上海市交大附中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含解析
2019年上海交通大学附属中学高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为、，则塔高为（）A. B. C. D.参考答案：A2. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）D3. 函数的图象大致为参考答案：A4. （5分）在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．两两相交的三条直线参考答案：A考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：利用确定平面的条件度四个选项分别分析，得到正确答案．解答：对于选项A，三条直线，它们两两相交，但不交于同一点，满足不共线的三点确定一个平面；对于选项B，如果三条直线过同一个点，可以确定一个或者三个平面；对于选项C，如果三个点在一条直线上，可以有无数个平面；对于选项D，如果三条直线两两相交于一点，确定一个或者三个平面；故选A．点评：本题考查了确定平面的条件，关键是正确利用平面的基本性质解答．5. 如图，在△ABC中，，，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D∴λ=，μ=．.故答案为：D。
6. 函数满足，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：A7. 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；参考答案：C解析：对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一8. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题意，该程序框图的意图是求S=1+++的值，由此不难得到本题的答案．解答：解：由题意，k、S初始值分别为1，0．当k为小于5的正整数时，用S+的值代替S，k+1代替k，进入下一步运算．由此列出如下表格因此，最后输出的s=1+++=故选：C点评：本题给出程序框图，求最后输出的s值，着重考查了分数的加法和程序框图的理解等知识，属于基础题．9. 从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范围内的概率是（）A. 0.38B. 0.62C. 0.7D. 0.68参考答案：A略10. 下列四个关系中，正确的是（）A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)=的定义域为。
上海市交大附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
交大附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知a 、b 为常数，若24lim 123n an bn n →∞++=+，则a b += 2. 已知数列4293n a n=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k = 3. 已知4cos()5πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 4. 将无限循环小数0.145化为分数，则所得最简分数为5. 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =， 则△ABC 的面积为6. 已知数列{}n a 满足：3122123n n a a a a n+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ， 则5S =7. 三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为8. 将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅9. 已知()sin(2)3f x x π=+，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小值为10. 已知数列{}n a 满足11(3)(2)0n n n n a a a a ++--⋅-=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为11. 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为 AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为12. 设01a <<，数列{}n a 满足1a a =，1n a n a a +=，将{}n a 的前100项从大到小排列的得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为二. 选择题13. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“lim 0n n a →∞=”是“lim 0n n S →∞=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列n b n *∈N ）也是等比数 列，若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ⋅⋅⋅⋅⋅=是等差数列 B. 12n n a a a b n++⋅⋅⋅+=是等差数列C. n b =D. n b = 15. 下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ） A. 22tan21tan 2xy x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 16. 设1cos 10n n a n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1220,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20三. 解答题17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.18. 已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=.（1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围.19.函数2()6cos )32xf x x ωω=-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.20. 如图是某神奇“黄金数学草”的生长图，第1阶段生长为竖直向上为1米的枝干，第2，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，，且与旧枝成120°，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次生长，直到永远.（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）（3）求“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 满足11a =，1n n n a a d +-=，n *∈N .（1）若3n n d =，求数列{}n a 的通项公式；（2）若4cos()n d n π=+，求数列{}n S 的通项公式；（3）若{|,}{1,2}n D x x d n *==∈=N ，是否存在数列{}n d 使得1720a =，17195S =？若存在，写出{}n d 前16项的值，若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 22. 93.34 4. 8555.6. 1307. 5{}626πππ，，8. 1289.2π 10. 69 11. 32 12. 50二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）2n a n =；（2）6k =.18.（1）21n a n =-；（2）1(0,2)a ∈.19.（1）4πω=；（2）()[f x ∈-.20.（1）(3)1f = （2）761[1][1](13)f ⨯-+-= （3）lim ()n f n →∞=. 21.（1）312n -；（2）2232225322122n n n n k S n n n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩，*k ∈N ； （3）116~d d ：2，1，2，1，2，1211,,1⋅⋅⋅个。
2019-2020学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）弧度数为2的角的终边落在第___ 象限．2.（填空题.3分）若幂函数f （x ）=x α图象过点 (2，12) .则f （3）=___ ． 3.（填空题.3分）已知 sinα+cosαsinα−2cosα =2.则tanα的值为___ ． 4.（填空题.3分） cos 23π8−sin 23π8=___ ． 5.（填空题.3分）已知lg2=a.10b =3.则log 125=___ ．（用a 、b 表示） 6.（填空题.3分）若tanα= 43 ；则cos （2α+ π2 ）=___ ． 7.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1的值域为R.则实数a 的取值范围是___ ．8.（填空题.3分）已知θ∈（0. π2 ）.2sin2θ=1+cos2θ.则tanθ=___ ． 9.（填空题.3分）已知α∈（- π2.0）.sin （π-2α）=- 12.则sinα-cosα=___10.（填空题.3分）已知锐角α.β满足sin （2α+β）=3sinβ.则tan （α+β）cotα=___ ． 11.（填空题.3分）已知α.β∈（0.π）.且tan （α-β）=2√33 .tanβ=- 5√311.2α-β的值为___ ．12.（填空题.3分）已知f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x.都有f[f （x ）+34x +1 ]= 25.则f （log 2sin17π6）=___ ． 13.（单选题.3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）A 为三角形ABC 的一个内角.若sinA+cosA= 1225.则这个三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形15.（单选题.3分）已知函数f（x）=log a（6-ax）在x∈[2.3）上为减函数.则a的取值范围是（）A.（1.2）B.（1.2]C.（1.3）D.（1.3]16.（单选题.3分）设x1.x2分别是f（x）=x-a-x与g（x）=xlog a x-1（a＞1）的零点.则x1+9x2的取值范围是（）A.[8.+∞）B.（10.+∞）C.[6.+∞）D.（8.+∞）17.（问答题.0分）已知α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=3x-a•3-x.其中a为实常数；（1）若f（0）=7.解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性.并说明理由．19.（问答题.0分）高境镇要修建一个扇形绿化区域.其周长为400m.所在圆的半径为r.扇形的圆心角的弧度数为θ.θ∈（0.2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式.并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时.才能使绿化区域的面积S最大.并求出此最大值．20.（问答题.0分）已知函数y=f（x）的定义域为（1.+∞）.对于定义域内的任意实数x.有f （2x）=2f（x）成立.且x∈（1.2]时.f（x）=log2x．（1）当x∈（1.23]时.求函数y=f（x）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.求函数y=f（x）的最大值；（3）已知f（1200）=f（b）（实数b＞1）.求实数b的最小值．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=log a（x+ √x2−1）．x∈（1.+∞）.a＞0且a≠1．（1）若a为整数.且f（2a+2−a2）=2.试确定一个满足条件的a的值；（2）设y=f（x）的反函数为y=f -1（x）.若f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.试确定a的取值范围；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.令g（x）= 2f −1(x)+k2f−1(x)+1.若对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）弧度数为2的角的终边落在第___ 象限．【正确答案】：[1]二【解析】：根据题意.分析可得π2＜2＜π.由象限角的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意. π2＜2＜π.则弧度数为2的角的终边落在第二象限.故答案为：二【点评】：本题考查象限角.涉及弧度制的应用.属于基础题．2.（填空题.3分）若幂函数f（x）=xα图象过点(2，12) .则f（3）=___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：根据题意求出幂函数的解析式.再计算f（3）的值．【解答】：解：幂函数f（x）=xα图象过点(2，12) .则2α= 12.解得α=-1.∴f（x）=x-1；∴f（3）=3-1= 13．故答案为：13．【点评】：本题考查了幂函数的定义与应用问题.是基础题．3.（填空题.3分）已知sinα+cosαsinα−2cosα=2.则tanα的值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：利用同角三角函数基本关系式化简已知等式即可得解．【解答】：解：∵ sinα+cosαsinα−2cosα = tanα+1tanα−2=2.∴tanα=5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．4.（填空题.3分）cos23π8−sin23π8=___ ．【正确答案】：[1]- √22【解析】：利用二倍角公式、诱导公式.求得所给式子的值．【解答】：解：cos23π8−sin23π8=cos 6π8=-cos π4=- √22.故答案为：−√22．【点评】：本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用.属于基础题．5.（填空题.3分）已知lg2=a.10b=3.则log125=___ ．（用a、b表示）【正确答案】：[1] 1−a2a+b【解析】：化指数式为对数式.把要求解的式子利用对数的换底公式化为含有lg2和lg3的代数式得答案．【解答】：解：∵10b=3.∴lg3=b.又lg2=a.∴log125= lg5lg12=lg102lg(3×4)=1−lg2lg3+2lg2=1−a2a+b．故答案为：1−a2a+b．【点评】：本题考查了对数的换底公式.考查了对数的运算性质.是基础题．6.（填空题.3分）若tanα= 43；则cos（2α+ π2）=___ ．【正确答案】：[1]- 2425．【解析】：利用诱导公式.二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】：解：∵tanα= 43.∴cos（2α+ π2）=-sin2α= −2sinαcosαsin2α+cos2α= −2tanα1+tan2α= −2×431+169=- 2425．故答案为：- 2425 ．【点评】：本题主要考查了诱导公式.二倍角的正弦函数公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题． 7.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1的值域为R.则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][0. 12 ）【解析】：根据分段函数的表达式.分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】：解：当x≥1时.f （x ）=2x-1≥1. 当x ＜1时.f （x ）=（1-2a ）x+3a.∵函数f （x ）= {(1−2a )x +3a ，x ＜12x−1，x ≥1 的值域为R.∴（1-2a ）x+3a 必须到-∞.即满足： {1−2a ＞01−2a +3a ≥1.解得0≤a ＜ 12 .故答案为：[0. 12 ）．【点评】：本题考查了函数的性质.运用单调性得出不等式组即可.难度不大.属于中档题． 8.（填空题.3分）已知θ∈（0. π2 ）.2sin2θ=1+cos2θ.则tanθ=___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：利用二倍角公式.同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】：解：∵θ∈（0. π2 ）. ∴cosθ＞0. ∵2sin2θ=1+cos2θ.∴4sinθcosθ=2cos 2θ.可得tanθ= 12． 故答案为： 12 ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．9.（填空题.3分）已知α∈（- π2 .0）.sin （π-2α）=- 12 .则sinα-cosα=___ 【正确答案】：[1]- √62【解析】：由已知利用诱导公式化简可得sin2α=- 12.进而根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：∵α∈（- π2 .0）.sin （π-2α）=sin2α=- 12 . ∴sinα＜0.cosα＞0.∴sinα-cosα=- √(sinα−cosα)2 =- √1−sin2α =- √1−(−12) =- √62． 故答案为：- √62 ．【点评】：本题主要考查了诱导公式.二倍角公式.同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．10.（填空题.3分）已知锐角α.β满足sin （2α+β）=3sinβ.则tan （α+β）cotα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用2α+β=（α+β）+α.β=（α+β）-α.结合三角恒等变换公式计算即可．【解答】：解：sin （2α+β）=3sinβ.sin （α+β）cosα+cos （α+β）sinα=3[sin （α+β）cosα-cos （α+β）sinα]. 2sin （α+β）cosα=4cos （α+β）sinα. 又α、β为锐角.所以sinα≠0.cos （α+β）≠0. 所以tan （α+β）cotα= sin (α+β)cosαcos (α+β)sinα=2．故答案为：2．【点评】：本题考查了三角恒等变换应用问题.也考查了三角函数求值问题.是基础题． 11.（填空题.3分）已知α.β∈（0.π）.且tan （α-β）= 2√33 .tanβ=- 5√311.2α-β的值为___ ．【正确答案】：[1]- 2π3【解析】：由题意配角：α=（α-β）+β.利用两角和的正切公式算出tanα的值.再算出tan （2α-β）的值.根据α、β的范围与它们的正切值.推出2α-β∈（-π.0）.即可算出2α-β的值．【解答】：解：由tan （α-β）=2√33 .tanβ=- 5√311. ∴tanα=tan[（α-β）+β]= tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ = 2√33−5√3111−2√33×(−5√311)= √39 . 由此可得tan （2α-β）=tan[（α-β）+α]= tan (α−β)+tanα1−tan (α−β)tanα = 2√33+√391−2√33×√39= √3 ． 又α∈（0.π）.且tanα= √39 ＜1. ∴0＜α＜ π4 .又β∈（0.π）.tanβ=- 5√311 ＜0. ∴ π2 ＜β＜π.因此2α-β∈（-π.0）.可得-π＜2α-β＜0. 所以2α-β=- 2π3 ． 故答案为：- 2π3 ．【点评】：本题考查了两角和与差的正切公式、特殊角的三角函数值等知识.是中档题.解题时注意在三角函数求值问题中“配角找思路”思想．12.（填空题.3分）已知f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x.都有f[f （x ）+34x +1]= 25 .则f （log 2sin17π6）=___ ． 【正确答案】：[1]- 75【解析】：根据题意.分析可得f （x ）+ 34x +1 为常数.设f （x ）+ 34x +1 =t.变形可得f （x ）=- 34x +1 +t.分析可得f （t ）=- 34t +1 +t= 25 .解可得t 的值.即可得f （x ）的解析式.将x=log 2sin 17π6代入可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）是定义域为R 的单调函数.且对任意实数x 都有f[f （x ）+34x +1]= 25 .则f （x ）+34x +1为常数.设f （x ）+34x +1=t.则f （x ）=-34x +1+t. 又由f[f （x ）+ 34x +1 ]= 25 .即f （t ）=- 34t +1 +t= 25 . 解可得t=1. 则f （x ）=- 34x +1 +1. ∵sin17π6 = 12.则f （log 2 12 ）=f （-1）=- 34−1+1 +1=- 75 ；故答案为：- 75 ．【点评】：本题考查函数的单调性的性质以及应用.还考查了三角函数求值.诱导公式.对数的运算.换元法的思想.关键是求出函数的解析式.属于中档题． 13.（单选题.3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：由α为第三、四象限角.可得sinα＜0．反之不成立.即可判断出结论．【解答】：解：由α为第三、四象限角.可得sinα＜0．反之不成立.例如 α=3π2． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（单选题.3分）A 为三角形ABC 的一个内角.