一道高考填空题解法探究

一道高考填空题解法探究

江苏省通州市石港中学(226351) 高志军

设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）.

解法一 (对x 进行分类讨论)

(1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立.

(2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x

≥- 设()2331g x x x =

-，则()()'

4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

上单调递增，

在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫

== ⎪⎝⎭，从而4a ≥.

(3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331

a x x

≤

- ()()

'4

3120x g x x -=

<， 所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤.

综上所述,4a =.

解法二(对a 进行分类讨论)

2()33f x ax '=-.

(1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数,

min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾.

∴0a ≤不可能.

(2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x

+. ①01a <≤时,

[]1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x

+≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与

01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能.

②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表

所以.1

240

42024

210

a a a a a a -⎧

-≥≤⎧⎪⎪⎪-≥∴≥⎨⎨⎪⎪≥⎩⎪-+≥⎩ ∴4a =.

综上所述,4a =. 解法三(不分类讨论)

因为对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，

所以(1)0(1)0f f ≥⎧⎨-≥⎩ 即2040a a -≥⎧⎨-+≥⎩

24a ∴≤≤.

∴2()33f x ax '=-=3(a x x +. ∴()f x 在(1,-,上为增函数,在(上为减函数. ∴()f x 的极小值为f =1

221a --+.

∴12

210a --+≥,即4a ≥.

又24a ≤≤,4a ∴=. 解法四(特值法)

因为对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，

所以(1)0(1)0f f ≥⎧⎨-≥⎩ 即2040a a -≥⎧⎨-+≥⎩ 24a ∴≤≤.

取12x =

,则11

()0282a f =-≥,∴4a ≥. 又24a ≤≤,4a ∴=.

确定不等式恒成立的参数的取值范围，涉及包括一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数等初等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学主思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，是中学数学教学的重点和难点。因此也成为历年高考的一个热点。解答这类问题主要有三种方法：其一，分离参数，转化为利用函数的单调性求函数的最值；其二，数形结合法；其三，特值法。2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题，是一道较难的含参数不等式恒成立问题的填空题，因此，我们考生就自然想到利用解法一或解法二来解决，有关《2008年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》所给出的解答也是以解法一为主。若将试题设问“则实数a的值为”改为“则实数a 的取值范围为”，则利用解法一或解法二来解决较好。但命题者降低了试题难度，只限于求实数a的值，因此，在高考规定的紧张的二个小时内，解答时不宜利用解法一或解法二来解决，我们考生应仔细审题，洞察题意——仅需求实数a的值，故用解法四特值法为最好。