第四章压弯构件

钢结构稳定理论
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2）弹性压弯构件平面内弯曲承载力验算
以简支轴压杆，有横向均布荷载作用为例
当达到杆件边缘纤维屈服时：
P M fy A (1 P / PE )W
采用相关方程的形式：
M 弹塑性
P M 1 Af y (1 P / PE )Wf y
相关方程曲线为：
4. 1) 2)
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3) 4)
求解各小块中心点的应变 i 1 / 2 yi 1 / 2 由 i i
ri
E
i E i y y
- y i y
i y i y
m i 1
法求解。
压杆应变能：
EI U 2
qdx
y
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l
( y' ' )
0
l
2
dx
外力势能：
P l V qydx ( y ' ) 2 dx 0 2 0
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总势能：
EI U V 2 y sin(
设变形曲线为：
x
l
（仅取一项，其中δ为跨中最大挠度）
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与上一章讲的初弯曲、初偏心的影响相类似，δ0相当
于初弯曲和初偏心的影响。
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弹性分析时，当δ→∞时，P=PE，即压弯杆件的弹性承
载力为PE。
下面给出证明： 1 0 1 P / PE
0 P PE (1 )
(a)
P l 2 ( y ' ' ) dx qydx ( y ' ) dx 0 0 2 0
l 2 l
)
则
y'

l
cos(
x
l
)
y ' ' ( ) sin( ) l l
2

x
则总势能为：
EI 2 4 2ql P 2 2 3 4 l 4l 令总势能一阶变分为0， 0 得跨中最大挠度： 钢结构稳定理论
2 n! (n 1)! 2
1
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i2 i i2 yi yi 1 i i 1 y ' ' ( x ) yi 1 i i 1 i , i 1 2 2 2 2 12 y1 y0 1 0 1 2 2
弹性
N
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P M 1 Ps M s (1 P / PE )
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P M 1 Ps M s (1 P / PE )
钢结构设计规范中压弯构件稳定验算公式就是由上式
而来，只不过规范公式同时还考虑了其它边界条件、 荷载形式和初始缺陷等因素的影响。
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§4-3 考虑弹塑性影响的压弯构件整体 稳定验算
1）弹塑性压弯构件的工作性能
随着位移的增大，杆件
受力最大截面一定会进 入弹塑性阶段。
本节所要解决的问题就
是求解考虑弹塑性时的 P－δ曲线。
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2）几个基本概念
dθ R
取出微元dx，有几何关系
dx R d 1 d R dx
内弯矩
a、平衡方程： M q Pu M i 由横向荷载产生 某点的挠度
其中Mi为内弯矩，与杆件轴向力P和曲率ρ有关：
M i f ( P, )
b、由基本假设第二条得到： u
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2
l
2
um sin

l
z
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c、由基本假设第三条，平衡方程可以表达为：
i 1
1 2 M 1 / 2外 P( A 1 1 / 2 ) M e 1 2 2 8
由P引起 其它外荷载引起 y1/2的由来：（挠曲线用泰勒级数展开，x点位移、转角 已知，求x＋δ点的位移） 2 n (n) n 1 ( n 1) y ( x ) y ( x ) y ' ( x ) y ' ' ( x ) y ( x ) y (x )
当l/2＜x≤l时，与此对称。
Q y [sec( kl / 2) sin kx kx] 2kP
当x＝l/2时，跨中挠度最大，为：
ymax
Q kl kl kl [sec sin ] 2kP 2 2 2
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令u＝kl/2，并把系数中的k代入，得到：
Ql Ql 3 ymax [ tgu u ] 3 [ tgu u ] 2uP 48EI u 3( tgu u ) y0 3 u
Ql M max P max 4 Ql PQl 3 1 4 48EI 1 P / PE
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3 Ql PQl 1 Ql P 1 M max 1 2 4 48 EI 1 P / PE 4 12 EI 1 P / PE 2 2 l Ql 1 0.18P / PE Ql P 1 1 0 . 82 4 PE 1 P / PE 4 1 P / PE 1 0.2 P / PE M0 1 P / PE
对上式求δ1的一阶导数
6.
转入对下一段计算，重复第4步2) ~ 第5步，直到最后 一段。
7.
根据最后一段末的边界条件(vB=0)是否满足，否则调整 θA重复第4步 ~第7步。
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8.
完成第1步 ~第7步后，则得到P－v曲线 P 图中的一点。 给定下一级P（压力），重复第3步～ 第8步，可得P－v曲线。 若到达某一级荷载时，第7步的调整不 能完成，即达到了弯曲失稳的极限承载 力。 为了得到P－v曲线的下降段，可以改用 给定θA，调整P的办法，完成第4步～第 7步。（位移加载方式） v
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2ql / 5ql 4 1 1 0 4 3 2 EI /( 2l ) P /( 2l ) 384 EI 1 P / PE 1 P / PE
轴力P作用时的放大系数
3）结果分析
两端铰支受轴心压力的杆件，作用在其上的横向荷载
若为对称布置，则此压弯构件的弯曲变形由两部分组 成：一部分为不考虑轴心力的弯曲变形；二为放大系 数 1 (1 P / PE )
ql 2 P 1 1 1.03 8 PE 1 P / PE
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M max
1 0.03P / PE 1 M0 M0 1 P / PE 1 P / PE
横向荷载产生的弯矩 弯矩放大系数

