新版北师大版八年级下第一章三角形的证明期末复习导学案知识讲解
北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（ ）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！
北师大版初二数学下册重点知识梳理汇总，期末高分必备！GUIDE导读初二数学下册知识点（※表示重点部分）第一章 三角形的证明※知识点1 全等三角形的判定及性质判定定理简称判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一在△ABC ，AB=AC ，AD⊥BC，则AD 是BC 边上的中线，且AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 ※等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等※知识点3 等边三角形的性质定理内容性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度解读【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。
它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形※知识点4 等腰三角形的判定定理内容 几何语言 条件与结论等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC解读 【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”※知识点5 反证法概念 证明的一般步骤反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法（1）假设命题的结论不成立（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确解读【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明 （2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组一. 不等关系※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式※2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc，(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,※2. 比较大小：(a、b分别表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么a>b；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果a<b，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么a<b；即：a>b <===> a-b>0a=b <===> a-b=0a<b <===> a-b<0三. 不等式的解集：※1.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个不等式的所有解，组成这个不等式的解集；求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形导学案 (新版)北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明 1.2.1 直角三角形导学案 (新版)北师大版1、2、1直角三角形学习目标1、证明直角三角形的有关性质与判定定理、2、了解逆命题、逆定理的概念；识别互逆命题；知道互逆命题与互逆定理之间的联系与区别、一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题、二、合作探究探究点一问题：直角三角形两锐角有怎样的关系，说明理由、直角三角形两锐角的关系：理由:探究点二问题：如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？为什么？结论：理由：1、证明：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a +b ＝c 、2、证明：在一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形、已知：如图：在△ABC中，AB +AC ＝BC 求证：△ABC是直角三角形、3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题、(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数、三、随堂检测1、如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )A、30B、60C、90D、1202、由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A、∠A＝37，∠C＝53B、∠A＝34，∠B＝56C、∠B＝42，∠C＝38D、∠A＝72，∠B＝183、如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合、若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A、1B、2C、3D、44、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8)、以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为、5、下列命题中，其逆命题成立的是、(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a ＋b ＝c2，那么这个三角形是直角三角形、6、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米、7、如图，在四边形ABCD中，AB ＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积、8、如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13 ，求△ABC 的面积、某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程、【作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD】【根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x】【利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积】参考答案探究点一直角三角形的两锐角互余；已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90、求证：∠A+∠B=90、∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180又∵∠C=90（已知）∴∠A+∠B=90（等式的性质）∴∠A与∠B互余即：直角三角形的两锐角互余、探究点二有两个角互余的三角形是直角三角形、已知：在△ABC中，∠A+∠B=90求证：△ABC是直角三角形证明：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180(三角形内角和等于180)，又∵∠A＋∠B＝90(已知)，∴ ∠C＝180－(∠A＋∠B)＝180－90＝90(等式的性质)、∴ △ABC是直角三角形、即：有两个角互余的三角形是直角三角形、1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a2+b2＝c2、证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED、∴∠BDE＝90，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)、∴四边形ACDE是直角梯形、∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2、∴∠ABE＝180－(∠ABC＋∠EBD)＝180－90＝90，AB＝BE、∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b)2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、2、已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形、证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90，A′B′＝AB，A′C′=AC(如图)，则A′B′2＋A′C′2= BC2 (勾股定理)、∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′=AC∴BC ＝B′C′∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90(全等三角形的对应角相等)、因此，△ABC是直角三角形、即：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形、3、解：(1)同位角相等，两直线平行、真命题、(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数、假命题、随堂检测：1、C2、C3、D4、（4,0）5、①④6、107、解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝＝＝5、又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2、∴∠B＝90 、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBC＋ACCD＝34＋512＝6＋30＝36、8、解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x、由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9、∴AD＝＝＝12、∴S△ABC＝BCAD＝1412＝84、。
