定积分的换元法第二篇
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高数课件19定积分的换元积分
换元法的基本类型
02
三角换元法
定义：将积分区间内的变量替换为三角函数形式，从而简化积分的计 算
适用条件：积分区间为[0, π]或[0, 2π]，被积函数中含有三角函数
步骤：选择适当的三角函数替换变量，然后利用三角函数的性质进行 积分
优点：简化计算，提高计算效率
倒代换法
定义：将积分变 量替换为另一个 变量，使得积分 更容易计算
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,
高数课件19定积分的换元积分(2)
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
定积分的 换元法基 本概念
02.
换元法的基 本类型
03.
换元法的应 用实例
04.
换元法的注 意事项Fra bibliotek05.
换元法的扩 展应用
定积分的换元法基本概念
01
换元法的定义和原理
换元法：在积分过程中，通过引入新的变量，将 复杂的积分转化为简单的积分
换元法的应用范围
定积分的换元法适用于求解复杂 积分
换元法可以解决一些无法直接积 分的问题
添加标题
添加标题
换元法可以简化积分计算过程
添加标题
添加标题
换元法可以应用于求解定积分的 极限问题
换元法的计算步骤
选择适当的换元变量
确定换元公式
计算新的积分区间
计算新的积分函数
计算新的积分值
换回原变量，得到最终 结果
数学：在数学分析、微分方程、积分方程等领域，换元法可以用来求解复杂的微分方程和积分方 程。
计算机科学：在计算机科学、人工智能等领域，换元法可以用来求解复杂的优化问题、数值计算 问题等。
在金融、经济等领域的应用
5-3定积分的换元法与分部法
2 sin x cosxdx
0
2 sin xd sin x
0
1 sin 2 2
x |02
1 2
例5
设 f (x)在对称区间[a, a] 上连续，证明：
(1) 当f (x) 为偶函数时， a f (x) d x 2
a
f (x)d x .
a
0
(2) 当f (x) 为奇函数时， a f (x) d x 0 . a
et
1 0
]
2e (e 1)
2.
本节小结
1、定积分的换元法
定理 若 (1) f (x)在[a, b] 上连续 ;
(2) ( ) a，( ) b.且（t）在[, ]上单调
(3) x (t)在[, ] 上有连续的导数(t)
b
则 a f (x) d x f ((t))(t) d t
xe 解
1 xe2xdx 1 2x 1 1 1e2xdx
0
2
0 20
e e 1 2 1 2x 1 2 40
1 4
(e2
1).
例7
解
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
a
a
f (t) d t
0
f (x)d x .
0
于是
a
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
12-定积分的换元法课件
即 F[(t)]是 f [(t)](t) 的一个原函数．所以
f [(t)](t) d t
F[( )] F[( )]
b
F(bf )(
x)Fd
(xa．)Leabharlann a定积分的换元积分公式
令 x (t) ，则
b
f (x)d x
f [(t)](t) d t ，
a
其中( ) a ，( ) b．
注 在定积分的换元公式中，当用 x (t) 把原来
b f [(x)]d[(x)] F[(x)] b ，
a
a
a
其中F (u)是 f (u)在 [, ] (或 [ ,] ) 上的一个原函数．
上下限不需要变化!!!
π
例 求积分 2 sin5 x cos x d x ． 0
π
π
解 2 sin5 x cos x d x 2 sin5 x d(sin x)
0
0
⑵ 令 x π t ，则
sin( x) sin x sin(2 x) cos x
π
0
x f (sin x) d x (π t) f [sin(π t)](1) d t
0
π
π
0 (π t) f (sin t) d t
π
π
定积分与积分
π f (sin t) d t t f (sin t) d t
T 为周期
aT f (x)d x
a
f (u T )d u
a
f (u) d u
a f (x)d x ，
T
0
0
0
于是
定积分与积分变量名称无关
a T
0
T
a
f (x) d x f (x) d x f (x) d x f (x) d xx
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
5-4 定积分的换元法
40
02 f
(sin x)dx
02 f (cos x)dx;
50
0
f
(sin x)dx
2 02
f
(sin
x )dx;
60
0
xf
(sin
x )dx
2
0
f
(sin
x )dx
02 f
(sin
x )dx .
例6 计算
11
1
x2 e
x
dx
.