若sinA+cosA= 1225 .则这个三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 【正确答案】：B【解析】：将已知式平方并利用sin 2A+cos 2A=1.算出sinAcosA=- 4811250 ＜0.结合A∈（0.π）得到A 为钝角.由此可得△ABC 是钝角三角形．【解答】：解：∵sinA+cosA= 1225 .∴两边平方得（sinA+cosA ）2= 144625 .即sin 2A+2sinAcosA+cos 2A= 144625 . ∵sin 2A+cos 2A=1.∴1+2sinAcosA= 144625 .解得sinAcosA= 12 （ 144625 -1）=- 4811250 ＜0.∵A∈（0.π）且sinAcosA ＜0.∴A∈（ π2 .π）.可得△ABC 是钝角三角形 故选：B ．【点评】：本题给出三角形的内角A 的正弦、余弦的和.判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识.属于基础题．15.（单选题.3分）已知函数f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数.则a 的取值范围是（ ） A.（1.2） B.（1.2] C.（1.3） D.（1.3]【正确答案】：B【解析】：由已知中f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数.结合底数的范围.可得内函数为减函数.则外函数必为增函数.再由真数必为正.可得a 的取值范围．【解答】：解：若函数f （x ）=log a （6-ax ）在x∈[2.3）上为减函数. 则 {a ＞16−3a ≥0 解得：a∈（1.2]．故选：B ．【点评】：本题考查的知识点是复合函数的单调性.其中根据已知分析出内函数为减函数.则外函数必为增函数.是解答的关键16.（单选题.3分）设x 1.x 2分别是f （x ）=x-a -x 与g （x ）=xlog a x-1（a ＞1）的零点.则x 1+9x 2的取值范围是（ ） A.[8.+∞） B.（10.+∞） C.[6.+∞） D.（8.+∞） 【正确答案】：B【解析】：函数的零点即方程的解.将其转化为图象交点问题.又有函数图象特点.得到交点的对称问题.从而求解．【解答】：解：由设x1.x2分别是函数f（x）=x-a-x和g（x）=xlog a x-1的零点（其中a＞1）.可知 x1是方程a x= 1x 的解；x2是方程1x=log a x 的解；则x1.x2分别为函数 y= 1x的图象与函数y=a x和函数y=log a x 的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1. 1x1）.B（x2. 1x2）由 a＞1.知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y=a x和y=log a x 以及 y= 1x的图象均关于直线y=x 对称. 所以两交点一定关于y=x 对称.由于点A（x1. 1x1）.关于直线 y=x的对称点坐标为（1x1.x1）.所以x1= 1x2.有x1x2=1.而x1≠x2则x1+9x2=x1+x2+8x2≥2 √x1x2 +8x2＞2+8=10.即x1+9x2∈（10.+∞）故选：B．【点评】：本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数．17.（问答题.0分）已知α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα.tanα的值.进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β）的值.根据两角差的余弦函数公式可求cosβ的值．【解答】：解：（1）∵α∈（0. π2）.sinα= 4√37.∴cosα= √1−sin2α = 17 .tanα= sinαcosα=4 √3 .∴tan2α= 2tanα1−tan2α = 2×4√31−(4√3)2=- 8√347．（2）∵α∈（0. π2）.β∈（0. π2）.sinα= 4√37.cos（α+β）=- 1114.∴α+β∈（0.π）.sin（α+β）= √1−cos2(α+β) = 5√314.∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（- 1114）× 17+ 5√314× 4√37= 12．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.二倍角的正切函数公式.两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.属于基础题．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=3x-a•3-x.其中a为实常数；（1）若f（0）=7.解关于x的方程f（x）=5；（2）判断函数f（x）的奇偶性.并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据f（0）=7.求解a的值.再解方程f（x）=5即可．（2）根据奇偶性定义判断即可．【解答】：解：（1）由f（0）=7.即1-a=7.可得a=-6.那么3x+6•3-x=5.∴（3x-2）（3x-3）=0.解得x=1或x=log32．（2）由f（-x）=-a•3x+3-x.当a=-1时.可得f（-x）=f（x）此时f（x）是偶函数.当a=1时.f（-x）=-f（x）此时f（x）是奇函数.当a≠±1时.f（x）是非奇非偶函数．【点评】：本题考查了奇偶性的定义判断和指数函数的化简运算.属于基础题．19.（问答题.0分）高境镇要修建一个扇形绿化区域.其周长为400m.所在圆的半径为r.扇形的圆心角的弧度数为θ.θ∈（0.2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式.并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时.才能使绿化区域的面积S最大.并求出此最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由扇形的周长求出θ的值.再根据题意求出r的取值范围.计算扇形的面积；（2）利用函数解析式求出S的最大值以及r的值．【解答】：解：（1）由题意知.扇形的周长为2r+θr=400.所以θ= 400−2rr；又θ∈（0.2π）.所以200π+1＜r＜200；所以扇形的面积为S= 12θr2= 12• 400−2rr=-r2+200r.其中r的取值范围是（200π+1.200）；（2）S（r）=-r2+200r=-（r-100）2+10000.当r=100时.S（r）取得最大值为10000.即半径为r=100m时.绿化区域的面积S最大.最大值10000m2．【点评】：本题考查了根据实际问题选择函数模型的应用问题.是基础题．20.（问答题.0分）已知函数y=f（x）的定义域为（1.+∞）.对于定义域内的任意实数x.有f （2x）=2f（x）成立.且x∈（1.2]时.f（x）=log2x．（1）当x∈（1.23]时.求函数y=f（x）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.求函数y=f（x）的最大值；（3）已知f（1200）=f（b）（实数b＞1）.求实数b的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件.对任意的x∈（1.+∞）.恒有f （2x ）=2f （x ）成立.所以f （x ）=2f （ x2 ）；且x∈（1.2]时.f （x ）=log 2x∈（0.1]；所以当x∈（2.4]时.x2 ∈（1.2].f （x ）=2f （ x 2 ）=2log 2 x 2∈（0.2]；同理可以依次推出当x∈（2n-1.2n ]时.f （x ）的解析式.即可得当x∈（1.23]时函数y=f （x ）的最大值；（2）当x∈（1.23.7]时.23≤23.7≤24.由（1）可得f （x ）的解析式.即可得函数值； （3）根据f （1200）=f （b ）（实数b ＞1）.解出b 的值.进而求实数b 的最小值即可．【解答】：解：（1）对任意的x∈（1.+∞）.恒有f （2x ）=2f （x ）成立.所以f （x ）=2f （ x2 ）； 且x∈（1.2]时.f （x ）=log 2x∈（0.1]；所以当x∈（2.4]时. x 2 ∈（1.2].f （x ）=2f （ x 2 ）=2log 2 x2 ∈（0.2]； 当x∈（4.8]时. x 2 ∈（2.4].f （x ）=2f （ x 2 ）=4log 2 x4 ∈（0.4]； 当x∈（8.16]时. x 2 ∈（4.8].f （x ）=2f （ x 2 ）=8log 2 x8 ∈（0.8]； …；当x∈（2n-1.2n ]时. x 2 ∈（2n-2.2n-1].f （x ）=2f （ x 2 ）=2n-1log 2 x2n−1 ∈（0.2n-1]； 所以x∈（2n-1.2n ]时.f （x ）的最大值是2n-1；所以x∈（1.23]时.f （x ）= { log 2x ，x ∈(1，2]2log 2x 2，x ∈(2，4]4log 2x 4，x ∈(4，8] .的最大值为f （23）=4log 2 2322 =4； （2）当x∈（1.23.7]时.23≤23.7≤24.所以f （x ）的最大值为f （23.7）=23×log 2 23.723 =8×（3.7-3）=5.6； （3）由f （1200）=f （b ）（实数b ＞1）. 且1200=210× 7564 .210＜210× 7564 ＜211. 所以f （1200）=210×log 2210×7564210 =210×log 2 7564 .f （b ）=f （2× b2 ）=2f （ b 2 ）=22f （ b22 ）=…=2n-1 f （ b2n−1 ）； 当 b2n−1 ∈（1.2]时.∴f （b ）=2n-1log 2 b2n−1 ；∵f （1200）=f （b ）.则210×log 2 7564 =2n-1log 2 b2n−1 ；b=2n-1• (7564)211−n .1＜n ＜11当n=10时.b2n−1 =（ 7564 ）2∈（1.2]；b=29×（ 7564）2；当n=9时. b 2n−1 =（ 7564 ）4∈（1.2]；b=28×（ 7564 ）4；当n=8时. b2n−1 =（7564）8∉（1.2]；…29×（7564）2＞28×（7564）4；∴实数b的最小值为28×（7564）4=256×（7564）4．【点评】：本题考查了抽象函数及其应用.考查了计算能力.分析解决问题的能力.转化与化归的思想.属于中档题．21.（问答题.0分）已知函数f（x）=log a（x+ √x2−1）．x∈（1.+∞）.a＞0且a≠1．（1）若a为整数.且f（2a+2−a2）=2.试确定一个满足条件的a的值；（2）设y=f（x）的反函数为y=f -1（x）.若f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.试确定a的取值范围；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）.令g（x）= 2f −1(x)+k2f−1(x)+1.若对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.试确定实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由对数和指数的运算性质.化简可得所求值；（2）由反函数的定义和求解步骤.可得f -1（x）= a x+a−x2（若a＞1.x＞0；若0＜a＜1.x＜0）.再由指数函数和对勾函数的单调性.对a讨论.可得所求范围；（3）求得y=f-1（x）= 2x+2−x2（x＞0）.g（x）=1+ k−12x+2−x+1.对k讨论.分k=1.k＞1.k＜1.判断g（x）的单调性可得g（x）的值域.再由题意可得任意两个尽可能小的函数值不小于另一个尽可能大的函数值.解不等式可得所求范围》【解答】：解：（1）由f（x）=log a（x+ √x2−1）.x＞1.a＞0且a≠1.可得f（2a+2−a2）=log a（2a+2−a2 + √4a+2+4−a4−1）=log a（2a+2−a2 + 2a−2−a2）=log a2a=2.即a2=2a.可得整数a=2或4；（2）由y=f（x）=log a（x+ √x2−1）.x＞1.可得a y=x+ √x2−1 .即a y-x= √x2−1 . 平方可得a2y-2xa y+1=0.即有x= a y+a−y2.可得f -1（x）= a x+a−x2（若a＞1.x＞0；若0＜a＜1.x＜0）.f-1（n）＜4n+4−n2（n∈N*）.即为a n+a−n2＜4n+4−n2.若0＜a＜1.则a n+a-n单调递减.可得14＜a＜1；可得a的取值范围为（14.1）∪（1.4）；（3）若a=2.此时y=f（x）的反函数为y=f-1（x）= 2x+2−x2（x＞0）.g（x）= 2f−1(x)+k2f−1(x)+1 = 2x+2−x+k2x+2−x+1=1+ k−12x+2−x+1.当k=1时.g（x）=1.符合题意；当k＞1时.g（x）在x＞0递减.可得g（x）∈（1.1+ k−13）.对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.可得1+1≥1+ k−13.解得1＜k≤4；当k＜1时.g（x）在x＞0递增.可得g（x）∈（1+ k−13.1）.对一切实数x1.x2.x3.不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立.可得2（1+ k−13）≥1.解得- 12≤k＜1．综上可得k的范围是[- 12.4]．【点评】：本题主要考查函数恒成立问题解法.注意运用函数的单调性和转化思想.考查反函数的求法.化简整理的运算能力.是一道难题．。
【精准解析】上海市上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
上海中学高一下期末数学试卷一、填空题1.在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n - 【解析】 【分析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -.【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 2.在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12 【解析】 【分析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果.【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】 【分析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果. 【详解】因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15 【解析】 【分析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +==因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案：6或7【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6.数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项．【答案】1536 【解析】 【分析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置.【详解】由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 7.已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果. 【详解】由题意可知：方程cos23sin21x x a+=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos23sin2=+f x x x，1y k=+等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos23sin22sin26f x x x xπ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k故答案为：[0,1)【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题.8.在数列{}n a中，11a=，1()1nnnaa na*+=∈+N，则na=________．【答案】1n【解析】【分析】先由11nnnaaa+=+，得到1111n na a，求出数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果.【详解】因为11nnnaaa+=+，所以11nn n na a aa+++=，则1111n na a，所以数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.9.111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】 【分析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．10.数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nna =， 则这个数列的前2n项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++- 【解析】 【分析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列，∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-.【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.11.一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________．【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】 【分析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果.【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题.12.若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N ，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+111()3n nn nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+， ∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题. 二、选择题13.用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（） A. 21k +B.211k k ++ C.231k k ++ D.()221k +【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.14.“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分必要【答案】B 【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立.【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立， 若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 15.等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A.17B. 17-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可.【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题.16.n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A. 任一项均不为0 B. 必有一项为0C. 至多有有限项为0D. 或无一项为0，或无穷多项为0【解析】 【分析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择.【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q=⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D【点睛】本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题. 三、解答题17.有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c === 【解析】 【分析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可.【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+， 于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩ ，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18.解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈． 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】（1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x k πππ-=+或32()44x k k πππ-=+∈Z ， ∴22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19.已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】（1）2n a n =-；（2）12n n-. 