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2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题及答案详解(37页)

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2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案一、二次函数1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【解析】【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值．【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=， y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+． Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．3．如图，抛物线y ＝12x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当MC +MA 的值最小时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y ＝213x -22x ﹣2，顶点D 的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC 是直角三角形，证明见解析；（3）点M 的坐标为（32，﹣54）． 【解析】【分析】 （1）因为点A 在抛物线上，所以将点A 代入函数解析式即可求得答案；（2）由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标，即可求得AB 、BC 、AC 的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；（3）根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 32=对称，求出点B ，C 的坐标，根据轴对称性，可得MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．则BC 与直线x 32=交点即为M 点，利用得到系数法求出直线BC 的解析式，即可得到点M 的坐标． 【详解】 （1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y 212x =+bx ﹣2上，∴2112⨯-+（）b ×（﹣1）﹣2＝0，解得：b 32=-，∴抛物线的解析式为y 21322x =-x ﹣2．y 21322x =-x ﹣212=（x 2﹣3x ﹣4 ）21325228x =--（），∴顶点D 的坐标为 （32528，-）． （2）当x ＝0时y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），OC ＝2．当y ＝0时，21322x -x ﹣2＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2+OC 2＝5，BC 2＝OC 2+OB 2＝20，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形． （3）∵顶点D 的坐标为 （32528，-），∴抛物线的对称轴为x 32=． ∵抛物线y 12=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，∴点A 与点B 关于对称轴x 32=对称． ∵A （﹣1，0），∴点B 的坐标为（4，0），当x ＝0时，y 21322x =-x ﹣2＝﹣2，则点C 的坐标为（0，﹣2），则BC 与直线x 32=交点即为M 点，如图，根据轴对称性，可得：MA ＝MB ，两点之间线段最短可知，MC +MB 的值最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，﹣2），B （4，0）代入，可得：240b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴y 12=x ﹣2． 当x 32=时，y 1352224=⨯-=-，∴点M 的坐标为（3524-，）． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．5．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门． 解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， 解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t 得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．考点：二次函数的应用．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线233(0)2y ax x a =-≠经过点3,3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为21332y x x =-;抛物线的对称轴为直线33x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3,3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B点胡坐标，要求PA PB+胡最小值，只需找到B关于轴的对称点1B，则直线A1B与y轴的交点就是点P，根据待定系数法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q的坐标，并求出△AOQ面积，从而得到△AOQ面积，根据Q点胡不同位置进行分类，用m及割补法求出面积方程，即可求解.【详解】（Ⅰ）∵2(0) y ax x a=≠经过点3)A-，∴232a-=⨯-12a=，∴抛物线的解析式为2122y x x=-，∵212222bxa=-=-=⨯，∴抛物线的对称轴为直线x=（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为2x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴944y x=--.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x=得9y4=-，∵P点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A-，//AC x轴，∴AC=3OC=，∴113333222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅⋅=， 又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴933AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q 点坐标为2133(,)2m m m -， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ， ∵932AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴()21133113333322222m m m m ⎛⎫⋅+-+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎭-⎝2133933222m m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 化简整理得23180m m --=， 解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵932AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33(3)22m m --+=，化简整理得23180m m -=，解得133m =223m =-∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.7．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y＝212x﹣2x；（2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±23．【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 222232222,PG m 22m FH PH ===+-=+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG221224222m m m m ⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42=-++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧<⎪∴=⎨-++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD′为菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，23PA=23h∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．8．如图，直线y＝-12x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．【答案】(1)y＝14x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣34(m+3)2+274；△ADC的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.【详解】 解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得： 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F. ∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC ＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a＝﹣34＜0，∴抛物线开口向下，∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值274，又∵当m＝﹣3时，14m2+m﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC的面积最大，最大值为274；(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，由2392134y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得6xy=-⎧⎨=⎩或821xy=⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设x1，x2是方程两根，且121111x x k+=-，求k的值．【答案】（1）k≥﹣14；（2）k＝1+52．【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14； （2）∵x 1，x 2是方程两根，∴x 1+x 2＝2k +1x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ，解得：121122k k +==， 又∵k ≥﹣14 ， 即：k＝12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a - ，两根之积等于c a”是解题的关键.10．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1m （x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣3m，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m ）， 同理可得：点G （﹣32m ，32）， 则GH 2＝（32+32m ）2+（32﹣32m）22， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BD ．（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，求点P 的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．12．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【答案】（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=278；（3）当△BMN是等腰三角形时，m22，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得309330a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝， 解得14a b ⎧⎨-⎩＝＝， 这个二次函数的表达式是y=x 2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C （0，3），设BC 的表达式为y=kx+b ，将点B （3，0）点C （0，3）代入函数解析式，得300k b b +⎧⎨⎩＝＝， 解这个方程组，得13k b -⎧⎨⎩＝＝ 直线BC 的解析是为y=-x+3，过点P 作PE ∥y 轴，交直线BC 于点E （t ，-t+3），PE=-t+3-（t 2-4t+3）=-t 2+3t ，∴S △BCP =S △BPE +S CPE =12（-t 2+3t ）×3=-32（t-32）2+278， ∵-32＜0，∴当t=32时，S △BCP 最大=278. （3）M （m ，-m+3），N （m ，m 2-4m+3） MN=m 2-3m ，2|m-3|，当MN=BM 时，①m 22（m-3），解得2，②m 22m-3），解得2当BN=MN 时，∠NBM=∠BMN=45°，m 2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN 时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m 2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为2，-2，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．14．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C 2解析式为：y=﹣ax 2+4ax ﹣5，（3）抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a ﹣5，解得，a=； ∴a=或；考点：1、抛物线与x 轴的交点；2、二次函数图象与几何变换15．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ，顶点M 在直线BC 上．（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析（2）22y x 4x 85=-+ （3）详见解析【解析】【分析】 （1）根据勾股定理，翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ，根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标．（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法可求M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式． （3）分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标：设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当点P 在CD 的上面下方，根据菱形的性质，知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1（529,48）； 当点P 在CD 的上面上方，易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点，此时，∠D 的外角平分线与直线AD 垂直，由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于－2，可设其为y 2x m =-+，将D （10，8）代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2（﹣5，38）． 【详解】（1）证明：∵A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），∴AB=6+4=10，AC 10==．∴AB=AC ．由翻折可得，AB=BD ，AC=CD ．∴AB=BD=CD=AC ．∴四边形ABCD 是菱形．∴CD ∥AB ．∵C （0，8），∴点D 的坐标是（10，8）． （2）∵y=ax 2﹣10ax+c ，∴对称轴为直线10a x 52a-=-=． 设M 的坐标为（5，n ），直线BC 的解析式为y=kx+b ， ∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩，解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩． ∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8．∵点M 在直线y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2．∴M （5，，－2）.又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ，∴25a 50a c 2c 8-+=-⎧⎨=⎩，解得2a 5c 8⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的函数表达式为22y x 4x 85=-+． （3）存在．点P 的坐标为P 1（529,48），P 2（﹣5，38）。

九年级数学中考压轴题 二次函数综合题(附答案)

九年级数学中考压轴题 二次函数综合题(附答案)

B铅垂高水平宽haA专题五中考压轴试题——二次函数综合训练一 .二次函数求最值问题（一）求线段最值1.平行于x轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标（大横-小横），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，根据m的正负及其取值范围判断最值.2.平行于y轴的线段最值问题首先用自变量（如m）表示出线段两个端点的坐标，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标（大纵-小纵），得到一个线段长关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.3.既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题将斜线段用竖直线段（或水平线段）表示（一般用到相似或三角函数知识，如补充1和补充2）（二）求周长最值建立周长与动点的横坐标之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质求其最值.（三）求面积最值问题1.规则图形面积最值（规则图形指三角形有一边平行于坐标轴，四边形有一组对边平行于坐标轴）首先用自变量（如m）表示出所需的边长及高，利用面积公式表示出面积，得到一个面积关于自变量的二次函数，将其化为顶点式，并根据m的正负及其取值范围判断最值.2.不规则图形面积最值法一：分割；法二：铅直高度与水平高度积的一半（针对三角形而言）.二.存在性问题问题或AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）21.等腰三角形（分类讨论用距离公式）2.直角三角形（分类讨论用距离公式）3.相似三角形（分类讨论列比例）4.平行四边形（分“两定两动”和“三定一动”两种情况，用全等三角形知识）三.补充知识1.二次函数存在性问题中，往往会用到两点间的距离公式，在使用该公式时，如果出现平方的平方（即4次方），一般改设动点的坐标为（x，y），即设两个变量x和y，根据满足的条件（比如直角三角形、等腰三角形）先得到y 与x函数关系式，再联立已知的二次函数关系式，解方程组即可（如补充3）。

2．解二次函数问题，要关注数形结合，当用代数法所列式子比较复杂或思路受阻，可观察图形中是不是有特殊的图形（如等腰三角形、含有特殊角的直角三角形、等腰直角三角形），可以利用相似等几何知识进行求解；当几何图形复杂，难以画出符合条件的图形，可以直接列式子用代数法求解.一最值问题 (面积最值)1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．一最值问题（线段最值）4．如图：已知抛物线265y x x=-+与x轴交于A、B两点，（A在B的左边），与y轴交于点C，若M是抛物线在x轴下方图像上一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于N，求线段MN的最大值。

2020-2021中考数学二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学二次函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习含答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根． （1）求k 的取值范围； （2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k 1+5 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可. 【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1 ∵△≥0 ∴4k +1≥0 ∴k ≥﹣14；（2）∵x 1，x 2是方程两根， ∴x 1+x 2＝2k +1 x 1x 2＝k 2， 又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ， 解得：121515,22k k +-==， 又∵k ≥﹣14， 即：k ＝152-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于ca”是解题的关键.3．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C-.（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;（2）若点D 在二次函数图像上，且45DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标;（3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.【答案】（1）y ＝239344x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为2﹣，2；（3）M （13，﹣113）【解析】 【分析】（1）求出a ，即可求解；（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，34m 2﹣94m ﹣3），N（n ，34n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ；【详解】（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3），∴a ＝34， ∴y ＝34x 2﹣94x ﹣3，与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）； （2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， ∴403k b b +=⎧⎨=-⎩，∴343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y ＝34x ﹣3； 过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ， 设H （x ，34x ﹣3），D （x ，34x 2﹣94x ﹣3），∴DH ＝|34x 2﹣3x |， ∵S △ABC ＝1155323⨯⨯=，∴S △DBC ＝41552⨯＝6，∴S△DBC＝2×|34x2﹣3x|＝6，∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，34m2﹣94m﹣3），N（n，34n2﹣94n﹣3），则E（m，34m﹣3），F（n，34n﹣3），∴ME＝﹣34m2+3m，NF＝﹣34n2+3n，∵EF∥MN，ME∥NF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴ME＝NF，∴﹣34m2+3m＝﹣34n2+3n，∴m+n＝4，∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，∴∠NMG＝∠OBC，∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OBMN BC,∵B（4，0），C（0，﹣3），∴OB＝4，OC＝3，在Rt△BOC中，BC＝5，∴MN＝54（n﹣m）＝54（4﹣2m）＝5﹣52m，∴ME+MN＝﹣34m2+3m+5﹣52m＝﹣34（m﹣13）2+6112，∵﹣34＜0，∴当m＝13时，ME+MN有最大值，∴M（13，﹣113）【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF2，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t22，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D 点坐标为（2，5）；当△BCD 是以BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB 2=DC 2，即4+（y ﹣3）2=1+y 2+18，解得：y =﹣1，此时D 点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC 的解析式为y =﹣x +3．∵直线y =x +m 与直线y =x 平行，∴直线y =﹣x +3与直线y =x +m 垂直，∴∠CEF =90°，∴△ECF 为等腰直角三角形，作PH ⊥y 轴于H ，PG ∥y 轴交BC 于G ，如图2，△EPG 、△PHF 都为等腰直角三角形，PE =22PG ，PF =2PH ，设P （t ，t 2﹣4t +3）（1＜t ＜3），则G （t ，﹣t +3），∴PF =2PH =2t ，PG =﹣t +3﹣（t 2﹣4t +3）=﹣t 2+3t ，∴PE =22PG =﹣22t 2+322t ，∴PE +EF =PE +PE +PF =2PE +PF =﹣2t 2+32t +2t =﹣2t 2+42t =﹣2（t ﹣2）2+42，当t =2时，PE +EF 的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：12S S 的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩， 抛物线解析式为：213222y x x =--+ ; （2）①令0y =， ∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN ∴DME BNE ∆∆∽∴12S DE DM S BE BN == 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()22121214225552a aS DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45;②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴55AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ， ∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D（a，-12a2-32a+2），∴DR=-a，RC=-12a2-32a，∴（-12a2-32a）：（-a）=1：2，∴a1=0（舍去），a2=-2，∴x D=-2，∴-12a2-32a+2=3,∴点D的坐标是()2,3-【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）点P （4，6）．【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6），则N （t ，﹣t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH ⊥OB 知DH ∥AO ，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E 与点A 重合，求出y=6时x 的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩，解得：16kb=-⎧⎨=⎩，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•（AG+BM）=12 PN•OB=12×（﹣12t2+3t）×6=﹣32t2+9t=﹣32（t﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.7．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（352，1+5P35+51+5P455-15-.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758，∵-32＜0，∴当m=52时，S有最大值是758；（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=5+52或552-，∴P的坐标为（5+52，1+52）或（552-，152-）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+52或352； P 的坐标为（3+52，152-）或（352，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+52，152-）或（352，1+52）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．8．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或332362+--或332362--+． 【解析】【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯，解得：94PH HG ==，即可求解．【详解】 （1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==，则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②， 联立①②并解得：3322x ±=， 即点'P 、''P 的坐标分别为332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 故点P 坐标为：315,24⎛⎫⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭或332362,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．10．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQDAB ∆∆， DAC DPN ∆∆，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆，DNQ DCA ∴∆∆，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．11．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.12．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示：(1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == 得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm(2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v = 在B 点相遇得到方程15 2.5v= ∴5=7.515=2.5v v⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩ ∵在边BC 上相遇，且不包含C 点∴2/6/3cm s v cm s ≤＜ ②如下图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM == ∴112152S MH AP x =⋅=-+ ∴22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅=2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【点睛】本题重点考查动点问题，二次函数的应用，求不规则图形的面积等知识点，第一问关键能够从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清楚运动过程，第二小问关键在能够用x 表示出S 1和S 213．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或412或5-41②点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-15x+b，把E（12，-52）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y xy x-⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），∵B （5，0），C （0，﹣5），∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形，∴AM=22AB=22×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴222=4，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），当P 点在直线BC 上方时，PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4，当P 点在直线BC 下方时，PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41， 综上所述，P 点的横坐标为4或5+412或5-412； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．14．如图， 已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标； （2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标 ．【答案】（1）213442y x x =-++，点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(8，0)；（2）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M 的坐标为(4-771)、(2，6)、(6，4)或7，71)．【解析】【分析】（1） 由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a 值， 进而可得出抛物线的解析式， 再利用二次函数图象上点的坐标特征， 即可求出点A 、B 的坐标；（2） 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标， 由点B 、C 的坐标， 利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式， 假设存在， 设点P 的坐标为（x,213-442x x ++），过点P 作PD//y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x,1-42x +），PD=-14x 2+2x ，利用三角形的面积公式即可得出三角形PBC 的面积关于x 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3） 设点M 的坐标为（m,213-442m m ++），则点N 的坐标为（m,1-42m +），进而可得出MN 2124m m =-+，结合MN=3即可得出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程， 解之即可得出结论 ．【详解】（1）抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =， 3232a∴-=，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为213442y x x =-++． 当0y =时，2134042x x -++=， 解得：12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．（2） 当0x =时，2134442y x x =-++=， ∴点C 的坐标为()0,4．设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠．将()8,0B 、()0,4C 代入y kx b =+，804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 假设存在， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，过点P 作//PD y 轴， 交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，如图所示 ． 2213114424224PD x x x x x ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ()222111·8?28416224PBC S PD OB x x x x x ∆⎛⎫∴==⨯-+=-+=--+ ⎪⎝⎭． 10-<，∴当4x =时，PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．08x <<，∴存在点P ，使PBC ∆的面积最大， 最大面积是 16 ．（3） 设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭． 又3MN =，21234m m ∴-+=． 当08m <<时， 有212304m m -+-=， 解得：12m =，26m =，∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时， 有212304m m -++=， 解得：3427m =-，4427m =+，∴点M 的坐标为(427-，71)-或(427+，71)--．综上所述：M 点的坐标为(427-，71)-、()2,6、()6,4或(427+，71)--．【点睛】本题考查了二次函数的性质、 二次函数图象上点的坐标特征、 待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积， 解题的关键是： （1） 利用二次函数的性质求出a 的值； （2） 根据三角形的面积公式找出关于x 的函数关系式； （3） 根据MN 的长度， 找出关于m 的含绝对值符号的一元二次方程 ．15．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则。

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析

2020-2021中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习及答案解析一、二次函数1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．2．已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b +1图象的顶点，直线y ＝mx +5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B ．（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x +1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx +5＞﹣（x ﹣b ）2+4b +1，根据图象，写出x 的取值范围．（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【解析】【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A（5，0）．由图象，得当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（45，215），F（0，1）．点M在△AOB内，1＜4b+1＜215，∴0＜b＜45．当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣14＝34﹣b，∴b＝12，且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜12时，y1＞y2，②当b＝12时，y1＝y2，③当12＜b＜45时，y1＜y2．【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB∆为直角三角形；(Ⅲ)22333(0)221933(3)222t t tSt t t⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.【解析】【分析】（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：①当0＜t≤32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()21y x c =--+上， ∴()2011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()214y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.∵222BC CD BD +=，∴CDB ∆为直角三角形.(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，∵()()3,0,0,3B C ，∴303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，∴3y x =-+，直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+，∵()()3,0,1,4B D ，∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：(1)当302t <≤时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩， ∴()3,2F t t -.111222QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，∴KQ t =，3PK PB t ==-.直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=⋅-⋅ ()()()211362322t t t =---- 219322t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b =且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上 综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，∴PB BKBN OB= ∴PB ＝83，∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键7．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161393a -≤≤- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2y ax bx c =++，可得22(1)(1)a m b m c aam bm c b⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b ) 由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得11b c =⎧⎨=⎩ (2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①－②得，2am b b +=-，∴b am =- 把b am =-代入②，得c am =-(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ，22141,4am am a m m∴+=∴=+把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-34m Q ≤-，314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.8．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）； 当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．9．综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ， ∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2，此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4， 此时233156424x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.10．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，52），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52；（2）∵y=﹣12（x﹣2）2+92，∴C（2，92），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，92﹣t），把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得﹣12（2+t）2+2（2+t）+52=92﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），∵抛物线平移，使其顶点C（2，92）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点（4，92）向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，12•（m+52+2）•2=8，解得m=72，此时M点坐标为（0，72）；当m＜0时，12•（﹣m+52+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M点坐标为（0，﹣72）；综上所述，M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.11．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

初三二次函数压轴题精选-二次函数综合压轴题（含答案）

初三二次函数压轴题精选-二次函数综合压轴题（含答案）

初三⼆次函数压轴题精选-⼆次函数综合压轴题（含答案）⼆次函数压轴题1、如图1，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另⼀点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所⽰的位置沿x 轴的正⽅向匀速平⾏移动，同时⼀动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所⽰）.①当t=25时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；②设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形⾯积为S ，试问S 是否存在最⼤值？若存在，求出这个最⼤值；若不存在，请说明理由．2、已知⼆次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A (3，0)，B (2，-3)，C (0，-3)．(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P 从B 点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC 向C 点运动，点Q 从O 点出发以相同的速度沿线段OA 向A 点运动，其中⼀个动点到达端点时，另⼀个也随之停⽌运动．设运动时间为t 秒．①当t 为何值时，四边形ABPQ 为等腰梯形；②设PQ 与对称轴的交点为M ，过M 点作x 轴的平⾏线交AB 于点N ，设四边形ANPQ 的⾯积为S 求⾯积S 关于时间t 的函数解析式，并指出t 的取值范围；当t 为何值时，S 有最⼤值或最⼩值．O A B C P QMN第2题图3、如图，P为正⽅形ABCD的对称中⼼，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴⽅向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O出发沿OM⽅向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。