河海大学理学院《高等数学》
例7 计算
cos xdx
2
0
sin
x
cos
x
例8
求
5
(cos
x
cos
2
x
cos
3
x
sin
x
sin
2
x
sin
3
x
)dx
例9 求01 f ( x)dx,使得201 f ( x)dx f ( x) x 0.
河海大学理学院《高等数学》
小结
定积分的换元法
b
a f ( x)dx
应地改变.
（2）求出 f [(t )](t )的一个原函数(t )后，不必象
计算不定积分那样再要把(t )变换成原变量 x的
函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入 (t )然后相减就行了.
河海大学理学院《高等数学》
例1
计算
4
0
x 2 dx. 2x 1
例2 计算 4 e3 e
f
[(t
定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt
定积分的换元法和分部积 分法教学课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
xx年xx月xx日
目录
• 定积分的换元法 • 定积分的分部积分法 • 定积分的几何意义 • 定积分的物理应用 • 定积分的经济应用 • 定积分的优化方法
01
定积分的换元法
换元法的定义与性质
换元法的定义
将一个定积分中的被积函数或积分区间变换 成另一个函数或区间，以求得定积分的值。
THANKS
谢谢您的观看
总结词
功率的概念、能量转换的效率、机械能与热能的转换
详细描述
首先介绍功率的概念，然后通过分析能量转换的效率 和机械能与热能的转换关系，说明功率在不同能量转 换中的重要作用。同时，还介绍如何利用功率公式求 解机械能与热能转换等问题。
05
定积分的经济应用
需求价格弹性
需求价格弹性定义
需求价格弹性是衡量商品需求量 对价格变动敏感程度的指标，用 需求量变动百分比与价格变动百 分比的比值来表示。
成本函数表示企业在一定时期内生产一定数量产品所需投入的成本的函数关系。
收益函数与成本函数的关系
收益函数和成本函数之间存在一定的关系，当销售量增加时，收益增加，但成本也会增加，因此需要找到一个最优的生产 量和销售量组合，使得企业获得最大利润。
利润函数与最优生产量
利润函数定义
利润函数表示企业在一定时期内销售产品 所获得的收益减去生产成本的函数关系。
换元法应用
将复杂的积分区间变换成简单的积分 区间，简化计算。
将非标准形式的积分转换成标准形式的积 分，以便使用积分的性质和公式进行计算 。
将难以求导的被积函数变换成容易 求导的函数，以便使用微积分基本 定理进行计算。
02
定积分的分部积分法
定积分换元法
∫a
a +T
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
0
T
a为任何常数 .
周期函数在任何长为一周期的 这个公式就是说： 这个公式就是说： 区间上的定积分都相等. 区间上的定积分都相等 (留给同学证 留给同学证) 留给同学证
二、小结
定积分的换元法
∫a f ( x )dx = ∫α
b
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
a
∫
定积分的换元法和分部积分法
换元积分 还可以证明一些定积分等式 通常 还可以证明一些定积分等式, 被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 来确定变换. 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换 几个关于奇、 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分 的例子. 的例子 例 设f ( x )在区间[ − a , a ]上可积 , 则
π
π
0
= ∫ (π − t ) f (sin t )dt
0
π
t t t = ∫ π f (sin t )dt − ∫ x f (sinx)dx 0 0 π π π ∴ ∫ xf (sin x )dx = ∫ f (sin x )dx . 0 2 0
π
定积分的换元法和分部积分法
∫0 xf (sin x )dx = 2 ∫
π
π2
x sin x 说明:尽管 说明 尽管 ∈ C [0, π ], 但由于它没有 2 1 + cos x 公式求得. 公式求得 初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得 初等原函数 故此积分无法直接用
定积分的换元法和分部积分法
周期函数的定积分公式
如果 T是连续函数 f ( x )的周期, 则
6.2(2) 定积分的换元法和
(t ) (t )
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
则
(t ) 是
(t ) (t ) 的原函数 , 因此有
F (b) F (a) F [ ( )] F [ ( )]
(t ) (t )
2
(t ) (t )
提示: 两边求导, 得
19
3. 设
求 解:
(分部积分)
20
例题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t
是以 为周期的周期函数.
21
2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
f (b) 0 , 试证
1 b 解： 右端 ( x a )( x b) d f ( x) 分部积分积分 2 a b 1 ( x a)( x b) f ( x) 2 a 1 b f ( x)(2 x a b) d x 2 a
Байду номын сангаас
a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分 b b b u ( x) v( x) u ( x)v( x) dx u ( x)v( x) dx a a a b b u ( x)v( x) u ( x) v( x) dx a a
x2
sin t dt , 求 t
xf ( x )dx.
