普通高中课程标准实验教科书(人教B版) 《数学》必修41798最全版

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普通高中课程标准试验教科书(人教----B版)数学

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1-1-7 棱柱、棱锥、台和球的体积结合小学、初中相关知识和配套光盘了解得出体积公式的过程；球体积公式可以只要求了解和应用，也可作为课外研究介绍推导过程；注意结合实际和培养计算能力。可结合：
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1-2 点、线、面之间的位置关系（包括3小节）返回
1-2-1 平面的基本性质与推论了解各基本性质的内容和作用；用实例说明基本性质的正确性；结合图形了解点、线、面间的位置关系，会用语言叙述和用集合符号描述。可结合： 1-2-2 空间中的平行关系
2-4 空间直角坐标系（包括2小节）
2-4-1 空间直角坐标系
返回
结束
在平面直角坐标系的基础上，类比地研究怎样建立空间直角坐标系和定义空间点的坐标；会由定点找坐标或由已知坐标找点；了解空间8个挂限。可结合：
2204 2205
2-4-2 空间两点的距离公式探索空间两点的距离公式是对空间直角坐标系的基本应用之一，学习中可由学生完成；可以应用课件引导学生向平面问题转化和应用勾股定理。可结合：
向前
3．在学习中为什么要使用“动态直观图”？这样做会不会降低对培养学生空间想象力的要求？
（1）动态直观图是培养空间想象力的得力工具（2）动态直观图只是培养空间想象力过程中的手段
2115 向前
4．新教材是不是降低了对培养学生逻辑思维能力的要求？
（1）消减立体几何部分的逻辑证明是新课标改革传统教材的重要体现之一
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形成空间概念；直观认识直线、平面间的位置关系；动手制作模型和操作课件。可结合：
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1-1-2多面体、棱柱、棱锥和棱台的结构特征
直观了解概念和分析特征；用特征性质描述定义；用集合知识认识关系；以特殊几何体为重点。可结合：

人教版新课标高中数学必修4-全册教案【精品】

1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．正角：按逆时针方向旋转形零角：射线没有任何旋转形⑵B 1 y⑴O x45° B 2O x B 3y30°60o负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点A O B3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360° ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640°；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2α各是第几象限角？解：αΘ角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°(k ∈Z) ．当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z) ，此时，2α属于第二象限角当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，此时，2α属于第四象限角正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角．1.1.2弧度制（一）教学目标（四）知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（五）过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题（六）情感与态度目标通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点“角度制”与“弧度制”的区别与联系．教学过程一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．二、新课： 1．引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180( )nn p =?．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度角度 0° 30° 45° 60° 9°120° 135° 150° 180° 270° 36° 弧度0 6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23ππ2 7．弧长公式ll r r a a =??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．例1．把67°30＇化成弧度．例2．把rad 53π化成度．例3．计算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(．例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-．解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,193p\是第三象限角.(2) 315316,666p p pp -=-+\-Q 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =证法一:∵圆的面积为2R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,∴扇形的圆心角大小为R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 21212=⋅=．证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，又此时弧长180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π．可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．O R l22121:R lR S α==扇形面积公式7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系与区别． 8．课后作业：①阅读教材P 6 –P 8；②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．4-1.2.1任意角的三角函数（三）教学目的：知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

人教B版(2019)高中数学必修第四册课程目录与教学计划表

人教B版（2019）高中数学必修第四册课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。

不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。

目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排第九章解三角形
9.1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理
9.1.2 余弦定理
本节综合与测试
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
9.3 数学探究活动:得到不可达两点之间的距离
本章综合与测试
第十章复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
10.1.2 复数的几何意义
本节综合与测试
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
10.2.2 复数的乘法与除法
本节综合与测试
10.3 复数的三角形式及其运算
本章综合与测试
第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
11.1.3 多面体与棱柱
11.1.4 棱锥与棱台
11.1.5 旋转体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积本节综合与测试
11.2 平面的基本事实与推论11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线11.3.2 直线与平面平行
11.3.3 平面与平面平行
本节综合与测试
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
11.4.2 平面与平面垂直
本节综合与测试
本章综合与测试
本册综合。

人教版·普通高中课程标准实验教科书·数学必修4

人教版·普通高中课程标准实验教科书·数学必修《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时湖北省宜都市一中闫正国一．教案内容分析《数学课程标准》明确指出“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具。

有极其丰富的实际背景。

”在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

本课内容为普通高中人教版数学必修第二章第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时，是在学生已经学习了平面向量的实际背景及基本概念和平面向量的线性运算后展开的，其主要内容是通过生活和数学中的丰富实例，了解平面向量基本定理及基底、夹角、两个向量垂直的概念。

并为后面平面向量的坐标化打下理论基础。

根据以上分析，我将本节课的教案重点确定为：平面向量基本定理的理解．二．学情、难点分析学生在学习了平面向量的实际背景及基本概念和平面向量的线性运算后，对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

因此，我将本节课的教案难点确定为：平面向量基本定理的理解通过学生自主探究，列举生活中的部分实例，并对所列举的实例进行分析归纳，重点引导学生对平面向量基本定理的理解，突破平面向量基本定理探究的难点．三．教案目标分析基于以上对教材、学情的分析，我制定了教案目标如下：（）知识与技能：．通过实例理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

．通过不同向量用同一基底表示，同一向量用不同基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)

（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。

高中数学人教新课标必修四B版教案高中数学必修4全部教案

人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。

（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。

（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。

因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。

（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。

研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。

因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。

（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。

3、本单元教学内容总体教学目标（1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．（2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。

理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。

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数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