求：（1）C的坐标为；（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最⼤值。

2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练含答案

2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练含答案

2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接P A，PB，试求出当P A+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标；（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a 的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．12．如图所示：已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于两点A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．（1）求a，k，b的值．（2）直接写出关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；（3）当点P在直线AB上方时，请求出△P AB面积的最大值并求出此时点P的坐标；（4）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在x轴是否存在一点P，使得△POD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）与B（3，0）．（1）求此二次函数的解析式；（2）若该二次函数图象顶点为D，点P为x轴上一点，将该二次函数图象绕着点P旋转180°得到新抛物线的顶点记为E，与x轴的交点记为F、G（点F在点G的左侧），若四边形DBEF是矩形，求点P的坐标；（3）若抛物线与y轴交于点C，现将抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过点C，在平移后的抛物线上是否存在点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出平移方式；若不存在，请说明理由．15．如图，已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B，点P为直线AB上的一个动点，过P作y轴的平行线与抛物线交于C点，抛物线与x轴另一个交点为D．（1）①点A坐标为（，），点B坐标为（，）②求出图中抛物线的解析式；（2）当点P在线段AB上运动时，求线段PC的长度的最大值；（3）在直线AB上是否存在一点P，使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（4）在x轴上有一点E，在抛物线上有一点F，能否以A、B、E、F四点构造平行四边形？如果能，请直接写出E点的坐标；如果不能，请说明理由．16．如图，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝﹣x+3与x轴交于点D，与抛物线交于点E，点P在抛物线上且P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是直线AE上方的抛物线上一动（不与A、E重合），过点P向x轴作垂线交直线AE于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式；（3）连接P A，使得∠P AD＝45°，求P点的坐标．2021年九年级数学中考复习《二次函数压轴题经典题型》专题训练答案1．已知，如图抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点A的坐标为（﹣4，0），B的坐标为（1，0），且OC＝4OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形ACD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据点B的坐标为（1，0），OC＝4OB可得出C点坐标，再把A，B，C两点的坐标代入抛物线的解析式求出a，c的值即可；（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N，利用待定系数法求出直线AC的解析式，故可得出DM＝﹣（x+2）2+4，即可得出结论；（3）①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，根据PC两点的纵坐标相等可得出P点坐标；②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4得出x的值即可得出P点坐标．解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），∴C（0，﹣4），把点A，B，C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，解得：，∴抛物线线的解析式为：y＝x2+3x﹣4；（2）如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．∵A（﹣4，0），B的坐标为（1，0），∴AB＝5，∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DM•OA＝2DM，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴，解得，故直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣4．令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），则DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，当x＝﹣2时，DM有最大值4，故三角形ACD面积的最大值＝2DM＝8；（3）①如图2，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，∴x＝0或x＝﹣3．∴P1（﹣3，﹣4）．②如图3，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，∵C（0，﹣4），∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．解得x＝或x＝．此时存在点P2（，4）和P3（，4）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为（4，0）．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．分析：（1）解方程即可得到A点的坐标；（2）利用待定系数法即可求得函数解析式；（3）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP ＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；（4）用m可表示出P、F、E的坐标，由题意可知有F为线段PE的中点、P为线段EF的中点或E为线段PF的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．解：（1）在y＝+2中，令y＝0，则x＝4，∴A（4，0）；故答案为：（4，0）；（2）∵在y＝+2中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝，∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（3）∵P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵△BEF和△APF相似，且∠BFE＝∠AFP，∴∠BEP＝∠APF＝90°或∠EBF＝∠APF＝90°，当∠BEF＝90°时，则有BE⊥PE，∴E点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，如图1，当∠EBF＝90°时，过点E作EC⊥y轴于点C，则∠EBC+∠BEC＝90°，EC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠EBF＝90°，∴∠EBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BEC，∴Rt△ECB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，解得，m＝，综上所述，以B、E、F为顶点的三角形与△FP A相似，m的值＝，；（4）由（1）知，P（m，0），E（m，﹣m2+m+2），F（m，﹣m+2），∵E、F、P三点为“共谐点”，∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点，当F为线段PE的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝4（三点重合，舍去）或m＝；当P为线段FE的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）＝0，解得m＝4（舍去）或m ＝﹣1；当E为线段FP的中点时，则有﹣m+2＝2（﹣m2+m+2），解得m＝4（舍去）或m＝﹣；综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或．点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，先确定直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P （x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），所以PQ＝﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ，则﹣x2+5x＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标；（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，先证明△BME≌MNF得到ME＝NF＝t，BE＝MF＝2t，则N（3t，﹣t+4），接着把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4；然后表示出点N关于点M的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，通过证明△BME≌NBF得到ME＝BF＝t，BE＝NF＝2t，则N（2t，t+4），然后把N （2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，最后分别解关于t的方程可得到满足条件的M点坐标．解：（1）解：根据题意得，解得：b＝3，c＝4，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）∵C为OA的中点，∴C点坐标是（2，0）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（0，4），C（2，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），∴PQ＝﹣x2+3x+4﹣（﹣2x+4）＝﹣x2+5x，∵S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ•2＝PQ，∴﹣x2+5x＝6，整理得x2﹣5x+6＝0，解得x1＝3，x2＝2，∴P点坐标为（3，4）或（2，6）；（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，∵△BMN为等腰直角三角形，∴BM＝MN，易得△BME≌MNF（AAS），则ME＝NF＝t，BE＝MF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，∴N（3t，﹣t+4），把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；点N（3t，﹣t+4）关于点M（t，﹣2t+4）的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4，解得t1＝t2＝0（舍去）；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，∵△BMN为等腰直角三角形，∴BM＝BN，易得△BME≌NBF（AAS），则ME＝BF＝t，BE＝NF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，∴N（2t，t+4），把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；综上所述，M点坐标为（，）或（，）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣2时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．分析：（1）把a＝﹣2代入y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，解方程得到点C（0，﹣6），根据勾股定理即可得到结论；（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，根据三角形的中位线的性质得到DG＝2AE＝﹣2a，求得BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，①当OB＝BD＝﹣5a，②当OD＝BD＝﹣5a时，③当OD ＝OB时，DG＝BG，解方程即可得到结果；（3）根据已知条件得到点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，求得n＝a，根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）当a＝﹣2时，y＝﹣2（x﹣1）（x﹣3）＝﹣2x2+8x﹣6，当x＝0时，得y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），当y＝﹣6时，即﹣6＝﹣2x2+8x﹣6，解得：x1＝0，x2＝4，∴点B（4，﹣6），∴BC＝4，OC＝6，∴OB═＝2；（2）在y＝a（x﹣1）（x﹣3）中，令x＝0，得y＝3a，∴C（0，3a），B（4，3a），∵点A是抛物线的顶点，∴A（2，﹣a），过A作AE⊥x轴于点E，AE延长线与CB交于点F，将BD与x轴的交点记为点G，则E为OG的中点，∵AE∥BD，∴DG＝2AE＝﹣2a，∴BD＝DG+BG＝﹣5a，当△OBD为等腰三角形时，分类讨论：①当OB＝BD＝﹣5a，在Rt△OBC中，BC＝﹣4a＝4，∴a＝﹣1，②当OD＝BD＝﹣5a时，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2＝16，∴a＝﹣（由于a＜0，所以已负数舍去）；③当OD＝OB时，DG＝BG，但﹣2a≠﹣3a，∴此种情况不可能；∴a＝﹣1或﹣（由于a＜0，所以舍去）；（3）∵BD＝DG+BG＝﹣5a，∵点M是△OBD的外心，∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴，∴n＝﹣a，∵M（m，n），D（4，﹣2a），∴（﹣a）2+m2＝（﹣a）2+（4﹣m）2，∴8m＝6a2+16，∵n＝a，∴8m＝24n2+16，整理上式，得：m＝3n2+2．点评：本题考查了二次函数的综合题，求函数的解析式，勾股定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．5．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，5）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，P是抛物线对称轴上一点，连接P A，PB，试求出当P A+PB的值最小时点P的坐标；（3）如图2，Q是线段OC上的一点，过点Q作QH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△QCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出Q点的坐标．分析：（1）将点A、B的坐标代入可得出b、c的值，继而得出这个抛物线的解析式；（2）由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法确定直线BC的解析式，然后求得该直线与y轴的交点坐标即可；（3）如图2，QH交BC于E，设Q（t，0），根据一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，设P点的坐标为（a，0），E（a，a+5），H（a，﹣a2﹣4a+5）．然后分类讨论：分别利用EH＝EQ或EH＝EQ，列关于a的方程，然后分别解关于t 的方程，从而得到Q点坐标．解：（1）将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c．得解这个方程组，得，所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；（2）如图1，由于点A、C关于y轴对称，所以连接BC，直线BC与y轴的交点即为所求的点P，由y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，得﹣x2﹣4x+5＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴C点的坐标为（﹣5，0），又B（0，5），∴易得直线BC的解析式为：y＝x+5．∴当x＝﹣2时，y＝3，∴点P坐标（﹣2，3）；（3）设Q点的坐标为（a，0），所以BC所在的直线方程为y＝x+5．那么，QH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），QH与抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．由题意，得①EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）．②EH＝EQ，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5），解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去），综上所述，Q点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．点评：本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数和一次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住三角形面积公式；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒，过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BG，求△BGD的面积最大值；（3）将△PED沿直线BD翻折，若点P的对应点P′恰好落在抛物线上，求此时t的值；（4）如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动．动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出该菱形的周长：若不存在，请说明理由．分析：（1）用顶点式求解即可；（2）设点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），用S△BDG＝•EG•（x D﹣x B）即可求解；（3）通过证△MNP′≌MDP′（AAS），求而出P点对应点为P′坐标即可求解；（4）分当点H在E上（下）方两种情况画图，①利用BE＝BQ，②利用△BQR∽△DEP 即可求解．解：（1）由A、B、C点的坐标，可知D点坐标为（﹣1，4），设：二次函数表达式为：y＝a（x+1）2+4，将点B的坐标（﹣3，0）代入表达式，解得：a＝﹣1，∴二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设：点G坐标（m，﹣m2﹣2m+3），设：直线BD的表达式为y＝kx+b，直线过B（﹣3，0）、D（﹣1，4），将点B、D坐标代入直线方程，则：k＝2，b＝6，y＝2x+6，∵点G、E横坐标相同，则E（m，2m+6），∴EG＝y G﹣y E＝﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣6＝﹣m2﹣4m﹣3，∴S△BDG＝•EG•（x D﹣x B）＝﹣（m+2）2+1，∴当m＝﹣2时，S△BDG面积最大值为1；（3）如图所示P点对应点为P′，PP′交BD于M点，过P′作P′H⊥轴，交BD于N点，则：△MNP′≌MDP′（AAS），∴P′N＝PD，DM＝MN，设运动的时间为t，则PD＝P′N＝t，∵BC＝2，CD＝4，∴tan∠BDC＝＝，在△DMP中，DP＝t，PM＝P′M＝t，DM＝MN＝t，∴DN＝t，BN＝BD﹣DN＝2﹣t，∴BH＝2﹣t，HN＝4﹣t；∴HP′＝HN+NP′＝4﹣t，OH＝OB﹣HB＝1+t，∴点P′坐标为（﹣1﹣t，4﹣t），∵P′在二次函数y＝﹣x2﹣2x+3上，将P点坐标代入二次函数化简得：16t2﹣15t＝0，t＝，t＝0（舍去）；答：t的值为时，点P的对应点P′恰好落在抛物线上；（4）①如左图所示，当点H在E上方时，∵四边形BEHQ为菱形，则BE＝BQ，过点E作EP⊥DC，在Rt△DPE中，tan∠BPD＝，BD＝2，则BE＝BD﹣ED＝2﹣，BE＝2﹣＝BQ＝t，解得：t＝20﹣8，∴菱形BEHQ周长＝4•BQ＝80﹣32；②如右图所示，当点H在点E下方时，连接QH交BE于R，则QH⊥EB，过点E作EP⊥y轴，易证：△BQR∽△DEP，∴…①，由题意得：BQ＝DP＝t，tan∠ABD＝tan∠BDC＝，BR＝t＝ER，ED＝2﹣t，代入①式解得：t＝，∴菱形BEHQ周长＝4•BQ＝；答：在矩形ABCD内存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，其周长为或80﹣32．点评：本题是二次函数压轴题，涉及到解直角三角形、三角形全等、形似等知识点，根据题目正确画出图形是这类题目的关键．7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，3），它的对称轴是直线x＝﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标；（3）一动点P在线段BC上方（不与点B，C重合）的抛物线上运动，是否存在点P，使得△PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；如不存在，请说明理由．分析：（1）由对称性可得B（﹣3，0），根据交点式可求解析式．（2）分BC＝BM，BC＝CM，BM＝CM三种情况讨论可得M点坐标（3）设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3），用a表示S△PBC，根据二次函数的最值问题可求P点坐标解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣，点A（2，0）∴B（﹣3，0）∴设抛物线解析式y＝a（x﹣2）（x+3）且过C（0，3）∴a＝﹣∴抛物线解析式y＝﹣（x﹣2）（x+3）＝﹣x2﹣x+3（2）∵B（﹣3，0），C（0，3）∴BC＝3若BC＝BM＝3∴M（﹣3﹣3，0）（不合题意舍去）或M（﹣3+3，0）若BC＝CM＝3∴M（3，0）若BM＝CM∴在Rt△CMA中，CM2＝（3﹣CM）2+CO2∴CM＝3∴M（0，0）∴M点坐标为（0，0），（﹣3+3，0）（3）∵B（﹣3，0），C（0，3）∴直线BC解析式y＝x+3如图作PD⊥x轴交直线BC于D，设P（a，﹣a2﹣a+3），则D（a，a+3）∴PD＝﹣a2﹣a+3﹣a﹣3＝a2﹣a∴S△PCB＝×（﹣a2﹣a）×3＝﹣a2﹣a∵﹣＜0∴当x＝﹣时，S△PBC最大值为∴P（﹣，）点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法，二次函数的最值问题，等腰三角形的性质，分类讨论思想，关键是灵活运用二次函数的性质解决问题．8．如图，已知直线y＝﹣3x+c与x轴相交于点A（1，0），与y轴相交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△P AB＝2S△AOB时，求点P的坐标；（3）连接BC抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由．分析：（1）先把A点坐标代入y＝﹣3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），由于S△P AB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，S△P AB＝2S△AOB，则S△POB﹣S△POA＝S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；（3）解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C（﹣3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE＝BE＝（3﹣t），接着利用tan∠MCB＝tan∠ABO得到＝＝，所以3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y＝x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y ＝﹣3x+3，设N（k，﹣3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN＝，再利用两点间的距离公式得到（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，解方程求出t得N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．解：（1）把A（1，0）代入y＝﹣3x+c得﹣3+c＝0，解得c＝3，则B（0，3），把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，设P（x，﹣x2﹣2x+3）（x＜﹣1），当P点在x轴上方，S△P AB＝S△POB+S△ABO﹣S△POA，∵S△P AB＝2S△AOB，∴S△POB﹣S△POA＝S△ABO，当P点在x轴下方．易得S△POB+S△POA＝S△ABO，当P点在x轴上方时，•3•（﹣x）﹣•1•（﹣x2﹣2x+3）＝•1•3，解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），此时P点坐标为（﹣2，3）；当P点在x轴下方时，•3•（﹣x）+•1•（x2+2x﹣3）＝•1•3，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3（舍去），综上所述，P点坐标为（﹣2，3）；（3）存在．当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，则C（﹣3，0），∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3，当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），∵∠DBE＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝BD＝（3﹣t），∵∠MCB＝∠ABO，∴tan∠MCB＝tan∠ABO，∴＝＝，即CE＝3DE，∴3﹣（3﹣t）＝（3﹣t），解得t＝，则D（0，），设直线CD的解析式为y＝mx+n，把C（﹣3，0），D（0，）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+，解方程组得或，此时M点坐标为（，）；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y＝﹣3x+3，AB＝，AC设N（k，﹣3k+3），∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，∴∠NCA＝∠ABC，而∠BAC＝∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴AB：AC＝AC：AN，即：4＝4：AN，∴AN＝，∴（k﹣1）2+（﹣3k+3）2＝（）2，整理得（k﹣1）2＝，解得k1＝（舍去），k2＝﹣，∴N点坐标为（﹣，），易得直线CN的解析式为y＝2x+6，解方程组，得或，此时M点坐标为（﹣1，4），综上所述，满足条件的M点的坐标为（，）或（﹣1，4）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能把求函数交点问题转化为解方程组的问题；灵活运用锐角三角函数的定义和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．9．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设顶点式y＝a（x+2）2﹣8，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）如图，先确定C（0，﹣6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6），所以PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x ﹣6），然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设M（﹣2，t），利用两点间的距离公式得到AC2＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2﹣8，把A（﹣6，0）代入得a（﹣6+2）2﹣8＝0，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣8，即y＝x2+2x﹣6；（2）如图，当x＝0时，y＝x2+2x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣6，0），C（0，﹣6）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，设P（x，x2+2x﹣6）（﹣6＜x＜0），则E（x，﹣x﹣6）∴PE＝﹣x﹣6﹣（x2+2x﹣6）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+3）2+，当x＝﹣3时，PE的长度有最大值，最大值为，此时P点坐标为（﹣3，﹣）；（3）存在．抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设M（﹣2，t），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴AC2＝62+62＝72，AM2＝（﹣2+6）2+t2，CM2＝（﹣2）2+（t+6）2，当AC2+AM2＝CM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2+6）2+t2＝（﹣2）2+（t+6）2，解得t＝4，此时M点坐标为（﹣2，4）；当AC2+CM2＝AM2，△ACM为直角三角形，即72+（﹣2）2+（t+6）2＝（﹣2+6）2+t2，解得t＝﹣8，此时M点坐标为（﹣2，﹣8）；当CM2+AM2＝AC2，△ACM为直角三角形，即（﹣2+6）2+t2+（﹣2）2+（t+6）2＝72，解得t1＝﹣3+，t2＝﹣3﹣，此时M点坐标为（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．综上所述，M点的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣8）或（﹣2，﹣3+）或（﹣2，﹣3﹣）．点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣2，0）和B（8，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG＝45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH＝OC＝4，即可求得OD的长；（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF＝∠EDF，由于tan。

2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题含详细答案

2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题含详细答案

2020-2021中考数学专题复习二次函数的综合题含详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317()+-或317(--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172t =，23172t =. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【解析】【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解；（2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润．【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩， 即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大，则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ，由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.3．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y=﹣x+n 与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y=ax 2+bx+3(a≠0)过C 、B 两点，交x 轴于另一点A ，连接AC ，且tan ∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是射线CB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交抛物线于Q ，设P 点横坐标为t ，线段PQ 的长为d ，求出d 与t 之间的函数关系式，并写出相应的自变量t 的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P 在线段BC 上时，设PH=e ，已知d ，e 是以y 为未知数的一元二次方程：y 2－(m+3)y+14(5m 2－2m+13)="0" (m 为常数)的两个实数根，点M 在抛物线上，连接MQ 、MH 、PM ，且．MP 平分∠QMH ，求出t 值及点M 的坐标．【答案】(1) y=-x 2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t t d t t t =-+<<=->；（3）t=1，22)和(122).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=，解得：1 {2 ab=-=∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；(2) 如图1，∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴∴P点的坐标为(t，－t+3)，Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x 2+2x+3令y=2，得x 2－2x －1=0，∴x 1=1+2，x 2=1－2综上：t 值为1，M 点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式； （2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P （-12，74）、Q （72，-94）代入y=mx+n ，得： 17247924m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴直线PQ 的表达式为y=-x+54． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+54）=-x 2+3x+74， ∴S △DPQ =12DE•（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-32）2+8． ∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32，154）． （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ，∴S △DPQ =12DE•（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+72；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．6．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m 、n 的值分别为 5，-5【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：4b+c-16=0，b+c-1="3" ，解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+．y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5，-5．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2221)，221)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y ＝-13(m ﹣12) 2+4912， 此时点E 的坐标为(12，72)；(3)点G 的坐标为(2，1)，(﹣21)，1)，(﹣4，3)． 理由：①如图1，当四边形CGDE 为菱形时．∴EG 垂直平分CD∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．∵EG 关于y 轴对称，∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE∵DE ＝DC ＝4，∴4，解得n 1＝﹣n 2＝∴点E 的坐标为(﹣2或将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣1)(如图2)或1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC ＝CD ＝4，∴2k 2+8k +16＝16，解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4．∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1)将点E 上移1个单位长度得点G ．∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣21)，1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图1，在矩形ABCD中，DB＝6，AD＝3，在Rt△PEF中，∠PEF＝90°，EF＝3，PF＝6，△PEF（点F和点A重合）的边EF和矩形的边AB在同一直线上．现将Rt△PEF从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD，填空：PE＝，∠PFD＝度，四边形PEAD的面积是；（2）如图2，当PF经过点D时，求△PEF运动时间t的值；（3）在运动的过程中，设△PEF与△ABD重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．【答案】（1）300，9+932；（233）见解析.【解析】分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t ＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可.详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin ∠P=1=2EF PF ∴∠P=30°∵PE ∥AD∴∠PAD=300，根据勾股定理可得所以S 四边形PEAD =12×（）； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得；（3）分三种情况讨论：①当0≤t PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，，∴S=12；②＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴，S △ABD =2，∵∠FBK=∠FKB，∴，KH=KF×sin600,∴S=S △ABD ﹣S △FBK=292t +③当PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，，OE=BE×tan300=3+∴S=2336-1224--++． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.9．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.10．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。