【解析】【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得11021210a d a d ⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111a d ⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， ∵1121212222n n n n n a n n －－－－－＝＝－， ∴S n ＝2211121222n ⎛⎫⋯ ⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222n n ⎛⎫⋯ ⎪⎝⎭－＋＋＋＋ 记T n ＝21231222n n ⋯－＋＋＋＋，①则12T n ＝231232222n n ⋯＋＋＋＋，② ①－②得：12T n ＝1＋211112222n n n -⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值． 【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】 【分析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值． 【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =， 又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a = ∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21.对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11,0,{0,0.n n nn a a a a +≠==其中1,2,3n =．（1）若2a =，求数列{}n a ；（2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设pa q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论． 【答案】（1）21n a =-；（2）15313,21,22⎧⎫-+-+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数构成的集合；（3）由是有理数，可知对一切正整数，为或正有理数，可设nn np a q =（是非负整数，是正整数，且，互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1221a ==，2111212121a a ==-，若21k a =，则112121k ka a +===，所以21n a =. （2）1a a a ==，所以114a <<，所以114a<<， ①当112a <<，即112a <<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=， 解15a -+=151(,1)2a --=，舍去）.②当1132a <≤，即123a≤<时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=， 解28212a -+==-（1121(,]32a =--∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=， 解得3132a -+=（31311(,]243a --=∉舍去）.综上15313,21,22⎧⎫-+-+⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）成立.由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设nn np a q =（n p 是非负整数，是正整数，且nnp q 既约）. ①由111p pa q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数），则n n nq p p βα=+，而由n n n p a q =得1nn n q a p =，11n n n n nq a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=， 若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾. 故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数，都有0n a =. 考点：（1）新定义；（2）数列递推式.。
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】(1)
2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角 中， ，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺 ＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列 ；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若 「二、 ，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为 门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打 中， 若且的前•项和有最小值， 则使得 |的最小 值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若 灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、 解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「 「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的 内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人 、 和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知 一万件，• 一 万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为 ，公比为，亩戏口 (1 )若 成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下 自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和 为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心 十 M 二& 3,1~-二心 二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时 试题分析：严 响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析
上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市交大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1．要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】C【解析】将所给函数化为3sin 26y x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数相位变换原则可得结果. 【详解】3sin 23sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴只需将3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度即可得到3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的相位变换，关键是明确相位变换是针对x 的变化量的变换，遵循“左加右减”原则.2．O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，[)0,μ∈+∞，则P 点的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】先根据||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，确定||||A AB A AC CB →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，再由AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭可得到AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，可得答案．【详解】 解：||AB AB →→、||AC AC →→分别表示向量AB →、AC →方向上的单位向量，∴||||A AB A AC C B →→→→+的方向与BAC ∠的角平分线一致，又AB AC OP OA AB AC μ→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴AB AC OP OA AP AB AC μ→→→→→→→⎛⎫ ⎪ ⎪-==+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴向量AP →的方向与BAC ∠的角平分线一致∴P 点的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和向量的数乘，以及对三角形内心的理解，考查化简运算能力．3．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值.【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ，12n n n n b a a a ++=， 12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.4．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6 B ．83C ．127D ．4【答案】A【解析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△， 设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABCS x y z t t t t=++=++=△，∴6216121ABCOBCtSS t==△△．故选：A．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性．二、填空题5．计算：5arcsin sin6π⎛⎫=⎪⎝⎭______；【答案】6π【解析】用诱导公式把5sin6π中的角化到,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦中即可由反正弦函数定义得出结论．也可直接计算．【详解】5arcsin sin arcsin sin666πππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．或者51arcsin sin arcsin626ππ⎛⎫==⎪⎝⎭故答案为：6π．【点睛】本题考查反正弦函数，掌握反正弦函数定义是解题关键，注意反正弦函数的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．6．关于未知数x ，y 的方程组对应的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，则此方程组的解x y +=______；【答案】307【解析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程的解x ，y ，最后求x y +的值. 【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，得到二元线性方程组的表达式2+6320x y x y =⎧⎨-=⎩， 解得127187x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x y +=307. 故答案为: 307. 【点睛】此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，属于基础题. 7．设3,sin 2a α⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos2=α__________．【答案】0【解析】根据平面向量共线定理可以得到等式，用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，求出2α的值，最后计算出它的余弦值即可. 【详解】 因为//a b ，所以31sin cos sin 2122()232k k Z πααααπ⨯=⇒=⇒=+∈， 因此cos 2cos(2)0()2k k Z παπ=+=∈.故答案为：0 【点睛】本题考查了两个平面向量共线定理，考查了二倍角的正弦公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力.8．已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3xπ=，则a =______；【解析】根据三角函数的性质可知()f x 在3x π=取得最大值或最小值，建立方程即可求解. 【详解】()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+，其中ϕ是辅助角， 3x π=是()f x 的一条对称轴，231()1322f a a ，整理得230a -+=，解得a =【点睛】本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.9．已知平面向量,a b 满足3a =，2b =，3a b ⋅=-，则2a b += .【解析】试题分析：因为222|2|44316127a b a b a b +=++⋅=+-=，所以27a b +=【考点】向量数量积，向量的模10．设211S =，2222121S =++，22222312321S =++++，…，222221221n S n =++++++，希望证明()2213nn n S +=，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到1k +应添的项是______. 【答案】()221k k ++【解析】写出1,k k S S +的表达式，通过比较可以知道第二步从k 到1k +应添的项. 【详解】当n k =时，222222212(1)(1)21k S k k k =+++-++-+++,当1n k =+时，2222222122(12(1)()21)11k k S k k k k +=+++-+++++-+++,通过对比可以发现，第二步从k 到1k +应添的项是()221k k ++.故答案为：()221k k ++ 【点睛】本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题.11．已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______； 【答案】25-【解析】由已知得()c a b =-+，再两边平方22+2+25a a b b ⋅=，求得0a b ⋅=，代入可求得答案. 【详解】因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，又因为5c =， 所以()225a b+=，即22+2+25a a b b ⋅=，又3a =，4b =，所以9+2+1625a b ⋅=，所以0a b ⋅=，所以()()20+25a b b c c a a b c b a c c c ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅-=-=-， 故答案为：25-. 【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的数量积，以及向量的模的计算，属于中档题.12．若数列{}n a 为无穷等比数列，且()1231lim 2n n n a a a a a -→∞+++⋅⋅⋅++=-，则1a 的取值范围是______； 【答案】()()4,22,0--⋃-【解析】根据无穷等比数列的前n 项和的极限求解． 【详解】设数列{}n a 公比是q ，在1q <且0q ≠时，()11231lim 21n n n a a a a a a q-→∞+++⋅⋅⋅++==--， ∴12(1)a q =-，又11q -<<且0q ≠，210q -<-<且11q -≠-，∴142a -<<-或120a -<<．故答案为：()()4,22,0--⋃- 【点睛】本题考查无穷等比数列的和，数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S ，在1q <时，1lim 1n n a S q→∞=-．若1q ≥，则lim n n S →∞不存在． 13．设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则123456789a a a a a a a a a =______； 【答案】0；【解析】根据行列式计算法则和等比数列性质计算即可. 【详解】数列{}n a 是公比为q 的等比数列123456159483726753429186789a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴=++--- 33548372654837260a a a a a a a a a a a a a a .故答案为：0. 【点睛】本题考查等比数列的性质，以及行列式的相关计算，属于中档题.14．已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 【答案】()()7,11,7-⋃【解析】利用()()0a b a b +⋅->去掉同向的情形即得． 【详解】由题意()()0a b a b +⋅-> ，即220a b ->，2222551λ+>+，∴77λ-<<，若()a b k a b +=-，则5(5)51(51)k k λλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得321k λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，综上λ的范围是()()7,11,7-⋃． 故答案为：()()7,11,7-⋃． 【点睛】本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，,a b 是两个非零向量，则,a b 夹角是锐角时，0a b⋅>，,a b夹角是钝角时，0a b⋅<，反之要注意,a b可能同向也可能反向．15．如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA2=，OC4=，AC5=，则OB OD⋅=______．【答案】52-【解析】建立坐标系，设()O m,n，()C a,b，根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算OB OD⋅的值．【详解】以A为原点，以AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设()O m,n，()B a,0，()D0,b，则()C a,b，OA2=，OC4=，AC5=，222222a b25m n4()()16m a n b⎧+=⎪∴+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：13am bn2+=．又()OB a m,n=--，()OD m,b n=--，()()()22135OB OD m m a n n b m n am bn422∴⋅=-+-=+-+=-=-．故答案为52-．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．16．已知平面直角坐标系内定点()1,1A ，动点B 满足2AB →=，动点C 满足3CB →=，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______； 【答案】24π【解析】本题先将B 固定，得到C 的轨迹，C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形. 【详解】因为动点B 满足2AB →=，所以B 点的轨迹是以A 为圆心，2为半径的一个圆， 又因为动点C 满足3CB →=，所以C 点轨迹是以B 为圆心，3为半径的一个圆，当B 点在圆上运动时，点C 的轨迹是以点A 为圆心、以5为半径的圆， C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示，即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为22=5124S πππ⋅-⋅=. 故答案为：24π 【点睛】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成整个圆，属于中档题.三、解答题17．解关于x .y 的一元二次方程组()3322ax y a x a y +=--⎧⎨+-=-⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【解析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】 （1）当33122aa a 时，方程组有无数个解， 解得3a =； （2）当33122a a a 时，方程组无解， 解得1a =-；（3）当312a a 时，方程组只有一组解为4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，解得3a ≠且1a ≠-，综上，3a =，无数个解；1a =-，无解；3a ≠且1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 18．已知x ∈R ，设()3cos ,sin cos m x x x =-，()2sin ,sin cos n x x x =+，记函数()f x m n =⋅.