(新教材)2022年人教B版数学必修第四册分章节全册教学案

第九章解三角形9．1 正弦定理与余弦定理9．1.1 正弦定理最新课程标准：1.掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2.会判断三角形的形状．(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)知识点一正弦定理知识点二解三角形(1)一般地，我们把三角形的________及其________分别叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求________的过程叫做解三角形．状元随笔利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．[基础自测]1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，sin A ＝13.则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1 2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝30°，b ＝2，则asin A的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．63．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝30°，B ＝45°，b ＝2，那么a 等于( )A. 2B. 3C. 6 D ．34．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的大小为________．题型一已知两角及一边解三角形例1(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b；(2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c.方法归纳已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练1在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c.题型二已知两边及一边的对角解三角形例2在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a＝1，b＝3，∠A＝30°；(2)a＝3，b＝1，∠B＝120°.方法归纳已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：(1)a ＝2，c ＝6，∠C ＝π3；(2)a ＝2，c ＝6，∠A ＝π4.题型三利用正弦定理判断三角形的形状状元随笔 1.已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．[提示] 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90 °，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD·sin ∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，csin C＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R.2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？ [提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形； (2)已知两角和其中一角的对边解三角形．3．由a sin A ＝b sin B ＝csin C可以得到a:b:c ＝sin A:sin B:sin C ，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？[提示] (1)a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C.(2)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C. (3)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B. 例3 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．状元随笔 ①∠A ＝π－(∠B ＋∠C)；②边角转化，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.【解】方法一：在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝90°，由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )，∴sin 2B ＝12.∵∠B 是锐角，∴sin B ＝22，∴∠B ＝45°，∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二：在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°. ∵∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )， sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0.∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法归纳依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A ＋∠B ＋∠C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪训练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为两内角，试判断这个三角形的形状．教材反思1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导． 2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ； (4)在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B ⇔a >b . 3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． (3)判断三角形的形状． 4．本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况． (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”.第九章解三角形9．1 正弦定理与余弦定理9．1.1 正弦定理新知初探·自主学习知识点一所对角的正弦a sin A ＝b sin B ＝csin C知识点二(1)三个角对边 (2)其他元素 [基础自测]1．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b ·sin Aa ＝5×133＝59，故选B.答案：B2．解析：由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝2sin 30°＝4.故选C.答案：C3．解析：根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a 的值．由正弦定理可知：asin A＝b sin B ，所以a sin 30°＝2sin 45°，解得：a ＝2，故选A. 答案：A4．解析：由正弦定理知sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ， ∴∠B ＝45°. 答案：45°课堂探究·素养提升例1 【解】 (1)方法一：∵∠A ＝45°，∠C ＝30°，∴∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝105°.由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，∴b ＝c sin Bsin C ＝20×2＋64＝52＋5 6.方法二：设△ABC 外接圆的直径为2R ，则2R ＝c sin C ＝10sin 30°＝20.易知∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝105°， ∴a ＝2R sin A ＝20×sin 45°＝102， b ＝2R sin B ＝20×sin 105° ＝20×2＋64＝52＋5 6.(2)∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝4 6.由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．跟踪训练1 解：由三角形内角和定理知∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)．例2 【解】 (1)根据正弦定理，sin B ＝b sin A a ＝3sin 30°1＝32.∵b >a ，∴∠B >∠A ＝30°，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sin C sin B ＝3sin 60°＝2；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A ，∴c ＝a ＝1. (2)根据正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3sin 120°1＝32>1.因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解．跟踪训练2 解：(1)∵a sin A ＝csin C，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∵c >a ，∴∠C >∠A .∴∠A ＝π4.∴∠B ＝5π12，b ＝c sin Bsin C ＝6·sin5π12sin π3＝3＋1.(2)∵a sin A ＝c sin C，∴sin C ＝c sin A a ＝32.又∵a <c ，∴∠C ＝π3或2π3.当∠C ＝π3时，∠B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当∠C ＝2π3时，∠B ＝π12，b ＝a sin Bsin A ＝3－1.跟踪训练3 解：设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵∠A 、∠B 为△ABC 的内角，∴0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π， ∴∠A －∠B ＝0，即∠A ＝∠B . 故△ABC 为等腰三角形．9．1.2 余弦定理最新课程标准：1.掌握余弦定理及其推论．(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用．(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)知识点一余弦定理(1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a 2＝______________，b 2＝______________，c 2＝______________.(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求________．②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角．状元随笔利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？ [提示] 是．知识点二余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形：cos A ＝________________； cos B ＝________________； cos C ＝________________.(2)利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2>a 2＋b 2⇔∠C 为________；c 2<a 2＋b 2⇔∠C 为________．[基础自测]1．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B ．－12 C.14 D ．－142．在△ABC 中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则b 为( ) A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或83．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则∠B ＝________. 4．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则∠A ＝________.题型一已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： a ＝3，b ＝2，∠B ＝45°.方法归纳已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪训练1 在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，∠C ＝120°，则边c ＝________.题型二已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数； (2)已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【解】 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴∠A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴∠B ＝45°，∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°.(2)∵c >a ，c >b ，∴∠C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°<∠C <180°， ∴∠C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.方法归纳(1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形．跟踪训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则∠A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°题型三正、余弦定理的综合应用状元随笔 1.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 成立吗？反之，说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC 的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A＝sin 2B ＋sin 2C.反之，将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝π2成立吗？反之，若∠C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？[提示] 因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，即cos C ＝0，所以∠C ＝π2，反之，若∠C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.例3 在△ABC 中，若(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状．角边转化．方法归纳(1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练3在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为________．教材反思1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．2．本节课要掌握的解题方法：(1)已知三角形的两边与一角，解三角形．(2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处：(1)正弦定理和余弦定理的选择：已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．9．1.2余弦定理新知初探·自主学习知识点一(1)平方平方和夹角两倍b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C(2)三角两边夹角知识点二(1)b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab (2)直角钝角锐角[基础自测]1．解析：根据正弦定理，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k (k >0)．则有cos C ＝9k 2＋4k 2－9k 22×3k ×2k＝13.答案：A2．解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即49＝9＋b 2－3b ，所以(b －8)(b ＋5)＝0. 因为b >0，所以b ＝8. 答案：B3．解析：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，∠B ＝60°.答案：60° 4．