2021年九年级数学中考三轮压轴专题《二次函数动点综合》

2021年九年级数学中考三轮压轴专题《二次函数动点综合》

三轮压轴专题：《二次函数动点综合》1．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AMN为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线1⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t 的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，0），⊙A与x轴相交于点B，C，交y轴正半轴于点D．（1）求点B，D的坐标；（2）过点B作⊙A的切线，与过点A，C的抛物线交于点P．抛物线交y轴正半轴于点Q．若P的纵坐标为t，四边形PQAC的面积为y．①求y与t的函数关系式；②若△PBO与△DOA相似，求m2﹣12tm+y取最小值时m的值．3．在平面直角坐标系中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形，点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3CD 3，都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形A 3B 3CD 3是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y ＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为．②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，OM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“云三角形”．（1）若B点的坐标为（4，0），m＝2，则点P，B的“云三角形”的面积为．（2）当点P，Q的“云三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标．（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c，①若点M为抛物线上一点，△POM是点P，O的“云三角形”，求△POM的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；②当点P，Q的“云三角形”的面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c 与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．5．对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”．（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是（只填选项）．A．正比例函数y＝xB．反比例函数y＝C．二次函数y＝x2+2（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（n，0），N（0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r．①若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n 的取值范围；②若n＝4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．6．定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为y＝．（1）直接写出函数y＝x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．（2）请在图③的平面坐标系（单位长度为1）中画出函数y＝关于点（﹣1，﹣3）的“孪生函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y＝﹣x2+4x﹣3的图象上的一点，设点M 的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m＝1时，若函数值y的范围是﹣1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D （1，﹣1）为顶点的正方形ABCD与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．7．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点1Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．8．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交y轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），OB＝OC．（1）求b，c的值；（2）在线段BC上有一点H，直线AH交y轴于D，在射线AH 上有一点G，过点G的直线交y轴正半轴于点F，交x轴于点E，∠CAG＝∠OCB，∠FEO+∠CHA＝90°，点E的横坐标为t，EG 的长为d，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设直线EF交BC于点M，过点E作y 轴平行线交直线AD于点N，点P在抛物线上，连接DP、DM、DE、EN、PE、PN，若＝（点E在AB延长线上），S＝4S△PNE，求点P的坐标．△DME9．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．10．如图，已知直线y＝kx与抛物线y＝mx2+n交于点A、C．（1）若m＝﹣1，且点A坐标为A（1，2），求抛物线解析式与点C坐标；（2）如图1，若k＝1，将直线y＝x沿着x轴翻折，在第四象限交抛物线于点P，若，求mn的值；（3）如图2，已知抛物线与直线解析式分别为y＝与y ＝x，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（t，0）是x轴正半轴上的动点，记S△AEB＝S1，S△EOD＝S2，OE＝s，OD＝t，当满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD的E点有两个时，求S1•S2﹣（S1+）+的最小值，并求出此时E的坐标．11．已知，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4经过点L（﹣1，0）、（2，﹣6）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，平移抛物线C1使其顶点为M（0，2）得到抛物线C，点A为抛物线C2第一象限内异于点M的任意一点，直线AM 2交x轴于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线C2于点B，直线AB与y轴交于点N，求点N的坐标；（3）如图2，点P是抛物线C1第一象限内的点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线C1交于另一点Q，连接LP交y轴于点S，连接LQ交y轴于点T．若OS•OT＝2，探究m与n之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与抛物线y＝+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），点P的横坐标为m．①如图1，连接PO，以点P为旋转中心，把线段PO逆时针旋转90°，得到线段PC．当m为何值时，点C在直线AB上；②如图2，一动圆以点P为圆心，并与直线AB相切，设圆的半径为r，求r关于m的函数关系式，并求出r的取值范围．13．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点，过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B 在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断；（3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；（4）若，在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB 的面积为，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．15．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t 的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：①a＜0，ab≠0，c＝2；②顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y﹣．若t≤m+恒成立，求m的最小值．参考答案1．（1）解：∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0）∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，∴AB＝6，∴AC＝4，设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5，∴AE＝DE＝5，∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），∴角解得：此抛物线的解析式为（2）存在M、N，使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，设抛物线的对称轴与BC交于点H，过点E作ET⊥AH，垂足为T，连接AM、ME，如图1，设点M的坐标为（m，n），则，∴AH＝6﹣5＝1，HM＝﹣8﹣nET＝10﹣5＝5，TM＝﹣5﹣n因为AH⊥HM，∴AM2＝AH2+MH2＝1+（8﹣n）2∵ET⊥MH∴ME2＝ET2+MT2＝25+（5﹣n）2①若AM与AE是菱形的一组邻边，则AM＝AE∴AM2＝AE2∴1+（8﹣n）2＝25∴（8﹣n）2＝24解得：②若EM与EA是菱形的一组邻边，则EM＝EA∴EM2＝EA2∴25+（5﹣n）2＝25∴（5﹣n）2＝0∴n3＝5③若MA与ME是菱形的一组邻边，则MA＝ME∴MA2＝ME2∴1+（8﹣n）2＝25+（5﹣n）2解得：n4＝2.5综上所述：满足要求的点M的坐标为，（5，5），（5，2.5）（3）设直线OA的解析式y＝k1z，∵点A的坐标为（6，8），∴6k1x＝8，∴，直线OA的解析式，同理可得：直线OE的表达式为y＝，∵OP＝1×t＝t∴P（t，0）∵直线⊥x轴于点P，点F，G是直线l与OA，OE的交点∴，故，当0＜t＜8时，点Q在线段DC上过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图2，则QS＝PD＝10﹣t∴＝＝，②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图3，则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t∴＝＝③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG 不存在，故舍去，④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图4．则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18∴＝（2t﹣18）＝综上所述：2．解：（1）如图，连接OD，则AD＝AB＝5，∵点A（3，0），∴OA＝3，∴OB＝AB﹣OA＝2，∴B（﹣2，0），在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OD＝＝4，∴D（0，4）；（2）①∵⊙A的半径为5，点A（3，0），∴C（8，0），∴设过点A，C的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣8），由（1）知，B（﹣2，0），∵BP是⊙A的切线，∴BP⊥OB，∴P（﹣2，t），∵点P在抛物线上，∴t＝a（﹣2﹣3）（﹣2﹣8），∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）（x﹣8）＝x2﹣x+，∴Q（0，），∴OQ＝，∴y＝S四边形PQAC＝S△PBC﹣S梯形PBOQ﹣S△OAQ＝×10t﹣×2×（t+）﹣×3×＝t；②设w＝m2﹣12tm+y当△PBO∽△DOA时，，∴，∴t＝，此时，y＝，∴m2﹣12tm+y＝m2﹣12×m+＝m2﹣32m+＝（m﹣16）2﹣248，当m＝16时，m2﹣12tm+y有最小值﹣248；当△PBO∽△AOD时，，∴，∴t＝，此时，y＝，∴m2﹣12tm+y＝m2﹣12×m+＝m2﹣18m+＝（m﹣9）2﹣76，当m＝9时，m2﹣12tm+y有最小值﹣76，而﹣248＜﹣76，∴m2﹣12tm+y取最小值时，m的值为16．3．解：（1）①如图②，作矩形ANBM，∵t＝，∴C（，），∵A（﹣1，0），B（3，2），∴C在矩形ANBM内部，此时，矩形ANBM是点A，B，C的最佳外延矩形．S＝AM•BM＝（3+1）（2﹣0）＝8．矩形ANBM故答案为8．②若C在x轴下方，则：4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．若C在B点右上方，则：（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．综上所述，t的值为或．（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为4×＝14，此时P点横坐标x的取值范围为：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m+1）．当1≤﹣m即m≤﹣1时，Q点坐标为（1，﹣m2）若﹣m2＜4m，则m＞0（舍）或m＜﹣4，此时S＝m2，∵4≤S≤6，∴﹣≤m≤﹣2（舍）．若﹣m2≥4m，则﹣4≤m≤0，此时S＝﹣4m，∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，当﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2时，Q点的坐标就是抛物线顶点，S＝4m（m+1），∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，当﹣m≤﹣2即m≥2时，4m≥8，不合题意，舍去．综上所述，m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．4．解：（1）如图1，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB解析式为，∵m＝2，∴P（2，3）∵PM∥x轴，QM∥y轴，∴M（4，3），∠PMB＝90°∴PM＝2，BM＝3，∴点P，B的“云三角形”△PBM的面积＝；故答案为：3（2）如图2，根据题意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，∴∠MPQ＝45°，∵PM∥x轴，∴∠ABO＝45°，∴OB＝OA＝6，点B的坐标为（6，0）；（3）如图3，①首先，确定自变量取值范围为0＜m＜3，由（2）易得，线段AB的表达式为y＝6﹣x，∴点P的坐标为（m，6﹣m），∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，∴；②当点P在对称轴左侧，即m＜3时，∵点P，Q的“云三角形”面积为3，由①得：2m2﹣12m+18＝3，解得：或（舍去）．当点P在对称轴上或对称轴右侧，即m≥3时，，∴，，，∵抛物线＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点，∴，解得：．综上所述，m的取值范围为：或．5．解：（1）∵x轴是图形l，△PAB是边长为2的等边三角形，∴P点纵坐标为±，y ＝x上存在点（，）或（﹣，﹣）是x轴的“美好点”，y ＝上存在点（，）或（﹣，﹣）是x轴的“美好点”，y＝x2+2中y的最小是2，∴y＝x2+2上不存在x轴的“美好点”，故选A、B；（2）①∵M（n，0），N（0，n），n＞0，∴∠MNO＝60°，MN＝2n，△ABC与△ABD是边长为2的等边三角形，∴AC∥BD∥y轴，设直线NM的解析式为y＝kx+b，则有，∴k＝﹣，设过C点与MN平行的直线为y＝﹣+c，过D点与MN平行的直线为y＝﹣+d，当直线y＝﹣+c与圆O相切时，c＝4，∴n＝4+2＝6，此时⊙O上恰好存在1个直线MN的“美好点”，当y＝﹣+d与圆O相切时，d＝4，此时y＝﹣+c经过点O，即c＝0，此时⊙O上恰好存在3个直线MN的“美好点”，∴0＜n＜4时，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”；②如图：∵△ABC与△ABD是边长为2的等边三角形，∴C点在以O为圆心OC为半径的圆上，D点在以O为圆心OD 为半径的圆上，∵n＝4，∴M（4，0），N（0，4），∴∠ONM＝60°，当MN与D点所在圆相切时，OD＝r＝2，此时线段MN上存在⊙O的“美好点”，当OC＝OM时，OC＝r＝4，此时线段MN上存在⊙O的“美好点”，∴2≤r≤4时，线段MN上存在⊙O的“美好点”．6．解：（1）函数y＝x+1在x＞1部分任意取一点（2，3）关于x＝1的对称点为（0，3），设函数y＝x+1图象关于x＝1对称的部分的图象解析式为y＝kx+b，将点（0，3），（1，2）代入解析式，得，解得，∴“孪生函数”的解析式为y＝；（2）令y＝6，则x＝，∴点的坐标为（，6），∵点（，6）关于x＝﹣1的对称点为（﹣，6），令y＝﹣6，则＝6，解得x＝﹣，∴点的坐标为（﹣，﹣6），点（﹣，﹣6）关于x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣，﹣6），综上所述：到x轴距离为6的点的坐标为（，6）或（﹣，﹣6）或（﹣，6）或（﹣，﹣6）；（3）①当m＝1时，G'的解析式为y＝，令y＝﹣1，﹣x2+4x﹣3＝﹣1，解得x＝2﹣或x＝2+，令y＝﹣1，﹣x2+1＝﹣1，解得x＝﹣或x＝，当﹣≤x＜0或0＜x＜2或2＜x＜2+时，﹣1≤y＜1；②函数y＝﹣x2+4x﹣3的顶点为（2，1），点（2，1）关于x＝m对称的点的坐标为（2m﹣2，1），∴函数y＝﹣x2+4x﹣3关于x＝m对称的函数解析式为y＝﹣（x ﹣2m+2）2+1，当2m﹣2＞1时，即m＞，当x＝1时，﹣（3﹣2m）2+1＞﹣1，即＜m＜，∴＜m＜时G'与正方形ABCD有两个交点；当x＝﹣1时，﹣（1﹣2m）2+1＜﹣1，即m＜或m＞，∴m＜；综上所述：＜m＜或m＜时G'与正方形ABCD有两个交点．7．解：（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点P（，t）在抛物线C1上，∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．8．解：（1）直线y＝﹣x+3交y轴于点C，则点C（0，3），OB ＝OC＝3，则点B（3，0），故c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，故b＝2，c＝3；（2）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CAG＝∠OCB＝45，过点E作ET⊥AH于点T，过点C作CK⊥AC交AH于点K，过点C作PQ∥x轴，过点K作KQ⊥PQ于点Q，∵CK⊥AC，∴∠ACK＝90°，∴∠CKA＝45°，∴∠CAK＝∠CKA，∴AC＝CK，∵∠PAC＝∠QCK，∠APC＝∠CQK＝90°，∴△APC≌△CQK（AAS），∴PC＝KQ，PA＝CQ＝3，∵点A（﹣1，0），故OA＝1，∴PC＝KQ＝1，故点K（3，2）；由点A、K的坐标得，直线AK的表达式为：y＝x+，故点D（0，），则tan∠ADO＝＝，∵∠FEO+∠CHA＝90°，∠FEO+∠OFE＝90°，∴∠OFE＝∠CHA，∵∠OFE+∠CFB＝180°，∴∠CHA+∠CFB＝180°，∴∠FGH+∠FCH＝180°，∵∠FCH＝45°，∴∠FGH＝135°，∴∠HGE＝45°，∴∠HGE＝∠TEG＝45°，∴TG＝TE＝CE，∵EA＝t+1，tan∠TAE＝＝，∴AT＝2TE，在Rt△ATE中，TE2+AT2＝AE2，TE2+（2TE）2＝（t+1）2，解得：TE＝（t+1），d ＝EG＝TE＝（t+1）；（3）如图，过点P作PZ⊥EN角BN的延长线于点Z，直线PZ 交y轴于点C′（C），延长DM交EN于点W，∵＝，则设BE＝3k，则FC＝5k，则OF＝3﹣5k，OE＝3+3k，由（2）知，∠HGE＝45°，∴∠GEA+∠GAE＝45°，∵∠ACO+∠DAO＝180°﹣∠AOD﹣∠CAK＝45°，∴∠ACO＝∠GEA，∴tan∠ACO＝tan∠GEA，∵tan∠＝＝，∴tan∠＝，∴＝，即＝，解得：k＝，故OF＝，OE＝4，故点E（4，0），点F（0，），由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：y＝﹣x+，而BC 的表达式为：y＝﹣x+3，联立上述两个表达式并解得：x＝，故点M（，），∵点D（0，），故DM∥x轴，则DM＝，∵点N在直线y＝x+上，且横坐标为4，∴点N（4，），则EN＝，∴DM＝EN，∵S△PNE＝4S△DME，则NE•PZ＝4××DM•y M，故PZ＝4WE＝4×＝2，四边形C′ZEO为矩形，则C′Z＝OE＝4，故C′P＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，故点P（2，3）．9．解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，tan∠BAC＝3，则OA＝1，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），S＝CR×（x﹣x A）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；P（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，故点P（2，3），而点C（0，3），连接CP，则CP∥x轴，CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，CP＝2，OC＝3，CH＝CP sinα＝2sinα，ON＝OC sinα＝3sinα，CN＝OC cosα＝3cosα，∵ON⊥CN，GH⊥CH，∴∠HON＝∠OHG，故tan∠HON＝＝＝＝tan∠OHG＝，解得：tan，则sinα＝，cosα＝，MH＝CH cosα＝2sinα•cosα＝，CM＝CH sinα＝，故点H （，）；设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，故点G（﹣，），由点G、H的坐标得，GH＝．10．解：（1）∵点A（1，2）在直线y＝kx上∴k＝2，即直线为y＝2x∵点A（1，2）在抛物线y＝mx2+n上，m＝﹣1∴﹣1+n＝2，解得：n＝3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3解得：（即点A）∴点C坐标为（﹣3，﹣6）；（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N∴∠OMA＝∠ONP＝90°∵点A在直线y＝x上，设A（a，a）（a＞0）∴OM＝AM＝a，∠AOM＝45°∵点A关于x轴对称点A'（a，﹣a）∴直线y＝x沿着x轴翻折得到直线OA'解析式为y＝﹣x，∠PON＝∠AOM＝45°∴△AOM、△PON都是等腰直角三角形∵∴∴ON＝PN＝2a∴P（2a，﹣2a）∵点A、P都在抛物线y＝mx2+n∴①﹣②消去n后整理得：ma＝﹣1，即a＝﹣①×4﹣②消去ma2后整理得：n＝2a∴n＝﹣∴mn＝﹣2；（3）过点E作EH⊥x轴于点H解得：，，∵点A在第一象限∴A（1，），OA＝，tan∠AOD＝∴∠AOD＝60°∴∠BAE＝∠BED＝∠AOD＝60°设直线AB与x轴交点为F，则△AOF为等边三角形∴OF＝OA＝2，F（2，0）设直线AB解析式为：y＝kx+b解得：∴直线AB：y＝﹣x+2解得：（即点A）∴点B与点F重合，点B在x轴上∴OB＝AB＝OA＝2∵∠BAE＝∠BED，∠BEO＝∠BAE+∠ABE＝∠BED+∠OED ∴∠ABE＝∠OED∵∠BAE＝∠AOD∴△ABE∽△OED∴即∴t＝＝﹣（s﹣1）2+，故0＜t＜；∵OE＝s，sin∠EOH＝＝∴EH＝OE＝s∴S2＝S△EOD＝OD•EH＝st＝＝∵∴S1＝＝∴S1•S2﹣（S1+）+＝﹣[+]+＝，令s（2﹣s）＝u，则原式＝u2﹣u+＝，∵＞0，∴当u＝时，S1•S2﹣（S1+）+的最小值为，此时，s（2﹣s）＝，解得：s1＝，s2＝，当s＝或时，均满足0＜t＜；∴当OE＝s1＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，∴E1（，）当OE＝s2＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，∴E2（，），综上所述，E的坐标为：E1（，），E2（，）．11．解：（1）将点（﹣1，0）、（2，﹣6）的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣3，c＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）设AC等解析式为y＝k1x+2，联立得：x2﹣k1x＝0，∴x A＝k1，设直线AB的解析式为y＝k2x+b2，联立得：x2﹣k2x+2﹣b2＝0，∴x A x B＝2﹣b2，∵x B＝x C＝，∴b2＝4，即点N坐标为（0，4）；（3）设直线LP的解析式为y＝a1x+a1，联立得：x2﹣（3+a1）x﹣4﹣a1＝0，∴a1＝x P﹣4，设直线LQ的解析式为y＝a2x+a2，同理得：a2＝x Q﹣4，∵OS•OT＝2，∴（x P﹣4）（x Q﹣4）＝2，∴x P x Q﹣4（x P+x Q）+16＝2，联立得：x2﹣（3+m）x﹣4﹣n＝0，∴x P x Q＝﹣4﹣n，x P+x Q＝3+m，∴n＝﹣4m﹣2．12．解：（1）由题意得A（﹣2，0），B（4，6），，解得：，则所求函数解析式为：y＝﹣+2x+6；（2）①过P作PG⊥y轴于G点，过C点作CH⊥PG交PG的延长线于H点，设P（m，﹣1/2m2+2m+6），∵∠PGO＝∠CHP＝90°，∠CPH＝∠POG（同角的余角相等），PO＝PC，∴△POG≌△CPH（AAS），∴CH＝PG＝﹣m，OG＝PH＝﹣m2+2m+6，则C（﹣m2+3m+6，﹣m2+m+6）又∵C点在直线AB上，∴﹣m2+m+6＝﹣m2+3m+6+2，解得：m＝﹣1；②过P点作PE⊥x轴于E点，交AB于F点，设⊙P与直线AB相切于Q点，连PQ，则PQ⊥AB，∴△PQF和△AEF均是等腰直角三角形，∴PF＝PQ＝r，AE＝EF＝m+2，又∵PF+EF＝﹣m2+2m+6，即r+m+2＝﹣m2+2m+6，解得r＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，当m＝1时，r的最大值为，∵﹣2＜m＜4，∴0＜r≤．13．解：（1）由题意得：，解得：；∴抛物线解析式为；（2）设I（a，y），过I作IH⊥y轴于点H，则IH＝a，FH＝y ﹣2，IF＝ID＝y，在Rt△IHF中∴IF2＝IH2+FH2，∴y2＝a2+（y﹣2）2，，故点I在抛物线y＝x2+c；（3）若k＝1，设AB的中点为M，则，解得中点M的坐标为：（2，4），由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离．设抛物线上存在点P，使得△PMF周长最小，过点P作PP'⊥x 轴于点P′，∵FM+PM+PF＝FM+PM+PP′，∵FM是定值，PM+PP'≥MP'．故当MP⊥x轴时，PM+PP′＝MP′，此时P、M、P′共线，△PMF 周长最小，故点P（2，2），∴MP′＝4，MF＝2，故△PMF周长最小的最小值为：4+2；（4）设R（x R，y R）、Q（x Q，y Q），A（x A，y A），B（x B，y B），把点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝2，故点A（2﹣2，4﹣2），故x B﹣x A＝4，S＝S△AQR+S△BQR＝QR•（x R﹣x A）+（x B﹣x R）＝（x B﹣x A）△QAB＝4×QR＝4，解得：QR＝2，QR＝|y﹣y Q|＝|x+2﹣（x2+1）|＝|﹣（x﹣2）2+2|＝2，R当﹣（x﹣2）2+2＝2时，解得：x＝2，故点Q（2，2）；﹣（x﹣2）2+2＝﹣2时，解得：x＝﹣2或6，故点Q（﹣2，2）或（6，10）；综上，点Q（2，2）或（﹣2，2）或（6，10）．14．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；（2）无关，理由：由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即OE＝3，OE的长与a值无关；（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，则PD＝PE，∠DPE＝90°，而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x 轴于点N，∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，∴△PMD≌△ENP（AAS），∴MD＝PN，MP＝NE，即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，解得：n＝﹣1﹣m，m＝2a+1，∵a＜0，故m＝2a+1＜1，故n＝﹣m﹣1（m＜1）．15．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）解：在直线y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝8，∴B（0，6），A（8，0），∴OB＝6，OA＝8，∴AB＝＝10，由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝10﹣5t，OP＝8﹣4t，连接PQ，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠BAO＝∠QAP，∴△AQP∽△ABO，∴∠APQ＝∠AOB＝90°，∴QP＝＝3t，∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，∴①当OB＝OP时，6＝8﹣4t，∴t＝；②当OB＝BQ时，6＝10﹣5t，∴t＝；③当OP＝PQ时，8﹣4t＝3t，∴t＝；④当BQ＝PQ时，10﹣5t＝3t，∴t＝，综上所述，t的值为或或或；（3）解：在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），∵CD＝OC，∴CD2＝OC2，∴①，∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，∴△ADB为等腰直角三角形，∴，∴②，。