（1）求函数()f x 的最小值，并求出函数()f x 取最小值时x 的值；（2）设ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，c =，求ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）min 2y =-，,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）【解析】(1)先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f （x ）=2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质即可求出答案； （2）先求出C 的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出3ab ≤，根据三角形的面积公式即可求出答案. 【详解】（1）()2223sin cos sin cos f x m n x x x x =⋅=+-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2262x k ππ-=π-，k ∈Z ，即()6x k k Z ππ=-∈时，sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()f x 取最小值2-，所以，()f x 的最小值为2-，所求x 的取值集合是,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭； （2）由()2f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，3C π=，在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ABC 的面积11sin 32224S ab C =≤⨯⨯=，因此ABC 的面积S 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式，两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题. 19．已知ABC 内接于O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值. 【答案】（1）56π；（2）2. 【解析】（1）由230OA OB OC ++=可得2223OB OCOA ，解得3cos BOC，即可求出56BOC ； （2）由60BAC ∠=︒可得120BOC ∠=︒，再由AO OC OB λμ=+平方后得221λμλμ+-=，利用基本不等式可求出λμ+的最大值.【详解】 （1）230OA OB OC ++=， 23OBOCOA ，则2223OBOCOA ，即2224433OBOB OC OCOA ,2222443cos 3r r BOC r r ，解得3cos 2BOC, 56BOC; （2）60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，AO OC OB λμ=+，()()22AOOC OB λμ∴=+，即222222AO OC OC OB OB λλμμ=+⋅+，2222222cos120r r r r ，整理得221λμλμ+-=，即231，22，22132，解得24，即2λμ+≤，当且仅当1λμ==时等号成立，∴λμ+的最大值为2.【点睛】本题考查向量数量积的应用，以及利用基本不等式求最大值，属于综合题. 20．已知平方和公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，其中*n N ∈.（1）记()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，其中*n N ∈，求()20f 的值；（2）已知()()22222213214948242n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，求自然数n 的值； （3）抛物线2y kx =.x 轴及直线:AB x a =围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以an为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，n 等于这些内接矩形面积之和.2222231a a a a a a a n k k k k a n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n →+∞时的极限值.图（3）中的曲线为开口向右的抛物线2y x =，抛物线y x =x 轴及直线:4AB x =围成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式.反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积.【答案】（1）47980；（2）72；（3）163. 【解析】（1）将(20)f 化为2222222222221234565758593657，即可结合公式求解；（2）分别转化()()222222242412n n ++⋅⋅⋅+=+++和()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦，然后根据公式求解，建立方程即可求出n ； （3）线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，则阴影部分的面积可看作是这些内接矩形的面积之和，利用极限即可求出. 【详解】 （1）()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，22222222(20)595652145558f2222222212457858592222222222221234565758593657222259601199123196192039702109479806；（2）()()()()22222221212424123n n n n n ++++⋅⋅⋅+=+++=，()()()()222222222221321123221242n n n n ⎡⎤∴++⋅⋅⋅++=++++++-+++⎣⎦212112122122436333n n n n n n n n n ，()()22222213212349248242n n n n ++⋅⋅⋅+++∴==++⋅⋅⋅+， 解得72n =；（3）由题可知，2AB =,如图，把线段AB 分成n 等份，作以2n为底的内接矩形，设阴影部分的面积为S ，则S 可看作是这些内接矩形的面积之和， 则222222242622(1)4444n Snnnnnnnn22222222411231n n nn n328112181644633n n n n nn n n ，当n →+∞时，163S， 所以阴影部分的面积为163. 【点睛】本题考查根据所给公式化简求值，以及用极限求面积，属于较难题.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭成立.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）21n b n =-；（3）存在，1c ，2c ，5c 或2a ，3c ，5c .【解析】（1）当2n ≥时，类比写出1123n n S a --+=，两式相减整理得113n n a a -=，当1n =时，求得10a ≠，从而求得数列{}n a 的通项公式.；（2）将113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列{}n b 的通项公式；（3）由n c 的通项公式分析，得12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，且s p r <<，则2p s r c c c =+，即()1112212121333p s r p s r ------=+，根据数列{}n c 的单调性，化简得722p ≤<，将2p =或3p =代入已知条件，即可得到结论. 【详解】（1）由23n n S a +=， ① 得()11232n n S a n --+=≥， ② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥， 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数， 所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13， 即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈；（2）由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ③则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ④则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ⑤由③-⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，因此21n b n =-，*n N ∈， （3）由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==， 则()11412121333n n n n n n n n c c +--+--=-=， 所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>…，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+（），即()1112212121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥， 因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>， 即()122212333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p ≥且*∈p N ，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意，当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入（）式得19r c =， 因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以=5r ， 综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y ＝．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是．（不用化简）7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝，•＝．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）计算：arcsin（sin）＝．【分析】由题意利用反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，求得结果．【解答】解：arcsin（sin）＝arcsin＝，故答案为：．【点评】本题主要考查反正弦函数的定义，特殊角的三角函数值，属于基础题．2．（3分）关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，则此方程组的解x+y＝．【分析】推导出，由此能求出x+y的值．【解答】解：∵关于未知数x，y的方程组对应的增广矩阵为，∴，解得，∴x+y＝．故答案为：．【点评】本题考查方程的解求法，考查增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（3分）设，，且∥，则cos2α＝0．【分析】由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值，再求cos2α的值．【解答】解：由，，且∥，则sinαcosα﹣×＝0，所以sinαcosα＝，所以sin2α＝1；所以2α＝+2kπ，k∈Z；所以cos2α＝0．故选：0．【点评】本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题．4．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则a＝．【分析】由题意化简函数f（x），将函数的对称轴代入可得辅助角的值，进而求出正切值，可得a的值．【解答】解：由题意显然a≠0，当a＞0时，f（x）＝sin（x+α），且tanα＝，因为函数的一条对称轴为x＝，所以+α＝+kπ，k∈Z，所以α＝+kπ，k∈Z，则tanα＝tan（+kπ）＝，所以＝，解得：a＝；当a＜0，则f（x）＝﹣sin（x+α），且tanα＝，下面运算相同，综上所述，可得a＝，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质，属于基础题．5．（3分）已知平面向量，满足||＝，||＝2，＝﹣3，则||＝．【分析】求出（）2，开方即为||．【解答】解：（）2＝＝3﹣12+16＝7，∴||＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．6．（3分）设S1＝12，S2＝12+22+12，S3＝12+22+32+22+12，…，S n＝12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n＝，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2．（不用化简）【分析】分别写出n＝k与n＝k+1时S n中的项，然后确定从k到k+1应添的项．【解答】解：当n＝k时，S n＝12+22+32+…+k2+…+32+22+12，那么，当n＝k+1时，S k+1＝12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2，故答案为：（k+1）2+k2．【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．7．（3分）已知++＝，且||＝3，||＝4，||＝5，则•+•+•＝﹣25，•＝0．【分析】首先，根据++＝得到，然后，根据||＝5，求解，然后，再求解•+•+•的值．【解答】解：∵++＝，∴，∵||＝5，∴（）2＝25，∴|＝25，∵||＝3，||＝4，∴9+2+16＝25，，∴•+•+•＝•+•（+）＝﹣（）2＝0﹣25＝﹣25．故答案为：﹣25；0．【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算，数量积的运算性质等知识，属于中档题．8．（3分）若数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，则a1的取值范围是（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【分析】设公比为q，由题意可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，解不等式可得所求范围．【解答】解：数列{a n}为无穷等比数列，且（a1+a2+a3+…+a n﹣1+a n）＝﹣2，设公比为q，可得0＜|q|＜1，且＝﹣2，则q＝1+，由0＜|1+|＜1，解得﹣4＜a1＜﹣2或﹣2＜a1＜0，故答案为：（﹣4，﹣2）∪（﹣2，0）．【点评】本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（3分）设数列{a n}是公比为q的等比数列，则＝0．【分析】利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】解：∵数列{a n}是公比为q的等比数列，∴＝a1a5a9+a4a8a3+a2a6a7﹣a7a5a3﹣a8a6a1﹣a4a2a9＝++﹣﹣﹣＝0．故答案为：0．【点评】本题考查三阶行列式的值的求法，考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（3分）已知向量＝（5，5），＝（λ，1），若+与﹣的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．【分析】可先求出，根据题意即可得出，然后解出λ的值即可．【解答】解：，∵与的夹角是锐角，∴，且与不共线，∴，解得﹣7＜λ＜7且λ≠1，∴实数λ的取值范围为（﹣7，1）∪（1，7）．故答案为：（﹣7，1）∪（1，7）．【点评】本题考查了向量坐标的加法和减法运算，向量数量积的计算公式，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．11．（3分）如图，已知O为矩形ABCD内的一点，且OA＝2，OC＝4，AC＝5，则＝﹣．【分析】建立坐标系，设O（m，n），C（a，b），根据条件得出O，C的坐标之间的关系，再计算的值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设O（m，n），B（a，0），D（0，b），则C（a，b），∵OA＝2，OC＝4，AC＝5，∴，整理可得：am+bn＝．又＝（a﹣m，﹣n），＝（﹣m，b﹣n），∴＝m（m﹣a）+n（n﹣b）＝m2+n2﹣（am+bn）＝4﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．12．（3分）已知平面直角坐标系内定点A（1，1），动点B满足||＝2，动点C满足||＝3，则点C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为24π．【分析】本题先将B固定，得到C的轨迹，C的轨迹随着B的动点而运动从而形成一个圆环，即C在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】解：因为动点B满足||＝2，所以B点的轨迹是以A为圆心，2为半径的一个圆，又因为动点C满足||＝3，所以C点轨迹是以B为圆心，3为半径的一个圆，当B点在圆上运动时，C点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环，其中大圆的半径为5，小圆的半径是1，所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为．【点评】本题考查根据曲线的轨迹方程求面积，考查学生的直观想象能力和作图能力，易错点是把覆盖的面积看成一整个圆，属于中档题．二、选择题13．（3分）要得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位即可实现目标．【解答】解：由于函数y＝3sin（2x+）＝3sin2（x+），故只要将函数y＝3sin2x的图象相左平移个单位，即可得到函数y＝3sin（2x+）的图象．故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，属于中档题．14．（3分）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到＝λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．【点评】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15．（3分）已知数列{a n}为等差数列，a1＜0且a1+a2+a3+…+a199＝0，设b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当{b n}的前n项和S n最小时，n的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据等差数列的性质，可推得a100＝0，进而可得数列{a n}为递增数列，a99＜0，a101＞0，根据题意，b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），当n≤97时，b n＜0；当n＝98，n＝99，n ＝100时，b n＝0；当n≥101时，b n＞0．所以{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列∴a1+a199＝a2+a198＝…＝a99+a101＝2a100，又∵a1+a2+a3+…+a199＝0，即199a100＝0，∴a100＝0．又∵a1＜0，∴数列{a n}为递增数列，∴a99＜0，a101＞0，∵b n＝a n a n+1a n+2（n∈N*），∴{b n}的前n项和S n＝a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2，当n≤97时，b n＜0，当n＝98，n＝99，n＝100时，b n＝0，当n≥101时，b n＞0，∴{b n}的前n项和S n最小时，n＝97或n＝98或n＝99或n＝100，共4个．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，考查数列的前n项和的最值，考查学生运算和推理的能力，属于中档题．16．（3分）设O为△ABC所在平面内一点，满足2﹣7﹣3＝，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6B．C．D．4【分析】先设设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则＝k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案．【解答】解：不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有＝k，又因为，，，那么，，，，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了向量的数乘运算，重心的性质，三角形的面积公式，考查了转化与化归的数学思想，属于难题．三.解答题：17．解关于x、y的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论．【分析】（1）若＝＝（a﹣2≠0），解得a，可得方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），解得a，可得方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解出即可判断出结论．．若a﹣2≠0，≠，解出可得方程组有唯一解．【解答】解：（1）若＝＝（a﹣2≠0），则a＝3，此时两条直线重合，方程组有无数个解．（2）若＝≠（a﹣2≠0），则a＝﹣1，此时两条直线平行，方程组无解．（3）若a＝2时，方程组化为：，解得．若a﹣2≠0，≠，则a≠3，﹣1，2，此时两条直线相交，方程组有唯一解．