解析：∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又∵0°＜∠A ＜180°， ∴∠A ＝120°.答案：120°课堂探究·素养提升例1 【解】由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c .即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22. 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－32×2×6＋22＝12. ∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝60°，∴∠C ＝75°. 当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋⎝⎛⎭⎪⎫6－222－32×2×6－22＝－12.∵0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°，∠C ＝15°. 故c ＝6＋22，∠A ＝60°，∠C ＝75°或c ＝6－22，∠A ＝120°，∠C ＝15°. 跟踪训练1 解析：根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.答案：219跟踪训练2 解析：∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴∠A ＝60°.答案：B例3 【解】方法一：∵(a －c ·cos B )sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．方法二：根据正弦定理，原等式可化为： (sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ，即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A . ∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A .∴2∠B ＝2∠A 或2∠B ＋2∠A ＝π，即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形．跟踪训练3 解析：∵2∠B ＝∠A ＋∠C ，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠B ＝60°.又b 2＝ac ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－ac ＝ac ，从而(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，可知△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用最新课程标准：1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点) 3.能根据题意画出几何图形．(易错点)知识点一实际测量中的有关名词、术语在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线α为坡角坡比：i ＝hl从指北方向按________转到目标方向线所成的水平角．如点B 的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：________.知识点三方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向为始边，顺时针方向________旋转60°.[基础自测]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180°2．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、________m.4．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 3 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.题型一测量不便到达的两点之间的距离问题例1要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 3 km的C，D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．状元随笔将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．方法归纳测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练1如图所示，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C 的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A，C的距离是100 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B，C两点间的距离．题型二测量高度问题例2 某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值．【解】由AB ＝H tan α，BD ＝htan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.方法归纳解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．跟踪训练2 如图所示，从山顶望地面上C ，D 两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD ＝100 m ，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100 mB ．50 3 mC ．50 2 mD ．50(3＋1) m题型三求航向的角度例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．状元随笔本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．方法归纳(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在⎝⎛⎦⎤0，π2上时，用正、余弦定理皆可．跟踪训练3 甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？题型四求解速度问题状元随笔 1.某物流投递员沿一条大路前进，从A 到B ，方位角是50 °，距离是4 km ，从B 到C ，方位角是80 °，距离是8 km ，从C 到D ，方位角是150 °，距离是6 km ，试画出示意图．[提示] 如图所示：2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A 点到C ，则此人的速度至少是多少？[提示] 如探究1图，在△ABC 中，∠ABC ＝50 °＋(180 °－80 °) ＝150 °，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 150 ° ＝80＋323，则此人的最小速度为v ＝80＋32312＝85＋23(km /h )． 3．在探究1中若投递员以24 km /h 的速度匀速沿大路从A 到D 前进，10分钟后某人以167 km /h 的速度沿小路直接由A 到C 追投递员，问在C 点此人能否与投递员相遇？[提示] 投递员到达C 点的时间为t 1 ＝4＋824 ＝12(小时) ＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t 2 ＝85＋23167≈0. 55 小时＝33分钟；由于30<33＋10，所以此人在C点不能与投递员相遇．例4 如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？方法归纳解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．跟踪训练4一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为()A．8(6＋2)海里/时B．8(6－2)海里/时C．16(6＋2)海里/时D．16(6－2)海里/时教材反思1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题或者是航海航天中的角度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．9．2正弦定理与余弦定理的应用新知初探·自主学习知识点二顺时针 0°～360° 知识点三 90° 正南向西 [基础自测]1．解析：由图知α＝β.答案：B2．解析：在△ABC 中，因为AC ＝BC ＝a ， ∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB 2＝a 2＋a 2－2a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以AB ＝3a ，故选B. 答案：B3．解析：甲楼的高为：20tan 60°＝20×3＝203(m)；乙楼的高为：203－20tan 30°＝203－20×33＝4033(m)．答案：2034033 4．解析：如图所示，∠ABC ＝30°，又AB ＝23，BC ＝2，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC cos ∠ABC ＝12＋4－2×23×2×32＝4，AC ＝2，所以A ，C 两地的距离为2 km.答案：2课堂探究·素养提升例1 【解】如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 km. 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，∴A ，B 之间的距离为 5 km.跟踪训练1 解：在△ABC 中，AC ＝100，∠BAC ＝45°，∠BCA ＝60°，则∠B ＝180°－(∠BAC ＋∠BCA )＝75°，由正弦定理，得BC ＝AC ×sin ∠BAC sin B ＝100sin 45°sin 75°＝100(3－1)．即B ，C 两点间的距离为100(3－1) m. 跟踪训练2 解析：设山高为h ，则由题意知 CB ＝h ，DB ＝3h ，所以3h －h ＝100，即h ＝50(3＋1)．答案：D 例3【解】如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6. 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．跟踪训练3 解：设甲船沿直线AC 与乙船同时到达C 点，则A ，B ，C 三点构成△ABC ，如图．设乙船速度为v 海里/时，则甲船速度为3v 海里/时，用时为t h.由题意得BC ＝v t ，AC ＝3v t ，∠ABC ＝120°. ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t ，∴2v 2t 2－a v t －a 2＝0，解得v t ＝－a2(舍去)或v t ＝a ，∴BC ＝a 海里．在△ABC 中，AB ＝BC ＝a 海里，∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了a 海里．例4 【解】根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝45.设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理得(v t )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45，即v 2＝25t 2－400t＋2 500＝25⎝⎛⎭⎫1t －82＋900≥900， ∴当t ＝18时，v 取得最小值为30，∴其行驶距离为v t ＝308＝154(公里)．故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里．跟踪训练4解析：如图，由题意得，在△SAB 中，∠BAS ＝30°，∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°.由正弦定理得SA sin 105°＝AB sin 45°，即82sin 105°＝AB sin 45°，得AB ＝8(6－2)海里，因此该船的航行速度为8(6－2)12＝16(6－2)(海里/时)．答案：D第十章复数10．1 复数及其几何意义 10．1.1 复数的概念最新课程标准：1.了解数系的扩充过程． 2.理解复数相等的基本概念及复数相等的充要条件．(重点) 3.掌握复数的代数形式，分类等有关概念．(难点、易混点)知识点一复数的有关概念 1．复数(1)定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，其中i 叫做________，满足i 2＝________，a 叫做复数的________，b 叫做复数的________．(2)表示方法：复数通常用________表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：________所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________，a ＋b i ＝0⇔____________. 知识点二复数的分类 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧(b ＝0)，(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数( )，非纯虚数( ).2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2 B.23C ．－23D ．23．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32C ．2－32D ．04．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.题型一复数的有关概念例1 (1)下列命题中，真命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3状元随笔首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．方法归纳正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数是a ＝0的________条件．题型二复数的分类例2 已知复数z ＝a 7－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．状元随笔根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【解】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．方法归纳利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)) 求解参数时，注意考虑问题要全面．跟踪训练2 已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12－4i.题型三复数相等的条件例3 已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ，求实数x ，y 的值．状元随笔根据复数相等的充要条件列方程组求解．方法归纳应用复数相等的充要条件时，要注意：(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组． (2)利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．跟踪训练3 若(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0，求实数x 的值．题型四复数的不相等关系状元随笔 1.4＋2i >3＋i 正确吗？[提示] 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 2．若(a －2)＋b i >0，则实数a ，b 满足什么条件？ [提示] b ＝0，a>2.例4 已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．状元随笔两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．方法归纳实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小．只有当两个复数都是实数时才能比较大小．换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则⎩⎨⎧a >cb ＝d ＝0.跟踪训练4 已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值．第十章复数10．1 复数及其几何意义 10．1.1 复数的概念新知初探·自主学习知识点一1．(1)虚数单位－1 实部虚部 (2)小写字母z 2．(1)全体复数3．a ＝c 且b ＝d a ＝0且b ＝0 知识点二1．实数虚数 a ＝0，b ≠0 a ≠0，b ≠0 [基础自测]1．解析：(1)错误．若b ＝0，则z ＝a ＋b i 为实数． (2)错误．当a ＝－1时，(a ＋1)i 不是纯虚数． (3)正确．答案：(1)× (2)× (3)√2．解析：2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 答案：D3．解析：由复数定义知C 正确．答案：C4．解析：由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －5n ＝3n ，3＝－(m ＋5)，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.答案：－10课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2i ，所以②为假命题；。