新北师大版八年级数学下册知识点总结
北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定、性质：1.判定(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。
二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
1231性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
第二章一元一次不等式和一元一次不等式组1.定义：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
2.基本性质：性质1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cb c a >.性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 说明： 比较大小:作差法9第三章 图形的平移与旋转一、图形的平移1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课教学设计
-三角形证明方法的掌握，尤其是几何证明和代数证明的综合运用。
-能够运用三角形的相关定理解决实际问题，如计算面积、求解角度等。
2.教学难点：
-理解并灵活运用三角形证明中的逻辑推理过程。
-将实际问题转化为数学模型，运用三角形知识进行解决。
-对不同类型题目中三角形性质的识别和应用。
-布置一次家庭作业，让学生在家中寻找含有三角形的物体，并运用所学知识进行分析和解释，培养学生的观察能力和实践能力。
5.反思与总结：
-要求学生针对本次作业的完成情况，进行自我反思，总结在三角形证明方面的优点和不足，为后续学习制定合理的计划。
-教师对学生的作业进行批改和评价，给予针对性的指导和建议，帮助学生提高。
-逐步引导学生掌握三角形的判定方法，并运用到具体题目中。
-介绍三角形证明方法，结合具体例题，讲解证明步骤和技巧。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成小组，每组选择一个三角形证明的例题进行讨论。
-学生在讨论过程中，互相分享解题思路，共同探讨证明方法。
2.教学目标：
-培养学生的合作意识和团队精神，提高交流表达能力。
-让学生通过讨论，加深对三角形证明方法的理解，提高解题能力。
（四）课堂练习
1.教学内容：
-设计不同难度和类型的三角形证明题目，让学生在课堂上进行练习。
-针对学生的解答，给予及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。
2.教学过程：
-学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解题过程。
-对典型错误进行剖析，引导学生找出错误原因，提高解题技巧。
-完成课后拓展阅读，了解三角形在数学竞赛中的应用，拓宽知识视野。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课(教案)
（4）综合应用能力的培养：学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用三角形的知识进行分析和解决。
突破方法：设计一些与实际生活相关的题目，让学生学会将实际问题转化为三角形问题，培养学生的数据分析观念和创新能力。
四、教学流程
举例：分析不同题目中给出的条件，判断哪些条件可以应用哪种全等三角形的判定方法。
（3）等腰三角形的性质与判定：重点掌握等腰三角形的底角相等、底边中线、高、角平分线重合的性质，并能应用于解决问题。
举例：通过实际图形，让学生找出等腰三角形的性质，并利用这些性质解决相关问题。
（4）相似三角形的判定与性质：掌握相似三角形的判定方法，了解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的SSS、SAS等判定方法和相似三角形的性质。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用模型或纸片来演示全等和相似三角形的性质。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《三角形的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要证明三角形全等或相似的情况？”比如，在制作家具或搭建模型时，我们经常需要确定两个三角形的全等关系。这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形证明的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要复习三角形全等和相似的基本概念。全等三角形是指在大小和形状上完全相同的两个三角形，而相似三角形是指形状相同但大小不一定相同的两个三角形。这些概念在解决几何问题时至关重要。
新版北师大版八年级下第一章三角形的证明期末复习导学案知识讲解
新版北师大版八年级下第一章三角形的证明期末复习导学案2第一章，三角形的证明教学标题三角形的证明一, 等腰三角形回顾：1•等腰三角形（1）定义：有两条边 _ 的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的两个底角 __ 。
（简写为“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的 _、底边上的互相重合。
（简写为’ __ ”）——③等腰三角形是 ____ 图形,对称轴是___________ ；练习：1.若等腰三角形两条边长为3和5,则其周长为；2.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3,则第三条边的长是下列几个数中的（）A. 8 B . 7 C .4 D . 33.等腰三角形的两边长为4、9,则它的周长是（）A. 17B. 17 或22C. 20 D . 224. _________________________________________ 已知△ABC中, AB= AC ZB= 80°，贝UZA= _________________________________________ ° ;5. 若等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数为________ ° ;6. 如右图，在△ ABC中, A吐AC= 8, AD是底边BC上的高，E为AC中点，贝U DE= ;（3）判定：①定义：有两条边相等的三角形是 _______ ;②有两个角 ____ 的三角形是等腰三角形。
（简写为“_____ ”）练习：14ABC 中，若/ A=80°,/ B=50o, AC=5，贝U AB=;8.如图，所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，如果C也是图的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A . 6B . 7C . 8D . 92•等边三角形定义：______ 的三角形是等边三角形；性质：①三条边都，三个角都等于。
北师大版数学初中八年级下册课件-第1章 三角形的证明- 复习课
12 B E DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠数学B课A堂C教．学课件设计
考点讲练
考点7 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个
等腰三角形各边的长. 【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
∴ AB+堂教学课件设计
考点讲练
解题技巧：常常运用线段的垂直平分线的性质“线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段 之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有 时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
练习5.如图，在△ABC中，DE是AC
的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD
知识梳理
⑵等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都 等于____6_0_°__;
⑶是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;
⑷任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高 互相重合，简称“三线合一”.