1 0
sin t 解 因为 没有初等形式的原函数（积分正弦)， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 xf ( x )dx 2 0 f ( x )d ( x ) 2 x f ( x ) 0 2 0 x df ( x ) 1 1 2 1 1 1 2 si nx 2 2 x dx f (1) 0 x f ( x )dx 0 x 2 2 x 2 2
高等数学§5-3定积分的换元法-PPT文档资料
则 有 f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt . a
b
应用换元公式时应注意:
（1） 用x
( t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
求出 （2）
f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不必象
计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入
2
．
2
这时由于没有换元 , 也就不需要换限 , 这样计算更为简便.
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例3
计算
2
0
5
2
5 cos x sin xdx .
5 解： cos x sin xdx cos cos x xd
2
0
0
令 t cos x
0
1
t dt
5
t 6
6 1
0
1 . 6
，
3 . x4 s in x 2 1 x2 dx 0 2
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二、定积分的分部积分法
设函数 u( x )、v ( x ) 在区间a , b上具有连续导数，则有
a udv uv a a vdu.
b b
b
上式称为定积分的分部积分公式 推导
uv u v u v ,
1 u e 2
2
0
.
1 2 0 1 2 (e e ) (e 1) 2 2
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在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来 计算,即
2
0
5-4定积分的换元法(基础教学)
高级教学
1
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法.
2
2
1 x2
1
.
0 4
高级教学
3
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
0 x1
0 t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
2
1 0
11xx22ddxx
2ccoos22 t
0
dt
1 2
2(1(1ccooss22tt))ddtt
0
t 2
sin
2
t
C2
4 0
12a4rc.sin
x
1 2
x
1 x2 C
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
2
2
1 x2
1
.
0 4
有什么想法没有？
高级教学
4
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果 .
练习 求下列定积分
令2x t u 求导，得
1.
4
4
1 dx 1 sin x
2
2 2 x x
f
(u)du
x 1 x4
1
由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法.
2
2
1 x2
1
.
0 4
高级教学
3
例
计算
1
0
1 x2 d x .
令 x sin t
0 x1
0 t
解 先用不定积分求被积函数的一个原函数：
2
1 0
11xx22ddxx
2ccoos22 t
0
dt
1 2
2(1(1ccooss22tt))ddtt
0
t 2
sin
2
t
C2
4 0
12a4rc.sin
x
1 2
x
1 x2 C
由牛顿 ——莱布尼兹公式，得
1
0
1 x2 d x 1 arcsin x 1 x
2
2
1 x2
1
.
0 4
有什么想法没有？
高级教学
4
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼 兹公式便可得到定积分的结果 .
练习 求下列定积分
令2x t u 求导，得
1.
4
4
1 dx 1 sin x
2
2 2 x x
f
(u)du
x 1 x4
02-109、定积分第二类换元法
1 − x2dx
0
0
单位圆的面积
= 4 − π.
例9. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：
∫ nπ
I = 1+ sin 2x dx 0
∫ 解: (1) 记 Φ (a) = a+T f (x) dx, 则 a Φ ′(a) = f (a + T ) − f (a) = 0
可见Φ (a)与a无关，因此Φ (a) = Φ (0), 即
π
= n∫0 cos x + sin x dx
∫ = n
2
π
0
sin( x
+
π
4
)
dx
令
t
=
x
+
π 4
5π
∫ = n
2
4
π
sin t dt
4
π
∫ = n 2 sin t dt 0
∫ = n 2 π sin t dt = 2 2 n 0
当 x = 0 时, t = 1; x = 4 时, t = 3 .
∫ ∴ 原式 =
3
t
2 −1 2
+
2
t
d
t
1t
∫ = 1 3 (t 2 + 3) d t
21
= 1(1t3 +3t) 3
23
1
例7.