2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版

2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集

第五章统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用第三章函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用本书拓展阅读目录对数发明起源的简介素数个数与对数指数运算与生活哲学我国古代统计工作简介用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率向量的推广与应用
人教B版（2019）必修三第七章三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角与斜率
11.1 空间几何体

新教材人教B版高中数学必修第四册全册各章知识点汇总及配套习题

人教B高中数学必修第四册全册各章知识点汇总第九章解三角形.................................................................................................................... - 1 - 第十章复数 ......................................................................................................................... - 12 - 第十一章立体几何初步...................................................................................................... - 19 -第九章解三角形知识体系题型探究利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝5，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2.(1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．[思路探究] (1)由面积公式求出sin ∠ABD ，进而得cos ∠ABD 的值，利用余弦定理可解；(2)由AB ⊥BC 可以求出sin ∠CBD 的大小，再由二倍角公式求出sin ∠BCD ，可判断△CBD 为等腰三角形，利用正弦定理求出CD 的大小，最后利用面积公式求解．[解] (1)由S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD ＝255，又∠ABD ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55.又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD . 在△CBD 中，由正弦定理知，BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，得CD ＝BD ·sin ∠CBD sin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12×54×54×45＝58.利用正、余弦定理解三角形要注意以下几个方面(1)画图，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求． (2)明确解题过程中所使用的定理，有些题目两个定理都适用．(3)注意对三角形内角和定理、大边对大角的应用，避免出现增解或漏解的错误．(4)多边形中的边角计算问题通常化归到三角形中利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．如图所示，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.三角变换与解三角形的综合问题【例2】在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判定三角形形状的三个注意点(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的关系．(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．(3)要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．[跟进训练]2．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形．角度2 三角形边、角、面积的求解【例3】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] (1)由已知，根据正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又A ＝π－(B ＋C )，∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且B 为三角形内角， ∴B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ，由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1，∴当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 有最大值2＋1.求解三角形中的边、角、面积的解题策略该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．[跟进训练]3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝sin B cos π4＋cos B sin π4 ＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B 处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究] 假设经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里．根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.应用解三角形知识解决实际问题四步曲(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[跟进训练]4．甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解] 设甲、乙两船经t 小时后相距最近且分别到达P ，Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．①当0≤t <2时，如图①，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图②，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos 60°＝221t2－60t＋100.综合①②③知，PQ＝221t2－60t＋100(t≥0)．当且仅当t＝3021＝107时，PQ最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．[培优层·素养升华]【例题】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sin C.[思路探究](1)利用正弦定理结合余弦定理求解角A的大小；(2)根据(1)中的结论结合正弦定理化简题中的等量关系，利用两角差的正弦公式求解sin C.[解](1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，整理得cos(C＋60°)＝－2 2.因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、两角差的正弦公式，综合性较强.综合应用正、余弦定理解三角形一直是高考的热点内容之一，着重考查直观想象、数学运算等学科素养.[素养提升练]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6 B．5 C．4 D．3A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－(4c2＋b2)2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.]第十章复数知识体系·题型探究复数的概念【例1】 32 (1)z ∈R ；(2)z 为虚数．[思路探究] 根据复数的分类列不等式组求解． [解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0，③由②得x ＝4，经验证满足①③式．所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0，③由①得x >3＋212或x <3－212. 由②得x ≠4，由③得x >3. 所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．[跟进训练]1．(1)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.故选D ．(2)法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋b i ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ －b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1.法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii ＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1.]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i[思路探究] (1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解． (2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴z i ＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝2.故选C ．(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z 为实数.[跟进训练]2．(1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB ．35i C ．－i D ．i(2)已知复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.(1)C (2)4＋2i [(1)依题意知，2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i5＝i ，∴其共轭复数为－i. (2)z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i (1＋i)＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)·(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，因为z 1·z 2∈R ，所以a ＝4. 所以z 2＝4＋2i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数i1－i对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)在复平面内，复数1－2i2＋i对应的点的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35[思路探究] 先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)B (2)A [(1)复数i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i. ∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.∴复数i1－i在复平面内对应的点位于第二象限．故选B ． (2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A ．]1．复数的几何表示法复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z 与Z 1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z －z 1|＝r 表示复数对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆．(2)|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．[跟进训练]3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A ．(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H (2，－1)．]函数与方程思想【例4】已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，求复数z .[思路探究] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由复数相等列方程组求解即可．[解] ∵f (z )＝|1＋z |－z －，∴f (－z )＝|1－z |＋z －. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i.由f (－z )＝10＋3i ，得|1－(a ＋b i)|＋a －b i ＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－a )2＋b 2＋a ＝10，－b ＝3，解方程组得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3，∴复数z ＝5－3i.一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．[跟进训练]4．满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．[解] 设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i ，z ＋3＝(x ＋3)＋y i.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y ，因为y ≠0，所以⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】设z ＝i(2＋i)，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2iD ．－1－2iD [∵z ＝i(2＋i)＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i.] 【例2】设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0Da 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.[素养提升练] 1．设z ＝3－i1＋2i，则|z |＝( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1C [∵z ＝3－i 1＋2i ＝(3－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝1－7i5，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝ 2.] 2．i 是虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i 的值为________．13 [∵5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－3i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－i 1＋i ＝|2－3i|＝13.]第十一章立体几何初步知识体系[提升层·题型探究]空间几何体的表面积与体积【例们将体积公式“V ＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( )A ．π4∶π6∶1B ．π6∶π4∶2C ．1∶3∶12πD ．1∶32∶6πD [球中，V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 23＝π6D 3＝k 1D 3，所以k 1＝π6；等边圆柱中，V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·D ＝π4D 3＝k 2D 3，所以k 2＝π4；正方体中，V ＝D 3＝k 3D 3，所以k 3＝1，所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1＝1∶32∶6π.]记牢常见几何体的表面积、体积公式是解决此类问题的关键.涉及古代文化背景的题目，首先读懂题意，再按题意与所学的知识联系起来，将问题转化为我们熟悉的问题后再解决.[跟进训练]1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．142π平方尺B ．140π平方尺C ．138π平方尺D ．128π平方尺C [可以把该四棱锥补成一个长方体，长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，四棱锥的外接球就是长方体的外接球，其直径为72＋52＋82＝138尺，所以表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫13822＝138π平方尺．] 与球有关的切、接问题【例2 [思路探究] 正四面体的内切球、外接球、棱切球的球心与正四面体的中心O 重合，则内切球的半径为点O 到各面的距离，外接球的半径为点O 到各顶点的距离，棱切球的半径为点O 到各棱的距离．[解] 由正四面体的对称性与球的对称性知正四面体的外接球、内切球、棱切球的球心都与正四面体的中心重合．如图所示，设正四面体A -BCD 的高为AG ，O 为正四面体的中心，连接CG 并延长交BD 于点E ，连接OC ，OE ，则外接球的半径R ＝OA ＝OC ．由题意可得CE ＝3a 2，则CG ＝23CE ＝3a 3，EG ＝13CE ＝3a 6，所以AG ＝AC 2－CG 2＝6a 3.所以OG ＝6a 3－R .在Rt △OCG 中，OC 2＝OG 2＋CG 2，即R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 3－R 2＋a 23，解得R ＝6a 4. 所以内切球的半径r ＝OG ＝6a 3－6a 4＝6a 12.棱切球的半径为OE ＝EG 2＋OG 2＝a 212＋a 224＝2a 4.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案如下：[跟进训练]2．(1)已知正方体的外接球的体积是32π3，那么正方体的棱长是( )A ．2 2B ．233C ．423D ．433(2)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．543(1)D(2)B[(1)根据球的体积，求得其半径r＝2，再由r＝3a2可得棱长a为43 3.(2)设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，解得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－(23)2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值V max＝13S△ABC×6＝13×93×6＝18 3.]空间中的平行关系【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．[思路探究]假设存在满足条件的点F，由于平面AFC∥平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF，PM，则必有AF∥PM，又PB ＝2MA，则点F是PB的中点．[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝12PB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD．又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD．又MA 12PB，∴PF MA．∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC．∴平面AFC∥平面PMD．空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理．特别注意，转化的方法由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接AC交BD于O，连接MO，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥AP，又因为MO⊂平面BDM，P A⊄平面BDM，所以P A∥平面BDM，又因为P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BDM＝GH，所以P A∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C．[解](1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．因为底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，所以AD⊥侧面BB1C1C．所以AD⊥CC1.(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N，连接C1N.因为AM＝MA1，所以NA1＝A1B1.因为A1C1＝A1N＝A1B1，所以C1N⊥B1C1，所以C1N⊥侧面BB1C1C．因为C1N⊂截面MBC1，所以截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章学习的核心，学习时要突出三者间的互化意识．如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[跟进训练]4．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上(P 不与B ，C 重合)，E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .(1)证明：BP ⊥平面DCP ；(2)若BC ＝2，当三棱锥D -BPC 的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离．[解] (1)证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形，平面ABCD ∩平面BPC ＝BC ，所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ．又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP .(2)当点P 位于BC ︵的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D -BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1＝12，所以三棱锥D -BEP 的体积为13×12×2＝13.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP＝(22)2－(2)2＝6，△BDP的面积为12×2×6＝ 3.设E到平面BDP的距离为d，由于V D-BEP＝V E-BDP，则13×3×d＝13，得d＝33，即E到平面BDP的距离为33.空间中的角的求解【例5】如图，在三棱锥S-ABC中，SA＝SB＝AC＝BC＝2，AB＝23，SC ＝1.(1)画出二面角S-AB-C的平面角，并求它的度数；(2)求三棱锥S-ABC的体积．[解](1)取AB中点D，连接SD，CD，因为SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，所以SD⊥AB，CD⊥AB，且SD⊂平面SAB，CD⊂平面CAB，所以∠SDC是二面角S-AB-C的平面角．在直角三角形SDA中，SD＝SA2－AD2＝22－(3)2＝1，在直角三角形CDA中，CD ＝CA 2－AD 2＝22－(3)2＝1，所以SD ＝CD ＝SC ＝1，所以△SDC 是等边三角形，所以∠SDC ＝60°.(2)法一：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面SDC ，且平面ABC ∩平面SDC ＝CD ，在平面SDC 内作SO ⊥DC 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即SO 是三棱锥S -ABC 的高．在等边△SDC 中，SO ＝32，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝13S △ABC ·SO ＝13×12×23×1×32＝12.法二：因为SD ⊥AB ，CD ⊥AB ，SD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面SDC ．在等边△SDC 中，S △SDC ＝34SD 2＝34，所以三棱锥S -ABC 的体积V S -ABC ＝V A -SDC ＋V B -SDC ＝13S △SDC ·AB ＝13×34×23＝12.1．两条异面直线所成的角(1)一般通过平移(在所给图形内平移一条直线或平移两条直线)或补形(补形的目的仍是平移)，把异面直线所成角转化为共面直线所成角来计算．(2)平移时经常利用某些特殊点(如中点)或中位线、成比例线段来实现，补形时经常把空间图形补成熟悉的或完整的几何体(如正方体、长方体、平行六面体等)．2．直线和平面所成的角当直线为平面的斜线时，它是斜线与斜线在平面内的射影所成的角，通常在斜线上取一特殊点向平面作垂线找到这个锐角，然后通过解直角三角形加以求出．3．求解二面角的平面角的步骤一找(寻找现成的二面角的平面角)；二作(若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角)；三求(有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值)．[跟进训练]5．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32A [如图，分别取BC ，CD ，AD ，BD 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，MP ，PQ ，MQ ，则MN ∥BD ，NP ∥AC ，所以∠PNM 即为异面直线AC 和BD 所成的角(或其补角)．又由题意得PQ ⊥MQ ，PQ ＝12AB ，MQ ＝12CD ．设AB ＝BC ＝CD ＝2，则PM ＝ 2.又MN ＝12BD ＝2，NP ＝12AC ＝2，所以△PNM 为等边三角形，所以∠PNM ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角为60°，其余弦值为12.][培优层·素养升华]【例题】如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[思路探究](1)连接B1C，ME，可得四边形MNDE为平行四边形，进而得出MN∥DE，可证MN∥平面C1DE.(2)由已知可证DE⊥平面C1CE，过点C作CH⊥C1E于点H，则DE⊥CH，进而可证CH⊥平面C1DE，计算可得CH的长，从而得所求距离．[解](1)证明：如图所示，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1DC，可得B1C A1D，故ME ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)如图所示，过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝417 17.从而点C到平面C1DE的距离为417 17.本题属中档题，难度不大，考查了线面平行的证明及点面距离的计算，充分体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.[素养提升练]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，P A∩AB＝A，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．。

