1
K
Rb k
Rb
k 1
f
2 k
/ k
12
/
(k 1,2,3, )Fra bibliotek11 1 Rb f
2) 夫琅和费衍射：光源和接收屏幕距离衍射屏幕无限远。
4
夫琅和费单缝衍射：
U~
U~0
sin
e ikr0
a sin
I (P0
U~0
)I
a
0
(
0
或者将积分公式近似处理成：
U~(P) dU~(P) U~i (P)
2）半波带法：
0
将衍射波前分割成整数个半波带，求出每个半波带的复振幅，然后将复振 幅相加求出总复振幅的振幅A，就可以得到衍射光强度。
适用条件：
7
（1）只适用于能整分成整数个半波带的情况。 （2）只能求菲涅耳衍射的中心场点的的光强度。 （3）可以计算夫琅和费衍射焦平面上的衍射光强分布。
设前 k（取k为偶数）个半波带中偶数半波带被露出。
22
A
A2
A4
Ak
k 2
A2
kA0
衍射的基本理论ppt课件
出子波，而曲面内空间各点的场值取决于这些子波的
叠加。
26
二、菲涅耳－基尔霍夫公式 可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在 某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表 达式基本相同的形式。 对于单色点光源S发出的球面波照明无限大 不透明屏上孔径∑的情况，计算P点的场值： 若：孔径线度比波长大，但比孔径到S和P 的距离小得多。 则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理 选取包围P点的闭合曲面，它由三部分组成
27
（1）孔径∑，
（2）不透明屏右侧∑1 ， （3）以P为中心，
R为半径的部分球面∑2 。 S
（n,r） n
l
Σ1
Q
Σ r θP
R
Σ2
则P点的场强值
E~P
1
4p
1 2
E~
n
exp ik r
r
E~
n
exprikrd
对于∑和∑1面，基尔霍夫假定:
（1）在孔径∑上， E~和
~
E
的值由入射波决定，与
2.菲涅耳近似（对位相项的近似）
r
z12 (x x1 )2 y y1 2 z1
1 x x1 2 y y1 2
z12
z1
x
x1 2 y
2z1
y1 2
[x
x1 2 y
17
Q点处的面光源 d对P点的作用：
Z
dE~P
CK
E~Q
exp ikr
r
d
Q R
r
P
S
菲涅尔假设：
Z'
当 = 0 时，K()=Max, p/2 时，K()=0.
（实验证明是不对的）
若S发出的光源振幅为A（单位距离处）,整个波面’的贡献
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§2.3 开腔衍射理论分析方法
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
∆y
V = ∆x∆y∆z
x、y、z方向均存在 、 、 方向均存在 稳定的驻波场分布
处于有限范围的电磁场
TE模和 模和TM模 模和 模
激活 介质
侧面无约束 开腔中是否存在横模？ 开腔中是否存在横模？ 衍射理论分析
(1+ cosθ ) ds′
2. 光腔中的衍射积分方程
∫∫ u ( x′, y′)
1 s
ρ
二、自再现模积分方程
θ
P’
ρ
P(x,y)
uj ( x′, y′)
uj+1 ( x′, y′)
往返次数足够多时,除了表 往返次数足够多时 除了表 示振幅衰减和相移的常数因 子外,uj+1能再现uj 子外 能再现
自再现模 v ( x, y) = γ 积分方程
∫∫ K ( x, y, x′, y′)v( x′, y′) ds′
i ikρ( x, y,x′, y′) e －积分方程的核 其中 K ( x, y, x′, y′) = λL
三、自再现模积分方程的解的物理意义 i −ikρ x, y, x′, y′) v ( x, y) = γ v ( x′, y′).e ( ds′ ∫∫ λL 通常, 取一系列不连续的特定值时, 通常 只有γ 取一系列不连续的特定值时 方程式才能成立 满足积分方程的 vmn(x,y) 称为本征函数, 对应于本征值γmn (复 称为本征函数 复 常数) 常数 1. 本征函数形式 vmn ( x, y) = A ( x, y) eiϕ mn
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
ik e−ikρ v ( x, y) = γ ∫∫ v( x′, y′) ρ (1+ cosθ ) ds′ 4π
uj(x,y)稳态后的场分布
QL >> x, y
ρ ≈ L,cosθ ≈1 ⇒(1+ cosθ ) ρ ≈ 2 L
i ′, y′)e−ikρ( x, y,x′, y′) ds′ v ( x, y) = γ ∫∫ v( x λL