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与矩形、正方形综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与矩形、正方形综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与矩形、正方形综合》专题训练（附答案）1．如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（﹣4，0）．（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠部分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点（点A在原点左侧，点B在原点右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OC＝OB，（1）求抛物线的解析式：（2）若D（2，m）在该抛物线上，连接CD，DB，求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH，在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．抛物线的对称轴和x轴交于点M．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，当△P AB的面积为6时，求点P的坐标．（3）点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t．①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，求点E恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．4．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．E为抛物线上一点，直线AE交y轴于点D，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AE于点Q，交x 轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，交x轴于点H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，点K为线段OD的中点，作射线AK，将该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I．点N是平面内一点，点M是新抛物线上一点，若以点I、E、M、N为顶点的四边形是以IE 为边的矩形，请直接写出点N的坐标．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q 的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．7．二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线P A与x轴交于点B．（1）当m＝1时，求顶点P的坐标；（2）若点Q（a，b）在二次函数y＝x2﹣x+m（m＞0）的图象上，且b﹣m＞0，试求a的取值范围；（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．8．如图，点B、C分别在x，y轴的正半轴上，OB，OC的长分别为x2﹣8x+12＝0的两个根，且OC＞OB，将△COB绕点O逆时针旋转90°，点C落在x轴负半轴上的点A处，点B 落在y轴正半轴的点D处，连接AC．（1）求过A，B，C三点的抛物线的函数解析式；（2）直接写出tan∠CAD的值；（3）点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ．求S△CPQ的最大值，及此时点P的坐标；（4）M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．10．将抛物线C1：y＝﹣x2+3沿x轴翻折，得抛物线C2．（1）请求出抛物线C2的表达式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），顶点为D．（1）求抛物线C1的函数表达式及点D的坐标；（2）将抛物线C1绕坐标轴上一点P旋转180°得到抛物线C2，点A、D的对应点分别为A'、D'，是否存在以AD为边，且以A、D、A'、D'为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线C2的函数表达式，若不存在，请说明理由．13．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（1）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AME为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线l⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），顶点为B，一次函数y＝x+2的图象交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H）．（1）求二次函数的表达式；（2）求点P的坐标；（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A 的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．17．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．20．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．（1）求此抛物线的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S的最大值；（3）若点M在抛物线的对称轴上，P是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N的坐标；如果不存在，请说明理由．21．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE 的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E 和点A重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．参考答案1．解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．由于y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，所以该抛物线的顶点坐标是（﹣1，4）；（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），过点D作DM∥y轴，交AC于点M，∵A（﹣3，0）、C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，∴，∴AC的解析式为y＝x+3，则点M的坐标为（﹣1，2），则DM＝2，∴S△ACD＝S△ADM+S△CDM＝×2×2+×2×1＝3．（3）如图2，过点D作DK⊥x轴于点K，设D（x，﹣x2﹣2x+3），则K（x，0）．并由题意知点D位于第二象限．∴DK＝﹣x2﹣2x+3，OK＝﹣x．∵∠BAC是公共角，∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：①∠AOD＝∠ABC．∴tan∠AOD＝tan∠ABC＝3．∴＝3，解得x1＝，x2＝（舍去），∴D（，）．②∠AOD＝∠ACB．如图2，过点B作BH⊥AC于点H，由S△ABC＝AB•OC＝AC•BH，∴BH＝2，CH＝，∴tan∠BCH＝＝2，∴tan∠AOD＝tan∠ACB＝2．∴＝2，解得x1＝﹣，x2＝（舍去）∴D（﹣，2）．综上所述，当△AOE与△ABC相似时，点D的坐标是（，）或（﹣，2）．（4）如图3，设A点移动后的对应点为E，EN与AC交于点G，当0≤t≤1时，∵OA＝OC，GE∥OC，∴△AGE为等腰直角三角形，∴AE＝EG＝t，∴S△AEG＝；当1＜t≤2时，如图4，同理△AFG为等腰直角三角形，∴AF＝GF＝t﹣1，∴MG＝MH＝1﹣（t﹣1）＝2﹣t，∴S△MHG＝MG•MH＝，∴S五边形GFENH＝1﹣S△MHG＝1﹣（2﹣t）2＝﹣+2t﹣1；当2＜t≤时，如图5，S＝S正方形MFEN＝1；当＜t≤4时，如图6，正方形MFEN与BC边交于G，H，过点G作GK⊥OB于点K，∴GK∥OC，∴△GKB∽△COB，∴，∴，∴BK＝，∴AK＝4﹣＝，∴KE＝GN＝AE﹣AK＝t﹣，∵△GNH∽△BOC，∴，∴NH＝3t﹣11，∴S△GNH＝GN•NH＝＝，∴S五边形MFEHG＝1﹣S△GNH＝1﹣＝﹣．综合以上可得S＝2．解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，则y＝4，∴C的坐标是（0，4），∵OC＝OB，∴B的坐标是（4，0）．把B（4，0），A（﹣1，0），代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）∵D（2，m）在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，∴﹣4+6+4＝m，∴m＝6，∴D（2，6），如图1，过D作DM⊥x轴于点M．则S四边形OCDB＝S梯形OCDM+S△BMD＝×2×（4+6）+＝10+6＝16．（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线的对称轴是x＝﹣＝﹣＝，设E（n，﹣n2+3n+4），由对称得：F（3﹣n，﹣n2+3n+4），如图2，当点E在x轴上方，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝EH，∴n﹣3+n＝﹣n2+3n+4，解得：n1＝，n2＝（舍去），则正方形的边长是﹣2；如图3，当点E在x轴下方，∵EF＝EH，∴n﹣3+n＝﹣（﹣n2+3n+4），解得：n1＝，n2＝，当n1＝时，正方形边长＝2n﹣3＝5+﹣3＝+2，当n2＝时，正方形边长＝2n﹣3＝5﹣﹣3＝﹣+2＜0，不符合题意，舍去，则正方形的边长是+2；综上，可得正方形的边长为+2或﹣2．3．解：（1）∵点A（1，0），B（3，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线对应函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵点A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣m2+4m﹣3），∵△P AB的面积为6，∴S△P AB＝AB•|y P|＝×2×|﹣m2+4m﹣3|＝6，∴m＝2±，∴P（2+，﹣6）或（2﹣，﹣6）；（3）①由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设点G的坐标为（n，﹣n2+4n﹣3），∵点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，∴n＜2，当点G在x轴上方时，即1＜n＜2，∵点G到AE和MF距离相等，且点A，E在x轴上，M，F在直线x＝2上，∴﹣n2+4n﹣3＝2﹣n，∴n＝或n＝（舍），∴G（，），当点G在x轴上方时，即n＜1，∵点G到AE和MF距离相等，且点A，E在x轴上，M，F在直线x＝2上，∴﹣（﹣n2+4n﹣3）＝2﹣n，∴n＝（舍）或n＝，∴G（，），即满足条件的点G的坐标为（，）或（，）；②如图，由①知，抛物线的对称轴为直线x＝2，由运动知，MF＝2t，BE＝t，∴ME＝t﹣1，∵以FG和FC为边做矩形FGDC，点C，F在直线x＝2上，∴∠GFM＝90°，∴ME∥FG，∵点E是矩形FGDC的对角线的交点，∴ME是△CFG的中位线，∴FG＝2EM＝2（t﹣1），设点G的坐标为（a，﹣a2+4a﹣3），∵点F在x轴下方，∴，∴（舍）或，即满足条件的t的值为．4．解：（1）由抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x＝﹣＝﹣1，∵OC＝OA，∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），∵AB＝4，∴﹣2+c﹣（﹣c）＝4，∴c＝3，∴A（﹣3，0），代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得0＝9a﹣6a+3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），又∵QN⊥x轴，∴矩形PQNM的周长＝2（PM+PQ）＝2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]＝2（﹣m2﹣4m+1）＝﹣2（m+2）2+10，∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，此时，M（﹣2，0），由A（﹣3，0），C（0，3），可得直线AC为y＝x+3，AM＝1，∴当x＝﹣2时，y＝1，即E（﹣2，1），ME＝1，∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG于点Q，∵HG⊥CF，BC＝BF，∴∠BFC+∠BFQ＝∠BCF+∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，∴∠BFQ＝∠Q，∴BC＝BF＝BQ，又∵C（0，3），B（1，0），∴Q（2，﹣3），又∵H（0，﹣1），∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，解方程组，可得或，∴点G的坐标为（，）或（，）．5．解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），则﹣8a＝﹣4，解得a＝，抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4①；（2）∵OA＝OD＝2，故点D（0，2），由点A、D的坐标得，直线AE的表达式为y＝x+2，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣4），则点Q（x，x+2），∵OA＝OD，故∠QAK＝45°，而GP⊥AE，则△PQG为等腰直角三角形，过点G作GK⊥PQ于点K，则QK＝PK＝GQ，则PQ﹣GQ＝PQ﹣QK＝PK＝PQ＝（x+2﹣x2+x+4）＝﹣x2+x+3，∵﹣＜0，故抛物线开口向下，∴PQ﹣GQ有最大值，当x＝2时，PQ﹣GQ的最大值为4，此时点P（2，﹣4）；（3）联立y＝x2﹣x﹣4和y＝x+2并解得或，故点E（6，8），∵点K为线段OD的中点，则点K（0，1），∴tan KAO＝＝，则sin∠KAO＝，cos∠KAO＝，则该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度相当于向右平移1个单位向上平移个单位，则平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣4+＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣2x﹣2②；联立①②并解得，故点I的坐标为（2，﹣4），设点M（m，n），n＝m2﹣2m﹣2③，而点E（6，8），则点I向右平移4个单位向上平移12个单位得到点E，同样，点M（N）向右平移4个单位向上平移12个单位N（M），当点M在点N的下方时，直线IM的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得（舍弃）或，∴M（，﹣），由平移的性质可知N（，）．当点M在点N的上方时，同理可得，点N的坐标为（，）或（，）；综上，点N的坐标为（，）或（，）或（，）．6．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连接BC，CD．由题意，C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），∵△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，当∠Q′BC＝90′时，∠ABQ′＝45°，∴EB＝EQ′＝2，∴Q′（1，﹣2），当∠QCB＝90°时，此时点Q与点D重合，Q（1，4），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，4）或（1，﹣2）．（3）如图2中，设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM＝MG，即|2﹣a|＝|﹣a2+2a+3|，当2﹣a＝﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1＝0，解得，a＝，当2﹣a＝﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5＝0，解得，a＝，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．7．解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣x+m＝（x﹣2）2+，故点P（2，）；（2）对于y＝x2﹣x+m，令x＝0，则y＝m，即点A（0，m），∵b﹣m＞0，即点Q在点A的上方，而抛物线的对称轴为x＝2，故点A关于对称轴的对称点的横坐标为4，故a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①由抛物线的表达式知，点P（2，m），由点A（0，m）和点P的坐标得，直线P A的表达式为y＝﹣mx+m，令y＝﹣mx+m＝0，解得x＝3，故点B（3，0），过点D作DH⊥y轴于点H，∵∠HAD+∠HDA＝90°，∠HAD+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠HDA，∵∠AOB＝∠DHA＝90°，AD＝AB，∴△AOB≌△DHA（AAS），∴HD＝AO＝m，AH＝BO＝3，故D（m，m+3）；②同①的方法得，C（m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，∴当x＝m时，y≤m+3，可得，化简得：m3﹣4m2≤18．∵m＞0，∴，∴，显然：m＝1，2，3，4是上述不等式的解，当m≥5时，（m﹣2）2﹣4≥5，，此时，，∴符合条件的正整数m＝1，2，3，4；当x＝m+3时，y≥3，可得﹣+m≥3，∵m＞0，∴，即，显然：m＝1不是上述不等式的解，当m≥2时，（m+1）2+2≥11，，此时，恒成立，∴符合条件的正整数m＝2，3，4；综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．8．解：（1）解x2﹣8x+12＝0得：x＝6或2，故点B（2，0）、点C（0，6），由图象的旋转知，点A、D的坐标分别为（﹣6，0）、（0，2）；设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式中得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+6；（2）过点D作DH⊥AC于点H，则S△ACD＝×CD×AO＝×AC×HD，即×4×6＝××HD，解得HD＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝4，故tan∠CAD＝；（3）∵OA＝OC，则∠ACO＝45°，由题意得：PC＝2t，CQ＝6﹣t，则|x P|＝PC•cos45°＝t，则S△CPQ＝×CQ×|x P|＝×t（6﹣t）＝﹣（t2﹣6t），∵﹣＜0，故S△CPQ有最大值，当t＝3时，其最大值为，当t＝3时，PC＝6，点P的纵坐标为6﹣3，故点P（﹣3，6﹣3）；（4）①当AD是正方形的对角线时，则正方形为ANDM′，设M′N交AD于R，交x轴于点H，则点R是AD的中点，则点R（﹣3，1），在Rt△AOD中，tan∠DAO＝＝＝，则tan∠RHA＝3，则设直线M′N的表达式为y＝﹣3x+b，将点R的坐标代入上式并解得b＝﹣8，故直线M′N的表达式为y＝﹣3x﹣8，设点N（m，﹣3m﹣8），过点N作x轴的平行线交过点A与y轴的平行线于点G，交y轴于点K，∵∠DNK+∠ANG＝90°，∠ANG+∠NAG＝90°，∴∠NAG＝∠DNK，∵∠NGA＝∠DKN＝90°，AN＝DN，∴△NGA≌△DKN（AAS），∴GN＝DK，即m+6＝2+3m+8，解得m＝﹣2，故点N的坐标为（﹣2，﹣2）；②当AD是正方形的边时，当DN′是边时，同理可得：△DSN′≌△AOD（AAS），∴N'S＝OD＝2，DS＝AO＝6，故点N′（﹣2，8）；当AN是边时，点N对应的是上图中的点M，同理可得，点M（﹣8，6），即点N″（﹣8，6）；综上，点N的坐标为（﹣8，6）、（﹣2，8）、（﹣2，﹣2）．9．解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，2），A（﹣，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+2，把A（﹣，0）代入可得a＝﹣1，∴抛物线L的函数表达式为y＝﹣x2+2．（2）结论：四边形PEP′E′能成为正方形．理由：情形1，如图1中，作PK⊥x轴于K，EH⊥x轴于H．由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，∴PM＝ME，∠PME＝90°，由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝EH＝1﹣m，∴E（m+1，m﹣1），∵点E在y＝﹣x2+2上，∴m﹣1＝﹣（m+1）2+2，解得m＝或（舍弃），∴m＝时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图2中，四边形PMP′N是正方形，同法可得E（m﹣1，1﹣m），把E（m﹣1，1﹣m）代入y＝﹣x2+1中，1﹣m＝﹣（m﹣1）2+2，解得m＝3或0（舍弃），∴m＝3时，四边形PEP′E′是正方形．综上，四边形PEP′E′能成为正方形，m＝或3．10．解：（1）∵抛物线C1：y＝﹣x2+3的顶点为（0，3），∴翻折后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），∴抛物线C2解析式为：y＝x2﹣3；（2）存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M（﹣m，3），N（m，﹣3），∴M，N关于原点O对称，∴OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣，0），（，0），∴A（﹣﹣m，0），E（+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE，∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝3+9＝12，ME2＝（+m+m）2+32＝4m2+4m+12，AE2＝（+m++m）2＝4m2+8m+12，若AM2+ME2＝AE2，∴12+4m2+4m+12＝4m2+8m+12，解得m＝，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90°，∴当m＝时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．11．解：（1）∵抛物线y＝x2+2x与x轴交于B、C两点，∴0＝x2+2x，∴x1＝0，x2＝﹣2，∴点B（﹣2，0），点C（0，0），∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴点A（﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y＝（x+1﹣m）2﹣1+n（m＞1），∴点D（m﹣1，﹣1+n），∵y＝（x+1﹣m）2﹣1+n＝x2+2×（1﹣m）x+m2﹣2m+n，∴点E（0，m2﹣2m+n），Ⅰ、如图1，当点D在点A的下方时，过点A作AM⊥y轴于N，过点D作DM⊥AM于M，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；Ⅱ、如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN≌△DAM，∴DN＝AM，EN＝DM，∴m﹣1＝﹣1+n+1，m2﹣2m+n﹣（﹣1+n）＝m﹣1+1，∴m＝，n＝，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣）2﹣，Ⅲ、当∠AED＝90°时，同理可求：y＝（x﹣1）2﹣1；综上所述：平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣1）2﹣1．12．解：（1）∵y＝ax2+bx﹣6经过点A（﹣3，0）和点（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线C1的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣6，顶点D（﹣2，2）．（2）如图1中，当点P在x轴上时，设P（m，0）．当AP＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，∵A（﹣3，0），D（﹣2，2），∴m+3＝，解得m＝﹣，∴P（﹣，0），∵PD＝PD′，∴D′（1，﹣2），∴旋转后抛物线C2的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2，即y＝2x2﹣4x．如图2中，当点P在y轴上时，设P（0，n）．当P A＝PD时，四边形AD′A′D是矩形，则有＝，解得n＝﹣，∴P（0，﹣），∵PD＝PD′，∴D′（2，﹣），∴旋转的抛物线C2的解析式为y＝2（（x﹣2）2﹣，即y＝2x2﹣8x+，综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4x或y＝2x2﹣8x+．13．解：（1）∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0），∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE，∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，∴AB＝6，∴AC＝4，设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，∴AE＝DE＝5，∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），则，解得，此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）抛物线过O、D（10，0）两点，则其对称轴为x＝5，设点M（5，m），而点A（6，8）、点E（10，5），则AE2＝16+9＝25，AM2＝1+（m﹣8）2，EM2＝（m﹣5）2+25，当AE＝AM时，则25＝1+（m﹣8）2，解得：m＝8±2；当AE＝EM时，同理可得：m＝5；当AM＝EM时，同理可得：m＝；故点M的坐标为（5，8+2）或（5，8﹣2）或（5，5）或（5，2.5）；（3）设直线OA的解析式y＝k1x，∵点A的坐标为（6，8），∴6k1＝8，解得：k1＝，直线OA的解析式y＝x，同理可得：直线OE的表达式为y＝x，∵OP＝1×t＝t，∴P（t，0），∵直线⊥x轴于点P、点F，G是直线l与OA，OE的交点，∴点F、G的坐标分别为（t，t）、（t，t），则FG＝t﹣t＝t，当0＜t＜8时，点Q在线段DC上，过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图1，则QS＝PD＝10﹣t，∴S＝×FG•QS＝FG•PD＝t（10﹣t）＝﹣t2+t；②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图2，则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t∴S＝FD•QN＝t（18﹣2t）＝﹣t2+t；③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG不存在，故舍去，④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图3．则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18，S＝FG•QN＝t（2t﹣18）＝t2﹣t；综上所述：S＝．14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E（1，3），∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴G（m，），F（m，﹣），∵S△EFG＝S△OEG，∴＝×ON（x E﹣x G），[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，解得：m1＝，m2＝﹣2；②存在，由①知：E（1，3），∵四边形EFHP是正方形，∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），分两种情况：i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，∵EF＝FH，∴，解得：m1＝（舍），m2＝，∴H（，），∴P（1，），ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，同理得﹣＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝（舍），同理得P（1，）；综上，点P的坐标为：或．15．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx的图象经过点A（﹣4，0），∴0＝8﹣4b，∴b＝2，∴二次函数的解析式为y＝x2+2x．（2）如图1中，当点P在第一象限时，由题意A（﹣4，0），H（﹣2，0），M（0，2），∵点M，N关于AP对称，∴AN＝AM＝＝2，∴NH＝＝4，∴N（﹣2，4），∴直线MN的解析式为y＝﹣x+2，∵P A⊥MN，∴直线P A的解析式为y＝x+4，由，解得或，∴P（2，6）．如图2中，当点P在第三象限时，同法可得N（﹣2，﹣4），∴直线MN的解析式为y＝3x+2，∵AP⊥MN，∴直线AP的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得或﹣，∴P（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，6）或（﹣，﹣）．（3）如图3中，设G（m，m2+2m），过点F作FN⊥GE于N，过点F作FP⊥BH于P，设直线BH交GE于Q，设GE交y轴于K．∵四边形EFBD是正方形，∴EF＝BF，∠EFB＝90°，∵∠ENF＝∠FPB＝90°，∠PNQ＝∠FPQ＝∠NQP＝90°，∴四边形PFNQ是矩形，∴∠NFP＝∠EFB，∴∠EFN＝∠BFP，∴△ENF≌△BPF（AAS），∴PF＝FN，EN＝BP，∴四边形PFNQ是正方形，设PF＝FN＝NQ＝PQ＝a，∵FN∥OK，∴＝，∴＝，∴GN＝﹣，∵NE＝PB，∴﹣2﹣m+a＝﹣4﹣2m+＝m2+2m﹣a+2，解得m＝﹣6或﹣4（舍弃），∴G（﹣6，6）．16．解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．17．解：（1）把点O（0，0）和A（6，0）代入y＝ax2﹣2x+c中，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，∴顶点B（3，﹣3），M（3，0），∴OM＝3．BM＝3，∴tan∠MOB＝＝，∴∠MOB＝60°，∵∠BOD＝30°，∴∠MON＝∠MOB﹣∠BOD＝30°，∴MN＝OM•tan30°＝，∴N（3，﹣），∴直线ON的解析式为y＝﹣x，由，解得或，∴D（5，﹣）．（3）如图②﹣1中，当∠EFG＝90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O重合，由题意OF＝BF，可得F（，﹣），E（3，﹣），利用平移的性质可得H（，）．如图②﹣2中，当∠EGF＝90°时，点H在对称轴右侧，由题意，∠EBF＝∠FEB＝30°∴EF＝BF，可得F（2，﹣2），利用平移的性质可得H（，﹣）．如图②﹣3中当∠FGE＝90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，可得F（1，﹣），G（，﹣），利用平移的性质，可得H（，﹣）．综上所述，满足条件的点H的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣）．18．解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，则，∵OB＝4为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵﹣＜0且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，∴；②∵点C（2，0），∴CO＝2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，∴P1，P2．19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，在x轴下方作∠ABD＝30°，交y轴负半轴于D，则BD＝2OD，∵B（3，0），∴OB＝3，根据勾股定理得，BD2﹣OD2＝32，∴4OD2﹣OD2＝9，∴OD＝，BD＝2，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），∴OC＝3，∴CD＝3+，过点P作PB'⊥BD于B'，在Rt△PB'B中，PB'＝PB，∴PC+PB＝PC+PB'，当点C，P，B在同一条直线上时，PC+PB最小，最小值为CB'，∵S△BCD＝CD•OB＝BD•CB'，∴CB'＝＝＝，即PC+PB的最小值，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBC＝45°+30°＝75°，∴∠BCP＝90°﹣75°＝15°，∴∠OCP＝30°，∵OC＝3，∴OP＝，∴P（，0）；（3）如备用图，设M（m，﹣m2+2m+3），以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，∴∠BMC＝90°，∵点A在x轴负半轴，且∠BOC＝90°，∴点M在x轴上方的抛物线，过点M作ME⊥x轴于E，作MF⊥y轴于F，∴∠MEO＝∠MFO＝90°＝∠EOF，∴四边形OEMF是矩形，∴∠EMF＝90°，∴∠BME＝∠CMF，∵∠BEM＝∠CFM＝90°，∴△BEM∽△CFM，∴，∴．∴m＝，∴M（，）或（，），∵点N是点M关于点E（，）的对称点，∴N（，）或（，）．20．解：（1）x2﹣10x+16＝0，解得：x＝8或2，故OC＝8，OB＝2，即点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，8）；函数的对称轴是直线x＝﹣2，故点A的坐标为（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x+6），将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+8；（2）∵AB＝8，OC＝8，则AE＝m，BE＝8﹣m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10．∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．，即，∴EF＝；过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．∴，∴FG＝×＝8﹣m，∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣×（8﹣m）（8﹣m）＝﹣m2+4m，∵＜0，故S有最大值，当m＝4时，S的最大值为8；（3）设点N的坐标为（m，n）而n＝﹣m2﹣m+8，点M（﹣2，t），①当PC是对角线时，如图1，2，3，4，此时，PN是边，（Ⅰ）如图1，当点N在点M的上方时，如图1，2，在图1中，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥y轴于点H，∵∠NCG+∠GCN＝90°，∠GCN+∠MCH＝90°，∴∠NCG＝∠MCH，MC＝NC，∴△CHM≌△NGC（AAS），∴GC＝MH＝2，故点G（0，10），则点N的纵坐标为10，则n＝﹣m2﹣m+8＝10，解得：m＝﹣1或﹣3，故点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）（即图1，2所示的情况）；（Ⅱ）当点N在点M的下方时，如图3，4，同理可得，点N的纵坐标为6，则n＝﹣m2﹣m+8＝6，解得m＝﹣2±2，故点N的坐标为（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）；②当PC是边时，如图5﹣12，（Ⅰ）当PM是对角线时，如图5﹣8，如图5，6，当MN在对称轴左侧时，由题意得：点N、C关于函数的对称轴对称，故点N的坐标为（﹣4，8）；如图7，8，当MN在对称轴右侧时，在图7中，过点N、C分别作函数对称轴的垂线，垂足分别为H、G，同理可得：GC＝MH，NN＝GM，即m+2＝8﹣t且t﹣n＝2，故点N（6﹣t，t﹣2），把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝10或4.5（舍去10），故点N的坐标为（1.5，2.5）；在图8中，同理可得点N的坐标为（t﹣10，t+2），把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝6或8.5（舍去6），故点N的坐标为（﹣1.5，10.5）；（Ⅱ）当PM是边时，如图9﹣12，当NM在对称轴的左侧时，如图9，11，当MN在对称轴的右侧时，如图10，12，在图9中，同理可得，点N的在为（，），在图11中，同理可得，点N的在为（，），同理可得，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．综上，点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）或（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）或（﹣4，8）或（﹣1.5，10.5）或（1.5，2.5）或（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．21．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+①；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E 的纵坐标相同，而点B（0，），即点E、B关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，故点E的坐标为（4，）；△ACE的面积S＝S△COE+S△OAE﹣S△AOC＝OC•|x E|+OA•|y E|﹣×AO×CO＝5×4+×5×﹣×5×5＝；（3）①∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，∵对角线DM与AC的夹角为45°，∴∠DMA＝90°，即DM⊥x轴，即点D、M的横坐标相同，由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+5②，联立①②并解得：x＝1或5（舍去5），故x＝1，故点D（1，4），∴点M的坐标为（1，0）；②设正方形MFDN平移后为M′F′D′N′，如图1，2所示；。

