对命题的否定与否命题的理解

对命题的否定与否命题的理解

四川省广汉中学：邱华

高中数学中，《简易逻辑》一节对于高一新生来说是较为抽象，特别是对命题的否定和否命题在理解上尚一定难度，特别是加之资料书上对这方面谈得少，知识上存在一定缺陷。本人根据自已的教学实践，谈谈对这个问题认识，供参考。

首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。

《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述：

1 简单命题的否定

在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。

例1 写出下列命题的否定。

（1）是有理数。

（2）菱形的对角线互相垂直。

（3）N {x R︱x＞–2}.

（4）方程=1没有实数根。

解:（1）的否定：不是有理数。或者是并非是有理数。

（2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。

（3）的否定：N {x R︱x＞–2}。

（4）的否定：方程=1有x≠3的实数2 复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。

给定命题P、q，用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作P q.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q 的析取命题（也叫选言命题）。记作P q。它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假)

P q P q P q ┓(P q) ┓(P q) ┓P ┓q ┓P ┓q

1 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 1 1 1 1

从表可知：┓(P q)与┓P ┓q的真值相同；┓(P q)与┓P ┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示：

┓(P q)= ┓P ┓q ┓(P q)= ┓P ┓q

从而知命题“P q”和“P q”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词。

例2 写出下列命题的否定。

(1) a=±5。

(2) f(x)=0既是奇函数又是偶函数。

(3) 5是10的约数且是15的约数。

(4) 2+2=5或3<2。

(5) AB∥CD

(6) a,b都是0。

解（1）的否定：a≠5且a≠–5。（原命题属于P或q型）

（2）的否定：f(x)不是奇函数或不是偶函数。（原命题属于P且q型）

（3）的否定：5不是10 的约数或5不是15的约数。

（4）的否定：2+2≠5且3≥2。

（5）的否定：AB∥CD或AB≠CD。

（6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。

可见原命题与其否定命题是一对矛盾命题。

3 复合命题“若P则q”形式的否定。

“若P则q”（记作Pq）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。

当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真，“0”表示假)

P q ┓q P q ┓P q ┓(P q) P (┓q) P (┓q)

1 1 0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1

0 0 1 1 1 0 0 1

从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示：

┓(P q)= P (┓q) 或┓(P q)= ┓（┓P q）= P (┓q)

例3 写出下列命题的否定。

（1）若x2+y2=0，则x, y全为0。

（2）若x=2或x=–1 则x2-x-2=0.

（3）若集合B真包含集合A，则集合A包含于集合B。

解：（1）的否定：虽然x2+y2=0，但是x和y不全为0。

（2）的否定：虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。

（3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。

但在教学中发现有些师生把例3的答案写成：（1）若x2+y2=0，则x,y不全为0。（2）若x=2或x=–1，则x2-x-2≠0.是不对的。它误把若P则q的否定命题认为是“条件P不变，结论q否定，且联结词不变的命题”。即为┓(P q)= P (┓q)。实际上，原命题与否定命题应属于矛盾命题，而“若P则非q”与“若P则q”构成对立关系的命题；另方面从真值表可知，当P为假时，它们的真值都为真，故不可成为矛盾命题，因此┓(Pq)≠P (┓q)例如“若2是奇数，则7是奇数”与“若2是奇数，则7不是奇数”都为真命题。希教学中切实注意它们的区别。

4 含量词命题的否定。

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在