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
(横模 自再现模的衍射理论解释： 横模)自再现模的衍射理论解释 横模 自再现模的衍射理论解释：
L u1,u3,… 2a u2,u4,… L 2a
u1 L
u2
u3
uq 自再现模 2a
uq+1
u1
u2
u3
uq
uq+1
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
一、衍射理论的基本出发点
θ
u1(x',y')
u2(x,y)
n
镜2
镜1
1. 惠更斯-菲涅尔衍射原理及菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 惠更斯-菲涅尔衍射原理及菲涅尔-
ik u ( x, y) = 4π
ik u2 ( x, y) = 4π
∫∫ u ( x′, y′)
s
e−ikρ
ρ
e−ikρ
(1+ cosθ ) ds′
方形镜对称共焦腔：长椭球函数； 不很小时 厄密～ 不很小时, 方形镜对称共焦腔：长椭球函数；N不很小时,厄密～高斯函数 圆形镜对称共焦腔：超椭球函数； 不很小时 拉盖尔～ 不很小时, 圆形镜对称共焦腔：超椭球函数；N不很小时,拉盖尔～高斯函数
其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得 其它稳定球面镜腔可通过“等价” 数值迭代法) 2. 数值求解 (数值迭代法)
δD =
umnj − umnj+
=1− e
−2α
=1−
1
2
γ mn
(百分数损耗)
的模量度自再现模的单程损耗, 愈大， γmn的模量度自再现模的单程损耗 γmn愈大，模的单程损耗愈大 3. 单程相移 δφmn－自再现模在腔内渡越一次的总相移
δϕmn = arguj+1 − arguj δϕmn = −β = arg
当渡越的次数足够大时，对称开腔的自再现条件表示为: 当渡越的次数足够大时，对称开腔的自再现条件表示为:
uj+1 ( x, y) = uj ( x, y)
1
代入衍射积分方程
γ
ik uj+1 ( x, y) = 4π
∫∫ u ( x′, y′)
j s
e−ikρ
ρ
(1+ cosθ ) ds′
ik e−ikρ u j (x, y) = γ ∫∫ uj (x', y' ) ρ (1+ cosθ)ds' 4π s
1
Qγ = α + iβ
γ
δϕmn = −β = −kL +∆ϕ = −
几何相移
2π L
λ
+∆ϕ
附加相移
根据谐振条件 δϕmn = qπ
可求得横模的谐振频率
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
四、自再现模积分方程的解法 解析解： 1. 解析解： 一般腔很难得到 特殊腔－ 特殊腔－对称共焦腔才能得到解析解
γ
mn
设
γ = eα+iβ
1 γ α+iβ uq+1 = uq =e →uq+1 = ( e−αuq ) e−iβ
一次渡越模振幅的衰减
相移
γ 与 δD 有关
δD表示光场在腔中渡越一次经受的相对功率损耗－单程损耗 表示光场在腔中渡越一次经受的相对功率损耗－
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
振幅
2a 2a 2a 2a
...
相位
…...
A ( x, y)－(模)振幅分布 振幅分布; 模 振幅分布 mn
mn
( x, y)
vmn ( x, y)－镜面上场分布函数 (一个本征函数对应一个横模 一个本征函数对应一个横模) 一个本征函数对应一个横模
ϕmn ( x, y) －镜面上场的相位分布
(传输因子 传输因子) 传输因子
2. 本征值
γ mn = γ mn eiδϕ
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
∆y
V = ∆x∆y∆z
x、y、z方向均存在 、 、 方向均存在 稳定的驻波场分布
处于有限范围的电磁场
TE模和 模和TM模 模和 模
激活 介质
侧面无约束 开腔中是否存在横模？ 开腔中是否存在横模？ 衍射理论分析
(1+ cosθ ) ds′
2. 光腔中的衍射积分方程
∫∫ u ( x′, y′)
1 s
ρ
二、自再现模积分方程
θ
P’
ρ
P(x,y)
uj ( x′, y′)
uj+1 ( x′, y′)
往返次数足够多时,除了表 往返次数足够多时 除了表 示振幅衰减和相移的常数因 子外,uj+1能再现uj 子外 能再现
自再现模 v ( x, y) = γ 积分方程
∫∫ K ( x, y, x′, y′)v( x′, y′) ds′
i ikρ( x, y,x′, y′) e －积分方程的核 其中 K ( x, y, x′, y′) = λL