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与直角三角形综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与直角三角形综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与直角三角形综合》专题训练（附答案）1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B，与y轴负半轴交于点C，且OC ＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴l为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上方有一点P，连接P A后满足∠P AB＝∠CAB，记△PBC的面积为S，求当S＝10.5时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物线上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于C′、B′两点（C′在B′的左侧），若以点C′、B′、P为顶点的三角形是直角三角形，求出t的值．2．《函数的图象与性质》拓展学习展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线G1：y＝ax2+bx+与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，则a＝，b＝．【操作】将图①中抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，如图②．请直接写出图象G 对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．【应用】P是抛物线G2对称轴上一个动点，当△PDE是直角三角形时，直接写出P点的坐标．3．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴正半轴交于点C，连接BC，P为线段AC上的动点，P与A，C不重合，作PQ∥BC交AB于Q，A关于PQ的对称点为D，连接PD，QD，BD．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在抛物线上时，求点P的坐标；（3）设点P的横坐标为x，△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S．①直接写出S与x的函数关系式；②当△BDQ为直角三角形时，直接写出x的值．4．如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．①求直线BD的解析式；②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．6．如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE 并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．9．已知二次函数y＝ax2+（3a+1）x+3（a＜0）．（1）该函数的图象与y轴交点坐标为；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．①求a的值及二次函数的表达式；②画出二次函数的大致图象（不列表，只用其与x轴的两个交点A、B，且A在B的左侧，与y轴的交点C及其顶点D，并标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P，使△PCA为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t秒．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．11．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N 是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P在第四象限，连接P A、PE及AE，当t为何值时，△P AE的面积最大？最大面积是多少？（3）是否存在点P，使△P AE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2﹣2x的对称轴为直线x＝﹣2，顶点为A．将抛物线L1沿y轴对称，得到抛物线L2，顶点为B．（1）求a的值．（2）求抛物线L2的表达式．（3）请问在抛物线L1或L2上是否存在点P，使以点P、A、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．15．如图1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+k的顶点A在直线l：y＝x﹣3上，将抛物线沿直线l向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线l上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点．（1）请直接写出k的值；（2）若抛物线y＝x2+k与直线l：y＝x﹣3的另一个交点为C．当点B与点C重合时．求平移后抛物线的解析式；（3）连接AB，BP，当△ABP为直角三角形时，求出P点的坐标．16．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．18．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．19．如图，抛物线C的顶点坐标为（2，8），与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点D（0，6）．（1）求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；（2）平移抛物线C，使平移后的抛物线C′的顶点P落在线段BD上，过P作x轴的垂线，交抛物线C于点Q，再过点Q作QE∥x轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若△PQE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C′的函数表达式．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+2x+c的解析式；（2）点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；（3）①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点的三角形，是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．参考答案1．解：（1）∵B（3，0），对称轴为直线x＝，∴A（﹣2，0），∴抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3）＝ax2﹣ax﹣6a，令x＝0，则y＝﹣6a，∵B（3，0），∴OB＝3，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣6a＝﹣3，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，∵∠P AB＝∠CAB，∴所以，作射线AP与y轴的交点记作点C'，∵∠BAC＝∠BAC'，OA＝OA，∠AOC＝∠AOC'＝90°，∴△AOC≌△AOC'（ASA），∴OC'＝OC＝3，∴C'（0，3），∵A（﹣2，0），∴直线AP的解析式为y＝x+3，∵点P（m，n）在直线AP上，∴n＝m+3，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，过点P作y轴的平行线交BC于F，∴F（m，m﹣3），∴PF＝m+3﹣（m﹣3）＝m+6，∴S＝S△PBC＝OB•PF＝×3（m+6）＝m+9（m＞﹣2）；∴当S＝10.5时，10.5＝m+9，∴m＝2，∴点P（2，6）（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3①由（2）知，直线AP的解析式为y＝x+3②，联立①②解得，或，∴P（6，12），如图2，当∠C'PB'＝90°时，取B'C'的中点E，连接PE，则B'C'＝2PE，即：B'C'2＝4PE2，设B'（x1，y1），C'（x2，y2），∵直线B'C'的解析式为y＝x+t③，联立①③化简得，x2﹣3x﹣（2t+6）＝0，∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣（2t+6），∴点E（，+t），B'C'2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝2（x1﹣x2）2＝2[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝2[9+4（2t+6）]＝16t+66，而PE2＝（6﹣）2+（12﹣﹣t）2＝t2﹣21t+，∴16t+66＝4（t2﹣21t+），∴t＝6（此时，恰好过点P，舍去）或t＝19，当∠PC'B'＝90°时，延长C'P交BC于H，交x轴于G，则∠BHC＝90°，∵OB＝CO，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°，∴∠PGO＝45°，过点P作PQ⊥x轴于Q，则GQ＝PQ＝12，∴OG＝OQ+GQ＝18，∴点G（18，0），∴直线C''G的解析式为y＝﹣x+18④，联立①④解得或，∴C''的坐标为（﹣7，25），将点C''坐标代入y＝x+t中，得25＝﹣7+t，∴t＝32，即：满足条件的t的值为19或32．2．解：【问题】y＝ax2+bx+＝a（x+1）（x﹣3），解得：a＝，b＝1，故答案为：﹣，1；【操作】抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移个单位，G1：y＝ax2+bx+＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，G2：y＝﹣（x﹣1+3）2+2+＝﹣x2﹣2x+，当x＜0时，y＝﹣x2﹣2x+，当x≥0时，y＝﹣x2﹣x+；【探究】C点的坐标为（0，）．当y＝时，，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，），当时，，解得：x1＝0，x2＝﹣4，∴D（﹣4，），∵，，∴抛物线G1的顶点为（1，2），抛物线G2的顶点为（﹣2，），∴﹣4＜x＜﹣2或0＜x＜1时，函数y随x的增大而增大；【应用】如图，过点P作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点M，交过E点与x轴的垂直的直线于点N，设点P（﹣2，m），则EN＝﹣m，PN＝4，DM＝﹣m，PM＝2，∵∠EPN+∠MPD＝90°，∠MDP+∠DPM＝90°，∴∠EPN＝∠MDP，∴tan∠EPN＝tan∠MDP，即，即，解得：m＝±2，故点P的坐标为：．3．解：（1）直线y＝x+4①，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣3∴A（﹣3，0）B（0，4），∵抛物线经过A，B两点，∴，解得，∴；（2）设P点坐标为（x，0），令＝0，解得x1＝﹣3，x2＝4，∴OB＝OC＝4，∴∠BCO＝45°，又PQ∥BC，∴∠QP A＝∠BCO＝45°，∴∠APD＝90°，∴D（x，x+3），∴，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵P与A，C不重合，∴P（1，0）；（3）∵PQ∥BC，∴直线PQ的表达式中的k值为﹣1，则直线PQ的表达式为：y＝﹣x+b，将点P的坐标[改设为：点P（m，0）]代入上式并解得：直线PQ的表达式为：y＝﹣x+m②，联立①②并解得：x＝，故点Q（，）；①由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，由（2）知，点D（x，x+3），∵当点D在直线BC上时，即x+3＝﹣x+4，解得：x＝；当﹣3＜x≤时，S＝S△PQD＝×PD×（xP﹣xQ）＝×（x+3）（x﹣）＝；当＜x＜4时，同理可得：S＝；②点B的坐标（0，4），点D（x，x+3），点Q（，）；（Ⅰ）当∠BDQ为直角时，如图1，过点D作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点M，交过点B与x轴的平行线于点N，∵∠NDB+∠NBD＝90°，∠NDB+∠MDQ＝90°，∴∠MDQ＝∠NBD，∴tan∠MDQ＝tan∠NBD，即，而MQ＝x﹣＝，MD＝x+3﹣＝，BN＝x，ND＝4﹣（x﹣3）＝1﹣x，，解得：x＝或﹣3（舍去﹣3），故x＝；（Ⅱ）当∠BQD为直角时，如图2，同理可得：tan∠QDN＝tan∠MQB，即，则，解得：x＝0或﹣3（舍去）；（3）当∠QBD为直角时，同理可得：x＝；综上，当△BDQ为直角三角形时，x的值是或．4．解：（1）当a＝1时，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，∵与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3m2＝﹣3，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵CD∥AB，∴C，D关于直线x＝1对称，∴D点坐标为：（2，﹣3）；（2）如图，过点A作AN⊥CD交CD的延长线于N，对于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），当y＝0，则0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1＝﹣m，x2＝3m，当x＝0，y＝﹣3am2，可得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），∵点C，点D关于对称轴直线x＝m对称，∴点D（2m，﹣3am2）∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴点E横坐标为4m，∴点E坐标（4m，5am2），∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），点E坐标（4m，5am2），点D（2m，﹣3am2），∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB＝＝am，tan∠ADC＝＝am，∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；（3）存在，理由：当x＝m时，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2，∴F（m，﹣4am2），∵A（﹣m，0），点E的坐标为（4m，5am2），点D的坐标为（2m，﹣3am2），设P（b，0），∴PF2＝（m﹣b）2+16（am2）2，AD2＝9m2+9（am2）2，AE2＝25m2+25（am2）2，∴（m﹣b）2+9m2＝25m2，解得：b1＝﹣3m，b2＝5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．5．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得，∴，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴＝＝，∴BF＝×OB＝×4＝，∴OF＝BF﹣OB＝﹣4＝，将x＝﹣代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（﹣）+4＝，∴E（﹣，），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴，∴，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；②Ⅰ、当点R在直线l右侧时，∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，﹣x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ＝﹣x2+x+4﹣1＝﹣x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ＝∠HQR，∴△PQG≌△QRH（AAS），∴RH＝GQ＝﹣x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，∴R（﹣x2+x+4，2﹣x）由①知，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，∴﹣（﹣x2+x+4）+2＝2﹣x，∴x＝2或x＝﹣4（舍），当x＝2时，y＝﹣x2+x+4＝﹣×4+2+4＝4，∴P（2，4），Ⅱ、当点R在直线l左侧时，记作R'，设点P'（x，﹣x2+x+4）（1＜x＜4），过点P'作P'G'⊥l于G'，过点R'作R'H'⊥l于H，∴P'G'＝x﹣1，G'Q＝﹣x2+x+4﹣1＝﹣x2+x+3，同Ⅰ的方法得，△P'QG'≌△QR'H'（AAS），∴R'H'＝G'Q＝﹣x2+x+3，QH'＝P'G'＝x﹣1，∴R'（x2﹣x﹣2，x），由①知，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，∴﹣（x2﹣x﹣2）+2＝x，∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣（舍），当x＝﹣1+时，y＝﹣x2+x+4＝2﹣4，∴P'（﹣1+，2﹣4），即满足条件的点P的坐标为（2，4）或（﹣1+，2﹣4）．6．解：（1）直线y＝﹣2x+10中，令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5，∴A（5，0），B（0，10），∵点C是OB中点，∴C（0，5），将A和C代入抛物线y＝x2+bx+c中，，解得：，∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5；（2）联立：，解得：或，∴直线AB与抛物线交于点（﹣1，12）和（5，0），∵点D是直线AB下方抛物线上的一点，设D（m，m2﹣6m+5），∴﹣1＜m＜5，过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，∴E（m，﹣2m+10），∴DE＝﹣2m+10﹣m2+6m﹣5＝﹣m2+4m+5，∴S△ABD＝＝＝，解得：m＝2，∴点D的坐标为（2，﹣3）；（3）抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5，∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，设点P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，当点A为直角顶点时，BP2＝AB2+AP2，解得：n＝或5（舍），当点B为直角顶点时，AP2＝AB2+BP2，解得：n＝或，而抛物线对称轴为直线x＝3，则3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或．7．解：（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，解得x＝6，∴B（6，0），令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，∴D（0，﹣6），∵点C与点D关于x轴对称，∴C（0，6），把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），则MN＝﹣m2+4m+12，∴△MDB的面积＝＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，∵﹣3＜0，∴当m＝2时，△MDB的面积最大，此时，P点的坐标为（2，0）；（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2，∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．8．解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x＝﹣＝1，∴E（1，0），故答案为（1，0）．（2）如图，连接EC．对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），∵C，D关于对称轴对称，∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，当∠HEF＝90°时，∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∵∠DCF＝90°，∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，∵EA∥DH，∴F A＝AH，∴AE＝DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，解得a＝或﹣（不符合题意舍弃），∴a＝．当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，∴F A＝FE，∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1，∴a＝，综上所述，满足条件的a的值为或．（3）结论：EH∥GK．理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，由，解得或，∴K（6，﹣21a），由，解得或，∴G（﹣3，﹣12a），∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，∵k相同，a≠﹣15a，∴HE∥GK．9．解：（1）令x＝0时，y＝3，∴函数的图象与y轴交点坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）①令y＝0，则ax2+（3a+1）x+3＝0，∴（ax+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3，∵二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；②图象如图所示：（3）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），当点P为直角顶点时，如图，过点P作PF⊥y轴于F，过点A作AE⊥PF，交FP的延长线于E，∵∠APC＝90°，∴∠APE+∠CPF＝90°，∵∠APE+∠EAP＝90°，∴∠CPF＝∠EAP，又∵∠AEP＝∠CFP＝90°，∴△APE∽△PCF，∴，∴＝∴∴﹣（m﹣1）（m+2）＝1，∴m1＝，m2＝，经检验，m1＝，m2＝是原方程的根；∴点P坐标为（，）或（，）；若点A为直角顶点时，如图，过点P作PH⊥x轴于P，∵点A（﹣3，0），点C（0，3），∴OA＝OC，又∵∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∵∠CAP＝90°，∴∠P AH＝45°，∵PH⊥x轴，∴∠P AH＝∠APH＝45°，∴AH＝PH，∴m+3＝m2+2m﹣3∴m1＝﹣3（舍去），m2＝2，∴点P坐标为（2，﹣5）；若点C为直角顶点，过点P作PE⊥y轴于E，∵∠ACP＝90°，∠ACO＝45°，∴∠PCE＝45°，∵PE⊥y轴，∴∠PCE＝∠CPE＝45°，∴PE＝CE，∴﹣m＝﹣m2﹣2m+3﹣3，∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，∴点P坐标为（﹣1，4）；综上所述：点P坐标为（，）或（，）或（2，﹣5）或（﹣1，4）．10．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．11．解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C两点．∴点C（0，2），∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，故答案为：y＝x2﹣x+2；（2）∵直线BC解析式为：y＝﹣x+2，∴设平移后的解析式为：y＝﹣x+2+m，∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q∴x2﹣x+2＝﹣x+2+m，∴△＝4﹣4××（﹣m）＝0，∴m＝﹣2，∴设平移后的解析式为：y＝﹣x，联立方程组得：，∴，∴点Q（2，﹣1）；（3）设点M的坐标为（m，m2﹣m+2），∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，∴当△MEN∽△OBC时，∴∠MEN＝∠OBC，过点M作MH⊥x轴于H，∴∠EHM＝90°＝∠BOC，∴△EHM∽△BOC，∴，∴MH＝|m2﹣m+2|，EH＝|m﹣2|，∵OB＝4，OC＝2．∴＝2或，∴m＝3±或m＝2±或m＝﹣4或m＝﹣1或m＝1或m＝12，当m＝3+时，m2﹣m+2＝，∴M（3+，），当m＝3﹣时，m2﹣m+2＝，∴M（3﹣，），当m＝2+时，m2﹣m+2＝﹣，∴M（2+，﹣），当m＝2﹣时，m2﹣m+2＝，∴M（2﹣，），当m＝﹣4时，m2﹣m+2＝20，∴M（﹣4，20），当m＝﹣1时，m2﹣m+2＝5，∴M（﹣1，5），当m＝1时，m2﹣m+2＝0，∴M（1，0），当m＝12时，m2﹣m+2＝44，∴M（12，44），即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+，）或（3﹣，）或（2+，﹣）或（2﹣，）或（﹣4，20）或（﹣1，5）或（1，0）或（12，44）．12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），∴C（2，﹣3），抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），∴△P AE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）＝﹣，∴当t＝时，S有最大值；（3）∵直线AE表达式中的k值为1，∴∠AEO＝45°，①当∠PEA＝90°时，∵PE⊥AE，∴直线PE与x轴的夹角为45°，∴设直线PE的表达式为y＝﹣x+b，将点E的坐标代入并解得b＝3，∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，联立得，解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去）故点P的坐标为（﹣2，5），②当∠P AE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4），综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．13．解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1中，连接BC，由题意，点P在第四象限，所以∠CBP＝90°，过点B作BP⊥BC交抛物线于P，连接PC．对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（﹣1，0），∵C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∵PB⊥BC，∴直线PB的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得或，∴P（，）．（3）如图2中，当∠CPB＝∠PQB时，∵∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠PQB+∠PCB＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PQ⊥PC，∵C（0，3），P（，﹣），∴直线PC的解析式为y＝﹣x+3，∴直线PQ的解析式为y＝x﹣，由，解得，∴Q（﹣，﹣），根据对称性可知，点Q关于点B的对称点Q′也满足条件，可得Q′（，），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，）或（，）．14．解：（1）∵抛物线L1：y＝ax2﹣2x的对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴a＝﹣．（2）∵抛物线L1：y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+2）2+2，∴抛物线L1的顶点A（﹣2，2），∵将抛物线L1沿y轴对称，得到抛物线L2，顶点为B，∴B（2，2），∴抛物线L2的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，即y＝﹣x2+2x．（3）如图，观察图象可知，以A或B为直角顶点时，可得P（﹣2，﹣6）或（2，﹣6）当AB为斜边时，∵A（﹣2，2），B（2，2），∴OA＝OB＝2，AB＝4，∴AB2＝OA2+OB2，∴∠AOB＝90°，∴当点P与O重合时，△APB是直角三角形，综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，﹣6）或（2，﹣6）或（0，0）．15．解：（1）直线l：y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴顶点（0，﹣3），∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3，即k＝﹣3；（2）由题意得：x2﹣3＝x﹣3，解得：x1＝0，x2＝1，∴C（1，﹣2），当点B与点C重合时，如图1，顶点P（1，﹣2），∴平移后抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣2＝x2﹣2x﹣1；（3）∵抛物线顶点P始终保持在直线l上，∴设P（m，m﹣3），则平移后的抛物线的解析式为：y＝（x﹣m）2+m﹣3，∴，解得：，∴B（，），∵抛物线x2﹣3沿直线l向右上方平移，∴当△ABP为直角三角形时，∠P AB不可能为直角，所以分两种情况：①当∠APB＝90°时，如图2，AP2+BP2＝AB2，∴+＝，∴m（m﹣1）（m﹣3）＝0，∴m1＝0（舍），m2＝1（舍），m3＝3，∴P（3，0）；②当∠ABP＝90°时，如图3，过B作EF⊥y轴于F，过P作PE⊥EF于E，∴∠ABF+∠EBP＝∠EBP+∠EPB＝90°，∴∠ABF＝∠EPB，∴tan∠ABF＝tan∠EPB，即，∴＝，解得：m1＝﹣（舍），m2＝，∴P（，﹣3），综上，P点的坐标是（3，0）或（，﹣3）．16．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝．（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝P A2，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，解得：m＝8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：P A2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，解得：m＝﹣2，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+P A2＝BA2，∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，∴P（1，6）或（1，﹣1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．17．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∵y＝﹣x2+2x+3与x轴交于另一点B，∴令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）如图，∵P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，∴点D在PC的垂直平分线上，∴点C与点P关于对称轴直线x＝1对称，∴点P的坐标为（2，3），∵S四边形PBCD＝S△DCP+S△CBP，∴S四边形PBCD＝×2×（4﹣3）+×2×3＝4．18．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠P AD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．19．解：（1）∵抛物线C的顶点坐标为（2，8），∴可以假设抛物线C的解析式为y＝a（x﹣2）2+8，把（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+8，得a＝﹣，∴抛物线C的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+8，即y＝﹣x2+2x+6，令y＝0，则有﹣x2+2x+6＝0，解得x＝﹣2或6，∴A（﹣2，0），B（6，0）．（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+6，设P（t，﹣t+6），则0＜t＜6，Q（t，﹣t2+2t+6），∵E，Q关于x＝2的长，∴E（﹣t+4，﹣t2+2t+6），∴QP＝﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+3t，QE＝|2t﹣4|，∵QP⊥x轴，QE∥x轴，∴∠PQE＝90°，∴当QE＝PQ时，△PQE是等腰直角三角形，即﹣t2+3t＝|2t﹣4|，①当﹣t2+3t＝2t﹣4时，解得t＝4或﹣2（舍弃），此时P（4，2）．②当﹣t2+3t＝﹣2t+4时，解得t＝5﹣或5+（舍弃），此时P（5﹣，1+）．∴满足条件的抛物线C′的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+2或y＝﹣（x﹣5+）2+1+．20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y＝px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，如图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），∵DF∥AC，∴∠DFG＝∠ACO，而抛物线对称轴为x＝1，∴DG＝x﹣1，DF＝（x﹣1），∴DE+DF＝﹣x2+2x+3+（x﹣1）＝﹣x2+（2+）x+3﹣＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝，DE+DF有最大值为；（3）①存在；如图2，过点C作AC的垂线交抛物线于点P1，∵直线AC的解析式为y＝3x+3，则直线AC倾斜角的正切值为3，则直线P1C倾斜角的正切值为，∴直线P1C的解析式可设为y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线P1C的解析式为y＝﹣x+3，解方程组，解得，则此时P1点坐标为（，）；过点A作AC的垂线交抛物线于P2，同理可设直线AP2的解析式可设为y＝﹣x+n，把A（﹣1，0）代入上式并解得n＝﹣，∴直线PC的解析式为y＝﹣x﹣，解方程组，解得，则此时P2点坐标为（，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）；②答：﹣＜t＜1或2＜t＜．如图3，抛物线y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1，过点C作CQ1⊥AC交对称轴于Q1，过点A作AQ2⊥AC交对称轴于Q2，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝3x+3，∵CQ1⊥AC，∴直线CQ1解析式为y＝﹣x+3，令x＝1，得y＝﹣×1+3＝，∴Q1（1，）；∵AQ2⊥AC，∴直线AQ2解析式为y═﹣x﹣，令x＝1，得y＝﹣×1﹣＝﹣，∵∠AQC＝90°时，AQ2+CQ2＝AC2，∴（﹣1﹣1）2+t2+（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（）2，解得：t1＝1，t2＝2，∴当1≤t≤2时，∠AQC≥90°，∵△ACQ为锐角三角形，点Q（1，t）必须在线段Q1Q2上（不含端点Q1、Q2），∴﹣＜t＜1或2＜t＜。