【点评】本题考查了方程组的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知x∈R，设＝（cos x，sin x﹣cos x），＝（2sin x，sin x+cos x），记函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的最小值，并求出函数f（x）取最小值时x的值；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）＝2，c＝2，求△ABC的面积S的最大值．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f（x）＝2sin（2x﹣）．（1）根据正弦函数的图象可知，当2x﹣＝+2kπ时，f（x）可取得最小值．（2）易知C＝，由余弦定理得，cos C＝，再利用基本不等式的性质可求出ab的最大值，然后根据S△ABC＝ab sin C即可得解．【解答】解：f（x）＝＝2sin x cos x+（sin x﹣cos x）（sin x+cos x）＝sin2x﹣cos2x ＝2sin（2x﹣）．（1）∵x∈R，∴2x﹣∈R，当2x﹣＝+2kπ，即x＝+kπ，k∈Z时，f（x）min＝2×（﹣1）＝﹣2．故f（x）的最小值为﹣2，此时x＝+kπ，k∈Z．（2）∵f（C）＝2，∴2sin（2C﹣）＝2，∴2C﹣＝+2π，k∈Z，即C＝+kπ，k∈Z．∵C∈（0，π），∴C＝．由余弦定理知，cos C＝，即＝≥，当且仅当a＝b时，取等号．∴ab≤12，∴S△ABC＝ab sin C≤＝．故△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查平面向量与解三角形的综合运用，包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．已知△ABC内接于⊙O，AB＝c，BC＝a，CA＝b，⊙O的半径为r．（1）若+2+＝，试求∠BOC的大小；（2）若A为动点，∠BAC＝60°，＝，试求λ+μ的最大值．【分析】（1）根据+2+＝，得∴﹣＝2+，等式两边同时平方，即可求得cos∠BOC＝﹣，进而求得∠BOC＝．（2）因为⊙O中，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°，＝，等式两边同时平方，可得λ2+μ2＝λμ+1，根据均值不等式，即可求得λ+μ≤2．【解答】解：（1）∵+2+＝，∴＝2+，∴2＝（2+）2，∵AO＝OB＝OC＝r，∴r2＝4r2+2•2•r2•cos∠BOC+3r2，计算得cos∠BOC＝﹣，由题，∠BOC∈（0，π），∴∠BOC＝．（2）由题，⊙O中，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，＝，∴2＝（）2，∴r2＝λ2r2+2•λ•μr2•cos120°+μ2r2，∴λ2+μ2＝λμ+1，根据题意，可知λ＞0，μ＞0，∴（λ+μ）2＝3λμ+1≤3•+1，（当且仅当λ＝μ时等式成立），∴（λ+μ）2≤4∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想，属于中档题．20．（4分）已知平方和公式：12+22+…+n2＝，其中n∈N*．（1）记f（n）＝（﹣3n+1）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（3n﹣2）2，其中n∈N*，求f（20）的值；（2）已知＝，求自然数n的值；（3）抛物线y＝kx2、x轴及直线AB：x＝a围成了如图（1）的阴影部分，AB与x轴交于点A，把线段OA分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S，等于这些内接矩形面积之和．×k×（）2×k×（）2×k×（）2+…+×k×（a）2，当n→+∞时的极限值S＝[k•（）2+k•（）2+k•（）2+…+k•（）2]2•＝•ak＝•ak＝ak．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2＝x．抛物线y＝、x轴及直线AB：x＝4围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【分析】（1）直接利用关系式的应用求出函数的值．（2）利用合比性质的应用求出n的值．（2）首先求出被积函数原函数，进一步求出定积分的值．【解答】解：（1）f（20）＝（﹣59）2+（﹣56）2+…+（﹣5）2+（﹣2）2+12+42+…+（58）2，＝12+22+32+...+592﹣[32+62+92+ (572)＝12+22+32+…+592﹣[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2]＝12+22+32+…+592﹣[9×（12+22+32+…+192）]＝﹣9×＝47980；（2）＝，由合比性质可知＝，所以＝，解得n＝72，所以自然数n的值为72．（3）S＝＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的求和，合比性质，定积分，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21．设数列{a n}的前n项和为S n，2S n+a n＝3，n∈N*，数列{b n}满足：对于任意的n∈N*，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n＝a n b n，问：数列{c n}中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将n换为n﹣1，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣1+…+a n b1＝（）n﹣1+3n﹣3中的n换为n﹣1，乘以，相减可得所求通项公式；（3）求得c n＝a n b n＝，讨论单调性，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，运用等差数列中项性质和不等式的性质，推理运算，即可得到所求结论．【解答】解：（1）由2S n+a n＝3，①得2S n﹣1+a n﹣1＝3，（n≥2），②由①﹣②得2a n+a n﹣a n﹣1＝0，即a n＝a n﹣1（n≥2）．对①取n＝1得，a1＝1≠0，所以a n≠0，所以{a n}为等比数列，首项为1，公比为，即a n＝（）n﹣1，n∈N*．（2）由a n＝（）n﹣1，可得对于任意n∈N*．有b n+b n﹣1+（）2b n﹣2+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+3n﹣3，③则b n﹣1+b n﹣2+（）2b n﹣3+…+（）n﹣2b1＝（）n﹣2+3n﹣6，n≥2，④则b n﹣1+（）2b n﹣2+（）3b n﹣3+…+（）n﹣1b1＝（）n﹣1+n﹣2，n≥2，⑤由③﹣⑤得b n＝2n﹣1（n≥2），对③取n＝1得，b1＝1也适合上式，因此b n＝2n﹣1，n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n＝a n b n＝，则c n+1﹣c n＝﹣＝，所以当n＝1时，c n+1＝c n，即c1＝c2，当n≥2时，c n+1＜c n，即{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，故c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，假设存在三项c s，c p，c r成等差数列，其中s，p，r∈N*，由于c1＝c2＞c3＞c4＞c5＞…，可不妨设s＜p＜r，则2c p＝c s+c r（*），即＝+，因为s，p，r∈N*，且s＜p＜r，则s≤p﹣1且p≥2，由数列{c n}的单调性可知，c s≥c p﹣1，即≥，因为c r＝+，＞0，所以＝+＞，即以＞，化简得p＜，又p≥2且p∈N*，所以p＝2或p＝3，当p＝2时，s＝1，即c1＝c2＝1，由r≥3时，c r＜c2＝1，此时c1，c2，c r不构成等差数列，不合题意．当p＝3时，由题意s＝1或s＝2，即c s＝1，又c p＝c3＝，代入（*）式得c r＝．因为数列{c n}在n≥2且n∈N*上单调递减，且c5＝，r≥4，所以r＝5．综上所述，数列{c n}中存在三项c1，c3，c5或c2，c3，c5构成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列中项性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析
上海交通大学附属中学2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C略2. 已知角终边上一点的坐标为（），则的值是（）A．2 B．-2 C. D．参考答案：D3. 如果，，那么直线不经过的象限是 ( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，A，则B=（）A. B. C. 或 D. 或参考答案：D【分析】由正弦定理，可得：，进而可求解角B的大小，得到答案。
【详解】由题意，因为，，，由正弦定理，可得：，又因为，则，可得：，所以或．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
5. 下列命题正确的个数是 ( )①②③④（）=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略6. 数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n=（）A．n2﹣n+1 B．C．D．2n+1﹣3参考答案：C【分析】3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…，a n=1+2+3+…+n，利用等差数列的求和公式可求数列的通项公式．【解答】解：由题意，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，∴a n=1+2+3…+n=故选C．【点评】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项公式的关键是挖掘各项的规律，再进行猜测．7. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 o*m( )（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱参考答案：B略8. 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c等于()A．－a＋3b B．a－3bC．3a－b D．－3a＋b参考答案：B略9. 函数的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设=t，t≥0，则x=t2+2，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设=t，t≥0，则x=t2+2，则函数等价于：y=2t2+t+3，t≥0，∵y=2t2+t+3在[0，+∞）上是增函数，∴y min=2×02+0+3=3．∴函数的最小值是3．故选A．【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题．10. 设偶函数满足，则（）A B C D参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是_____元.参考答案：225012. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l方程为_______________.参考答案：或【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，直线方程为，即，当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.故答案为：或．【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 已知直线和直线平行，那么实数k=___________. 参考答案：4【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线,即，直线，即，又直线和直线平行，∴，即=4故答案为：4【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在中，若，则角B=___________参考答案：15. 化为y=为a的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
2019-2020学年上海交大附中高一上学期期末考数学试卷含详解
2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题1．弧度数为2的角的终边落在第象限．2．若幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（3）＝．3．已知＝2，则tanα的值为．4．＝．5．已知lg2＝a，10b＝3，则log125＝．（用a、b表示）6．若tanα＝；则cos（2α+）＝．7．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是．8．已知θ∈（0，），2sin2θ＝1+cos2θ，则tanθ＝．9．已知α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝﹣，则sinα﹣cosα＝10．已知锐角α，β满足sin（2α+β）＝3sinβ，则tan（α+β）cotα＝．11．已知α，β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，2α﹣β的值为．12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]＝，则f（log2sin）＝．二、选择题13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．A为三角形ABC的一个内角，若sin A+cos A＝，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．已知函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，2]C．（1，3）D．（1，3]16．设x1，x2分别是f（x）＝x﹣a﹣x与g（x）＝x log a x﹣1（a＞1）的零点，则x1+9x2的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（10，+∞）C．[6，+∞）D．（8，+∞）三、解答题17．已知α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．18．已知函数f（x）＝3x﹣a•3﹣x，其中a为实常数；（1）若f（0）＝7，解关于x的方程f（x）＝5；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆心角的弧度数为θ，θ∈（0，2π）．（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指数r的取值范围：（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值．20．已知函数y＝f（x）的定义域为（1，+∞），对于定义域内的任意实数x，有f（2x）＝2f（x）成立，且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x．（1）当x∈（1，23]时，求函数y＝f（x）的最大值；（2）当x∈（1，23.7]时，求函数y＝f（x）的最大值；（3）已知f（1200）＝f（b）（实数b＞1），求实数b的最小值．21．已知函数f（x）＝log a（x+）．x∈（1，+∞），a＞0且a≠1．（1）若a为整数，且f（）＝2，试确定一个满足条件的a的值；（2）设y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），若f﹣1（n）＜（n∈N*），试确定a的取值范围；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），令g（x）＝，若对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，试确定实数k的取值范围．2019-2020学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题1．【解答】解：根据题意，＜2＜π，则弧度数为2的角的终边落在第二象限，故答案为：二2．【解答】解：幂函数f（x）＝xα图象过点，则2α＝，解得α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1；∴f（3）＝3﹣1＝．故答案为：．3．【解答】解：∵＝＝2，∴tanα＝5．故答案为：5．4．【解答】解：＝cos＝﹣cos＝﹣，故答案为：．5．【解答】解：∵10b＝3，∴lg3＝b，又lg2＝a，∴log125＝．故答案为：．6．【解答】解：∵tanα＝，∴cos（2α+）＝﹣sin2α＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．7．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝2x﹣1≥1，当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a，∵函数f（x）＝的值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到﹣∞，即满足：，解得0≤a＜，故答案为：[0，）．8．【解答】解：∵θ∈（0，），∴cosθ＞0，∵2sin2θ＝1+cos2θ，∴4sinθcosθ＝2cos2θ，可得tanθ＝．故答案为：．9．【解答】解：∵α∈（﹣，0），sin（π﹣2α）＝sin2α＝﹣，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sinα﹣cosα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．10．【解答】解：sin（2α+β）＝3sinβ，sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα＝3[sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα]，2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，又α、β为锐角，所以sinα≠0，cos（α+β）≠0，所以tan（α+β）cotα＝＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，∴tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝，由此可得tan（2α﹣β）＝tan[（α﹣β）+α]＝＝＝．又α∈（0，π），且tanα＝＜1，∴0＜α＜，又β∈（0，π），tanβ＝﹣＜0，∴＜β＜π，因此2α﹣β∈（﹣π，0），可得﹣π＜2α﹣β＜0，所以2α﹣β＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有f[f（x）+]＝，则f（x）+为常数，设f（x）+＝t，则f（x）＝﹣+t，又由f[f（x）+]＝，即f（t）＝﹣+t＝，解可得t＝1，则f（x）＝﹣+1，∵sin＝，则f（log2）＝f（﹣1）＝﹣+1＝﹣；故答案为：﹣．二、选择题13．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．【解答】解：∵sin A+cos A＝，∴两边平方得（sin A+cos A）2＝，即sin2A+2sin A cos A+cos2A＝，∵sin2A+cos2A＝1，∴1+2sin A cos A＝，解得sin A cos A＝（﹣1）＝﹣＜0，∵A∈（0，π）且sin A cos A＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B．15．【解答】解：若函数f（x）＝log a（6﹣ax）在x∈[2，3）上为减函数，则解得：a∈（1，2]．故选：B．16．【解答】解：由设x1，x2分别是函数f（x）＝x﹣a﹣x和g（x）＝x log a x﹣1的零点（其中a＞1），可知x1是方程a x＝的解；x2是方程＝log a x的解；则x1，x2分别为函数y＝的图象与函数y＝a x和函数y＝log a x的图象交点的横坐标；设交点分别为A（x1，），B（x2，）由a＞1，知0＜x1＜1；x2＞1；又因为y＝a x和y＝log a x以及y＝的图象均关于直线y＝x对称，所以两交点一定关于y＝x对称，由于点A（x1，），关于直线y＝x的对称点坐标为（，x1），所以x1＝，有x1x2＝1，而x1≠x2则x1+9x2＝x1+x2+8x2≥2+8x2＞2+8＝10，即x1+9x2∈（10，+∞）故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）∵α∈（0，），sinα＝，∴cosα＝＝，tanα＝＝4，∴tan2α＝＝＝﹣．（2）∵α∈（0，），β∈（0，），sinα＝，cos（α+β）＝﹣，∴α+β∈（0，π），sin（α+β）＝＝，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝（﹣）×+×＝．18．【解答】解：（1）由f（0）＝7，即1﹣a＝7，可得a＝﹣6，那么3x+6•3﹣x＝5，∴（3x）2﹣5•3x+6＝（3x﹣2）（3x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝log32．（2）由f（﹣x）＝﹣a•3x+3﹣x，当a＝﹣1时，可得f（﹣x）＝f（x）此时f（x）是偶函数，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x）此时f（x）是奇函数，当a≠±1时，f（x）是非奇非偶函数．19．【解答】解：（1）由题意知，扇形的周长为2r+θr＝400，所以θ＝；又θ∈（0，2π），所以＜r＜200；所以扇形的面积为S＝θr2＝•＝﹣r2+200r，其中r的取值范围是（，200）；（2）S（r）＝﹣r2+200r＝﹣（r﹣100）2+10000，当r＝100时，S（r）取得最大值为10000，即半径为r＝100m时，绿化区域的面积S最大，最大值10000m2．20．【解答】解：（1）对任意的x∈（1，+∞），恒有f（2x）＝2f（x）成立，所以f（x）＝2f（）；且x∈（1，2]时，f（x）＝log2x∈（0，1]；所以当x∈（2，4]时，∈（1，2]，f（x）＝2f（）＝2log2∈（0，2]；当x∈（4，8]时，∈（2，4]，f（x）＝2f（）＝4log2∈（0，4]；当x∈（8，16]时，∈（4，8]，f（x）＝2f（）＝8log2∈（0，8]；…；当x∈（2n﹣1，2n]时，∈（2n﹣2，2n﹣1]，f（x）＝2f（）＝2n﹣1log2∈（0，2n﹣1]；所以x∈（2n﹣1，2n]时，f（x）的最大值是2n﹣1；所以x∈（1，23]时，f（x）＝，的最大值为f（23）＝4log2＝4；（2）当x∈（1，23.7]时，23≤23.7≤24，所以f（x）的最大值为f（23.7）＝23×log2＝8×（3.7﹣3）＝5.6；（3）由f（1200）＝f（b）（实数b＞1），且1200＝210×，210＜210×＜211，所以f（1200）＝210×log2＝210×log2，f（b）＝f（2×）＝2f（）＝22f（）＝…＝2n﹣1f（）；当∈（1，2]时，∴f（b）＝2n﹣1log2；∵f（1200）＝f（b），则210×log2＝2n﹣1log2；b＝2n﹣1•，1＜n＜11当n＝10时，＝（）2∈（1，2]；b＝29×（）2；当n＝9时，＝（）4∈（1，2]；b＝28×（）4；当n＝8时，＝（）8∉（1，2]；…29×（）2＞28×（）4；∴实数b的最小值为28×（）4＝256×（）4．21．【解答】解：（1）由f（x）＝log a（x+），x＞1，a＞0且a≠1，可得f（）＝log a（+）＝log a（+）＝log a2a＝2，即a2＝2a，可得整数a＝2或4；（2）由y＝f（x）＝log a（x+），x＞1，可得a y＝x+，即a y﹣x＝，平方可得a2y﹣2xa y+1＝0，即有x＝，可得f﹣1（x）＝（若a＞1，x＞0；若0＜a＜1，x＜0），f﹣1（n）＜（n∈N*），即为＜，若0＜a＜1，则a n+a﹣n单调递减，可得＜a＜1；可得a的取值范围为（，1）∪（1，4）；（3）若a＝2，此时y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x）＝（x＞0），g（x）＝＝＝1+，当k＝1时，g（x）＝1，符合题意；当k＞1时，g（x）在x＞0递减，可得g（x）∈（1，1+），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得1+1≥1+，解得1＜k≤4；当k＜1时，g（x）在x＞0递增，可得g（x）∈（1+，1），对一切实数x1，x2，x3，不等式g（x1）+g（x2）＞g（x3）恒成立，可得2（1+）≥1，解得﹣≤k＜1．综上可得k的范围是[﹣，4]．。
