空间中的平行关系介绍数学课件PPT模板
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空间中的平行关系课件
（Ⅱ）设平面 A1BD1 与平面 ABC 的交线为 l ，
A1
C1 B1 D1
A
C
B
D
l
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
A1
C1 B1 D1
ACBD来自l例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
法一： 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，D1为B1C1的中点 平面A1 BD1 // 平面AC1 D, 又A1 D1 平面A1 B1C1， A1 D1 // 平面ABC A1 D1 平面A1 BD1， 平面A1 BD1 平面ABC l A1 D1 // l 又由（ 1）可知A1 D1 // AD l // AD
D1 A1 MD N B1 C1
A
B
C
思考1 如图所示，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 AA1 、 A1D1 、 D1D 、 DA 的 中 点 ， N 是 AB 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其 内部运动，则M满足条件________时， 有MN∥平面B1BDD1.
A D B
C
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
高中数学必修二《空间中的平行关系》课件
∴BC⊥平面A1AD. ∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：如右图所示， ∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱， ∴ A1C ＝ A1B.∵ 点 D 是 等 腰 △ A1CB 的 底 边 BC 的 中 点 ，
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
1.2.2《空间中的平行关系》课件1
如果一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行，并且方向相同， 分别对应平行，并且方向相同，那么这 两个角相等。 两个角相等。
等角定理： 等角定理：如果一个角的两边与另一个 角的两边分别对应平行，并且方向相同， 角的两边分别对应平行，并且方向相同，那 么这两个角相等。 么这两个角相等。
C1 B1 A1
已知E、 、 、 分别是空间四边形四条 例3.已知 、F、G、H分别是空间四边形四条 已知 的中点， 边AB、BC、CD、DA的中点， 、 、 、 的中点 求证： 是平行四边形. 求证：EFGH是平行四边形 是平行四边形
练习1：在空间四边形 练习 ：在空间四边形ABCD中，E、 中 、 F、G、H分别是棱 分别是棱AB ,BC,CD，DA的 、 、 分别是棱 ， 的 中点，若对角线AC与 相等 求证： 相等， 中点，若对角线 与BD相等，求证： 四边形EFGH是菱形。 是菱形。 四边形 是菱形
A
E
H
B F C G
D
练习2 是空间四边形, 练习2：已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别 的中点, 是边AB、AD的中点, F,G 分别是边CB,CD上的点,且 上的点,
CF CG 2 = = , CB CD 3 求证: 求证:四边形EFGH是梯形
c
β
b a
？
b a c
一条直线的两直线平行， 一条直线的两直线平行，在空间中此 结论仍成立吗？ 结论仍成立吗？
问题1：在同一平面内， 问题 ？ ：在同一平面内，平行于同
问题：把一张长方形的纸对折几次， 问题：把一张长方形的纸对折几次， 打开，观察折痕， 打开，观察折痕，这些折痕之间有什么 关系？ 关系？
已 ： BAC 和∠B AC1的 AB // A B， 知 ∠ 边 1 1 1 1 AC // AC1， 且方 并 向相 。 同 1 求 ： ABC = ∠A B C1 证 ∠ 1 1
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
《空间图形平行关系》课件
电子产品的设计
在电子产品设计中，空间图形平 行关系的应用也十分重要。例如 ，在电路板的设计中，平行关系 的运用可以确保电子元件的精确 安装和信号传输的稳定性。
物理学中的应用
力学研究
在物理学中，空间图形平行关系在力学研究中具有重要意义。例如，在研究物 体的运动规律时，平行关系的运用可以帮助我们更好地理解力和运动的关系， 探究物体运动的规律和原理。
平行直线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
01
空间图形平行关系 的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计中的空间布局
空间图形平行关系在建筑设计中有着广泛的应用，如建筑物的平面布局、立面设计和室内装饰等。通过合理运用平行 关系，可以创造出舒适、美观和功能合理的建筑空间。
建筑结构的稳定性
电磁学研究
在电磁学研究中，空间图形平行关系的应用也十分广泛。例如，在研究电磁波 的传播和辐射时，平行关系的运用有助于我们更好地理解电磁场的分布和变化 规律。
01
空间图形平行关系 的习题与解析
基础习题
总结词
考察基础概念和性质的理解
详细描述
包括判断两条直线是否平行、判断平面是否平行等基础题目，旨在帮助学生掌握 空间图形平行关系的基本概念和性质。
02
平行平面之间的角度不变
两个平行平面被一个垂线所截，所形成的同位角是相等的。
03
平行平面的传递性
如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行。
平行直线的性质定理
平行直线具有相同的方向
两条平行直线具有相同的方向，即它们都是沿着同一方向无限延伸的。
平行直线之间的距离是固定的
两条平行直线之间的距离是固定的，不受其他图形的影响。
空间中的平行关系PPT教学课件
2.631020 J
v12
3RT1 M mol
3 8.311273 28 103
1064
m s1
t2
3 2
k
T2
3 1.381023 273 5.651021J 2
v22
3RT2 M mol
38.31 273 28 10 3