数学课堂教学课件设计
知识梳理
(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等 于斜边的一半.
2.等边三角形的判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60°的等__腰__三__角__形___是等边三角形.
数学课堂教学课件设计
考点讲练
练习1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，
A
(1)∵AD⊥BC，
∴∠B_A__D_= ∠_C_A__D_;_B_D__=_C__D_.
(2) ∵AD是中线，
∴_A__D_⊥_B_C__; ∠_B_A__D_= ∠_C_A_D__.
(3) ∵ AD是角平分线，
北师大版八年级下册数学期末知识点复习
北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。
判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。
等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。
判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。
等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。
等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。
判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。
直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。
角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。
判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。
二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。
一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。
北师大版八年级下册数学《等腰三角形》三角形的证明说课教学课件复习
实践探究，交流新知
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不
相等．你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
证明：如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝
20° ．
(4)若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝ ∠CAD ．
想一想：在等腰三角形中画出一些线段（比如角平分线、中线、高等），你能发
现其中一些相等的线段吗？能证明你的结论吗？
课件
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(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确.
开放训练，体现应用
例1 (教材第8页例2)已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于
点E，求证：△AED是等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
创设情境，导入新课
问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？
(1)等腰三角形两底角相等，也就是“等边对等角”．
(2)“三线合一”．
(3)等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的条件和结论是什么？
实践探究，交流新知
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明章节复习课课件
6. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命 题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原 命题成立其逆命题不一定成立. 7. 通过实例体会反证法的含义. 8. 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平 分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂 直平分线上.
9. 理解角平分线的概念（新增），探索并证明角平分线 的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反 之，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上. 10. 能用尺规作图：已知三边，两边及其夹角，两角及 其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角 形；已知一直角边和斜边作直角三角形.
第一章 三角形的证明
章节复习课
本章知识梳理
1. 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等 的两个三角形全等.
2. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性 质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中 线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定 理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三 角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°.探索 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有 一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.
北师大版八年级下册第一章三角形的证明总复习(教案)
解决方法：通过大量练习和变式训练，让学生熟练掌握等腰三角形的性质，提高解题正确率。
（3）三角形的外角性质：学生对于外角性质的理解不够深刻，难以运用到实际问题中。
解决方法：结合实际图形和例题，让学生反复练习，逐步加深对外角性质的理解和应用。
4.在总结回顾环节，我发现部分学生对今天学习的知识点掌握不够牢固。为了帮助学生巩固知识，我计划在课后布置一些针对性的练习题，并鼓励学生在课堂上提问，及时解决他们的疑惑。
5.本次教学中，我注意到学生在学习等腰三角形和全等三角形判定时，容易混淆概念。为了帮助学生理清思路，我将在下一节课中进行针对性的复习和讲解，通过对比分析，让学生更好地理解这些概念之间的联系和区别。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形证明在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
举例：通过具体实例，让学生了解和掌握这些特殊点的位置关系及性质，如内心为三角形内切圆的圆心，外心为三角形外接圆的圆心等。
2.教学难点
（1）三角形全等的判定方法：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，难以判断哪些条件可以证明三角形全等。
解决方法：通过对比讲解和练习，让学生明确每种判定方法的条件和特点，提高识别和运用能力。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
北师版八年级数学下册导学案：第一章 三角形的证明 复习
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________ 家长签字：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。
2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。
4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。
（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
（4）角平分线上的点到的距离相等。
（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。
专题01三角形的证明(考点清单)(解析版)-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲(北师大版)