2023-2024学年上海交大附中高一下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1交大附中2023-2024学年第二学期高一年级数学期末2024.06一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．平面直角坐标系中，以()2,1−为圆心，且经过原点的圆的方程为__________． 2．*在复数范围内方程2230x x −+=的解为__________．3．*若等差数列{}n a 的前三项依次为1，1a +，3a +，则实数a 的值为__________． 4．若数列{}n a 的前n 项和32n S n n =−，则10a =__________． 5．*已知2a b == ，2a b ⋅= ，则,a b = __________． 6．已知()1,1a=− ，()2,0b = ，则b 在a方向上的投影的坐标为__________． 7．直线1l ：21y x =−与2l ：123yx =+的夹角为__________． 8．*将无限循环小数化为分数：0.31= __________． 9．已知ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2AB AC AO += ，AB AO =，则CA CB ⋅= __________． 10．计算：19791cos180k k =π=∑__________． 11．当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务．平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．已知旧家具的形状为长方体．小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记旧家具在地面的投影为矩形EFGH ，其中宽度 1.2EH =米．请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度EF 为__________米（结果精确到0.1米）．212．已知n 是大于3的正整数，平面直角坐标系xOy 中，正n 边形12n P P P 内接于单位圆．若集合{}|,1,2,,i S P PO PP i n =≤= ，则集合S 表示的平面区域的面积为__________（结果用n 表示）二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．） 13．已知复数z 满足11z −=，z 的取值范围为（ ） A ．[]0,2B ．()0,2C ．[]0,4D ．()0,414．在同一平面直角坐标系内，将所有可以用两点式方程表示的直线组成的集合记为A ； 将所有可以用点斜式方程表示的直线组成的集合记为B ； 将所有可以用点法式方程表示的直线组成的集合记为C ． 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B C ==B ．C B A ⊂⊂C ．A B C ⊂⊂D ．B C A ⊂⊂15．已知向量a 、b 、c满足0a b c ++= ，且222a b c << ，则a b ⋅ 、b c ⋅ 、a c ⋅ 中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定16．若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n N ∈，2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a −−−= （其中{}121max ,,,n a a a − 表示121,,,n a a a − 中的最大项），有以下结论： ①若数列{}n a 是常数列，则()0,1n a n N n =∈≥；②若数列{}n a 是公差0d ≠等差数列，则0d <；③若数列{}n a 是等比数列，则公比1q >；④若存在正整数T ，对任意n N ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项．则其中的正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．）17．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分） 已知复数()()22z a a i =−++，其中i 为虚数单位，a R ∈ （1）若16z z ⋅=，求实数a 的值：（2）求2z −的最小值，并指出2z −取到最小值时实数a 的值．18．（本题满分14分，第（1）题满分4分，第（2）题满分4分，第（3）题满分6分） 已知函数()y f x =，其中()()sin f x x =ω+ϕ，（0ω>，02≤ϕ<π） *（1）若1ω=，0ϕ=，在用“五点法”作出函数()y f x =，[]0,2x ∈π的大致图像的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：x0 ()f x（2）若2ω=，3πϕ=，写出函数()y f x =的最小正周期和单调增区间．（3）若()y f x =的频率为1π，且()2f x f π≤恒成立，求函数()y f x =的解析式．19．（本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分）如图，某地有三家工厂分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P 处．20=．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（不含边BC kmAB km=，10界）且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OA、OB、OP．记排污管道的总长度为ykm．（1）设BAOθ，将y表示成θ的函数并求其定义域；∠=（2）确定污水处理厂的位置，使排污管道的总长度y最短，并求出此时y的值．420．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）如图，平面直角坐标系xOy中有一张圆形纸片（不计厚度），圆心为坐标原点O，OA是圆形纸片的一条半径，其中点()2,0A，点B是线段OA的中点．在圆形纸片的边界上任取一点P，将纸片对折，使得P与B重合，展开后得到的折痕为线段MN（端点M、N在纸片边界上）：（1）若点P与点A重合，求折痕MN所在直线的方程；（2）若PB OA⊥，且点P在第一象限，求线段MN的长度；（3）求线段MN的长度的取值范围．5621．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分） 若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．（1）若23n a n =+，()3,1n b n N n =∈≥，判断数列{}n a 与{}n b 是否为周期数列（不必说明理由）；（2）若()1sin ,1n n a a n N n +=∈≥，且数列{}n a 为周期数列，求该数列的首项1a ； （3）设函数()y f x =的实数集R ，且()1f x ≤对任意实数x 恒成立．{}n b 是无穷数列，()()1,1n n n a f a b n N n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．7参考答案一、填空题1.()()22215x y ++−=; 2.1±; 3.2; 4.252; 5.3π; 6.()1,1−; 7.;4π 8.3199; 9.3; 10.0； 11.2.6 12.tan4n ππ 二、选择题13.A 14.C 15.B 16.D15．已知向量a 、b 、c满足0a b c ++= ，且222a b c << ，则a b ⋅ 、b c ⋅ 、a c ⋅ 中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定【答案】B 【解析】因为0a b c ++= , 所以()b ac =−+,所以()()()()220a b b c b a c a c a c a c ⋅−⋅=⋅−=−+−=−−> ,所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅,故b c ⋅ 最小.故选B .16．若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n N ∈，2n ≥时，{}1121max ,,,n n n a a a a a −−−= （其中{}121max ,,,n a a a − 表示121,,,n a a a − 中的最大项），有以下结论： ①若数列{}n a 是常数列，则()0,1n a n N n =∈≥；②若数列{}n a 是公差0d ≠等差数列，则0d <；③若数列{}n a 是等比数列，则公比1q >；④若存在正整数T ，对任意n N ∈，1n ≥，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项．则其中的正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】由题意,21120a a a a −=⇒=或212a a =,对于①：若数列{}n a 是常数列, 则21100n a a a a ==⇒==, 故①正确;8对于②: 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列, 则10d a =>或10d a =−<, 若10d a =>, 则{}n a 是递增数列,由{}321122a a a max a ,a a −== , 得{321a a max a −≠,}2a , 故不满足, 若10d a =−<, 则{}n a 是递减数列,{}11121.n n n a a d a max a ,a a −−−=−==…, 故②正确; 对于③: 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列, 则212,2,a a q ==因为10a …,所以{}n a 是递增数列, 则{12max a ,a , .}21112,n n n a a a −−−…==⋅ 所以1221111222,n n n n n a a a a a −−−−−=⋅−⋅=⋅所以{}1121n n n a a max a ,a ,a −−−=…, 故③正确; 对于④：当10a =时, 若存在正整数T , 对任意*n N ∈, 都有n T n a a +=成立,当10a >时, 数列{}n a 不可能为常数列, 故212,a a =此时数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，假设1a 不是数列{}n a 的最大项, 在12,,T a a a …中, 一定存在这一最大项(1,*)i a i T i N <∈…, 由21211121{,,},T T i T a a a a a a max a a a +++−=−=<=…所以假设不成立, 即1a 一定是数列{}n a 的最大项,故④正确.故选D . 三．解答题17.（1）2± （2）1−18.（1）略（2）,T =π增区间51,,1212k k k zπ−ππ+π∈ （3）3sin(2)cos 22y x x =+π=−19.（1）2010sin 10,0cos 4y −θπ=+≤θ≤ θ（2）点O 在AB 的中垂线上，在矩形区域内距离边km 处，使排污管道的总长度y 最短,为10+20．（1）32x =（2（3）21．（1）n a 不是，n b 是（2）0 （3）略。
上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
上海市上海交通大学附属中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．无限循环小数0.036化成最简分数为________2．函数y =________3．若{}n a 是等比数列，18a =，41a =，则2468a a a a +++=________ 4．函数()tan cot f x x x =+的最小正周期为________5．已知,a b ∈R 且2lim()31n an bnn n →∞+-=+，则22a b +=________6．用数学归纳法证明“()*1111,12321nn n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项7．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2c =，120A ︒=，则ABC S ∆=________8．函数()arcsin(cos )f x x =，5[,]46x ππ∈的值域为________9．数列{}n a 满足*12211125,222n n a a a n n N ++⋯+=+∈，则n a =_______________. 10．设[]x 表示不超过x 的最大整数，则[sin1][sin 2][sin3][sin10]+++⋅⋅⋅+=________ 11．已知225sin sin 240αα+-=，α为第二象限角，则cos2α=________12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B .曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________13．数列{}n a 满足：(),210.5,2n n nq n k a n k⎧=-⎪=⎨=⎪⎩，*k N ∈，{}n a 的前n 项和记为n S ，若lim 1n n S →∞≤，则实数q 的取值范围是________14．已知数列{}n a 满足就：()*1a m m N =∈，10.523121n n n n n a a ka a a k +=⎧=⎨+=-⎩，*k N ∈，若61a =，写出m 所有可能的取值为______.二、单选题15．已知,,a b c 均为实数，则 “2b ac =”是“,,a b c 构成等比数列”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．若函数()()sin (0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤局部图象如图所示，则函数()y f x =的解析式为( )A ．3sin 226y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．3sin 226y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．3sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．3sin 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 17．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足()()11220n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列，②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前12项值的数列为（ ）A ．31{}k a +B ．41{}k a +C ．51{}k a +D ．61{}k a +三、解答题19．已知函数()cos 2sin 22f x a x x a b =-++(0)a ≠，[0,]2x π∈，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值；20．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了他们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B 公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资分别是多少； （2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得，MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.22．在xOy 平面上有一点列111(,)P a b 、222(,)P a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n P a b 、⋅⋅⋅，对每个正整数n ，点n P 位于函数1000()6xa y =(06)a <<的图像上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式；（2）若对每个自然数n ，以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；（3）设12n n B b b b =⋅⋅⋅*()n N ∈，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{}n B 的最大项的项数是多少？试说明理由；23．设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中的数按从小到大排列得到数列{}n b ；（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各项的值；（2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088，求1a 和k 的值；（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项；参考答案1．255【解析】 【分析】利用无穷等比数列求和的方法即可. 【详解】0.0360.0360.0360.0360.000360.0000036...10.2010.9955=+++===-. 故答案为：255【点睛】本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型. 2．[1,2] 【分析】根据cos y x =的值域为[]1,1-求解即可. 【详解】由题1101112x x -≤≤⇒≤-≤⇒≤≤.故定义域为[1,2].故答案为：[1,2] 【点睛】本题主要考查了反三角函数的定义域,属于基础题型. 3．8516【分析】根据等比数列的通项公式求解公比再求和即可. 【详解】设{}n a 公比为q ,则3411812a q q =⇒=⇒=.故242468421118514141616a a a a a q q q ⎛⎫+++=+++=+++=⎪⎝⎭故答案为：8516【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解,属于基础题型. 4．π 【分析】根据tan ,cot x x 的最小正周期判断即可. 【详解】因为tan ,cot y x y x ==的最小正周期均为π,故()tan cot f x x x =+的最小正周期为π. 故答案为：π 【点睛】本题主要考查了正切余切函数的周期,属于基础题型. 5．17 【分析】根据数列极限的方法求解即可. 【详解】由题22(1)(1)lim()lim 311n n an bn a n b nn n n →∞→∞+-+--==++,故101a a -=⇒=.又(1)1lim 3lim 3111n n b nb n n →∞→∞⎛⎫⎪--=⇒= ⎪+ ⎪+⎝⎭.故13,4b b -==. 故2211617a b +=+=. 故答案为：17 【点睛】本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型. 6．2k 【分析】由题意有：由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共12121k k +--+项，得解.【详解】解：当(1)n k k =>时，不等式左边为11112321k++++-， 当1(1)n k k =+>时，不等式左边为11111112321221kk k ++++++++--，则由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共121212k k k +--+=项，故答案为：2k . 