普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修).

20
三角函数的教学目标
③能画出y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性，并借助三角函数图像及单位圆中的三角函数线可以推导出诱导公式（ , 的正弦、余弦、正切）；借助三
2
角函数的图像及单位圆中的三角函数线理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（ , ）上的性质（如单调性、最大和最小值、
（2）在教材内容编排顺序上以处理正弦函数为主，余弦作为类比学习。
8
三角函数教材顺序借助单位圆理解任意角的正弦函数的定义
9
突出几何图形和函数图像的直观作用，启迪思路、帮助理解
经历一个“看图”学习正弦函数的过程
利用正弦曲线的周期性，选取正弦函数的某一个周期，刻画正弦函数的诱导公式及性质。 10
普通高中课程标准实验教科书•数学4（必修）
一、数学4 结构
第一章三角函数第二章平面向量第三章三角恒等变形
2
二、三角函数
1、三角函数内容结构与思想 2、三角函数教学顺序与课时安排 3、三角函数编写特色 4、三角函数教学建议 5、三角函数教学要注意的问题
3
1、三角函数内容结构与思想
余弦函数
类比学习
余弦函数
诱导公式
图象
性质
定义域
值域
周期性
单调性
奇偶性
最值
你认为哪些性质有可能发生变化，而哪些性质不变？
对于变化了的性质，对应于正弦函数的性质它们之间又有什么内在联系？
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正切函数
正切函数
诱导公式
图象
性质
定义域
值域