2021年九年级中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合 专题复习(含答案)

2021年九年级中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合 专题复习(含答案)

2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合专题复习1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l，连接AF，满与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．10、如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P （﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x．∴S△PBC又∵S=1，△PBC∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为当x=﹣=时，S△BCP（，﹣）．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCP =S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|，当MN=BM时，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=，②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC =S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF 与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2=2NF2=42﹣8b，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴=，∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴=，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M 的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA=1，OB=4∴A（1，0），B（﹣4，0）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1）∵点C（0，﹣）在抛物线上∴﹣解得a=∴抛物线的解析式为y=（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=则tan∠ACO=∵tan∠OAD=∴∠OAD=∠ACO∵直线l的解析式为y=∴D（0，﹣）∵点C（0，﹣）∴CD=由AC2=OC2+OA2，得AC=在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似只需或则有或解得t1=，t2=∵t1＜2.5，t2＜2.5∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=在△ADC中，由S△ADC=∴CN=∴S△AQP +S△AQC==﹣∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l 与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【答案】解：(1)抛物线的对称轴是：x=−b2a =−−5√32a=√3，解得：a=52；(2)由题意得二次函数解析式为：y=15x2−5√3x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△>0，∴△=b2−4ac=(−5√3)2−4×15c，∴c<54；(3)∵∠BOD=90∘，∠DBO=60∘，∴tan60∘=ODOB =cOB=√3，∴OB=√33c，∴B(√33c,0)，把B(√33c,0)代入y =ax 2−5√3x +c 中得：ac 23−5√3⋅√3c 3+c =0，ac 23−5c +c =0，∵c ≠0， ∴ac =12， ∴c =12a，把c =12a代入y =ax 2−5√3x +c 中得： y =a(x 2−5√3x a+12a 2)=a(x −4√3a)(x −√3a)， ∴x 1=4√3a，x 2=√3a， ∴A(√3a ,0)，B(4√3a ,0)，D(0,12a)， ∴AB =4√3a−√3a=3√3a ，AE =3√32a， ∵F 的纵坐标为3+12a ， ∴F(5√32a ,6a+12a)， 过点A 作AG ⊥DB 于G ， ∴BG =12AB =AE =3√32a，AG =92a ，DG =DB −BG =8√3a−3√32a=13√32a， ∵∠ADB =∠AFE ，∠AGD =∠FEA =90∘， ∴△ADG ∽△AFE ， ∴AE AG =FEDG ， ∴3√32a 92a=6a+12a 13√32a，∴a =2，c =6， ∴y =2x 2−5√3x +6．10、如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．∵O′与O关于BC对称，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴==．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴=，即=，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）∴OC=，OB=5当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°∴△MEN为等腰直角三角形．当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形∴点′E坐标为（a﹣b，b）∵EE′平行于x轴∴E、E′关于抛物线对称轴对称∵∴b=2a﹣3则点N坐标可化为（a，2a﹣3）把点N坐标带入y=得：2a﹣3=解得a1=1，a2=6∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0∴a=6舍去则点N坐标为（1，﹣1）把N坐标带入y=x+c则c=﹣2∴直线l′的解析式为：y=x﹣2（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）则△MOK为等腰直角三角形∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′∴当M′K′=M′F时，△M'FK′为等腰直角三角形∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），∵C（0，3），D（2，3），∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD =S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，∵AQ⊥DQ，∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，当t=时，﹣t2+2t+3=，当t=时，﹣t2+2t+3=，∴Q点坐标为（，）或（，）；综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO =S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x 1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x 1=0（舍），x2=，∴D（，）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m 1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．。

2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析

2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析

2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案解析一、二次函数1．如图，已知抛物线经过点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是线段AB 上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中，是否存在点Q ，使得△BQM 是直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC ，将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°，得到△A 1O 1C 1，点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标． 【答案】（1）y=-21x 2+32x+2；（2）存在，Q （3，2）或Q （-1，0）；（3）两个和谐点，A 1的横坐标是1，12. 【解析】 【分析】（1）把点A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；（2）分两种情况分别讨论，当∠QBM=90°或∠MQB=90°，即可求得Q 点的坐标． （3）（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A 1（x ，y ），则C 1（x+2，y-1），O 1（x ，y-1），①当A 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，A 1的横坐标是2； 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，将点A （-1，0），B （4，0），C （0，2）代入解析式，∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩，∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y=-21x2+32x+2；（2）∵点C与点D关于x轴对称，∴D（0，-2）．设直线BD的解析式为y=kx-2．∵将（4，0）代入得：4k-2=0，∴k=12．∴直线BD的解析式为y=12x-2．当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（-1，0）；当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8，∴-2x+8=-21x2+32x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（-1，0）；（3）两个和谐点；AO=1，OC=2，设A1（x，y），则C1（x+2，y-1），O1（x，y-1），①当A1、C1在抛物线上时，∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩，∴x 1y 3=⎧⎨=⎩，∴A 1的横坐标是1； 当O 1、C 1在抛物线上时，()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩， ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴A 1的横坐标是12；【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）52或5．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得16403a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得14ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.3．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：时间(天)1361036…日销售量(件)9490847624…未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．【解析】分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．详解：（1）设数m=kt+b，有,解得∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．（2）设日销售利润为P，由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.（3）P1=（-2t+96）=-+（14+2a）t+480-96n，∴对称轴为t=14+2a，∵1≤t≤20，∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，又∵a＜4，∴3≤a＜4．点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：9303b cc++=⎧⎨=⎩，解得：43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣42-=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=22PG，PF=2PH，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=2PG=﹣2t2+32t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）连接PC、PE，利用公式求出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，设出点P的坐标为（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根据题意列出方程，解方程求出x的值，计算求出点P的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y＝﹣2×2+6＝2，∴点P的坐标为（2，2）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．6．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM 的解析式为y=x+3．由，解得，，∴点M 的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题7．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+剟；（2）2a =． 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+剟； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--剟对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．8．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，33∴﹣3∴a=3，∴45°≤β≤60°，a 的取值范围为﹣3≤a≤﹣1． (4)如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN ⊥AB 于N ．∵PD=PE ，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°， ∴∠DPM=∠EPN ， ∴△DPM ≌△EPN ， ∴PM=PN ，PM=EN ， ∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)， ∴EN=4+n=3﹣m ， ∴n=﹣m ﹣1，当顶点D 在x 轴上时，P(1，﹣2)，此时m 的值1， ∵抛物线的顶点在第二象限， ∴m ＜1．∴n=﹣m ﹣1(m ＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE 的长与a 值无关；(3)3﹣1；(4)n=﹣m ﹣1（m ＜1）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析

2020-2021中考数学二次函数-经典压轴题附答案解析一、二次函数1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+52），P35+5，1+52），P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m 2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35-； P 的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）； 综上所述，点P 的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

2021年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

2021年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)

1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l 与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m （m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP 为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt △A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形．（3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与线段长度综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与线段长度综合》专题训练(附答案)