【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题. 7【分析】利用正弦定理求解角C ,再利用面积公式求解即可. 【详解】由sin sin sin sin a c c A C A C a=⇒=2=12=,因为c a <,故30C =︒, 1801203030B =︒-︒-︒=︒.故111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯=【点睛】本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型. 8．[,]34ππ-【分析】先求cos x 的值域,再求()arcsin(cos )f x x =的值域即可. 【详解】因为5[,]46x ππ∈,故cos 22x ⎡∈-⎢⎣⎦,故()arcsin(cos )arcsin(),arcsin(),2234f x x ππ⎡⎤⎡⎤=∈-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 故答案为：[,]34ππ-【点睛】本题主要考查了余弦函数的值域与反三角函数的值域等,属于基础题型. 9．114,12,2n n n +=⎧⎨≥⎩【详解】试题分析：这类问题类似于()n n S f a =的问题处理方法，在122111...25222n n a a a n +++=+中用1n -代换n 得12121111...2(1)5222n n a a a n --+++=-+（2n ≥），两式相减得122n n a =，12n n a +=，又1172a =，即114a =，故114,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩ .考点：数列的通项公式. 10．4- 【分析】根据1弧度约等于57.3︒且正弦函数值域为[]1,1-,故可分别计算求和中的每项的正负即可. 【详解】[sin1][sin 2][sin3][sin10]00011100014+++⋅⋅⋅+=++---+++-=-故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了三角函数的计算,属于基础题型. 11．35±【分析】先求解sin α,再求解cos α,再利用降幂公式求解即可. 【详解】 由()()225sinsin 24025sin 24sin 10αααα+-=⇒-+=,又α为第二象限角,故24sin 25α=,且7cos 25α==-.又3cos 25α==±. 故答案为：35± 【点睛】本题主要考查了降幂公式的用法等,属于基础题型. 12．144 【分析】观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可. 【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和. 即()12,3n n n a a a n --=+≥ .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.故答案为：144 【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型. 13．1(1,]2- 【分析】因为数列有极限,故考虑1q <的情况.又数列{}n a 分两组,故分组求和求极限即可. 【详解】因为lim 1n n S →∞≤,故1q <,且()()1234135246.........n S a a a a a a a a a a =++++=+++++++()1222220.2511110.751310.5a a q q q q q =+=+=+≤----,故2213q q ≤-,又1q <, ()()223202120q q q q +-≤⇒-+≤即122q -≤≤. 综上有112q -≤≤. 故答案为：1(1,]2- 【点睛】本题主要考查了数列求和的极限,需要根据题意分组求得等比数列的极限,再利用不等式找出参数的关系,属于中等题型. 14．4,5,32 【分析】根据递推公式倒推，即可求出． 【详解】 当61a =时，若65311a a =+=，则50a =，与题意矛盾，舍去，所以650.51a a ==，即52a =； 若54312a a =+=，则413a =，与题意矛盾，舍去，所以540.52a a ==，即44a =； 若43314a a =+=，则31a =，符合题意，若430.54a a ==，则38a =，也符合题意． （1）当31a =时，若32311a a =+=，则20a =，与题意矛盾，舍去，所以320.51a a ==，即22a =； 若21312a a =+=，则113a =，与题意矛盾，舍去，所以210.52a a ==，即14a =． （2）当38a =时， 若32318a a =+=，则273a =，与题意矛盾，舍去，所以320.58a a ==，即216a =； 若213116a a =+=，则15a =，符合题意，若210.516a a ==，即132a =，符合题意．故答案为：4,5,32．【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．15．A【解析】解析：若,,a b c 构成等比数列，则2b ac =，即是必要条件；但2b ac =时，不一定有,,a b c 成等比数列，如1,0,0a b c =-==，即是不充分条件．应选答案A ．16．D【分析】由()sin y A x ωϕ=+的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由233622f ππ⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，结合ϕ的范围可求得ϕ，从而可得答案．【详解】 122362T πππ=-=， 22Tπω∴==； 又由图象可得：32A =，可得：()()3sin 22f x x ϕ=+， 235336sin 222122f πππϕ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 5262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈． 23k πϕπ∴=-，()k Z ∈， 又ϕπ≤，∴当0k =时，可得：3πϕ=-，此时，可得：()3sin 2.23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 故选D ．【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定函数解析式，常用五点法求得ϕ的值，属于中档题．17．C【分析】由已知可得a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案．【详解】∵数列{a n }对任意n≥2（n ∈N ）满足（a n ﹣a n ﹣1﹣2）（a n ﹣2a n ﹣1）＝0，∴a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1，∴①{a n }可以是公差为2的等差数列，正确；②{a n }可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n }既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误； ④由 （a n ﹣a n ﹣1﹣2）（a n ﹣2a n ﹣1）＝0， a n ﹣a n ﹣1＝2或a n ＝2a n ﹣1，当数列为：1，3，6，8，16……得{an}既不是等差也不是等比数列，故④正确；故选C ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题. 18．C【分析】根据题意可知利用除以12所得的余数分析即可.【详解】由题知若要取遍{}n a 前12项值的数列,则需要数列的下标能够取得除以12后所有的余数. 因为12的因数包括3,4,6,故不能除以12后取所有的余数.如31k +除以12的余数只能取1,4,7,10的循环余数.又5不能整除12 ,故51k +能够取得除以12后取所有的余数. 故选：C【点睛】本题主要考查了数列下标整除与余数的问题,属于中等题型.19．2a =，5b =-；或2a =-，1b =；【分析】先利用辅助角公式化简()f x ,再根据[0,]2x π∈,值域为[5,1]-求解即可.【详解】()cos 2sin 222sin(2)26f x a x x a b a x a b π=-++=-+++. 又[0,]2x π∈则1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦, 当0a >时,[]2sin(2)2,36a x a b b a b π-+++∈+,此时52315b a a b b =-=⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩ 当0a <时,[]2sin(2)23,6a x a b a b b π-+++∈+,此时35211a b a b b +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 故2a =,5b =-；或2a =-,1b =；【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式以及三角函数值域的问题,需要根据自变量的范围求出值域,同时注意正弦函数部分的系数正负,属于中等题型.20．（1）A 公司：7500500n +；B 公司：18000(15%)n -+；（2）A 公司十年月工资总和为1230000，B 公司十年月工资总和为1207476，选A 公司；【分析】(1)易得在两家公司每年的工资分别成等差和等比数列再求解即可.(2)根据(1)中的通项公式求解前10年的工资和比较大小即可.【详解】(1)易得在A 公司的工资成公差为500,首项为8000的等差数列,故在A 公司第n 年的月工资为8000500(1)5007500n n +-=+.在B 公司的工资成公比为15%+,首项为8000的等比数列.故在B 公司第n 年的月工资为18000(15%)n -+.(2)由(1)得, 在A 公司十年月工资总和 ()10912108000500=1280000+22500=12300002A S ⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭在B 公司十年月工资总和()1080001 1.120747605121 1.05B S -=⨯≈- .因为A B S S >.故选A 公司.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的实际应用题,需要根据题意找出首项公比公差再求和等.属于基础题型.21．（1）三角形铁皮PMN 的面积为68+；（2）剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值为34+. 【解析】试题分析：（1）利用锐角三角函数求出MN 和BN 的长度，然后以MN 为底边、以BN 为高，利用三角形面积公式求出三角形PMN 的面积；（2）设MOD x ∠=，以锐角x 为自变量将MN 和BN 的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形PMN 的面积的表达式()1sin cos sin cos 12PMN S x x x x ∆=+++，利用sin cos x x 与sin cos x x +之间的关系()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，令sin cos t x x =+将三角形PMN 的面积的表达式表示为以t 为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形PMN 的面积的最大值，但是要注意自变量t 的取值范围作为新函数的定义域.试题解析：（1）由题意知11121222OM AD BC ===⨯=， 3sin sin 1sin 3012MN OM MOD CD OM MOD AB ∴=∠+=∠+=⨯+=，2cos 11cos30122BN OA OM MOD =+∠=+⨯=+=，113222PMN S MN BN ∆∴=⋅=⨯=，即三角形铁皮PMN ； （2）设MOD x ∠=，则0x π<<，sin sin 1MN OM x CD x =+=+，cos cos 1BN OM x OA x =+=+，()()()111sin 1cos 1sin cos sin cos 1222PMN S MN BN x x x x x x ∆∴=⋅=+⋅+=+++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于02x π<≤，所以3444x πππ<+≤，则有sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1t ≤≤， 且()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=， 故()()222111112112244PMN t S t t t t ∆⎛⎫-=++=++=+ ⎪⎝⎭，而函数()2114y t =+在区间⎡⎣上单调递增，故当t =时，y 取最大值，即)2max 13144y +==，即剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值为34+. 考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值22．（1）0.51000()6n n a b +=；（2）36a <<；（3）16B 最大，详见解析； 【分析】(1)易得n P 的横坐标为1n 2+代入函数即可得纵坐标. (2)易得数列{}n b 为递减的数列,若要组成三角形则12n n n b b b ++<+,再代入表达式求解不等式即可.(3)由12n n B b b b =⋅⋅⋅可知求11,1n n b b +≥<即可.【详解】(1)由点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶角顶点的等腰三角形有+1+122n n n b b a n ==+.故0.51000()6n n a b +=. (2)因为1000()6x ay =(06)a <<,故1000()6x a y =为减函数,故12n n n b b b ++>>,又以n b 、1n b +、2n b +为边长能构成一个三角形,故12n n n b b b ++<+即0.5 1.5 2.521000()1000()1000()()1666606n n n a a a a a +++<+-+>⇒.解得3a >或3a <-,又06a <<,故36a <<.(3)由a 取(2)中确定的范围内的最小整数,且36a <<,故4a =. 故0.50.5421000()1000()63n n n b ++==,由题当11,1n n b b +≥<时数列{}n B 取最大项. 故0.521000()13n +≥且 1.521000()13n +<,计算得当16n =时取最大值16B . 【点睛】 本题主要考查了数列与函数的综合题型,需要根据题意找到函数横纵坐标的关系,同时也要列出对应的不等式再化简求解.属于中等题型.23．（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；（2）11a =，9k =；（3）证明见解析；【分析】(1)根据题意从小到大计算{}n b 中的值即可.(2)易得数列{}n b 的所有项的和等于{}n a 中的每个项重复加了1k -次,再根据等比数列求和即可.(3)分别证明当5k =时,若{}n a 为等差数列则数列{}n b 恰有7项以及当数列{}n b 恰有7项证明{}n a 为等差数列即可.【详解】(1)易得当11a =,23a =,34a =,46a =时, 112134b a a =+=+=,213145b a a =+=+=,31423167b a a a a =+=+=+=,424268b a a =+=+=, 5344610b a a =+=+=.(2)若{}n a 是公比为2的等比数列,且10.52a <<,则数列{}n b 的所有项的和等于{}n a 中每一项重复加了1k -次,故14088(1)(21)k k a =-⋅-.即14088(1)(21)k a k =-⋅-,又10.52a <<,故4088(1)(21)9176(1)(21)0.522044k k k k <<⇒-⋅-<<-⋅-,易得(1)(21)k k -⋅-随着k 的增大而增大.当8k 时(1)(21)72551785k k -⋅-=⨯=,当9k =时(1)(21)85114088k k -⋅-=⨯=,当10k =时(1)(21)910239207k k -⋅-=⨯=,故9k =,此时11a =.(3)证明：先证明充分性：若5k =,且{}n a 为等差数列,不妨设0d >,则数列{}n b 也为等差数列为d 的等差数列.且最小值为112b a d =+,最大值为71113427b a d a d a d =+++=+. 故数列{}n b 恰有7项.再证明必要性：若数列{}n b 恰有7项.则因为12132324343545a a a a a a a a a a a a a a +<+<+<+<+<+<+. 故{}n b 的7项分别为12132324343545,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a +++++++. 又131434a a a a a a +<+<+,可得1423a a a a +=+,即4321a a a a -=-. 同理有54323221,a a a a a a a a -=--=-,故{}n a 为等差数列. 综上可知, 若5k =,则{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项【点睛】本题主要考查了数列综合运用,需要根据题意分析{}n a 与{}n b 的关系,将{}n b 中的通项用{}n a 中的项表达,再计算即可.同时也考查了推理证明的能力.属于难题.。
2019-2020学年上海交大附中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=1−2sin 22x 的最小正周期是( ) A. π2 B. π C. 2π D. 4π2. 已知O 是△ABC 的重心，动点P 满足=，则点P 一定为△ABC 的( )A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点(非重心)C. 重心D. AB 边的中点 3. 已知0<a <1，S n 是公差为正数的等差数列{a n }的前n 项和，则有( )A. a 2S n+1=a S n ⋅a S n+2B. a 2S n+1>a S n ⋅a S n+2C. a 2S n+1<a S n ⋅a S n+2D. a 2S n+1与a S n ⋅a S n+2的大小关系无法确定4. 如图，在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. 89B. −29C. 76D. −23 二、单空题（本大题共11小题，共33.0分）5.已知tanα=2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=______． 6.若(πa 0lnb 1)是单位矩阵，则a −b =______． 7.已知向量a ⃗ =(2,m)，b ⃗ =(1,3)，若a ⃗ //b ⃗ ，则m =______． 8. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，且AD =DC ，则sin∠ACO = ______ ．9. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为______． 10. 用数学归纳法证明不等式“1n+1+1n+2+1n+3+⋯+1n+n ≥1124时，由n =k 到n =k +1时，不等式左边应添加的项是______．11. 设函数f(x)=x(12)x +1x+2，O 为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量i =(1,0)的夹角为αn ，则满足tanα1+tanα2+⋯+tanαn <54的最大整数n 的值为______．12. 已知等差数列的公差不为0，，且成等比数列，则的取值范围是 ．13. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos∠MBA 的最小值为______． 14. 已知向量a ⃗ 1,a ⃗ 2,a ⃗ 3,…a ⃗ n …满足如下条件：a ⃗ n −a ⃗ n−1=d ⃗ (n =2,3，4，…)，d ⃗ 与a 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，且|a ⃗ 1|=4|d⃗ |=2，则数列|a ⃗ 1|,|a ⃗ 2|,|a ⃗ 3|,…|a ⃗ n |…中最小的项是______ ． 15. 已知直线√2ax +by =√3(a,b 是实数)与圆O ：x 2+y 2=1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是等边三角形，点P(a,b)是以点M(0,√2)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最大值为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共3.0分）16. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17. 已知A =[20−11]，B =[2435]，且二阶矩阵M 满足AM =B ． (1)求A −1；(2)求矩阵M．18.已知是的三个内角，向量，且．(1)求角；(2)若，求．19.设平面向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)(1)求|a⃗−2b⃗ |的值；(2)若c⃗=a⃗−(a⃗⋅b⃗ )b⃗ ，求向量c⃗与b⃗ 的夹角的余弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．log2a n⋅log2a n+121.已知S n是数列{a n}前n项和，a1=1，2S n=(n+1)a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a n a n+1b n=1，T n是数列{b n}前n项和，求T n．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意可得：f(x)=cos4x，所以周期为T=2π4=π2．