普通高中课程标准实验教科书人教版数学必修4

普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学必修4 第一章三角函数1.6 三角函数模型的简单应用（第1课时）一、教学预设1．教学标准（1）通过对温度变化曲线的探究，学生学会由图象求解析式的方法，体会不同的三角函数模型在解决具体问题中的不同作用；（2）通过借助《几何画板》，帮助学生分析问题中的数量关系，引导学生从图的特点发现各个量之间的关系，体验将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型的过程，学生会用三角函数的知识和方法解决简单实际问题；（3）通过对例题中辅助元素的修改和整合，渗透问题的人文气息和数学的文化价值，激发学生的学习兴趣，学生能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2．标准解析（1）内容解析：本节内容是在前面学习了三角函数的概念、性质与图象之后，专门设置了三角函数模型的应用，其目的是为了加强用三角函数模型来刻画周期变化规律的实际问题，以提高学生解决实际问题的能力.根据教材的安排，本节内容的4个例题共分两个课时，本节课是第一课时，考虑到例1是围绕根据图象建立三角函数解析式，例3是将实际问题抽象出三角函数的模型问题，为系统展示三角函数的应用广泛性和真实性，选择了例1和例3作为示例.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：①用三角函数模型刻画温度随时间变化的规律，用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题；②对房屋采光与楼间距的关系的探究，将实际问题抽象为三角函数的模型问题.（2）学情诊断：本节课是三角函数的应用，数学问题的载体都是具有实际意义与生活背景的，本节课的两个问题是具有一定的广泛性和真实性的，如何引导学生从生活中的实际来抽出三角函数的模型，以及对应的数量关系是本节课成败的关键所在.在问题1的探究中，学生已掌握了三角函数的概念与性质，理解sin()y A x ωϕ=+的图象及变换，因此在求解析式中对A 、ω的求解应该不是问题，但是对ϕ，b 的求解就容易出错，因为ϕ的值不唯一，b 的变化是针对于整体图象的移动，有别于前面的图象平移，所以在处理此问题一定要重点引导，加以区别强调；为了体现数学的实用性，即由图象求得解析式后，解析式有什么用，在这里我拓展了第三小题“求出十一月份的近似温度”.在问题2的探究中，其实际问题的背景比较复杂，需要学生具备一定的综合性知识以及理解水平，在“太阳高度角”的理解可能比较费劲，这样我借助《几何画板》来展示形成过程，就可以迎刃而解了.根据以上分析，本节课的教学难点确定为：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.（3）教学对策：首先是本节课选用“青岛宜居”为认知背景，围绕宜居的两个基本要素“自然气候”与“人居环境”，创设有效的情景来牵引出教材的例1“温度曲线”与例3“日照采光系数”这两个例题，使得导入过程清新而自然，让学生在不知不觉中感受从现实生活中发现周期变化的规律的全过程；其次是对教材进行“再加工”，在保留了教材中的基本模型的基础上，对辅助元素进行修改，将地点改为青岛，将一天温度改为全年平均气温，使得数据更加真实合理，并采用“青岛为何宜居”为线索，引出“宜人的自然气候与和谐的人居环境”这两大成因，使得建模过程切实而自然，让学生在强烈的人文气息的氛围中体验实际问题抽象为三角函数模型问题的全过程，感知数学的文化价值；第三是借助《几何画板》突破地理知识（如“太阳高度角”、南北回归线的纬度数等），并利用计算机链接网络、计算器处理数据，突出三角函数的工具作用，使得信息技术与教学内容的整合过程适切而自然，让学生在真实的数学背景中，体会三角函数是描述周期变化现象的一种重要函数模型.（3）教学流程：二、教学简录【投影显示】2014年3月8日，中国城市竞争力研究会在香港发布了中国十佳宜居城市排行榜. 在对国内289个城市进行调查、研究、评价后，结果青岛市排名第一位.师：下面让我们一起走进美丽的青岛（展示图片）.青岛为什么能被评为“最佳”呢？尽管原因有很多，但主要的有两个：一是宜人的气候环境；二是和谐的人文环境.1．宜人的气候环境——得天独厚的地理位置造就了宜人的自然气候【投影显示】青岛位于山东半岛南端，黄海之滨，是一座独具特色的海滨城市，她位于北纬35°，属北温带季风气候. 受海洋环境影响，青岛四季分明，降水适中，夏无酷暑，冬无严寒，气候非常宜人.问题1：据资料显示，青岛从2月份到8月份的平均温度如下图所示.（1）由图指出，青岛市从2月份到8月份的最高温度是多少？最低温度又是多少？【问题探究】生：最高温度28摄氏度，最低温度4摄氏度.师：好的，那么这条曲线好像似曾相识，它是我们以前学过哪个函数图象的一部分？生：三角函数的图象.师：对，所以今天我们来学习“三角函数模型的简单应用”. （2）若青岛全年每月的平均温度符合函数sin(),0y A x b A ωϕ=++>，请写出一个具体的函数解析式.（学生求解过程略）【问题拓展】你能否推算出青岛十一月份的平均温度？（学生推算过程略）师：青岛十一月份的平均温度为16摄氏度，由此看来青岛的气候确实宜人. 但是，一个城市的发展能不能光靠天然的气候呢？生：当然不能，还需要很多其他的东西，如人文环境等方面……师：很好，俗话说三分天注定，七分靠打拼. 一个城市的发展更重要的是依赖人为的建设. 在这一点上，我们来看看青岛是怎样做的？【评析】激活教材例题，融入生活实际的背景资料，抽象出数学问题，体现了本节课的主题思想. 第（1）问，通过观察，让学生学会看图、识图，利用图来解决问题；第（2）问，主要体现让学生通过数形结合的思想掌握A 、b 、ω、ϕ的求法；“问题拓展”既让学生掌握了已知函数式求值的方法，又引导学生学会如何利用所求的函数解决实际问题.2．和谐的人文环境——人性化的管理理念打造出舒适的人居环境作为沿海城市，青岛城市建设的管理是非常严格的. 例如在《青岛市建筑规划管理办法》中规定：在盖新楼时，所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不得被前面的楼房遮挡，用来保证新旧楼的采光与通风.问题2：依照上述《管理办法》规定，如果要在青岛地区的一幢高为0h 的楼房北面盖一栋新楼，为保证所盖新楼的第一层的正午的太阳光全年不被前面的楼房遮挡，你知道这两楼之间的间距不应小于多少吗？【评析】从不同的生活背景资料中抽象出不同的问题，用不同的问题来构建不同的数学模型，更加体现数学知识应用的广泛性.【问题探究】师：两楼间距与大楼的影长有何关系？生：间距要不小于影长.师：一栋楼房正午的影长是由什么来决定？生：楼高和太阳高度角.师：某地正午太阳高度角是否恒定？它与哪些元素有关系，有什么样的关系？请看相关资料.【评析】通过问题串的方式推进，使学生感受到数学的逻辑推理过程.相关资料：地球表面某地正午太阳高度角为θ（太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角），δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=--. 其中当地的夏半年δ取正值，冬半年δ取负值.【评析】实际问题解决有时候是需要综合应用多学科知识的，这更有利于培养学生的综合素质，锻炼学生分析、解决问题能力.师：你能否解释该关系式的来历？若ϕ大于δ为定值时，当δ变化时，θ是怎么变化的？影长又是怎样变化的呢？链接1【评析】多媒体的运用，不仅辅助了教学，激活了课堂，而且突出了重点，突破了难点，提高了学习效益.师：太阳直射纬度δ在什么时候或位置最小，其度数是多少？青岛的正午太阳高度角的最小值为多少？（青岛的纬度为北纬35°）生：90|352326)|3134C ''∠=-=-(-.链接2【评析】现场演示计算机中的科学计算器，既锻炼了学生的动手能力，又让学生掌握了新技能.生：影长MC =0tan h C ∠00001.6tan3134tan31.560.61h h h h ===≈'. 即在青岛盖楼时，两楼的间距不得小于楼高1.6倍.链接32003年12月青岛市人大委员会通过的《青岛市建筑规划管理办法》/o/2003-12-05/0316*******s.shtml 【评析】理论联系实际，网页的链接，使得结果更加真实，让学生感受到成功的情感体验.师：青岛的日照系数与我们的答案完全吻合，看来青岛《管理办法》的制定是科学的、合理的；从另一个侧面也展示出数学的魅力，看来数学知识无处不在呀！下面再来看看我们身边的事情：问题3：2009年10月30日，央视《今日观察》播报《武汉市12层大楼违规建到20层被强拆》事件后，社会各界对此争论不休，据武汉市江岸区规划局介绍，湖北省供销运输总公司所盖大楼的对面是一座6层高的幼儿园，按照日照采光分析计算，这栋经济房只能建12层高，而开发商擅自违规加盖至20层，因此必须强行拆除. 根据以上信息及今天所学，试探究（注：武汉所在纬度为北纬30°，假设每层楼高为3米）：（1）武汉市的正午太阳高度角θ的最小值是多少？（2）估计幼儿园与所建大楼的间距.（学生的探究过程略）【评析】围绕 “武汉拆楼”这一热门事件提出相关问题，让学生进一步实现学以致用. 师：通过以上问题的探究，我们可以看出数学与生活是息息相关的. 在解决实际问题时，常常需要将其转化为数学问题，通过数学问题的解来得到实际问题的解，这就是“数学建模”的思想. 到这里，我们这节课已接近尾声了，最后请大家来谈一谈通过本节课的学习，你有哪些收获或感想？【课堂总结】数学知识，地理知识，人文知识，其他综合知识等等.【评析】通过课堂的整理、总结与反思，让学生回味“建模”的过程，收获数学、地理、人文等各科知识，使学生的思想得到了升华.【研究课题】根据你所掌握的地理知识，结合今天所学，利用相关资源，写一篇关于当地某小区的住户正午能否享受太阳照射的“阳光”报告.【评析】设计开放性的研究性课题，使学生的探究性学习延伸到课外.三、教学反思数学源于生活，应用于生活.本课的设计思路是：以“情景—探究—建构”的教学模式为指导，通过“宜居”这一生活话题搭建平台，并从中提炼数学知识，完成从感性认识逐步上升为以抽象概括为主的理性认识，然后指导生活实践. 在整个设计过程中，始终体现以学生为中心的教学理念，在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，为增强学生学习兴趣，在设计之初精心安排“青岛”这一背景，围绕“自然环境”与“人文环境”引出两个数学问题，让学生探究问题的过程中既学习到数学知识，又培养了他们的人文素养，提高了综合素质；在思维拓展中，围绕当地房屋建设以及“武汉拆楼”事件提出相关问题，让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在；在课后反馈中，设计到一道开放性的研究性课题，旨在引导学生全方位，多角度的思考问题，诱发学生创造性的想象和推理，以上种种正好体现出新课程的新理念.成功之处：在本节课教学中，一是问题情境的创设与生成是一大亮点，做到凸显实际、实用、实效和针对性强，达到内容和情境的和谐统一，真正展现出了“清水出芙蓉，天然去雕饰”的意境；二是对教材的加工、改造和策划成功，做到了既贴近学生的最近发展区，又有效地达成了本节课的教学标准.改进之处：由于本节课教学预设特别充分，因此实际生成容受到到学生对象的制约，特别是因借班上课，学生配合不够积极，教学节奏不够理想，过程展开不够充分，课堂结尾显得有些仓促.四、教学点评教材的底蕴就像沙子下的泉水，掘得越深，就越甘美爽口. 课本是课堂教学的蓝本，教师就是要将教材这个“原著”创编为教学“演出”的“剧本”. 关键是既要做到尊重教材，挖掘利用教材资源，根据教学标准的需要，结合学生实际，对教材内容进行二次加工，时刻注意立足教材，回望教材，做到“一切从教材中来，一切又回到教材中去”；又充分彰显教师的教学机智和个性特色，使课堂呈现出情趣盎然的勃勃生机，以体现“境在书外，但根在书里”的特点. “三角函数模型的简单应用”的一课的教学设计与教学活动就是一个很好的例证.1．设计新颖，活用教材，“巧扣柴扉门会开”本节课以“数学建模”为中心，以教材的“两个例题”为基础，以教学设计的“三条线”（即情境线——青岛气候环境与人文素材；知识线——三角函数的应用；思想线——建立函数模型的思想）为流程，创造性地使用教材. 选用“青岛宜居”为背景明线，从学生熟悉的生活情境出发设计数学问题，让学生体验到数学原来是多么贴近生活，多么丰富多彩，用强烈的、丰富的、感性的材料，创设出使学生跃跃欲试、寻根问底的情境；把抽象的知识主线具体化，引导学生主动建构数学知识的同时，多处对学生进行数学文化的熏陶；将建立函数模型的思想暗线穿插于课堂始终，培养了学生理论联系实际，学以致用的意识，提高了学生解决实际问题的能力.2．遵循认知规律，情境一线串珠，“一路楼台直到山”本节课将课本两个例题中的“某地”人性化为“青岛”背景，教学组织从“自然气候”到“人文环境”，从“青岛宜居”到“武汉拆楼”，从生活常识到数学规律，问题引路→探源启思→分层设问→合理探究→人文关怀→网页链接→互动分享的教学流程，自然流畅，不同情境之间由一条主线次第连接，前牵后挂，服务于同一个课堂教学主体，有梯度，有层次，呈现“一路楼台直到山”的意境. 这样的教学过程不再只是忠实地执行课程计划的过程，而是师生共同开发课程，丰富教材的过程，这样的师生关系，正是“课标”中所积极倡导的教学境界——“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”.预设思路决定出路，生成细节决定成败，让我们像该课例一样去创造性地使用教材，在平常的教学中多一些创造意识和创造精神，这样我们的数学课堂教学一定会更加有效，更加精彩.。