493
m s1
t3
3 2
kT3
2.55 10 21
RT
mN mNA
kNA T
NkT
理想气体物态方程：
P nkT
标准状态下的分子数密度：
洛喜密脱数： no 2.69 1025 (m 3 )
例3.1;3.2(p107-108)
§4 气体动理论压强公式
4.1 压强的成因 压强:气体作用于容器壁单位面积上的垂直作用力 分子数密度 31019 个分子/cm3 = 3千亿个亿；
物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论(气体动理论) 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。
宏观法与微观法相辅相成。
气体动理论 §1 分子运动的基本概念
一.热力学系统 热力学研究的对象----热力学系统. 热力学系统以外的物体称为外界。 孤立系统:系统和外界完全隔绝的系统
所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1， AE=A1E1，DE=D1E1， 于是△ADE≌△A1D1E1， 所以∠BAC=∠B1A1C1.
5. 空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
高中必修高一数学PPT课件空间中的平行关系共25页
高中必修高一数学PPT课件空间中的 平行关系
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 Байду номын сангаас7、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
END
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 Байду номын сангаас7、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
END
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：平行 5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条 棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平 行的直线共有__________条．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
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点 E 在 棱 PC 上 ． 问 点 E 在 何 处 时 ， PA// 平面EBD ，并加以证明.
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
们的 交线 平行．
1. 判断正错
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平
行于 ；
（2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；
（ 3）平行于同一平 面的两直线平行。 （ 4）一条直线与一 平面平行，它就和这个平面内任一直 线平行。 （ 5）与两相交平面的交 线平行的直线，必平行于这两个相交平面。 （ 6） 若两平行线中 的一条平行于某 个平面，则另 一条也平行与这 个平面
D A
E
D1
A1
C
P
B
F
C1
B1
D A
E
D1
A1
C
B
F P
C1
B1
3.如 图， S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点， M , N 分 别是 SA, BD 上的点，且 AM = BN ， 求证： MN // 平面 SCD
SM ND
S
M
D
PN
A
C B
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形，
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
A B
D C
基础自测
1．（2012 湛江一模）对两条不相交的空间直线 a 和b ，则（ ） A．必定存在平面 ，使得 a ,b B．必定存在平面 ，使得 a ， b ∥ C．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b ∥ c D．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b c
A
E
B
G
D
F
H
C
【变式 1】三棱柱 ABC A1B1C1 中，过 A1C1 与点 B 的平面
交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系，并给出证明.
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD中， ABCD是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理．
知识梳理
1．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面 直线a在平面α 直线a在平面α平
α内
相交
行
公共点 有无数个公 有且只有一个公 没有公共点
共点
共点
符号表示
a
a A
a //
图形表示
2.空间中平面与平面的位置关系
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
M
A
B
N
D C
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
2．已知 m、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，
有下列命题：
①若 m α，n∥α，则 m∥n；
②若 m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则 m∥α且 m∥β；
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B． 1
C．2
D． 3
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .
P
S
D A
M
P
N
C
D
B
A
M
N
C
S
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N , P 分 别 为 CC1, B1C1, C1D1的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
如图，在正四棱锥 P ABCD 中，PA AB a ,
位置关系
图形语言
符号语言 公共点个数
两平面 平行
α∥β
无
两平面 相交
α∩β＝a
有一条 公共直线
1．直线与平面平行
定理
定理内容
符号表示
如果 平面外一条直
判定 定律
线 与 平面 内的 一 条 直线平行，那么该直
a a
/ /b
,
b
a
/
/
线与此平面平行．
一 条 直线 与一 个 平
面平行，则过这条直 a / /
【答案】B
2．（2012 西城二模 ）设 m ， n 是不同的直线， ， 是不同的平面， 且 m, n ． 则“ ∥ ”是“ m ∥ 且 n ∥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
典例剖析
考点1 平行的基本问题
【例 1】已知直线 a ， b 与平面 ，下列命题正确的是（ ） A．若 a ∥ ， b ，则 a ∥ b B．若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b C．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ D．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ 或 a
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
们的 交线 平行．
1. 判断正错
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平
行于 ；
（2）若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行；
（ 3）平行于同一平 面的两直线平行。 （ 4）一条直线与一 平面平行，它就和这个平面内任一直 线平行。 （ 5）与两相交平面的交 线平行的直线，必平行于这两个相交平面。 （ 6） 若两平行线中 的一条平行于某 个平面，则另 一条也平行与这 个平面
D A
E
D1
A1
C
P
B
F
C1
B1
D A
E
D1
A1
C
B
F P
C1
B1
3.如 图， S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点， M , N 分 别是 SA, BD 上的点，且 AM = BN ， 求证： MN // 平面 SCD
SM ND
S
M
D
PN
A
C B
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形，
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
A B
D C
基础自测
1．（2012 湛江一模）对两条不相交的空间直线 a 和b ，则（ ） A．必定存在平面 ，使得 a ,b B．必定存在平面 ，使得 a ， b ∥ C．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b ∥ c D．必定存在直线 c ，使得 a ∥ c ， b c
A
E
B
G
D
F
H
C
【变式 1】三棱柱 ABC A1B1C1 中，过 A1C1 与点 B 的平面
交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系，并给出证明.
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD中， ABCD是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理．
知识梳理
1．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面 直线a在平面α 直线a在平面α平
α内
相交
行
公共点 有无数个公 有且只有一个公 没有公共点
共点
共点
符号表示
a
a A
a //
图形表示
2.空间中平面与平面的位置关系
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ； O
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
M
A
B
N
D C
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
2．已知 m、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，
有下列命题：
①若 m α，n∥α，则 m∥n；
②若 m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则 m∥α且 m∥β；
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B． 1
C．2
D． 3
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .
P
S
D A
M
P
N
C
D
B
A
M
N
C
S
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N , P 分 别 为 CC1, B1C1, C1D1的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
如图，在正四棱锥 P ABCD 中，PA AB a ,
位置关系
图形语言
符号语言 公共点个数
两平面 平行
α∥β
无
两平面 相交
α∩β＝a
有一条 公共直线
1．直线与平面平行
定理
定理内容
符号表示
如果 平面外一条直
判定 定律
线 与 平面 内的 一 条 直线平行，那么该直
a a
/ /b
,
b
a
/
/
线与此平面平行．
一 条 直线 与一 个 平
面平行，则过这条直 a / /
【答案】B
2．（2012 西城二模 ）设 m ， n 是不同的直线， ， 是不同的平面， 且 m, n ． 则“ ∥ ”是“ m ∥ 且 n ∥ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
典例剖析
考点1 平行的基本问题
【例 1】已知直线 a ， b 与平面 ，下列命题正确的是（ ） A．若 a ∥ ， b ，则 a ∥ b B．若 a ∥ ， b ∥ ，则 a ∥ b C．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ D．若 a ∥ b ， b ，则 a ∥ 或 a