故选A．先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(wx+ρ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法．一般都要把三角函数化简为y=Asin(wx+ρ)的形式再解题．2.答案：B解析：方法一：如图，D是AB中点，则又O是重心，即点P为AB边中线的三等分点(非重心)．方法二：因为O为△ABC的重心，所以P 为OC 中点，即点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．3.答案：B解析：解：∵S n +S n+2−2S n+1=(S n+2−S n+1)−(S n+1−S n )=a n+2−a n+1=d ，(d 为公差)． ∵0<a <1，∴函数y =a x 是减函数，又d >0，∴a 2S n+1>a S n ⋅a S n+2=a S n +S n+2．故选：B ．作差比较2S n+1与S n +S n+2的大小关系，然后结合指数函数y =a x 的单调性及有理指数幂的运算性质得答案．本题考查了等差数列的性质，考查了有理指数幂的运算性质，考查了指数函数的单调性，是中档题． 4.答案：D解析：本题考查了平面向量的线性表示应用问题，是基础题．结合图形，利用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出λ、μ的值即可． 解：△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−1112BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=−1112，μ=14，∴λ+μ=−1112+14=−23．5.答案：−15解析：解：tanα=2，则sinα−3cosα2sinα+cosα=tanα−32tanα+1=2−34+1=−15故答案为：−15．sinα−3cosα2sinα+cosα=$∖frac{tan∖alpℎa−3}{2tan∖alpℎa+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．6.答案：−1解析：解：∵若(πa0lnb1)是单位矩阵，则(πa0lnb1)=(1001)即πa=1，lnb=0∴a=0，b=1∴a−b=−1，故答案为：−1．根据单位矩阵的定义知，若(πa0lnb1)是单位矩阵，则(πa0lnb1)=(1001)从而得出πa=1，lnb=0即可求得a，b的值．本小题主要考查几种特殊的矩阵变换、单位矩阵的应用、指数对数方程的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．7.答案：6解析：解：由向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(1,3)，当a⃗//b⃗ 时，2×3−1×m=0，解得m=6．故答案为：6．由平面向量的共线定理列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．8.答案：√1010解析：解：∵AB为直径，BC为圆的切线∴△ABC 为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则OB =1，BC =2，OC =√5∴sin∠BCO =√55，cos∠BCO =2√55∴sin∠ACO =sin(45°−∠BCO)=√1010故答案为：√1010 根据切线的性质，我们易判断△ABC 为Rt △，结合圆周角定理的推论2及AD =DC ，及得△ABC 为等腰直角三角形，则∠BCA =45°，设圆的半径为1，则我们易求出∠OCB 的三角函数值，代入两角差的正弦公式，即可求出答案．本题考查的知识点是圆的切线的性质定理，圆周角定理，其中根据已知判断出△ABC 的形状，是解答本题的关键．9.答案：90°解析：本题考查了向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．解：∵|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ | |b ⃗ |cos120°=1×2×(−12)=−1． ∵a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ =0⃗ ， ∴−b ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，∴−a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ (a ⃗ +c ⃗ )，∴−(−1)=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅c ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅c ⃗ =0．∴a ⃗ ⊥c ⃗ ．∴a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为90°．故答案为：90°．10.答案：12k+1+12k+2−1k+1(12k+1−12k+2也正确)解析：解：当n =k 时，左边的代数式为1k+1+1k+2+1k+3+⋯+1k+k ，当n =k +1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+⋯+1k+k +1k+k+1+1k+k+2，故用n =k +1时左边的代数式减去n =k 时左边的代数式的结果为：12k+1+12k+2−1k+1． 故答案为：12k+1+12k+2−1k+1．只须求出当n =k 时，左边的代数式，当n =k +1时，左边的代数式，相减可得结果．数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N 相关的性质，其步骤为：设P(n)是关于自然数n 的命题，若1)(奠基) P(n)在n =1时成立；2)(归纳)在P(k)(k 为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k +1)成立，则P(n)对一切自然数n 都成立． 11.答案：2解析：由题意，OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n(12)n +1n+2)，tanαn =(12)n +1n(n+2)，代入tanα1+tanα2+⋯+tanαn <54，构造函数，判断出符合条件的最大整数n 的值本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出tanαn 的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键．OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,n(12)n +1n+2)，tanαn =(12)n +1n(n+2)=(12)n +12(1n −1n+2)，利用等比数列求和公式与裂项相消求和的方法可得：∴tanα1+tanα2+⋯tanαn =1−12n +12(1−1n+2)<54，即−12(n+2)−12n +14<0，函数g(n)=−12(n+2)−12n +14为递增函数，g(1)=−512<0，g(2)=−18<0，g(3)=140>0， 故最大整数n 的值为2．故答案为：2．12.答案：(1,+∞)解析：本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质.先利用首项和公差表示出已知的不等式中的各项，进行化简得到关于首项和公差的不等式，再根据已知三项成等比数列，得出首项和公差的等量关系，最后代入前面的不等式求解．解：∵a 2=a 1+d ，a 5=a 1+4d ，∴a 1+a 2+a 5=3a 1+5d ，又∵a 1+a 2+a 5>13∴3a 1+5d >13．∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22=a 1a 5∴(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，∴d 2=2a 1d ，又∵d ≠0∴d =2a 1∴3a 1+5d =3a 1+5×2a 1=13a 1，∴13a 1>13，∴a 1>1．故答案为(1,+∞)．13.答案：√32解析：本题考查了余弦定理和勾股定理以及基本不等式，考查了转化能力和运算能力，根据勾股定理和余弦定理解基本不等式即可求出．属于中档题解：如图，∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠AOB =90°，∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13a ，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23a ， ∴|BM|2=|OM|2+|OB|2=19a 2+b 2，|AB|2=|OA|2+|OB|2=a 2+b 2， ∵|AM|2=49a 2， 由余弦定理可得：cos∠ABM =a 2+b 2+19a 2+b 2−49a 22√a 2+b 2⋅√19a 2+b 2=222+b 2)⋅(a 2+9b 2) =√1−4a 2b 2a 4+10a 2b 2+9b 4=√1−4a 2b 2+9b 2a 2+10， ∵9b 2a +a 2b ≥2√9b 2a ⋅a 2b =6，当且仅当a =√3b 时取等号， ∴cos∠ABM ≥√1−46+10=√32， 故答案为√32． 14.答案：2√3解析：解：a ⃗ n −a ⃗ n−1=d⃗ (n =2,3，4，…)， 则a n ⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ +(n −1)d ⃗ ，由d ⃗ 与a 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，且|a 1⃗⃗⃗⃗ |=4，|d ⃗|=2， 则a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d ⃗ =4×2×(−12)=−4，即有|a n ⃗⃗⃗⃗ |2=a n ⃗⃗⃗⃗ 2=a 1⃗⃗⃗⃗ 2+(n −1)2d ⃗ 2+2(n −1)a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d ⃗ =16+4(n −1)2−8(n −1)=4(n −2)2+12， 当n =2时，|a 2⃗⃗⃗⃗ |2取得最小，且为12．即有最小的项为2√3．故答案为：2√3．运用等差数列的通项公式，求得a n ⃗⃗⃗⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，结合二次函数的最值，即可得到．本题考查等差数列的通项公式的运用，考查向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．15.答案：(6+4√2)π解析：解：由圆x2+y2=1，所以圆心(0,0)，半径为1所以|OA|=|OB|=1，因为△AOB是等边三角形，所以圆心(0,0)到直线√2ax+by=√3的距离为√3√2a2+b2=√32，所以2a2+b2=4．因此，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a2+b2=4上点P(a,b)到焦点(0,√2)的距离最大值，由椭圆的性质，可知最大值为2+√2．所以圆M的面积最大值为π(2+√2)2=(6+4√2)π．故答案为：(6+4√2)π．根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由△AOB是等边三角形得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最大时，所求半径为椭圆2a2+b2=4上点P(a,b)到焦点(0,√2)的距离最大值，即可得出结论．本题考查学生灵活点到直线的距离公式化简求值，综合运用所学的知识求动点形成的轨迹方程，是一道综合题．16.答案：16132解析：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B=60°，AB=3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132， 当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16；132． 17.答案：解：(1)∵A =[20−11]， ∴|A|=2×1−0×(−1)=2，∴A ∗=[1012]， ∴A −1=1|A|⋅A ∗=12[1012]=[120121]， (2)AM =B 得，M =A −1B =[120121][2435]=[1247]．解析：(1)通过变换计算即可；(2)通过AM=B可得M=A−1B，计算即可．本题考查矩阵乘法，注意解题方法的积累，属于基础题．18.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1)2分即，4分而5分，即6分(2)解得11分14分考点：向量的数量积及三角函数化简点评：若向量则，用到的主要三角函数公式，，19.答案：解：(1)因为向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)，所以a⃗−2b⃗ =(7,3)．所以|a⃗−2b⃗ |=√72+32=√58．(2)因为向量a⃗=(3,5),b⃗ =(−2,1)，a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+5×1=−1，∴c⃗=a⃗+b⃗ =(1,6)，向量c⃗与b⃗ 的夹角为θ，cosθ=c⃗ ⋅b⃗|c⃗ ||b⃗|=4√185185．解析：(1)通过向量运算求出a⃗−2b⃗ ，然后求出向量的模．(2)通过已知条件求出c⃗，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦．本题考查两个向量的数量积的运算，向量的夹角公式的应用，是基本知识的考查．20.答案：解：(1)数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2(n∈N∗).①当n=1时，S1=a1=2a1−2，解得：a1=2．当n≥2时，S n−1=2a n−1−2②，①−②得：a n=2a n−2a n−1，则：a n=2a n−1，即：a na n−1=2(常数)，所以：数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．则：a n=2⋅2n−1=2n．当n=1时，首项符合通项．故：a n=2n．(2)由于a n=2n，所以：b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则：T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1，=1−1n+1，=nn+1．解析：(1)利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步求出b n=1log2a n⋅log2a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，再利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.答案：解：(1)由2S n=(n+1)a n，得2S n−1=na n−1(n≥2)，两式相减得：2(S n−S n−1)=(n+1)a n−na n−1，即2a n=(n+1)a n−na n−1，∴(n−1)a n=na n−1，则a na n−1=nn−1．∵a1=1，∴a n=a na n−1×a n−1a n−2×…×a3a2×a2a1×a1=nn−1×n−1n−2×…×32×21×1=n．∴数列{a n}的通项公式为a n=n；(2)∵a n a n+1b n=1，∴b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=1−1n+1=nn+1．解析：(1)由已知数列递推式可得2S n−1=na n−1(n≥2)，列式作差得到a na n−1=nn−1，然后利用累积法求数列{a n}的通项公式；(2)由a n a n+1b n=1，求得b n=1n(n+1)，再由裂项相消法求数列{b n}前n项和T n．本题考查数列递推式，考查利用累积法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A、5 个
B、4 个
C、3 个
D、2 个
16、设 O 为△ABC 所在平面内一点，满足 2OA 7OB 3OC 0 ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的
比值为（） A、6 三．解答题
8
B、
3
12
C、
7
D、4
17、解关于
x
、
y
的一元二次方程组
ax
x
3 a
y
a 3
2 y 2
OA 分成 n 等份，作以 a 为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为 S ， n 等于这些内接矩形面积之和． n
a n
k
a n
2
a n
k
2a n
2
a n
k
3a n
2
a n
k
n
1 n
a
2
，当
n
时的极限值．
图（3）中的曲线为开口向右的抛物线 y2 x ，抛物线 y x 、 x 轴及直线 AB : x 4 围成了图中的阴影
6
（1）记 f n 3n 12 52 22 12 42 3n 22 ，其中 n N * ，求 f 20 的值；
12 32 2n 12 （2）已知 22 42 2n2
49 48
，求自然数 n 的值；
（3）抛物线 y kx2 、 x 轴及直线 AB : x a 围成了如图（1）的阴影部分， AB 与 x 轴交于点 A ，把线段
3、
15
；
4
4、 3 ；
5、 7 ；
7、 7 ； 5
11、 5 ； 2
8、 4, 2 2, 0 ；
12、 25 ；
9、0；
15、B； 16、A；
17、
a
3
，无数个解；
a
1
，无解；
a
3,
1，
x
y
a 4 a 1 1 a 1
；
18、（1）
ymin
2 ，
x
6
k
，k
Z
；
5
19、（1） ；
6
8、若数列 an
为无穷等比数列，且
lim
n
a1
a2
a3
an1
an
2
，则
a1
的取值范围是______；
a1 a2 a3
9、设数列an 是公比为 q 的等比数列，则 a4 a5 a6 ______；
a7 a8 a9
10、已知向量 a 5,5 ， b ,1 ，若 a b 与 a b 的夹角是锐角，则实数 的取值范围为______；
2019-2020 学年交附高一下期末数学试卷
一．填空题：
1、计算：
arcsin
sin
5 6
______；
2020.7
2 1 6
2、关于未知数
x
，
y
的方程组对应的增广矩阵为
3
2
0
，则此方程组的解xyຫໍສະໝຸດ ______；3、设
a
3 2
, sin
，b
cos ,
1 3
，且
a//b
，则
cos
部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积．
21、设数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 2Sn an 3 ， n N * ，数列 bn 满足：对于任意的 n N * ，都有
a1bn
a2bn1
a3bn1
anb1
1 3
n1
3n
3
成立．
（1）求数列an 的通项公式；
11、如图，已知 O 为矩形 ABCD 内的一点，且 OA 2 ， OC 4 ， AC 5 ，则 OB OD ______；
12、已知平面直角坐标系内定点 A1,1 ，动点 B 满足 AB 2 ，动点 C 满足 CB 3 ，则点 C 在平面直角
1
坐标系内覆盖的图形的面积为______；
（2）2；
20、（1）47980；
（2）72；（3） 16 ； 3
（2） 3 3 ；
S 的最大值．
19、已知△ABC 内接于 O ， AB c ， BC a ， CA b ， O 的半径为 r ．
（1）若 OA 2OB 3OC 0 ，试求 BOC 的大小；
（2）若 A 为动点， BAC 60 ， AO OC OB ，试求 的最大值．
2
20、已知平方和公式：12 22 n2 n n 1 2n 1 ，其中 n N * .
n2n2 1
Sn 12 22 32 n2 32 22 12 ．希望证明 Sn
3
，在应用数学归纳法求证上式时，
第二步从 k 到 k 1 应添的项是______．（不用化简）
7、已知 a b c 0 ， a 3 ， b 4 ， c 5 ，则 a b b c c a ______；
0, ，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（）
A、内心
B、外心
C、重心
D、垂心
15、已知数列 an 为等差数列，a1 0 且 a1 a2 a3 a199 0 ，设 bn anan a 1 n2 n N * ，当 bn
的前 n 项和 Sn 最小时， n 的值有（）
，并对解的情况进行讨论．
18、已知 x R ，设 m 3 cos x,sin x cos x ， n 2sin x,sin x cos x ，记函数 f x m n .
（1）求函数 f x 的最小值，并求出函数 f x 取最小值时 x 的值；
（2）设△ABC 的角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f C 2 ， c 2 3 ，求△ABC 的面积
2
______；
4、已知函数 f x a sin x cos x 的一条对称轴为 x ，则 a ______；
3
5、已知平面向量 a ， b ，满足 a 3 ， b 3 ，则 a 2b ______；
6 、 设 S1 1 ， S2 1 22 12 ， S3 12 22 33 22 12 ， … … ，
（2）求数列bn 的通项公式；
（3）设数列 cn anbn ，问：数列cn 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；
若不存在，请说明理由．
3
参考答案： 一、填空题：
1、 ；
6
30
2、 ；
7
6、 k 2 k 12 ；
10、 7,1 1, 7 ；
二、选择题： 13、C； 14、A； 三、解答题：
二．选择题
13、要得到函数
y
3
sin
2
x
3
的图像，只要把函数
y
3
sin
2
x
的图像（）
A、向左平移 个单位
3
C、向左平移 个单位
6
B、向右平移 个单位
3
D、向右平移 个单位
6
14、 O 是平面上一定点，
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满
OP
OA
AB AB
AC AC
，