2021年九年级数学中考压轴题之《二次函数与线段长度综合》专题训练（附答案）1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+（k﹣1）x+k（k＞0）交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且AB＝4．（1）如图1，求k的值；（2）如图2，点D在第一象限的抛物线上，点E在线段BC上，DE∥y轴，若DE＝BE，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，F为抛物线顶点，点P在第四象限的抛物线上，FP交直线DE于点Q，点G与点D关于y轴对称，若GQ＝DP，求点P的坐标．2．如图，已知抛物线上有三点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）是否存在一点D，能使A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为菱形，若存在，请求出D点坐标，若没有，请说明理由．（3）在（2）问的条件，P为抛物线上一动点，请求出|PD﹣PB|取最大值时，点P的坐标．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c经过与y轴的交点C（0，5），与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0）两点．（1）求此二次函数的解析式．（2）如图一，若点M是抛物线上一点，且在直线BC上方，当S△BCM＝10时，求点M 的坐标．（3）如图二，点P是抛物线上的任意一点，且在直线BC上方，PQ⊥BC交BC一点Q，求线段PQ的最大值．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO，求直线P A在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．5．已知：如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴正半轴于点A，负半轴于点B，交y轴于点C，tan∠OBC＝3．（1）求a值；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接AC、P A、PC，若点P的横坐标为t，△P AC 的面积为S，求S与t的函数解析式，（请直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P作PD∥y轴交CA延长线于点D，连接PB，交y轴于点E，点Q为第二象限抛物线上一点，连接QE并延长分别交x轴、抛物线于点N、F，连接FD，交x轴于点K，当E为QF的中点且FN＝FK时，求直线DF的解析式．6．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣+bx+3交x轴于A、B 两点（点B在点A的右边）交y轴于点C，OB＝3OC．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E是第一象限抛物线上的点，连接BE，过点E作ED⊥OB于点D，tan ∠EBD＝，求△BDE的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交DE于点Q，点K是第四象限抛物线上的点，连接EK交BC于点M，交x轴于点N，∠EMC＝45°，过点K作直线KT⊥x轴于点T，过点E作EL∥x轴，交直线KT于点L，点F是抛物线对称轴右侧第一象限抛物线上的点，连接ET、LF，LF的延长线交ET于点P，连接DP并延长交EL于点S，SE＝2SL，求点F的坐标．7．已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．（1）分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标；（2）若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；（3）在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N；①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由．8．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点E，其顶点为D．（1）分别求抛物线、直线AC的函数关系式；（2）设点M为直线AC上一个动点，求MD+ME的最小值；（3）如图2，△ACD，一直线平行于AD，交边AC于点M、交边CD于点N，使得AM ＝CN．求点M的坐标．9．如图，抛物线的顶点为（2，9），且过点A（﹣1，0），直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE＝5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，于y轴交于点C（0，3），顶点为D．（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）请计算以A、B、D、C为顶点的四边形的面积；（3）在x坐标轴上是否存在点Q，使得Q点到C、D两点的距离之和最短，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l 交抛物线于点C（2，m）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．（1）求抛物线的解析式；（2）设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；（3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．14．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．（1）求b的值及点M坐标．（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，此时发现∠ADM﹣ACM是个常数，请写出这个常数，并证明．（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G，当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图①，抛物线y＝ax2+x+c经过点C（3，0），顶点为B，对称轴x＝1与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为点E，点C的对应点为F，当直线EF与抛物线y ＝ax2+x+c只有一个交点时，求点M的坐标；（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图②）①求证：EA＝ED；②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴交抛物线于点G，在y轴上是否存在点H，使得△AGH的周长最小？若存在，求出点H坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥AC于点E，求线段DE的最大值．18．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．设点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，求当PE取得最大值时点P的坐标，并求PE的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝2OA；（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R在第四象限的抛物线上，连接RA交y轴于点D，RE⊥y轴于点E，ER的延长线交直线BC于点G，求证：DE＝RG；（3）如图3，在（2）的条件下，点N在BC上，连接DG、EN，∠CEN+∠DGE＝45°，EN＝DR，求R的坐标．20．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作直线PM⊥x 轴，垂足为M，交直线AB于点N，连接P A，PB．（1）求这条抛物线表达式及其顶点坐标；（2）若P A＝PN，求证：四边形AOMP为矩形；（3）求△P AB的面积最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴L上是否存在一点C，使|AC﹣BC|的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）令y＝0，得y＝﹣x2+（k﹣1）x+k＝0，解得，x＝﹣1，或x＝k，∴A（﹣1，0），B（k，0），∵AB＝4，∴k+1＝4，∴k＝3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，B（3，0），令x＝0，得y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设D点的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴DE＝﹣m2+3m，BE＝，∵DE＝BE，∴﹣m2+3m＝2（3﹣m），解得，m＝2或m＝3（舍），∴D（2，3）；（3）点G与点D关于y轴对称，则点G（﹣2，3），由抛物线的表达式知，点F（1，4），设点P（m，﹣m2+2m+3），由点F、P的坐标得，直线PF的表达式为y＝（1﹣m）x+m+3，当x＝2时，y＝（1﹣m）×2+m+3＝5﹣m，故点Q（2，5﹣m），则DP2＝（m﹣2）2+（﹣m2+2m+3﹣3）2，GD2＝（2+2）2+（5﹣m﹣3）2，∵GQ＝DP，∴（m﹣2）2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（2+2）2+（5﹣m﹣3）2，解得m＝1（舍去负值），故点P（1+，﹣1）．2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得：a＝，b＝，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3；（2）存在一点D（5，﹣3），使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB＝1，OC＝3，OA＝4，∴AC＝＝5，∴AB＝AC，当CD平行且等于AB时，四边形ACDB为菱形，∴CD＝AB＝5，∴点D的坐标为（5，﹣3），当点D在第二、三象限时，以点A、B、C、D为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴存在一点D（5，﹣3），使得以点A、B、C、D为顶点的四边形为菱形．（3）设直线DB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵B（1，0），D（5，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直线DB的解析式为y＝﹣x+，当点P与点D、B不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PD﹣PB|＜DB，当点P与点D、B在同一直线上时，|PD﹣PB|＝DB，∴当点P与点D、B在同一直线上时，|PD﹣PB|的值最大，即点P为直线DB与抛物线的交点，解方程组，得（舍去）或，∴点P的坐标为（﹣5，）时，|PD﹣PB|的值最大．3．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+5，设点M的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5），则MH＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，则S△BCM＝S△MHB+S△MHC＝×MH×OB＝×（﹣x2+5x）×5＝10，解得x＝1或4，故点M的坐标为（1，8）或（4，5）；（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，∵OB＝OC＝5，故直线BC与x轴负半轴的夹角为45°，则∠PHC＝45°，由（2）知，PH＝MH＝﹣x2+5x，故PQ＝PH＝（﹣x2+5x），∵＜0．故PQ有最大值，当x＝时，PQ的最大值为．4．解：（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3，则OC＝OA tan∠OAC＝3，故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），（2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴B（﹣3，0），∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，AC＝＝，AB＝4，∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝＝，cos∠ACO＝，∵AB＝AH，G为BH中点，∴AG⊥BH，BG＝GH，∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG，∵∠P AB＝2∠ACO，∴∠BAG＝∠ACO，∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝＝，∴BG＝AB＝，∴BH＝2BG＝，∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝＝，cos∠HBI＝＝，∴HI＝BH＝，BI＝BH＝，∴x H＝﹣3+＝﹣，y H＝﹣，即H（﹣，﹣），由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：y＝x﹣，故直线P A在与y轴交点的坐标为（0，﹣）；②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，∴H'（﹣，），同理可得，直线AH'：y＝﹣x+，故直线P A在与y轴交点的坐标（0，）；综上，直线P A在与y轴交点的坐标为（0，﹣）或（0，）；（3）DM+DN为定值，∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1，∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1，设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，当x＝﹣1时，y M＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6，∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6，同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，当x＝﹣1时，y N＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2，∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2，∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．5．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴正半轴于点A，负半轴于点B，∴令y＝0，0＝ax2﹣2ax﹣3a，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（3，0），B（﹣1，0），∵tan∠OBC＝3，∴＝3，∴OC＝3，∴﹣3＝﹣3a，∴a＝1；（2）如图1，过点P作PG∥y轴分别交CA的延长线，x轴于点N，G，过点C作CH⊥PG交PG的延长线于点H，设P（t，t2﹣2t﹣3），求出直线AC的解析式为y＝x﹣3，∴N（t，t﹣3），∴PN＝t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）＝t2﹣3t，∴S＝S△PCN﹣S△P AN＝PN•OA＝＝t（t＞3）；（3）延长PD交x轴于点G，∵tan∠PBG＝＝＝t﹣3，∴tan∠PBG＝＝t﹣3，∴OE＝t﹣3，∵DG＝t﹣3，∴OE＝DG，连接DE，∴四边形EOGD是矩形，∴DE∥AN，∵FN＝FK，∴∠FNA＝∠F AN＝∠DEF＝∠FDE，∴FE＝FD，过点F作FR⊥DE，∴RE＝RD＝，过点Q作QH⊥RE交RE延长线于点H，∵QE＝EF，∠QHE＝∠FRE，∠QEH＝∠FER，∴△FER≌△QEH（AAS），∴QH＝FR，EH＝ER，∴F（﹣t﹣3），Q（﹣+t﹣3），∴+t﹣3﹣t+3＝t﹣3﹣，解得t1＝4，t2＝0（舍去），∴F（2，﹣3），D（4，1），设直线DF的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线DF的解析式为y＝2x﹣7．6．解：（1）如图1，当x＝0时，，∴C（0，3），∴OC＝3，∵OB＝3OC，∴OB＝9，∴B（9，0），∵点B在抛物线上，∴，，∴抛物线的解析式为；（2）如图2，设，∴，BD＝9﹣t，在Rt△EDB中，，∴，解得t1＝3，t2＝9（舍去），∴，∴E（3，8），OD＝3，BD＝6，ED＝8，∴；（3）如图3，连接CD，∵OC＝OD＝3，∠COD＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°∵∠EDO＝90°，∴∠EDC＝45°，∴∠EDC＝∠EMQ，∵∠QCD＝180°﹣∠CDQ﹣∠CQD，∠QEM＝180°﹣∠QME﹣∠EQM，∴∠DCQ＝∠DEM，过点D作DG⊥BC于点G，BD＝6，，设CG＝a，则，在Rt△CGD中，DG2＝CD2﹣CG2，在Rt△BGD中，DG2＝BD2﹣BG2，∴CD2﹣CG2＝BD2﹣BG2，∴，∴，∴，∴，∴，∴DN＝4，∴N（7，0），过点K作KH⊥ED于点H，设，∴KH＝m﹣3，，∵，∴，∴m1＝11，m2＝3（舍），当m＝11时，，∴K（11，﹣8），∴T（11，0），L（11，8），∴EL＝ED＝8，∵∠EDT＝∠DTL＝∠ELT＝90°，∴四边形DELT是矩形，∵EL＝ED，∴四边形DELT是正方形∴∠DET＝∠LET，又∵EP＝EP，ED＝EL，∴△EPS≌△EPL（SAS），∴∠EDS＝∠ELP，∵SE＝2SL，∴，在Rt△SED中，，∴，过点F作FR⊥EL于点R，设，则，RL＝11﹣n，∴，∴n2﹣6n﹣7＝0，∴n1＝7，n2＝﹣1（舍），∴．7．解：（1）二次函数l1的对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；（2）线段EF的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．∵k≠1，∴x2+6x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E在点F的左边，则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k），∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF的长度不发生变化；（3）①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），解得：k＝﹣1，∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称；②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，∴|9k﹣9|＝12，解得k1＝，k2＝﹣，∴实数k为或﹣．8．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；设直线AC的表达式为y＝kx+t，则，解得，故直线AC的表达式为y＝x+1①；（2）由抛物线的表达式知，点D（1，4），如图1，设直线AC交y轴于点H（0，1），作点E关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点M，则点M为所求点，此时MD+ME最小，理由：MD+ME＝MF+MD＝DF为最小，由直线AC的表达式知，直线AC与x轴的倾斜角为45°，连接HF，∵EF⊥AC，故△EFH为等腰直角三角形，则FH＝EH＝3﹣1＝2，点F（2，1），由点F、D的坐标知，FD＝＝，故MD+ME最小值＝DF＝；（3）由点A、D的坐标知，直线AD的表达式为y＝2x+2，同理可得，直线CD的表达式为y＝﹣x+5②，设平行于AD的直线为l，则设其表达式为y＝2x+t③，联立②③并解得x＝，故点N（，），联立①③同理可得，点M（1﹣t，2﹣t），∵AM＝CN，∴（1﹣t+1）2+（2﹣t）2＝（﹣2）2+（﹣3）2，解得t＝或（舍去），故t＝，故点M（﹣，）．9．解：（1）∵抛物线的顶点为（2，9），且过点A（﹣1，0），∴设y＝a（x﹣2）2+9＝a（﹣1﹣2）2+9，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣2）2+9；（2）点P横坐标为m，则P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0），∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，∴0＜m＜5．PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+2；分两种情况讨论：①当点E在点F上方时，EF＝﹣m+3．∵PE＝5EF，∴﹣m2+m+2＝5（﹣m+3），即2m2﹣17m+26＝0，解得m1＝2，m2＝（舍去），②当点E在点F下方时，EF＝m﹣3．∵PE＝5EF，∴﹣m2+m+2＝5（m﹣3），即m2﹣m﹣17＝0，解得m3＝，m4＝（舍去），∴m的值为2或；（3）存在，点P的坐标为P1（﹣，），P2（4，5），P3（3﹣，2﹣3）；如图1，2，∵E和E′关于直线PC对称，∴∠E′CP＝∠ECP；又∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE，∴PE＝EC，又∵CE＝CE′，∴四边形PECE′为菱形．过点E作EM⊥y轴于点M，则CE＝．∵PE＝CE，∴﹣m2+m+2＝m或﹣m2+m+2＝﹣m，解得m1＝﹣（舍去），m2＝4，m3＝3﹣（舍去），m4＝3+可求得点P的坐标为（4，5）或（3+，﹣2﹣3）．10．解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，抛物线的对称轴为x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x+3＝4，故点D的坐标为（﹣1，4）；（2）由点B、C、D的坐标知，BC2＝18，CD2＝2，BD2＝20，则BC2+CD2＝BD2，则△BCD为直角三角形，四边形ABCD的面积＝×BC×CD+×AB×OC＝×3×+×4×3＝9；（3）存在，理由：作点C关于x轴的对称点E（0，﹣3），连接DE交x轴于点Q，则点Q为所求点，设直线ED的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线DE的表达式为y＝﹣7x﹣3，令y＝﹣7x﹣3＝0，解得x＝﹣，故点Q的坐标为（﹣，0）．11．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．（3）存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x轴，CK＝2，当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．12．解：（1）如图1，对于直线y＝x﹣2，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝﹣2，∴点A（4，0），点C（0，﹣2），将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣2；（2）如图2，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e，0），则AE＝4﹣e，在Rt△COE中，根据勾股定理得：CE2＝OC2+OE2＝22+e2，∵AE＝CE，∴（4﹣e）2＝22+e2，解得：e＝，则点E的坐标为（，0）；（3 ）存在．如图3，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（﹣1，0），连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点．∵y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），设直线B′D的解析式为y＝kx+d（k≠0），则，解得：，∴直线B′D的解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，∴点G的坐标为（0，）．13．解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3；（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2；（3）如图2，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．14．解：（1）由抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x＝﹣＝﹣1，∵OC＝OA，∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），∵AB＝4，∴﹣2+c﹣（﹣c）＝4，∴c＝3，∴A（﹣3，0），代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得0＝9a﹣6a+3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），又∵QN⊥x轴，∴矩形PQNM的周长＝2（PM+PQ）＝2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]＝2（﹣m2﹣4m+1）＝﹣2（m+2）2+10，∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，此时，M（﹣2，0），由A（﹣3，0），C（0，3），可得直线AC为y＝x+3，AM＝1，∴当x＝﹣2时，y＝1，即E（﹣2，1），ME＝1，∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG于点Q，∵HG⊥CF，BC＝BF，∴∠BFC+∠BFQ＝∠BCF+∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，∴∠BFQ＝∠Q，∴BC＝BF＝BQ，又∵C（0，3），B（1，0），∴Q（2，﹣3），又∵H（0，﹣1），∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，解方程组，可得或，∴点G的坐标为（，）或（，）．15．（1）解：对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，解得x＝0或6，∴A（6，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴0＝﹣3+b，∴b＝3，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，∴M（3，﹣3）；（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．∵平移后的直线经过M（3，﹣3），∴﹣3＝﹣+n，∴n＝﹣，∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x﹣①，过点D（2，0）作DH⊥MC于H，则直线DH的解析式为y＝2x﹣4②，联立①②并解得，∴H（1，﹣2），∵D（2，0），M（3，﹣3），∴DH＝＝，HM＝＝，∴DH＝HM．∴∠DMC＝45°，∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，∴∠ADM﹣∠ACM＝45°为常数；（3）解：存在，理由：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EF A，∴∠EF A＝∠BAO，∵∠EF A＝∠GFH，tan∠BAO＝，∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，∵GH∥EK，∴，设GH＝4k，EK＝3k，则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，∴OF＝AF＝12k＝3，∴k＝，∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，∴OK＝，∴E（，）．16．解：（1）由题意得，解得，故抛物线的表达式为①；（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的对称轴为x＝2，C（3，0），∴点A（1，0），顶点B（1，2），∴AB＝AC＝2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1＝45°，∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，设点M的坐标为（m，0），∴点F（m，3﹣m），又∵∠2＝45°，∴直线EF与x轴的夹角为45°，∴设直线EF的解析式为y＝x+d，把点F（m，3﹣m）代入得：3﹣m＝m+d，解得：d＝3﹣2m，直线EF的解析式为y＝x+3﹣2m②，∵直线EF与抛物线只有一个交点，则联立①②并整理得：x2﹣2m+＝0，∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m＝，点M的坐标为（，0），当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（，0）；（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，∵PC＝，由（2）知∠BCA＝45°，∴PG＝GC＝，∴点G（，0），设点M的坐标为（m，0），∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴EM＝PM，∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，∴∠HEM＝∠GMP，在△EHM和△MGP中，，∴△EHM≌△MGP（AAS），∴EH＝MG＝﹣m，HM＝PG＝，∴点H（m﹣1，0），∴点E的坐标为（m﹣，﹣m）；∴EA＝＝，又∵D为线段BC的中点，B（1，2），C（3，0），∴点D（2，1），∴ED＝＝，∴EA＝ED．当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E的坐标仍为（m﹣，﹣m），因此EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，把E（m﹣，﹣m）代入，整理得：4m2﹣20m+13＝0，解得：m＝，∴或．17．解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入得：，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）作点G关于y轴的对称点G'，连接AG'，交y轴于点H，此时△AGH的周长最小．∵，∴G（，），∴G′（，），设直线AG'的解析式为y＝kc+d，将A（﹣4，0），G′（，）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AG'的解析式为，当x＝0时，，∴点H的坐标为（0，）．（3）在图2中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M．当x＝0时，y＝＝3，∴点C的坐标为（0，3）．设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），将A（﹣4，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设点D的坐标为（x，）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，），∴DM＝﹣（）＝．在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝3，∴AC＝＝＝5．∵DF⊥x轴，DE⊥AC，∴∠DEM＝∠AFM＝90°．∵∠DME＝∠AMF，∴△DME∽△AMF，∴＝＝＝，∴DE＝DM＝＝（x+2）2+，∴当x＝﹣2时，DE取得最大值，最大值为．18．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵P点在抛物线上，横坐标为m，∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），∵PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线y＝﹣x+2于点D．∴Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD＝OC＝2，即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|＝2，即|﹣m2+2m|＝2，当﹣m2+2m＝2时，解得m＝2，则Q坐标为（2，0），当﹣m2+2m＝﹣2时，解得m＝2±2，则Q坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0），综上可知，Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；（3）由（2）可知P点坐标为（m，﹣m2+m+2），Q坐标为（m，0），D点坐标为（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+2m．在Rt△OBC中，OC＝2，OB＝4，由勾股定理可求得BC＝2，∵OQ∥OC，∴∠OCB＝∠BDQ．∵∠PDE＝∠BDQ，∴∠OCB＝∠PDE．∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°．∴△PED∽△BOC．∴，即，解得：PE＝，∵P在直线BC上方，∴0＜m＜4，∴当m＝2时，PE有最大值，此时P点坐标为（2，3）．19．解：（1）设点A的坐标为（n，0），n＜0，∵OB＝2OA，∴点B的坐标为（﹣2n，0），将点A，点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+4，得：，解得或（舍去）．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）证明：设点R的坐标为（m，﹣m2+m+4），m＞0，由（1）可得点A（﹣2，0），点B（4，0），点C（0，4），∴OA＝2，OB＝4，OC＝4，OE＝m2﹣m﹣4，RE＝m；∵RE⊥y轴，∴RE∥x轴，∴△OAD∽△ERD，△BOC∽△GEC，∴，，∴，，解得：DE＝m2﹣2m，RG＝m2﹣2m，∴DE＝RG；（3）如图，过点N作NH⊥CE于点H，在EB上截取EF＝ED，则△DEF为等腰直角三角形，∴DE＝EF＝m2﹣2m，DF＝DE＝m2﹣2m，设HN＝h，h＞0，∵OB＝4，OC＝4，∴∠NCH＝45°，∴△NCH为等腰直角三角形，∴HC＝h，∴OH＝OC﹣HC＝4﹣h，由（2）知，OE＝m2﹣m﹣4，DE＝RG＝m2﹣2m，RE＝m，∴FR＝RE﹣EF＝3m﹣m2，FG＝FR+RG＝m，∵EN＝DR，∴EH2+HN2＝EN2＝DR2＝DE2+RE2，∴+h2＝+m2，解得：h＝m2﹣2m，或h＝m（由图可知，点R的横坐标m＞点B的横坐标4＞h，故舍去）∴HN＝m2﹣2m，EH＝m，∴tan∠HEN＝＝，tan∠FRD＝＝，∴∠HEN＝∠FRD，∵∠CEN+∠DGE＝45°，∠DFE＝45°，∴∠FRD+∠DGE＝45°，∠DGE+∠FDG＝45°，∴∠FRD＝∠FDG，又∵∠RFD＝∠DFG，∴△RFD∽△DFG，∴，∴，解得：m1＝2，m2＝5，当m＝2时，点R的纵坐标为﹣m2+m+4＝4，（点R在第四象限，故舍去）；当m＝5时，点R的纵坐标为﹣m2+m+4＝﹣，∴R的坐标为（5，﹣）．20．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8；∴顶点坐标为（2，8）；（2）∵点A、B的坐标分别为（0，6）、（6，0）．∴AO＝OB，又∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PM⊥x轴，OA⊥x轴，∴AO∥PM，∴∠ANP＝∠OAB＝45°，∵P A＝PN，∴∠P AN＝∠ANP＝45°，∴∠APN＝90°，∠OAP＝∠OAB+∠P AN＝90°，∵∠PMO＝90°，∴四边形AOMP为矩形；（3）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x2+2x+6），则点N（x，﹣x+6），则S△P AB＝OB＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）×6＝﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，故当x＝3时，S△P AB有最大值为，此时点P的坐标为（3，）；（4）存在点C，使|AC﹣BC|的值最大，理由：点B关于抛物线对称轴对称点B′（﹣2，0），作直线B′A与对称轴的交点就是要找的点C．∵C在对称轴上，所以BC＝B′C，则当点A、B′、C三点共线时，|AC﹣BC|＝|AC﹣B′C|＝AB′为最大，由勾股定理得AB′＝＝2，故|AC﹣BC|的最大值为2．。

2021年中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题含答案

2021年中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题含答案

2021年九年级中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题一、选择题1．（3分）（2020•呼和浩特）已知二次函数y ＝（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y 总相等，则关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1＝0的两根之积为（ ）A ．0B ．﹣1C ．−12D ．−14 【解答】解：∵二次函数y ＝（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y 总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线x ＝0，即y 轴，则−−(a+2)2(a−2)=0，解得：a ＝﹣2，则关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1＝0为﹣4x 2+1＝0，则两根之积为−14，故选：D ．2．（3分）（2020•贵州 毕节）（2020•毕节市）已知y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2．若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根，且x 1＜x 2，﹣1＜x 1＜0，则下列说法正确的是（ ）A ．x 1+x 2＜0B ．4＜x 2＜5C ．b 2﹣4ac ＜0D ．ab ＞0【解答】解：∵x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，∴x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标，∵抛物线的对称轴为x ＝2，∴x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4＞0，故选项A 错误；∵x 1＜x 2，﹣1＜x 1＜0，∴﹣1＜4−x22＜0，解得：4＜x2＜5，故选项B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x＝2，∴−b2a=2，∴b＝﹣4a＞0，∴ab＜0，故选项D错误；故选：B．3．（3分）（2020•四川雅安）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点A在D点的左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝CE tan∠ACB＝t×√3=√3t，则S＝S△CEH=12×CE×HE=12×t×√3t=√32t2，图象为开口向上的二次函数；当点A正方形DEFG内部时，同理可得：S=√34a2−√32（a﹣t）2=−√32t2+√3at−√34a2，图象为开口向下的二次函数；点B在EF中点的右侧，同理可得：S＝S△BFH=12×BF×HF=12×（2a﹣t）×√3（2a﹣t）=√32（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．故选：A．二、填空题4．（3分）（2020•四川广安）二次函数y＝ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③c﹣4a＝1；④b2＞4ac；⑤am2+bm+c≤1（m为任意实数）．其中正确的有____________（填序号）【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＞0，故①错误；由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②错误；∵抛物线的顶点坐标为（2，1），∴−b2a=2，b＝﹣4a，∵4a+2b+c＝1，∴4a﹣8a+c＝1，即c﹣4a＝1，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故④正确．∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1），∴am2+bm+c≤1（m为任意实数），故⑤正确．故填③④5．（3分）（2020•湖北恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A （﹣2，0）、B（1，0）两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为x＝﹣1；③2a+c＝0；④a﹣b+c＞0．其中正确的有____________（填序号）．【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故a ＜0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c ＞0，故ac ＜0，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x 轴相交于A （﹣2，0）、B （1，0），由对称性可知，其对称轴为：x =−2+12=−12，因此②错误； 对于③：设二次函数y ＝ax 2+bx +c 的交点式为y ＝a （x +2）（x ﹣1）＝ax 2+ax ﹣2a ，比较一般式与交点式的系数可知：b ＝a ，c ＝﹣2a ，故2a +c ＝0，因此③正确；对于④：当x ＝﹣1时对应的y ＝a ﹣b +c ，观察图象可知x ＝﹣1时对应的函数图象的y 值在x 轴上方，故a ﹣b +c ＞0，因此④正确．∴只有③④是正确的．故填：③④三、解答题6．（16分）（2020•贵州 毕节）（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于点C （﹣2，0），且经过点B （8，4），连接AB ，BO ，作AM ⊥OB 于点M ，将Rt △OMA 沿y 轴翻折，点M 的对应点为点N ．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为 y =−15x 2+85x +4 ，顶点坐标为 （4，365） ；（2）判断点N 是否在直线AC 上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt △OMA 沿着OB 平移后，得到Rt △DEF ．若DE 边在线段OB 上，点F 在抛物线上，连接AF ，求四边形AMEF 的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴交于点C （﹣2，0），且经过点B （8，4），∴{0=4a −2b +44=64a +8b +4，解得：{a =−15b =85， ∴抛物线解析式为：y =−15x 2+85x +4，∵：y =−15x 2+85x +4=−15（x ﹣4）2+365， ∴顶点坐标为（4，365） 故答案为：y =−15x 2+85x +4，（4，365）；（2）点N 在直线AC 上， 理由如下：∵抛物线y =−15x 2+85x +4与y 轴交于点A ，∴点A （0，4），即OA ＝4，∵点B （8，4），∴AB ∥x 轴，AB ＝8，∴AB ⊥AO ，∴∠OAB ＝90°，∴∠OAM +∠BAM ＝90°，∵AM ⊥OB ，∴∠BAM +∠B ＝90°，∴∠B ＝∠OAM ，∴tan ∠B ＝tan ∠OAM =OA AB =48=12， ∵将Rt △OMA 沿y 轴翻折，∴∠NAO ＝∠OAM ，∴tan ∠NAO ＝tan ∠OAM =12，∵OC ＝2，OA ＝4，∴tan ∠CAO =OC OA =12，∴tan ∠CAO ＝tan ∠NAO ，∴∠CAO ＝∠NAO ，∴AN ，AC 共线，∴点N 在直线AC 上；（3）∵点B （8，4），点O （0，0），∴直线OB 解析式为y =12x ，∵Rt △OMA 沿着OB 平移后，得到Rt △DEF ，∴AF ∥OB ，∴直线AF 的解析式为：y =12x +4，联立方程组：{y =12x +4y =−15x 2+85x +4解得：{x 1=0y1=4或{x 2=112y 2=274 ∴点F （112，274），∵Rt △OMA 沿着OB 平移后，得到Rt △DEF ，∴Rt △OMA ≌Rt △DEF ，OA ＝DF ，OA ∥DF∴S △OMA ＝S △DEF ，四边形OAFD 是平行四边形，∵四边形AMEF 的面积＝S 四边形AMDF +S △DEF ＝S 四边形AMDF +S △OAM ＝S 四边形OAFD ， ∴四边形AMEF 的面积＝S 四边形OAFD ＝4×112=22． 7．（13分）（2020•四川 雅安）已知二次函数y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．【解答】解：（1）把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x +c则有{c =−3a +2+c =0， 解得{a =1c =−3， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1，∴A （﹣3，0）．（2）如图1中连接AD ，CD ．∵点D 到直线AC 的距离取得最大，∴此时△DAC 的面积最大，设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ，∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），∴{b =−3−3k +b =0， 解得，{k =−1b =−3， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），∵点D 在第三象限，∴DG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ，∴S △ACD =12•DG •OA =12（﹣x 2﹣3x ）×3=−32x 2−92x =−32（x +32）2+278，∴当x =−32时，S 最大=278，点D （−32，−154）， ∴点D 到直线AC 的距离取得最大时，D （−32，−154）．（3）如图2中，当OB 是平行四边形的边时，OB ＝MN ＝1，OB ∥MN ，可得N （﹣2，﹣3）或N ′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．8．（14分）（2020•辽宁辽阳）（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣2√3x+c（a≠0）过点O （0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点O （0，0）和A （6，0）代入y ＝ax 2﹣2√3x +c 中， 得到{c =036a −12√3+c =0，解得{a =√33c=0，∴抛物线的解析式为y =√33x 2﹣2√3x ．（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x 轴于M ，与OD 交于点N ．∵y =√33x 2﹣2√3x =√33（x ﹣3）2﹣3√3，∴顶点B （3，﹣3√3），M （3，0），∴OM ＝3．BM ＝3√3，∴tan ∠MOB =BM OM =√3，∴∠MOB ＝60°，∵∠BOD ＝30°，∴∠MON ＝∠MOB ﹣∠BOD ＝30°， ∴MN ＝OM •tan30°=√3， ∴N （3，−√3），∴直线ON 的解析式为y =−√33x ， 由{y =−√33x y =√33x 2−2√3x ，解得{x =0y =0或{x =5y =−5√33， ∴D （5，−5√33）．（3）如图②﹣1中，当∠EFG ＝90°时，点H 在第一象限，此时G ，B ′，O 重合，由题意OF ＝BF ，可得F （32，−3√32），E （3，−√3），利用平移的性质可得H （32，√32）．如图②﹣2中，当∠EGF ＝90°时，点H 在对称轴右侧，由题意，∠EBF ＝∠FEB ＝30° ∴EF ＝BF ，可得F （2，﹣2√3），利用平移的性质可得H （72，−3√32）．如图②﹣3中当∠FGE ＝90°时，点H 在对称轴左侧，点B ′在对称轴上，由题意EF ⊥BE ，可得F （1，−√3），G （32，−√32），利用平移的性质，可得H （52，−3√32）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（32，√32）或（52，−3√32）或（72，−3√32）． 9．（2020•山东 荷泽）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是92时，求△ABD 的面积；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OA ＝2，OB ＝4， ∴A （﹣2，0），B （4，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6中得：{4a −2b −6=016a +4b −6=0，∴抛物线的解析式为：y =34x 2−32x ﹣6；（2）如图1，过D 作DG ⊥x 轴于G ，交BC 于H ，当x ＝0时，y ＝﹣6， ∴C （0，﹣6），设BC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{b =−64k +b =0，解得：{k =32b =−6， ∴BC 的解析式为：y =32x ﹣6，设D （x ，34x 2−32x ﹣6），则H （x ，32x ﹣6），∴DH =32x ﹣6﹣（34x 2−32x ﹣6）=−34x 2+3x ，∵△BCD 的面积是92，∴12DH ⋅OB =92，∴12×4×(−34x 2+3x)=92，解得：x ＝1或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴D （3，−154），∴△ABD 的面积=12AB ⋅DG =12×6×154=454； （3）分两种情况：①如图2，N 在x 轴的上方时，四边形MNBD 是平行四边形，∵B （4，0），D （3，−154），且M 在x 轴上， ∴N 的纵坐标为154，当y =154时，即34x 2−32x ﹣6=154， 解得：x ＝1+√14或1−√14， ∴N （1−√14，154）或（1+√14，154）；②如图3，点N 在x 轴的下方时，四边形BDNM 是平行四边形，此时M 与O 重合，∴N （﹣1，−154）；综上，点N 的坐标为：（1−√14，154）或（1+√14，154）或（﹣1，−154）．10．（12分）（2020•湖北 恩施州）如图1，抛物线y =−14x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【解答】解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴0=−14×36+6b+c，得到6b+c＝9，又∵对称轴x＝2，∴x=−b2a=−b2×(−14)=2，解得b＝1，∴c＝3，∴二次函数的解析式为y=−14x2+x+3；（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为y =−14x 2+x +3，对称轴为x ＝2，C （6，0） ∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB ＝AC ＝4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴FM ＝CM ，∠2＝∠1＝45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6﹣m ）， 又∵∠2＝45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y ＝x +b ，把点F （m ，6﹣m ）代入得：6﹣m ＝m +b ，解得：b ＝6﹣2m ， 直线EF 的解析式为y ＝x +6﹣2m ，∵直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3只有一个交点， ∴{y =x +6−2my =−14x 2+x +3， 整理得：14x 2+3−2m =0， ∴△＝b 2﹣4ac ＝0，解得m =32， 点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵PC =√2，由（2）知∠BCA ＝45°， ∴PG ＝GC ＝1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴EM ＝PM ，∵∠HEM +∠EMH ＝∠GMP +∠EMH ＝90°，∴∠HEM ＝∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，{∠EHM =∠MGP∠HEM =∠GMP EM =MP，∴△EHM ≌△MGP （AAS ）， ∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1， ∴点H （m ﹣1，0），∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；∴EA =√(m −1−2)2+(5−m −0)2=√2m 2−16m +34， 又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0）， ∴点D （4，2），∴ED =√(m 2+(5−m −2)2=√2m 2−16m +34， ∴EA ＝ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ． ②当点E 在（1）所求的抛物线y =−14x 2+x +3上时， 把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0， 解得：m =5+2√3或m =5−2√3， ∴CM =2√3−1或CM =1+2√3．11．（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2√3x +c （a ≠0）过点O （0，0）和A （6，0）．点B 是抛物线的顶点，点D 是x 轴下方抛物线上的一点，连接OB ，OD ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当∠BOD ＝30°时，求点D 的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x 轴于点C ，交线段OD 于点E ，点F 是线段OB 上的动点（点F 不与点O 和点B 重合），连接EF ，将△BEF 沿EF 折叠，点B 的对应点为点B '，△EFB '与△OBE 的重叠部分为△EFG ，在坐标平面内是否存在一点H ，使以点E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点O （0，0）和A （6，0）代入y ＝ax 2﹣2√3x +c 中， 得到{c =036a −12√3+c =0，解得{a =√33c =0，∴抛物线的解析式为y =√33x 2﹣2√3x ．（2）如图①中，设抛物线的对称轴交x 轴于M ，与OD 交于点N ．∵y =√33x 2﹣2√3x =√33（x ﹣3）2﹣3√3， ∴顶点B （3，﹣3√3），M （3，0）， ∴OM ＝3．BM ＝3√3， ∴tan ∠MOB =BMOM =√3， ∴∠MOB ＝60°， ∵∠BOD ＝30°，∴∠MON ＝∠MOB ﹣∠BOD ＝30°， ∴MN ＝OM •tan30°=√3， ∴N （3，−√3），∴直线ON 的解析式为y =−√33x ，由{y =−√33xy =√33x 2−2√3x ，解得{x =0y =0或{x =5y =−5√33， ∴D （5，−5√33）．（3）如图②﹣1中，当∠EFG ＝90°时，点H 在第一象限，此时G ，B ′，O 重合，由题意OF ＝BF ，可得F （32，−3√32），E （3，−√3），利用平移的性质可得H （32，√32）．如图②﹣2中，当∠EGF ＝90°时，点H 在对称轴右侧，由题意，∠EBF ＝∠FEB ＝30° ∴EF ＝BF ，可得F （2，﹣2√3），利用平移的性质可得H （72，−3√32）．如图②﹣3中当∠FGE ＝90°时，点H 在对称轴左侧，点B ′在对称轴上，由题意EF ⊥BE ，可得F （1，−√3），G （32，−√32），利用平移的性质，可得H （52，−3√32）．综上所述，满足条件的点H 的坐标为（32，√32）或（52，−3√32）或（72，−3√32）． 12．（9分）（2020•山东 淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A （﹣2，0），B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2+bx +83（a ＜0）与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE ＝45°，求点P 的坐标．【解答】解：（1）OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x =−b 2a =1①，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a ﹣2b +83②，联立①②并解得{a =−13b =23，故抛物线的表达式为：y =−13x 2+23x +83③；（2）由抛物线的表达式得，点M （1，3）、点D （4，0）；∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，解得：y R ＝±43④，联立④③并解得{x =1±√13y =4或{x =1±√5y =−4，故点R 的坐标为（1+√13，4）或（1−√13，4）或（1+√5，﹣4）或（1−√5，﹣4）； （3）作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE ＝45°，故∠PRE ＝90°，则△PRE 为等腰直角三角形，当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ ⊥MD ，点M 、D 的坐标分别为（1，4）、（4，0），则ME ＝4，ED ＝4﹣1＝3，则MD ＝5，过点R 作RH ⊥ME 于点H ，设点P （1，2m ），则PH ＝HE ＝HR ＝m ，则圆R 的半径为√2m ，则点R （1+m ，m ），S △MED ＝S △MRD +S △MRE +S △DRE ，即12×EM •ED =12×MD ×RQ +12×ED •y R +12×ME •RH ， ∴12×4×3=12×5×√2m +12×4×m +12×3×m ，解得m ＝60√2−84， 故点P （1，120√2−168）．13．（10分）（2020•四川 广安）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，求线段PE 最大时点P 的坐标．（3）点F 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点D ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝x 2+bx +c ，得到{1−b +c =09+3b +c =0解得{b =−2c =−3， ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x−12）2+94，∵﹣1＜0，∴当x=12时，PE的最大值=94，此时P（12，−32）．（3）存在．理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x轴，CK＝2，当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±√7，∴F3（1−√7，3），F4（1+√7，3），由平移的性质可知D3（4−√7，0），D4（4+√7，0）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4−√7，0）或（4+√7，0）．14．（10分）（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD ∥BC ，则设直线AD 的表达式为：y =−√23（x +√2）②， 联立①②并解得：x ＝4√2，故点D （4√2，−103）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y =−2√23x +2， 当x ＝3√2时，y BC =−√23x +2＝﹣2，即点H （3√2，﹣2），故BH ＝2，设点E （x ，−13x 2+2√23x +2），则点F （x ，−√23x +2）， 则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD =12×E E F ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH =12×（−13x 2+2√23x +2+√23x ﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x 2+3x +4√2， ∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）； （3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83， 点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83； ①当AE 是平行四边形的边时，点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ），即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56，故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156，故点N 的坐标（−√22，156）； 综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．。

