人教版八年级数学上册《等边三角形》拓展练习

《等边三角形》拓展练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）

①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝

EF+CF．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④2．（5分）下列说法：

①等边三角形的三个内角都相等；

②等边三角形的每一个角都等于60°；

③三个角都相等的三角形是等边三角形；

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（5分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0，），B（﹣1，0），平行于AB的直线l交y轴于点C，若直线l上存在点P，使得△P AB是等边三角形，则点C的坐标为（）

A．（1，0）或（﹣3，0）B．（0，1）或（0，﹣）

C．（0，﹣3）或（0，3）D．（﹣，0）或（3，）

4．（5分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；

②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）

A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④5．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点P为线段AB外一动点且P A＝1，以PB为边作等边△PBM，则当线段AM的长取到最大值时，点P的横坐标为（）

A．﹣1B．C．D．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）在同一平面内，将一副直角三角板ABC和EDF如图放置（∠C＝60°，∠F＝45°），其中直角顶点D是BC的中点，点A在DE上，则∠CGF＝°．

7．（5分）已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为．

8．（5分）如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝1cm，BC＝3cm，CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长是：．

9．（5分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；

②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形ADCP；其中正确的有

（填上所有正确结论的序号）

10．（5分）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；

②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号

是．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．

（1）求证：△ADE是等边三角形．

（2）求证：AE＝AB．

12．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，

（1）求∠F的度数；

（2）若CD＝3，求DF的长．

13．（10分）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

14．（10分）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．

15．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D 作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．

《等边三角形》拓展练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC 于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）

①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝

EF+CF．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得

①∠DCB＝∠B正确；

由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；

易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；

由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，

∵∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；

∴CD＝BD，

∵AD＝BD，

∴CD＝AB；故②正确；

∠DCA＝∠DAC，

∴AD＝CD，

但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；

∵若∠E＝30°，

∴∠A＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ADC＝30°，

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，

∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，

∴CF＝DF，

∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．

故选：B．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．

2．（5分）下列说法：

①等边三角形的三个内角都相等；

②等边三角形的每一个角都等于60°；

③三个角都相等的三角形是等边三角形；

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据等边三角形的性质和判定即可判断；

【解答】解：①等边三角形的三个内角都相等；正确；

②等边三角形的每一个角都等于60°；正确；

③三个角都相等的三角形是等边三角形；正确；