偶倍奇零
(1) 若
∫则 a −a
f
( x) dx
=
∫a
2
0
f
( x) dx
(2) 若
∫则 a f (x) dx = 0 −a
所证等式两边被积函数都连续因此积分都存在且它们的原函数也存在函数存在的原函数因此有是连续的周期函数周期为t证明
定积分的换元法与分部法
由此公得式:
In
n 1 n
In2
注意:
I0
2 dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
In
2 sin n xdx
0
2 cosn xdx
0
n n
1 n 1 n
n n n n
3 2 3 2
a
0
注: (1) 当f(x)为奇函数时,
a
f (x)dx 0.
a
(2) 当f(x)为偶函数时,
a
a
f (x)dx 2 f (x)dx.
a
0
练习
7
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铃
例5 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明
(1) 02 f (sin x)dx02 f (cosx)dx ;
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结束
铃
例8
计算
1 0
ln(1 x) (2 x)2
dx
解
原式=
1
0
ln(1
x)
d
2
1
x
ln(1 x) 1 1
1
1 dx
2 x 0 0 2 x 1 x
ln
2
1 3
1 1 01 x
2
1
x
dx
ln
2
1 3
ln(1
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
定积分的换元法和分部积分法
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变 量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分 公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17
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当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
12(
1t3 3
3t
)
3 1
22 3
注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的 第一类换元公式：
f[
(t
)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或
f[
(t
)
](t)
dt
f
[
(t
)
证: aa f(x)dx 0a f (x)dx0af(x)dx
0af(t)dt 0af(x)dx
令xt
0 a [f(x)f(x)]dx
20af(x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
该题几何意义是很明显的，如图所示:
y -a O
y
a
ax
O ax
例6
计算
1
2x2xcoxs dx.
0
0
16cosx02
1. 6
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
区间可加性
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
2 0
3
sinx2dsinx
第四章
3.2 定积分的换元法
换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，则有
b
a
f
令ux3,
解法2 对已知等式两边求导,
得
3x2f(x3)1x
f (x3)
思考: 若改题为
x3 f(3t)dtlnx 1
提示: 两边求导, 得
1 3
作业
P221 习题4-3 (A)部分：3奇数题；6(3); 9(1); (B)部分：3(1)(2)
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs dx 1 1x2
偶函数
奇函数
401
1
x2 1x2
dx401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
1
40(1
1x2)dx 4401
1x2dx
单位圆的面积
4.
练习：
(19) (20)
(21)
(22)
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
x(fsx ) id n x f(sx ) id n .x
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
练习： 2. 证：
3. 证：
4. 证：
思考练习：
设
解法1 lnx x3 f(t)dt 1
2
sinx23dsinx
不换元
2
2 5
sin
5
x2
2 0
2 5
sin
5
x2
4. 5
2
例5. 设 f(x)在对[称 a,a]区 上间 连 , 续 (1) 若 f(x)f(x), 则 a af(x )d x 2 0 af(x )d x
(2) 若 f( x)f(x), 则 aaf(x)dx0 偶倍奇零
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .
第二类换元公式
应用第二类换元公式时应注意:
（1）用 x (t)把变量 x换成新变量 t 时，积分限
也相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证（1）设
x
2
x0
t t
d xd,t , x t0,
22
2 0
f(sinx)dx
0
2
当 x0时 ,t 0; xa时 ,t2.
∴
原式 = a 2
2 cos2 tdt
0
a2
2(1co2st)dt
20
a2
2
(t
1si 2
n2t
)
2
0
a2 4
换元必换限！
例2. 计算
4 x2 dx. 0 2x1
（第二类换元：根式代换）
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2
（3）当 时，换元公式仍成立.
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解法一: （直接用牛-莱公式）令 x a sti,t n ( 2 , 2 ),
则 a2x2 acots, dxaco tdts
a2x2d xaco ta sco tds a t2 co2tsdt
a t
x
a2t sin 2t C
]
d(t)
口诀：换元必换限，配元不换限
例3 计算 2 co5sxsinxd.x（第一类换元：凑微分） 0
解 2co 5xs six nd x2co 5xs(dcx o ) s
0
0
令 tcox,s
x 2
t0, x0t1,
原式 0t5dt 1
t6 6
1
0
1. 6
或者 2co 5xs sixnd x2co 5xs(dcx o ) s
24
a2 x2
s2 it n 2 sticn to 2 xs a 2 x 2
a2 2
arcsin
aa
x a
1x 2
a2x2C
∴
原式
a2
2
arcsin
x
1
x
a2
a2
x2
a 0
a 4
2
例1. 计算
a a2x2dx(a0).
0
解法二 ：（先换元,再用牛-莱公式）
令 xasitn, 则 dxaco tdts,且
fsin2tdt
2
0
f(cots)dt
2
0
f(coxs)dx;
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
0(t)f(sti)n d,t
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,