专题01三角形的证明（考点清单）【考点1等腰三角形的性质】【考点2等腰三角形的判定】【考点3等腰三角形的性质和判定综合】【考点4等边三角形的性质】【考点5等边三角形的性质与判定】【考点6含30°的直角三角形】【考点7直角三角形的性质】【考点8直角三角形的判定】【考点9勾股定理的性质和应用】【考点10勾股定理的证明】【考点11勾股定理的逆定理】【考点12四种命题及其关系】【考点13垂直平分线的性质】【考点14角平分线的性质】【考点1等腰三角形的性质】1．（2023秋•章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（）A．7cm B．9cmC．12cm或者9cm D．12cm【答案】D【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．∴其周长是12cm．故选：D．2．（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．等角对等边C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．3．（2021秋•射阳县校级期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．4．（2023秋•龙岗区期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC＝OD，∠BOD＝108°，则凳腿与地面所成的角∠ODC为（）A．36°B．50°C．54°D．72°【答案】C【解答】解：∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠BOD＝108°，∴∠BOD＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝108°，∴∠ODC＝54°，故选：C．5．（2022秋•新乡期末）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），则∠α的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解答】解：如图：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝＝40°，∵∠DEF＝30°，∠D＝30°，∴∠DFE＝90°﹣∠D＝60°，∵∠DFE是△ACF的一个外角，∴∠α＝∠DFE﹣∠C＝20°，故选：B．6．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故选：C．7．（2023秋•利辛县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（）A．∠1+2∠2＝90°B．∠1＝2∠2C．2∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝45°【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED．∵∠ADC＝∠ADE+∠2＝∠B+∠1，∠AED＝∠2+∠C，∴∠2+∠C+∠2＝∠B+∠1，整理得∠1＝2∠2．故选：B．8．（2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长4cm，那么这个等腰三角形腰长x的取值范围是（）A．x＞2cm B．2cm＜x＜4cm C．4cm＜x＜8cm D．x＞4cm【答案】A【解答】解：∵等腰三角形的底边长4cm，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边∴2x＞4cm∴x＞2cm故选：A．【考点2等腰三角形的判定】9．（2023秋•隆阳区期末）如图，已知点A（1，0）和点M（0，1），在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解答】解：∵点A（1，0），点M（0，1），∴OA＝OM＝1，AM＝，∵点P在x轴上，△AMP为等腰三角形，∴有以下三种情况：①当AM为底边时，则PA＝PM，∵OA＝OM＝1，∴当点P与点O重合时，△PAM为等腰三角形；∴点P的坐标为（0，0）；②当AM为腰，点A为顶点时，以点A为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P1，P2，则P1A＝P2A＝AM＝，如图1所示：此时△P1AM和△P2AM均为等腰三角形，点P1的坐标为（﹣+1，0），点P2的坐标为（+1，0）；③当AM为腰，点M为顶点时，以点M为圆心，以AM为半径画弧交x轴于P，则PM＝AM＝，如图2所示：此时△PAM为等腰三角形，点P的坐标为（﹣1，0）．综上所述：使得△AMP为等腰三角形时，则满足条件的点P共有4个．故选：B．10．（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个【答案】A【解答】解：如图，AB＝＝，∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，故选：A．11．（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解答】解：如图，由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；以AC、BC为腰的三角形有2个；以BC、AB为腰的三角形有2个．则点C的个数是7．故选：D．12．（2023秋•新兴县期末）如图，C为两个直角三角板的公共顶点，∠A＝∠B＝30°，则图中等腰三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠A＝∠B＝30°∴∠AEC＝∠ACE﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°．同理，可求得∠BDC＝60°，∠ACD＝30°．综上，∠A＝∠ACD＝30°，∠CDE＝∠CED＝60°，∠B＝∠BCE，∠A＝∠B，∴△ACD、△CDE、△BCE和△ABC都是等腰三角形．故选：D．13．（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．14．（2023秋•临高县期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（）A．16B．17C．18D．19【答案】B【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝8，AC＝9，∴△AEF的周长为AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+9＝17．故选：B．15．（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则图中等腰三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝＝72°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠A＝∠ABE＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BEC＝72°，∴BC＝BE，∴图中的等腰三角形有：△ABC，△ABE，△BEC，共有3个，故选：C．16．（2023秋•冠县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B 出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒．【答案】见试题解答内容【解答】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．17．（2023秋•环江县期末）（1）如图1，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证：AB＝AC．证明：（2）如图2，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AB＝AC．求证：AD∥BC．证明：【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CAE是△ABC的外角，∴∠1+∠2＝∠B+∠C，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠1，∴AD∥BC．18．（2023秋•历下区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．19．（2023秋•怀集县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC ＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）BP＝（16﹣t）cm（用t的代数式表示）．（2）当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形．（3）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是等腰三角形？【答案】（1）（16﹣t）cm；（2）；（3）当t为11或12或时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，故答案为：（16﹣t）cm；（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；故答案为：；（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10（cm），∴BC+CQ＝22（cm），∴t＝22÷2＝11；②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，则BC+CQ＝24（cm），∴t＝24÷2＝12；③当△BCQ是以CQ为底边的等腰三角形时：BQ＝BC，如图2所示，∵，∴，∴BD＝，∴CD＝＝，∴CQ＝2CD＝，BC+CQ＝12+＝，t＝÷2＝，综上所述：当t为11或12或时，△BCQ是等腰三角形．