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2021年九年级数学中考二次函数综合型压轴题经典题型训练试题1．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）联结BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．4．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC＝OB＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n 的函数关系式；（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D 作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其图象与x轴的一个交点为B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），且对称轴为直线x＝1，过点B，C作直线BC．（1）求二次函数和直线BC的表达式；（2）利用图象求不等式x2﹣3x≥0的解集；（3）点P是函数y＝ax2+bx+c的图象上位于第四象限内的一动点，连接PB，PC，①若△PBC面积最大时，求点P的坐标及△PBC面积的最大值；②在x轴上是否存在一点Q，使得以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD 长度的最大值．10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于C 点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y＝﹣x+3交于C，D两点，连接BD，AD．（1）求m的值；（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP ＝4S△ABD，求点P的坐标；（3）点M是抛物线对称轴上的点，当MA+MC的值最小时，求点M的坐标．11．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；②抛物线上是否存在一点P，使△PBC是以BC为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2，若以O 为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP＝∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m（m为大于0的常数）与x 轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．（1）直接写出点A，C的坐标（用含m的式子表示）；（2）求ac的值；（3）若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，连接P A，PC，当△P AC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标．14．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+5的对称轴是直线x＝2，且经过点（3，8），抛物线与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图2，已知Q（1，0），E（0，m），F（0，m+1），点P是第一象限的抛物线y＝ax2+bx+5上的一点，①当m＝1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；②若PQ＝PB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a ≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．（1）求a的值；（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．参考答案1．解：（1）∵B的坐标为（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，点C在x轴下方，∴C（0，﹣3）．∵将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线的解析式，得，解得：a＝，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．（2）如图1所示：连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．∵x＝﹣＝﹣＝﹣，B（1，0），∴A（﹣4，0）．设直线AC的解析式为：y＝mx+n，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．∵y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y＝﹣×（﹣）﹣3＝﹣，∴点Q的坐标是（﹣，﹣）；（3）如图2所示：过点D作DE∥y，交AC于点E．∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB＝5．＝AB•OC＝×5×3＝7.5．∴S△ABC设AC的解析式为y＝kx+b．∵将A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k＝﹣，b＝﹣3，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设D（a，a2+a﹣3），则E（a，﹣a﹣3）．∵DE＝﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）＝﹣（a+2）2+3，∴当a＝﹣2时，DE有最大值，最大值为3．∴△ADC的最大面积＝DE•AO＝×3×4＝6．∴四边形ABCD的面积的最大值为．（4）存在．①如图3，过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形．∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3．∴P1（﹣3，﹣3）．②平移直线AC交x轴于点E2，E3，交x轴上方的抛物线于点P2，P3，当AC＝P2E2时，四边形ACE2P2为平行四边形，当AC＝P3E3时，四边形ACE3P3为平行四边形．∵C（0，﹣3），∴P2，P3的纵坐标均为3．令y＝3得：x2+x﹣3＝3，解得x1＝，x2＝．∴P2（，3），P3（，3）．综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）．2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．设直线BC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+﹣m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴当m＝2时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，BN﹣QM＝a1﹣4﹣＝a1﹣4，∴Q（a1，a1﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a12）﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．此时点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．3．解：（1）把点A（4，0）和点B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于G，∴DG∥OB，∴△ADG∽△ABO，∴，∵AD＝3BD，∴AG＝3OG，∵A（4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴OG＝1，DG＝，∵D（1，），由平移得：点C的横坐标为1，当x＝1时，y＝﹣×1+×1+2＝3，∴m＝3﹣＝；（3）∵∠CBA＝2∠BAO，点C在该抛物线上且在第一象限，∴点C在AB的上方，如图2，过A作AF⊥x轴于A，交BC的延长线于点F，过B作BE⊥AF于点E，∴BE∥OA，∴∠BAO＝∠ABE，∵∠CBA＝2∠BAO＝∠ABE+∠EBF，∴∠FBE＝∠ABE，∵∠BEF＝∠AEB＝90°，∴∠F＝∠BAF，∴AB＝BF，∴AE＝EF＝OB＝2，∴F（4，4），设BF的解析式为：y＝kx+n，则，解得：，∴BF的解析式为：y＝x+2，∴，解得或，∴C（2，3）．4．解：（1）∵OC＝OB＝10，∴C（0，﹣10），B（10，0），把C，B两点坐标代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10．（2）如图1中，过点Q作QN⊥OC于N，过点P作PM⊥OC于M．∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，∴∠QCN＝∠PCM，∵∠QNC＝∠PMC＝90°，∴△QNC∽△PMC，∴＝，∴＝，整理得m＝12﹣n．（3）如图2中，作ET平分∠OED，交OD于T，过点T作TR⊥DE于R．由题意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），∴直线P A的解析式为y＝（n﹣10）x+n﹣10，∴D（0，n﹣10），∴m＝12﹣n，∴D（0，2﹣m），∴OD＝m﹣2，∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，∴△EOT≌△ERT（AAS），∴OT＝TR，EO＝ER＝m，设OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，∴x＝，∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，∴∠OET＝∠EQB，∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，∴△OET∽△EQB，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，整理得，m3﹣4m2﹣64m＝96＝0，可得（m﹣2）（m﹣8）（m+6）＝0，解得，m＝8或﹣6（舍弃）或2（舍弃），∵m＝12﹣n，∴n＝4，∴P（4，﹣12），5．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3），B（3，0）两点，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m，m2﹣2m﹣3），则Qm，m﹣3），∴PQ＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S＝×3×（﹣m2+3m）△P AB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△P AB面积有最大值，最大值是，此时P点坐标为（，﹣）．（3）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图2，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图3，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，），6．解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数的图象，根据题意得：，∴，则二次函数的解析式是：y＝﹣x2﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0），则MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，所以，当x＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC，BN，若BC＝MN，则四边形BCMN是平行四边形，∴﹣x2﹣x＝，解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，故当N（﹣1，4）或（﹣2，4.5）时，四边形BCMN是平行四边形．7．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．8．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B和点C的坐标代入得：，解得k＝1，b＝﹣3，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．（2）由x2﹣3x≥0可得到x2﹣2x﹣3≥x﹣3，由函数图象可得到x≥3或x≤0．（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．设P（m，m2﹣2m﹣3），则N（m，m﹣3）．∴PN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m．＝PN•（OM+MB）＝PN•OB＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+．∴S△PBC∴当△PBC的面积最大时，点P的坐标为（，﹣），△PBC的面积的最大值为．②∵点B和点Q均在x轴，以P，C，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，∴PC∥BQ，PC＝BQ．∴点P与点C关于x＝1对称，∴点P的坐标为（2，﹣3）．∴CP＝2．∵BQ＝PC＝2，B（3，0），∴点Q的坐标为（1，0）或（5，0）．9．解：（1）由题意对称轴为直线x＝﹣1，可设抛物线解析式：y＝a（x+1）2﹣4，把点A（﹣3，0）代入可得，a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，所以点C（0，﹣3），OC＝3，令y＝0，解得：x＝﹣3，或x＝1，∴点B（1，0），OB＝1，设点P（m，m2+2m﹣3），此时S△POC＝×OC×|m|＝|m|，S△BOC＝＝，由S△POC ＝4S△BOC得|m|＝6，解得：m＝4或m＝﹣4，m2+2m﹣3＝21，或m2+2m﹣3＝5，所以点P的坐标为：（4，21），或（﹣4，5）；（3）如图2，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：，所以直线AC：y＝﹣x﹣3，设点Q（n，﹣n﹣3），点D（n，n2+2n﹣3）所以：DQ＝﹣n﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝﹣n2﹣3n＝﹣（n+）2+，所以当n＝﹣时，DQ有最大值．10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+3过点（3，0），∴﹣9+3m+3＝0，∴m＝2；（2）由，得或，∴C（0，3），D（，﹣），∵S△ABP ＝4S△ABD，∴AB×|P y|＝4×AB×，∴|P y|＝9，P y＝±9，当y＝9时，﹣x2+2x+3＝9，∴x2﹣2x+6＝0，∵△＝4﹣4×6＜0，∴此方程无实数解，当y＝﹣9时，﹣x2+2x+3＝﹣9，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（1+，﹣9）或P（1﹣，﹣9）；（3）由（1）知：抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴是：x＝1，∵点A与点B关于直线x＝1对称，连接BC交对称轴x＝1于点M，点M即为所求，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，∴B（3，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（3，0）和C（0，3）代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴是：x＝1，∴当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴当MA+MC的值最小时，点M的坐标是（1，2）．11．（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）①在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，∴．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，若PE＝2ED，则PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），即m2﹣5m+6＝0，解得m1＝2，m2＝3（舍）．当m＝2时，P（2，3），E（2，1），则PE＝1，∴；②存在，理由如下：设P（n，﹣n2+2n+3）．∵△PBC是以BC为底边的等腰三角形，∴PB＝PC．∵B（3，0），C（0，3），∴（n﹣3）2+（﹣n2+2n+3）2＝n2+（﹣n2+2n+3﹣3）2．解得n1＝，n2＝．∴，．12．解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，∴OC＝OA＝2，∠BOC＝∠BAO＝30°，∴∠AOC＝30°+30°＝60°，如图，过点C作CD⊥OA于D，则OD＝×2＝，CD＝2×＝3，所以，顶点C的坐标为（，3），设过点O，C，A抛物线的解析式为为y＝ax2+bx，则，解得．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x；（2）∵线段OC的长度一定，∴当点M到OC的距离最大时，△MOC的面积最大．∵C（，3），∴直线OC的解析式为y＝x，设点M到OC的最大距离d时，平行于OC的直线解析式为y＝x+m，联立，消掉未知数y并整理得，x2﹣x+m＝0，△＝（﹣）2﹣4m＝0，解得m＝．∴点M到OC的最大距离d＝×sin30°＝×＝．＝OC•d＝×＝．∴S△MOC即三角形MOC的最大面积是．（3）∵∠OAP＝∠BOA＝30°，∴2×＝2，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（2，0）、（0，2）时，解析式为y＝﹣x+2，联立，解得，．所以点P的坐标为（，），当直线AP经过点（2，0）、（0，﹣2）时，解析式为y＝x﹣2，联立，解得，．所以点P的坐标为（﹣，﹣）．综上所述，存在一点P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP＝∠BOA．13．解：（1）对于直线y＝﹣x+m，令x＝0，得到y＝m，令y＝0，得到x＝2m，∴A（2m，0），C（0，m）．（2）如图，连接BC，∵以AB为直径的⊙M经过点C，∴∠ACB＝90°，∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠CBO＝∠ACO，∵∠COB＝∠AOC＝90°，∴△COB∽△AOC，∴＝，∵OC＝m，OA＝2m，∴OB＝m，∴B（﹣m，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+m）（x﹣2m）＝ax2﹣amx﹣am2，∵C（0，m），∴﹣am2＝m，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣•x2+x+m．∴ac＝﹣×m＝﹣1．（3）设P（t，﹣•t2+t+m），作PN∥OC交AC于N，则N（t，﹣t+m），∴PN＝﹣•t2+2t，∵直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2+bx+c有且只有一个公共点P，∴△P AC的面积最大，此时PN的值最大，∴t＝﹣＝m，∴PN＝m，∵S＝•PN•（x A﹣x C）＝4，△P AC∴•m•2m＝4，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，当y＝2时，x＝0或3，∴⊙M与抛物线y＝ax2+bx+c的交点坐标为（3，2）或（0，2）．14．解：（1）根据题意知，．解得．故抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+4x +5．由y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x +1）（x ﹣5）知，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）①如图1，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，如图1，设P （m ，n ），则OC ＝m ，PC ＝n ，∵点P 在抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+4x +5上，∴n ＝﹣m 2+4m +5，∴S 四边形EFPQ ＝S 梯形PFOC ﹣S △EOQ ﹣S △QCP ＝（2+n ）×m ﹣×1×1﹣（m ﹣1）×n ＝m +n ﹣，∴S 四边形EFPQ ＝﹣m 2+3m +2，当m ＝﹣＝3时，S 最大．当m ＝3时，n ＝﹣9+12+5＝8，∴P （3，8）因此当四边形EFPQ 的面积最大时，点P 的坐标为（3，8）．②如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，如图2，作Q 关于O 的对称点Q 1，连接EQ 1，则Q 1（﹣1，0），由（1）得B （5，0）A （﹣1，0）Q （1，0），∴QB ＝4，∵PQ ＝PB ，∴QD ＝DB ＝QB ＝2，∴OD ＝3，当x ＝3时，y ＝﹣9+13+5＝8，此时点P （3，8），PQ 、EF 的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ +PF 最小即可， 当EQ 1∥PF 时，EQ +PF 最小，即四边形的周长最小，设直线PF 的关系式为y ＝k 1x +b 1，直线EQ 1的关系式为y ＝k 2x +b 2，由题意得：，，∴k1＝，k2＝m，当k1＝k2时，EQ1∥PF，即：＝m，解得：m＝．因此当m＝时，四边形EFPQ的周长最小．15．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B 的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0），∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S＝×PD×OD＝m×（3﹣m）＝﹣m2+m，△PCD∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4，∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）．（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）．若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）．若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去），综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．16．解：（1）对于抛物线y＝ax2+3ax﹣18a，令y＝0，可得ax2+3ax﹣18a＝0，解得x＝﹣6或3，∴C（﹣6，0），A（3，0），∴OC＝6，OA＝3，∴AC＝9，∵AC＝OB，∴OB＝6，∴B （0，6），∴﹣18a ＝6，∴a ＝﹣．（2）如图1中，取AB 的中点T ，连接OT ，设P A 交OT 于N ，交OB 于M ．∵OA ＝3，OB ＝6，∴AB ＝＝3，∵∠AOB ＝90°，AT ＝BT ，∴TO ＝TB ＝TA ＝，∴∠OBA ＝∠TOB ，∴∠ATO ＝∠OBA +∠TOB ＝2∠OBA ，∵2∠OBA +∠DAB ＝90°，∴∠ATO +∠DAB ＝90°，∴∠ANT ＝90°，∵S △AOT ＝S △AOB ＝•OT •AN ， ∴AN ＝＝，∴ON ＝＝＝，∵∠OAN ＝∠OAM ，∠ONA ＝∠AOM ＝90°，∴△ANO ∽△AOM ，∴＝，∴＝，∴OM＝，∴M（0，），∵A（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，由，解得或，∴P（﹣，）．（3）如图2中，过点E作ES∥AC交AD于S，交y轴于L，设直线AD交QE于J．∵AD平分线段QE，∴JE＝JQ，∵ES∥AQ，∴∠ESJ＝∠QAJ，∵∠EJS＝∠QJA，∴△ESJ≌△QAJ（AAS），∴ES＝AQ，∵BE：AQ＝4：3＝4：15，∴可以假设BE＝4m，AQ＝ES＝15m，则BL＝8m，LE＝4m，∴SL＝11m，OL＝6﹣8m，∴S（﹣11m，6﹣8m），∵点S在直线AD：y＝﹣x+上，∴6﹣8m＝m+，解得m＝，∴AQ＝5，OQ＝AQ﹣AO＝2，∴Q（﹣2，0），＝4时，过点M作MW⊥QR于W．当S△MNK∵QR∥OM，∴∠MNK＝∠NMB，∵∠NMK＝∠NMB，∴∠NMK＝∠MNK，∴MK＝KN，∴•KN•2＝4，∴KN＝MK＝4，∵∠MWK＝90°，KM＝4，WM＝OQ＝2，∴MK＝2MW，∴∠MKE＝30°，∴∠MKN＝180°﹣30°＝150°，当S＝4时，同法可得∠M′K′N′＝30°，△M′K′N′综上所述，满足条件的∠MKN的值为30°或150°。

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