可见由于轴向力的作用，跨中不但挠度增大，弯矩也 有所增大。这里作用效应的增加称为杆件的二阶效应， 即P－δ效应。 当横向荷载不同时，弯矩的放大系数也有所不同。
所以方程的通解为：
y A sin kx B cos kx Qx /( 2P)
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边界条件为：y(0)=0,
y’(l/2)=0
利用上述条件可得： B
Q A sec( kl / 2) 2kP
0
则变形曲线的通解为(0＜x≤l/2)：
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本章主要研究的问题
压弯构件弹性稳定分析； 横向荷载的影响规律； 压弯构件的弹塑性极值点失稳问题； 平面内M与N的相关公式；
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压弯构件的荷载-挠度曲线

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Py-屈服荷载； PE, a-欧拉临界力， 小挠度理论； e-一阶弹性分析； d-一阶刚塑性分析； Pp-形成塑性铰时的 承载力； b-二阶弹性分析； oAB-二阶弹塑性分 析； f，f’-侧向约束不足 时发生的弹性、弹 塑性弯扭失稳；
横向荷载产生的弯矩
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弯矩放大系数
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横向均布荷载作用时，跨中最大弯矩为：
ql l ql l M max P max 2 2 2 4 ql 2 5ql 4 1 P 8 384 EI 1 P / PE ql 2 5Pl 2 1 1 8 48EI 1 P / PE
l P Pl 2 u kl / 2 / 2 P / PE 2 2 EI 2 EI
则跨中最大位移可以表示为：
1 为最大挠度放大系数。 1 P / PE
说明有轴力P作用后，跨中挠度将有所增大。
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2）横向均布荷载作用的压弯构件
在此采用瑞利－里兹
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1 1 1 2 同时有：y 1 A ( ) 1 2 2 2 2 2
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如果1/2点处的内外弯矩相等不能满足，调整 1 / 2 重 复3)~6)。
5.
计算第一段末的位移、转角：
1 2 v1 A 1 1 1/ 2 2 1 A 1 1/ 2
5)
判断截面上的轴力 N1 / 2 i Ai 是否满足？
否则调整 1 / 2 重复3)~5)过程。
6)
判断截面上的弯矩 M A y 1/ 2 i i i
m
1 是否等于 M 1 / 2外 P( A 12 1 / 2 ) M 1 e2 2 8
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1
dP 0 PE 0 (1) 2 0 d 代入(a )式中，得： P PE 本节为简支的压弯构件，其它边界条件时，求解方法 类似，结论类似。
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§4-2 压弯构件的弯矩放大系数和承载 力验算
1）跨中弯矩
横向集中荷载作用时，跨中最大弯矩为：
即曲率为单位长度上的转角 截面上任一点应变为：
y
d y i y dx
y点处伸长 量为y dθ
中和轴以外为
dx
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拉，以内为压
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3）数值积分法（压杆挠曲线法）
具有初弯曲的压弯构件，假设条件最少，可适用于任
意情况。
截面上内弯矩：
－EIy ' ' 弹性阶段 M内＝ y dA 弹塑性阶段 j j A
其中：y0=Ql 3/(48EI)——跨中集中荷载作用时简支梁的 最大挠度；
把tgu用幂级数展开：
3
3(tgu-u)/u3——有轴向压力时的最大挠度放大系数。
tgu u u 3 / 3 2u 5 / 15 17u 7 / 315
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注意到：
有正负 拉＋，压－
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具体求解过程如下：
1. 2. 3.
将压杆沿长度分成n段； 给定压力P； 假定A端由外荷载产生的 转角为θa，由A→B逐段 计算； 计算第一段中点(1/2)处的 曲率ρ1/2，过程如下： 将截面分成m块小单元； 假定形心处1 / 2 和截面曲 率 1 / 2
M q Pum f ( P, um )
dP d、P的最大值可由 0 得到，即为弯矩作用平 dum
面内的稳定承载力。
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§4-1 有横向荷载作用的压杆的弹性弯 曲变形和稳定临界力
横向荷载
集中荷载 均布荷载
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1）横向集中荷载作用的压弯构件
当0＜x≤l/2时，平衡方
程为：
Q M Py x 2 即：
EIy ' ' Py Qx / 2 y ' ' k 2 y Qx /( 2 EI ) 其中：k 2 P / EI
9.
10.
11.
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4）简化计算方法（耶硕克Jezek法）
基本假定：
a、材料理想弹塑性。
b、杆件两端简支，构件变形曲线为正弦半波曲线，即：
v vm sin

l
z
c、只考虑构件中央截面的内外力平衡。 P P um z
y
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P
P um
z
y
计算步骤：