三、自再现模积分方程的解的物理意义 i −ikρ x, y, x′, y′) v ( x, y) = γ v ( x′, y′).e ( ds′ ∫∫ λL 通常, 取一系列不连续的特定值时, 通常 只有γ 取一系列不连续的特定值时 方程式才能成立 满足积分方程的 vmn(x,y) 称为本征函数, 对应于本征值γmn (复 称为本征函数 复 常数) 常数 1. 本征函数形式 vmn ( x, y) = A ( x, y) eiϕ mn
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
ik e−ikρ v ( x, y) = γ ∫∫ v( x′, y′) ρ (1+ cosθ ) ds′ 4π
uj(x,y)稳态后的场分布
QL >> x, y
ρ ≈ L,cosθ ≈1 ⇒(1+ cosθ ) ρ ≈ 2 L
i ′, y′)e−ikρ( x, y,x′, y′) ds′ v ( x, y) = γ ∫∫ v( x λL
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
(横模 自再现模的衍射理论解释： 横模)自再现模的衍射理论解释 横模 自再现模的衍射理论解释：
L u1,u3,… 2a u2,u4,… L 2a
u1 L
u2
u3
uq 自再现模 2a
uq+1
u1
u2
u3
uq
uq+1
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
一、衍射理论的基本出发点
θ
u1(x',y')
u2(x,y)
n
镜2
镜1
1. 惠更斯-菲涅尔衍射原理及菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 惠更斯-菲涅尔衍射原理及菲涅尔-
ik u ( x, y) = 4π
ik u2 ( x, y) = 4π
∫∫ u ( x′, y′)
s
e−ikρ
ρ
e−ikρ
(1+ cosθ ) ds′
方形镜对称共焦腔：长椭球函数； 不很小时 厄密～ 不很小时, 方形镜对称共焦腔：长椭球函数；N不很小时,厄密～高斯函数 圆形镜对称共焦腔：超椭球函数； 不很小时 拉盖尔～ 不很小时, 圆形镜对称共焦腔：超椭球函数；N不很小时,拉盖尔～高斯函数
其它稳定球面镜腔可通过“等价”对称共焦腔求得 其它稳定球面镜腔可通过“等价” 数值迭代法) 2. 数值求解 (数值迭代法)
δD =
umnj − umnj+
=1− e
−2α
=1−
1
2
γ mn
(百分数损耗)
的模量度自再现模的单程损耗, 愈大， γmn的模量度自再现模的单程损耗 γmn愈大，模的单程损耗愈大 3. 单程相移 δφmn－自再现模在腔内渡越一次的总相移
δϕmn = arguj+1 − arguj δϕmn = −β = arg
当渡越的次数足够大时，对称开腔的自再现条件表示为: 当渡越的次数足够大时，对称开腔的自再现条件表示为:
uj+1 ( x, y) = uj ( x, y)
1
代入衍射积分方程
γ
ik uj+1 ( x, y) = 4π
∫∫ u ( x′, y′)
j s
e−ikρ
ρ
(1+ cosθ ) ds′
ik e−ikρ u j (x, y) = γ ∫∫ uj (x', y' ) ρ (1+ cosθ)ds' 4π s
1
Qγ = α + iβ
γ
δϕmn = −β = −kL +∆ϕ = −
几何相移
2π L
λ
+∆ϕ
附加相移
根据谐振条件 δϕmn = qπ
可求得横模的谐振频率
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
四、自再现模积分方程的解法 解析解： 1. 解析解： 一般腔很难得到 特殊腔－ 特殊腔－对称共焦腔才能得到解析解
γ
mn
设
γ = eα+iβ
1 γ α+iβ uq+1 = uq =e →uq+1 = ( e−αuq ) e−iβ
一次渡越模振幅的衰减
相移
γ 与 δD 有关
δD表示光场在腔中渡越一次经受的相对功率损耗－单程损耗 表示光场在腔中渡越一次经受的相对功率损耗－
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.3 开腔衍射理论分析方法
振幅
2a 2a 2a 2a
...
相位
…...
A ( x, y)－(模)振幅分布 振幅分布; 模 振幅分布 mn
mn
( x, y)
vmn ( x, y)－镜面上场分布函数 (一个本征函数对应一个横模 一个本征函数对应一个横模) 一个本征函数对应一个横模
ϕmn ( x, y) －镜面上场的相位分布
(传输因子 传输因子) 传输因子
2. 本征值
γ mn = γ mn eiδϕ