【考点3等腰三角形的性质和判定综合】20．（2023秋•和田地区期末）已知：如图△ABC中AC＝6cm，AB＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．（1）求证：△DFC是等腰三角形；（2）求△AEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）14cm．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠FDC＝∠DCB，∵CD平分∠ACB，∴∠FCD＝∠DCB，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∴△DFC是等腰三角形；（2）∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB，∵AC＝6cm，AB＝8cm，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8+6＝14（cm）．21．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），15÷15＝1（小时）．故还要经过1小时长时间，小船与灯塔C的距离最短．22．（2023秋•秦安县校级期末）如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．（1）请写出图1中线段BD，CE，DE之间的数量关系？并说明理由．（2）如图2，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC平行线交AB于D，交AC于E．那么BD，CE，DE之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【答案】（1）DE＝BD+CE，理由见解答；（2）DE＝BD﹣CE，理由见解答．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠BCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∴DO+OE＝BD+CE，即DE＝BD+CE；（2）DE＝BD﹣CE，理由如下：∵∠ABC和∠ACF的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠FCO，∵过O点作BC平行线交AB、AC于D、E．∴DO∥BF，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠FCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴BD＝DO，OE＝CE，∵DE＝DO﹣OE，∴DE＝BD﹣CE．23．（2022秋•封开县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【考点4等边三角形的性质】24．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5B．10C．15D．20【答案】B【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°•BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故选：B．25．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．26．（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．27．（2023秋•莱西市期末）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（）A．142°B．128°C．98°D．92°【答案】C【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：∵∠1＝38°，∴∠ADE＝∠1＝38°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠AEF为△ADE的一个外角，∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠AEF＝98°．故选：C．28．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON 上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．故选：D．29．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC 的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．【考点5等边三角形的性质与判定】30．（2023秋•崆峒区期末）如图，在等边三角形ABC中，点B、P、Q三点在同一条直线上，且∠ABP＝∠ACQ，∠BAP＝∠CAQ．判断△APQ是什么形状，并说明理由．【答案】△APQ是等边三角形，理由见解析．【解答】解：△APQ是等边三角形，理由如下：∵△ACB是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABP与△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（ASA），∴AP＝AQ，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAQ，即∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等边三角形．31．（2023秋•新抚区期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE＝BE，∴∠BCE＝30°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED，∴∠BED＝30°，∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE．∴AE＝DB．（2）解：AE＝DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴DB＝EF，∴AE＝BD．32．（2023秋•太和县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．33．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1.5cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）当时，△PBQ为等边三角形；（2）当t为或时，△PBQ为直角三角形．【解答】解：（1）由题意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，则BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，当△PBQ为等边三角形时，则有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得，即当时，△PBQ为等边三角形；（2）当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得；当∠BPQ＝90°时，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得，综上可知当t为或时，△PBQ为直角三角形．34.（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【考点6含30°的直角三角形】35．（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米B．9米C．12米D．15米【答案】B【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），∴3+6＝9（米）．故选：B．36．（2023秋•虞城县期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，CD⊥AB，∠BCD＝30°，BD＝2，则AB的长为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠BCD＝30°，BD＝2，∴BC＝2BD＝4，∠B＝90°﹣∠BCD＝60°，∵∠BCA＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝30°，∴AB＝2BC＝8，故选：C．37．（2023秋•斗门区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠B＝2∠A，BD＝1，则AD＝（）A．2B．3C．