普通高中课程标准教科书人教B版数学必修4

关键：建立差角与向量夹角间的关系 ①常见求角的余弦的方法有哪些？向量夹角法 ②如何建立向量模型下差角与夹角的关系？
OA, OB 2k
③如何处理数量积 OA OB ？
OA OB OA OB cos OA, OB
OA OB cos cos sin sin
用代替
用代替
（三）应用强化
例1：求 cos 750 和cos150的值。
设计意图：既回答了引入新课时的疑问，又向学生展示了公式的作用。
例2：若将固定，分别用、 2 代替，
你会得到怎样的结论？
设计意图：使学生更深刻地体会、的任意性，同时也使学生对诱导公式有了新的认识。
普通高中课程标准实验教科书（人教B版）《数学》必修4
辽宁省锦州市北镇高级中学
1 2
教材分析教学目标教学方法
3
4 教学过程
一. 教材分析 1、教材的地位和作用
2、教材的处理和调整
3、教材的重点和难点
一. 教材分析
1、教材的地位和作用：
本节是在学习了第一章《三角函数》和第二章《平面向量》后的内容，它既是对前面所学三角函数知识的继承与发展，同时也是推导本章全部和（差）角公式及二倍角公式的基础，起着承上启下的作用；又由于本节课可以从不同
y A
α
B
β
cos( ) cos cos sin sin
O
x
同名之积相加减，运算符号左右反。
α、β是任意角
cos cos cos sin sin .简记：C （）
cos cos cos sin sin .简记：C （）

1.2.3诱导公式高一数学组

3
小试牛刀
研究讨论
11 (1) tan π 4
(2) cos1500
o
诱导公式(一诱导公式一) 它可以把任一角的三角函数求值问题, 它可以把任一角的三角函数求值问题,转化为 0° ～360°间角的三角函数值问题. ° ° 角的三角函数值问题. 能否再把 0°～360°间的角的三角函数求值,化为 ° °间的角的三角函数求值, 我们熟悉的0° 我们熟悉的 °～90°间的角的三角函数求值问题呢? °间的角的三角函数求值问题呢? 如果能的话,那么任意角的三角函数求值,都可如果能的话,那么任意角的三角函数求值, 以化归为锐角三角函数求值, 以化归为锐角三角函数求值,并通过查表方法而得到最终解决,下面我们就来讨论这一问题. 最终解决,下面我们就来讨论这一问题.
解题一般步骤
任意负角的三角函数
或公式一用公式二
任意正角的三角函数
用公式一
0到2π的角的三角函数
用公式三或公式四
锐角三角函数
查表
计算器
求值
课堂反馈练习: 完成课本第20页练习
课堂小结 1.四组诱导公式四组诱导公式 2.应用公式解求值化简题的应用公式解求值化简题的一般步骤
作业
习题1.2组 13,14
前面加上一个(把 α看成锐角时原函数值的)符号, 简化成"函数名不变,符号看象限"的口诀. 函数名不变,
π α 的三角函数值,等于α 的同名函数值,
x
2 kπ + α π + α
πα
α
sin( x ) sin α sin α sin α sin α cos( x ) cos α cos α cosα cos α
(公式三) 公式三)

