泛函之希尔伯特空间

< x, y >=< y,x>, x, y ∈ X.
则称< x, y > x y 的内积,称 X 为内积空间. 为与 如果X 是实的线性空间,则条件3就改为 < x, y >=< y, x > . 从内积的定义,立即可以得到下面的等式
< x , α y + β z >= α < x , y > + β < x , z > . (2)
≤ x y − y n + x − xn y n
因 yn 收敛,故 yn 有界,所以当n → ∞时,上面不等式右端趋于０,因 而< xn , yn >→< x, y > ( n → ∞).
本节小结
理解内积空间和希尔伯特空间的概念,掌握施瓦茨不 理解内积空间和希尔伯特空间的概念 掌握施瓦茨不 和希尔伯特空间的概念 等式与极化恒等式,并能熟练运用 并能熟练运用. 等式与极化恒等式 并能熟练运用
第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
9.1内积空间的基本概念 内积空间的基本概念
教学目标: 教学目标 1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义 运用定义能够证明 和希尔伯特空间的定义 运用定义能够证明; 、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明 2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式 并能熟练运用 并能熟练运用; 、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用 3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力 、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力; 教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义. 教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义 理解内积空间和希尔伯特空间的定义 教学难点:证明过程及运用 证明过程及运用. 教学难点 证明过程及运用
= x + < x, y > + < y , x > + y
2 2 2
2
≤ x + 2 x y + y = ( x + y )2 ,
所以 x + y ≤ x + y .称由(3)式定义的范数 x 为由内积导出的范 数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 X 按(3)式中范数完 备,则称为Hilbert空间. 设 x 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 X 中任何 两个向量 x, y ∈ X ,成立平行四边形公式 2 2 2 2 x + y + x − y = 2( x + y ). (5) 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明, 若 X 是赋范线性空间,其中范数 x 对 X 中任何向量 x, y ∈ X , , ,满足平 行四边形公式(5),那么一定可在 X 中定义内积 < x, y >,使 x 就是由 内积< x, y >导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 下面举一些内积空间的例子 例１L2 [a, b].对 L2 [a, b]中任意向量 x, y ,定义
2 i =1
x = y = 2 , 但 x + y = x − y = 2 ,所以不满足平行四边形公式 (5),这说明 l p ( p ≠ 2) 中范数不能由内积导出,因而不是内积空间. 例４ C[a, b] 按 x = max x(t ) 不成为内积空间.
t −a 事实上,令 x(t ) ≡ 1, y (t ) = b−a
C[a, b] 不是内积空间.
设 X 为内积空间,由(3)给出了 X 上的范数,反之,通过直接计 算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式
1 2 2 2 2 < x, y >= ( x + y − x − y + i x + iy − i x − iy ). (8) 4 (8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数来表 示.当 X 为实内积空间时,极化恒等式变为 1 2 2 < x, y >= ( x + y − x − y ). (9) 4 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数,即当 xn → x, yn → y 时,有< xn , yn >→< x, y > ( n → ∞) .事实上,因为 < x , y > − < x n , y n > ≤ < x , y − y n > + < x − xn , y n >
< x, y >= ∫ x(t ) y (t )dt.
a
2
b
(6)
易知L [a, b] 按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数 1
x = ( ∫ x(t ) dt ) 2 ,
2 a
b
即为第七章第８节例４中当 p = 2时所定义的范数,因此由第七章 2 第８节定理２知,L [a, b]成为Hilbert空间. 2 ⋅ ⋅) 例２ l .设 x = (ξ1 , ξ 2 , ξ 3, ⋅ ⋅⋅), y = (η1 ,η 2 ,η3 ,⋅． ∞ 定义 < x, y >= ∑ ξ iηi (7) 则 l 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 例３当p ≠ 2时, l p不成为内积空间． x = (1,1,0,⋅ ⋅ ⋅), y = (1,−1,0,⋅ ⋅ ⋅), 则x ∈ l p , y ∈ l p ,且 事实上,令 ,
< y, x > < x , y >= x 0 ≤< x , x > − < y, y >
2
2
−
< x, y > y
2
2
两边乘以 y ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 < x, y > ≤ x y . 若 x 与 y 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立, 反之,若(4)式中等号成立,假定 y = 0 ,则 x 与 y 自然线性相关, 若 y ≠ 0,令 α =< x , y > / < y , y > , 2 由Schwarz不等式推导过程,易知 x − αy = 0,即 x = αy.所以 x 与 y 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 x 满足范数不等式.事实上 2 x + y =< x + y , x + y >=< x, x > + < y, x > + < x, y > + < y, y >
a = (ξ1 , ξ 2 ⋅ ⋅⋅, ξ n ), b = (η1 ,η 2 ⋅ ⋅⋅,η． n)
定义1设 X是复线性空间,如果对X 中任何在两个向量x, y有 定义 一复数< x, y > 与之对应,并且满足下列条件: 1. < x , x >≥ 0, 且 < x , x >= 0等价于 x = 0, x ∈ X ; 2. < α x + β y , z >= α < x , z > + β < y , z > , 其中 x , y , z ∈ X , α , β 为复数 ; 3.
在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个 向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: < a , b >= ξ 1η 1 + ξ 2η 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ξ nη n , ． (1) 其中 ηi 表示ηi 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 a = < a, a > 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于< a, b >= 0.显然,在 有限维复欧氏空间E n中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. < a , a >≥ 0, 且 < a , a >= 0等价于 a = 0; < α a + β b , c >= α < a , c > + β < a , c > , 其中 a , b , c ∈ E n , 2. α , β 为复数 ; 3. < a , b >= < b,a > , a , b ∈ E n . E n的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是 在复欧氏空间 上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引 入内积的的概念.
作业
教材P264习题 、２． 习题1、 教材 习题
则 x, y ∈ C[a, b],且 x = y =Байду номын сангаас1 ,但因为
a ≤ t ≤b
1 p
t b t x (t ) − y (t ) = 1 − b x (t ) + y (t ) = 1 +
− − − −
a , a a , a
所以
x + y = 2, x − y =1, 因此不满足平行四边形公式,这就证明了
x = < x, x > , (3) 那么 x 是 X 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 (a ) x ≥ 0, 且 x = 0等价于x = 0;
设 X是内积空间,令
(b) αx = α x .
为了证明范数不等式 x + y ≤ x + y ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz) 不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设X 按内积< x, y >成为内积空间,则对 引理 于X 中任意向量 x, y成立不等式 < x, y > ≤ x y . (4) 当且仅当 x 与y 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果y = 0,易知对一切x ∈ X , < x,0 >= 0, 因而(4)式成立.若 y ≠ 0,则对每个复数α ,由内积条件1,有 0 ≤< x − α y , x − α y >=< x , x > −α < x , y > −α [ < y , x > −α < y , y > ] 令α =< y , x > / < y , y > , 那么上式方括号中式子为0,所以