2.5D．1.5【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，∴∠A＝30°，∠B＝60°．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°．在Rt△DBC中，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝30°，又∵BD＝1，∴BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3．故选：B．【考点7直角三角形的性质】38．（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝90°﹣∠C B．∠A＝∠B﹣∠CC．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C【答案】C【解答】解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，∴∠A+∠C＝90°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，设∠A＝x，∴∠B＝x，∠C＝x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+x＝180°，解得x＝（）°＞90°，∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；D、∵∠A＝∠B＝∠C，设∠A＝∠B＝x，∴∠C＝2x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，∴∠C＝2x＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．故选：C．39．（2023秋•衡山县期末）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B 落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（）A．40°B．45°C．50°D．55°【答案】C【解答】解：如图，作CK∥a．∵a∥b，CK∥a，∴CK∥b，∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°，∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°，∵∠CAB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，故选：C．40.（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为4cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长AP交BC于E，∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，∴△ABP≌△BEP，＝S△BEP，AP＝PE，∴S△ABP∴△APC和△CPE等底同高，＝S△PCE，∴S△APC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝4cm2，∴S△PBC故答案为：4．41．（2023秋•武城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝70°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，∵∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣25°＝65°，∴∠CED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，故答案为：70°．【考点8直角三角形的判定】42．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．【答案】见解答．【解答】证明：∵CB⊥AB，∴∠ABC＝∠FBC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝CB，在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．43．（2023春•平江县期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF 交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．44．（2023秋•乾安县期末）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE．∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）【考点9勾股定理的性质和应用】45．（2023秋•二道区期末）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（）A．10B．13C．7D．14【答案】A【解答】解：由勾股定理可得，斜边长为：＝10，故选：A．46．（2023秋•和平县期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形B的面积为（）A．9B．144C．81D．12【答案】B【解答】解：如图，由正方形的性质可知，CD2＝81，CE2＝225，∵∠CDE＝90°，∴DE＝CE2﹣CD2＝225﹣81＝144，即正方形B的面积为144，故选：B．47．（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．故选：C．48．（2023秋•榆阳区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD＝2，BC＝7，则AB2+CD2等于（）A．45B．49C．50D．53【答案】D【解答】解：在Rt△AOB与Rt△COD中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2＝AD2+BC2＝22+72＝53，故选：D．49．（2023秋•成都期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是斜边的高，则CD的长为（）A．B．C．5D．10【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴△ABC的面积为×6×8＝×10×CD，∴CD＝．故选：A．【考点10勾股定理的证明】50．（2023秋•乌当区期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×10＝5，从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣20＝5，∵a﹣b＞0，∴a﹣b＝．故选：C．51．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，以上公式为完全平方公式，∴A选项不能说明勾股定理；B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，∴ab+ab+c2＝（a+b）（a+b），整理得a2+b2＝c2，∴B选项可以证明勾股定理；C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，∴4×ab+c2＝（a+b）2，整理得a2+b2＝c2，∴C选项可以证明勾股定理；D．整个图形的面积等于边长为b的正方形的面积+边长为a的正方形面积+2个直角三角形的面积，也等于边长为c的正方形面积+2个直角三角形的面积，∴b2+a2+2×ab＝c2+2×ab，整理得a2+b2＝c2，∴D选项可以证明勾股定理，故选：A．52．（2023秋•如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，标上必要的字母，∵AC＝2，BC＝1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，∴AD＝AC＝2，CD＝2AC＝4，在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＝BC2+CD2＝12+42＝17，所以BD＝，所以“数学风车”的外围周长是：（2+）×4＝8+4．故选：B．【考点11勾股定理的逆定理】53．（2023秋•泗阳县期末）下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝5C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝4，c＝5【答案】D【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．54．（2023秋•衡南县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB＝3，BC＝4，∴根据勾股定理得：AC＝＝5，又∵CD＝12，AD＝13，∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．则S四边形ABCD故四边形ABCD的面积是36．55．