普通高中课程标准实验教科书必修④

y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
由 y2sin(1x) 的图象经过怎样的
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变换得到 y sin x 的图象？
普通高中课程标准实验教科书必修④
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
邯郸四中杜瑞敏
1.“五点法”作y=sinx图象的“五点”指：
(0 ,0 ),(,1 ),(,0 ),(3 , 1 ),(2 ,0 )
2
2
2.“五点法”作图的步骤：列表，描点，成图
➢ 如何由函数y=sinx的图象变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
参数φ, ω, A 对图象的影响
Φ：沿x轴平移 |φ|个单位，口诀： “左加” “右减”
ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω
x
6 12
3
7
5
12
6
X 2x
3
02
3 2
2
y sin(2x )
3
0
1
0 -1 0
x
6 12
3
7
5
12
6
X 2x
3
0
2
3 2
2
0 y 3sin(2x) 3
3
0 -3 0
y
y=3sin(2x+ )
3
3
2
1
o
7
5
x
6
12

人教版高中数学必修4目录及课时分配

====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====源-于-网-络-收-集必修四第一章三角函数………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………任意角（1课时）…………………………………………………………………………弧度制（1课时）…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………任意角的三角函数（2课时）…………………………………………………………… 同角三角函数的基本关系（1课时）………………………………………………………1.3三角函数的诱导公式（2课时）……………………………………………………………… …………………………………………………………………………正弦函数、余弦函数的图像（1课时）…………………………………………………… 正弦函数、余弦函数的性质（2课时）…………………………………………………… 正切函数的性质与图像（1课时）………………………………………………………… )sin(ϕω+=x A y 的图象（2课时）……………………………………………………1.6三角函数模型的简单应用（1课时）…………………………………………………………本章复习（2课时）…………………………………………………………………………………第二章平面向量…………………………………………………………………………………2.1平面向量的实际背景及基本概念（1课时）…………………………………………………… ……………………………………………………………………………向量加法运算及其几何意义（1课时）…………………………………………………… 向量减法运算及其几何意义（1课时）…………………………………………………… 向量数乘运算及其几何意义（1课时）…………………………………………………… （2课时）……………………………………………………平面向量基本定理………………………………………………………………………… 平面向量的正交分解及坐标表示………………………………………………………… 平面向量的坐标运算……………………………………………………………………… 平面向量共线的坐标表示………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………平面向量数量积的物理背景及其含义（1课时）………………………………………… 平面向量积的坐标表示、模、夹角（1课时）…………………………………………… ………………………………………………………………………………平面几何中的向量法（1课时）…………………………………………………………… 向量在物理中的应用举例（1课时）………………………………………………………本章复习（2课时）…………………………………………………………………………………第三章三角恒等变换……………………………………………………………………………3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式………………………………………………………… 两角差的余弦公式（1课时）……………………………………………………………… 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2课时）………………………………………… 二倍角的正弦、余弦、正切公式（1课时）………………………………………………3.2简单的三角恒等变换（2课时）……………………………………………………………… 本章复习（2课时）…………………………………………………………………………………。

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KUHKUK
7
三. 教学方法 1、教法及手段: 把问题为出发点，通过对比教学，采用启发设问的方式，充分调动学生的积极性，逐步提高学生的数学素质，并借助多媒体辅助教学，使教学过程更加形象、生动，加速学习进程。 2、学法：采取分组探究模式，注重学生的自主探索与合作交流，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。
KUHKUK 8
四、教学过程
一提出问题
二探究问题
三应用强化
四课堂小结
五布置作业
KUHKUK
9
（一）提出问题
如何用单角、的三角函数值表示cos( ) 呢？
cos30 ?
0
cos450 ?
cos150 ?
cos750 ?
猜想: cos cos cos cos( ) cos cos
2
P3
y
P2
β
α+β α
2
展开整理，得2 2 cosα β
2 2cosα cosβ sinα sinβ ,
-1
o
-β
P1
1 x
P4
-1
cos( α β ) cosα cosβ sinα sinβ
KUHKUK
13
cos 的关系方案2：研究 cos( ) 与cos、
用代替
用代替
KUHKUK
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（三）应用强化
例1：求 cos 750 和cos150的值。
设计意图：既回答了引入新课时的疑问，又向学生展示了公式的作用。
例2：若将固定，分别用、 2 代替，
你会得到怎样的结论？
设计意图：使学生更深刻地体会、的任意性，同时也使学生对诱导公式有了新的认识。
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（三）应用强化
4 例3：已知 sin , ( , ) ，求cos( 3 ) 5 2 并思考，若去掉 ( 2 , ) 呢？
设计意图：旨在培养学生分类讨论的数学思想。
例4、若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？
设计意图：发散学生思维，并比较方法的优劣，为下节进一步学习构造角的思想作准备。
的角度提出问题，可以用不同的方法解决问题，
因此它也为KUK
4
一. 教材分析
2、处理与调整：
①课时处理: 第一课时：公式的推导及简单应用；第二课时：公式的熟练应用。 ②内容调整 : 由学生自主选取研究对象，不拘泥于差角推导，这样更有利于学生的思维发展，同时也体现了新课标以学生为主体教学理念。
KUHKUK
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一. 教材分析
3、教材的重点、难点
教学重点：两角和与差余弦公式的推导及简单应用。教学难点：两角和与差的余弦公式的推导。
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二. 教材目标
针对本节课在教材中的重要地位，结合教学大纲的要求，确定教学目标如下：
1、知识与能力：使学生经历用两点间距离公式和向量法推导公式的过程，掌握公式推导的方法，体会向量的工具作用，并简单运用。 2、过程与方法：通过公式的推导及应用，培养学生类比推理的能力，体会化归思想在三角变换中的应用。 3、情感、态度与价值观：通过本节学习，培养学生自主探究与合作交流的学习习惯。
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1 2
教材分析教学目标教学方法
3
4 教学过程
KUHKUK 2
一. 教材分析 1、教材的地位和作用
2、教材的处理和调整
3、教材的重点和难点
KUHKUK
3
一. 教材分析
1、教材的地位和作用：
本节是在学习了第一章《三角函数》和第二章《平面向量》后的内容，它既是对前面所学三角函数知识的继承与发展，同时也是推导本章全部和（差）角公式及二倍角公式的基础，起着承上启下的作用；又由于本节课可以从不同
结论不恒成立！
π π π π π 设α 、β ，则cosα β cos( ) cos 0 3 6 3 6 2 π π 1 3 而 cosα cosβ cos cos . 3 6 2 2
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（二）探究问题
cos 的关系方案1：研究 cos( ) 与cos、 cos 的关系方案2：研究 cos( ) 与cos、
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习题演练
1、已知
2 3 3 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2
关键：建立差角与向量夹角间的关系 ①常见求角的余弦的方法有哪些？向量夹角法 ②如何建立向量模型下差角与夹角的关系？
OA, OB 2k
③如何处理数量积 OA OB ？
OA OB OA OB cos OA, OB
OA OB cos cos sin sin
y
O
x
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cos 的关系方案1：研究 cos( ) 与cos、
关键：回归到三角函数定义上考虑问题 ①如何将角在坐标系中表示出来?
、终边与单位圆 ②能否标出、交点的坐标？
③寻找能联系cos( )与、三角函数值之间的等量关系。
④完成推导过程，突破教学难点。
-1
y
β α+β
α
P3
P2
o
-β
1
P1
x
P4
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-1
12
cos 的关系方案1：研究 cos( ) 与cos、
由P1P3 P2P4 及两点间距离公式
cosα β 1 sin α β 得：
2 2
cos β cosα sin β sinα
y A
α
B
β
cos( ) cos cos sin sin
KUHKUK
O
x
14
同名之积相加减，运算符号左右反。
α、β是任意角
cos cos cos sin sin .简记：C （）
cos cos cos sin sin .简记：C （）