（2023秋•新安县期末）如图，每个小正方形的边长为1．（1）求四边形ABCD的面积和各边边长．（2）∠BCD是直角吗？说明理由．【答案】（1）17.5，AB＝5，BC＝2，CD＝，AD＝5；（2））∠BCD是直角，理由见解答．【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB2＝32+32＝18，则AB＝＝5，∵BC2＝42+22＝20，∴BC＝2，∵CD2＝22+12＝5，∴CD＝，∵AD2＝32+42＝25，∴AD＝5，四边形ABCD的面积为：7×5﹣（1×7+4×2+2×1+4×3）﹣3＝35﹣17.5＝17.5；（2）∠BCD是直角，理由如下：由（1）得：BC2＝20，CD2＝5，而BD2＝32+42＝25，故DC2+BC2＝BD2，则∠BCD＝90°．【考点12四种命题及其关系】56．（2023秋•渌口区期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为同旁内角互补，两直线平行．【答案】见试题解答内容【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．故应填：同旁内角互补，两直线平行．57．（2023秋•杭州期末）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题（填“真”或“假”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么a2＝b2．”“如果a2＝b2，那么a＝b”的逆命题是真命题，故答案为：真．【考点13垂直平分线的性质】58．（2013秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，则，解得，AC＝9，BC＝6，故选：D．59．（2023秋•定陶区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三个角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点【答案】B【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：B．60．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．【考点14角平分线的性质】61．（2023秋•广州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC 于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即点D到AB的距离DE是4cm．故选：C．62．（2023秋•东胜区校级期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形的三条高交于一点D．三角形三边的垂直平分线交于一点【答案】A【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，∴点P到射线OB，OA的距离相等，∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．故选：A．63．（2023秋•义乌市期末）如图，△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB交AB 于点E，DF⊥AC交AC于点F．若△ABC面积为30cm2，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE 的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm【答案】A【解答】解：∵AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴，∴，解得DE＝4cm，故选：A．64．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【答案】B【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，＝S△OAB+S△OBC+S△OAC∴S△ABC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，＝×18＝27（cm2）．∴S△ABC故选：B．65．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．66．（2023秋•梨树县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC＝DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．67．（2023秋•金山区期末）如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，过E作EG⊥BA 交BA的延长线于点G，EF⊥AC交AC于点F．（1）求证：EG＝EF；（2）联结AE，求证：∠AEG＝∠AEF．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解答】证明：（1）如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，∴EG＝EH，∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，∴EF＝EH，∴EG＝EF．（2）∵EG⊥BA，EF⊥AC，∴∠AGE＝90°＝∠AFE，再Rt△AEG和Rt△AEF中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEF（HL），∴∠AEG＝∠AEF．。
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新版北师大版八年级下第一章三角形的证明期末复习导学案
第一章，三角形的证明
图1-2-4 图1-2-9
三．线段垂直平分线
回顾：1.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离_______
2.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于____，并且这一点到三个顶点的距离_____。
结论：锐角三角形的三边垂直平分线的交点在内；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在外；钝角三角形的三边垂直平分线的交点在；
练习：
1．已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 ____________________上.
2．已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则
∠ADC= .
3．△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 .
4．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
5．如图1-3-5，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCD 的周长等于50，求BC的长.
6．若点P为△ABC三边中垂线交点，则P A__________PB__________PC.
7．如图1-3-16，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
8.如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
四，角平分线
回顾：角平分线上的点到角两边的距离 .
图1-3-5
图1-3-17
图1-3-16
角平分线的逆定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的上. 三角形三条角平分线交于一点，并且这个点到的距离相等
练习：
1．如图1-4-5，在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
则三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP中（）
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅①正确 D．仅①和③正确
2．到三角形三边距离相等的点是（）
A．三条中线的交点；B．三条高的交点；C．三条角平分线的交点；D．不能确定
3．在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且
DE=1CM，则AC=_______________.
4．△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 . 5．如图1-4-6，在Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，求DE+DC.
６．已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB ，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC
图1-4-6
B
A
E
C
F
D
图1-4-7。