电磁场与电磁波课后习题答案第一章

第一章

给定三个矢量A u r ，B u r ，C u r ：

A u r =x a u u r +2y a u u r -3z a u u r

B u r = -4y a u u r +z a u u r

C u r =5x a u u r -2z a u u r

求：⑴矢量A u r 的单位矢量A a u u r ；

⑵矢量A u r 和B u r 的夹角AB θ；

⑶A u r ·B u r 和A u r ⨯B u r ⑷A u r ·（B u r ⨯C u r ）和（A u r ⨯B u r ）·C u r ；

⑸A u r ⨯（B u r ⨯C u r ）和（A u r ⨯B u r ）⨯C u r

解：⑴A a u u r =A A

u r u r

=u r （x a u u r +2y a u u r -3z a u u r ）

⑵cos AB θu r u r =A u r ·B u r /A u r B u r

AB θ=135.5o

⑶A u r ·B u r =-11, A u r ⨯B u r =-10x a u u r -y a u u r -4z a u u r

⑷A u r ·（B u r ⨯C u r ）=-42

（A u r ⨯B u r ）·C u r =-42

⑸A u r ⨯（B u r ⨯C u r ）=55x a u u r -44y a u u r -11z a u u r （A u r ⨯B u r ）⨯C u r =2x a u u r -40y a u u r +5z a u u r

有一个二维矢量场F(r)r =x a u u r （-y ）+y a u u r (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c

求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2

z ）=c

则c=ln(1+4+9)=ln14

那么2

x +2

y +2z =14 求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ∇=x a u u r x ψ∂∂+y a u u r y ψ∂∂+z a u u r z

ψ∂∂=12x 3y x a u u r +182x 2y y a u u r +z e z a u u r 得 ψ∇=-24x a u u r +72y a u u r +z a u u r

在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:

⑴求矢量场A u r 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为

A u r =x a u u r 32x +y a u u r （3y+z ）+z a u u r (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴⎰•s d A ϖϖ=

A d S •⎰u r u r 曲+A d S •⎰u r u r xoz +A d S •⎰u r u r yoz +A d S •⎰u r u r 上+A d S •⎰u r u r 下

A d S •⎰u r u r 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++⎰曲

=

A d S •⎰u r u r xoz =(3)y z dxdz +⎰xoz =-6 A d S •⎰u r u r yoz =-2

3x dydz ⎰yoz =0 A d S •⎰u r u r 上+A d S •⎰u r u r 下=(6cos )d d ρθρθρ-⎰上+cos d d ρθρθ⎰下=272π

⎰•s d A ϖϖ=193

⑵dV A V ρ⎰•∇=(66)V x dV +⎰=6(cos 1)V

d d dz ρθρθ+⎰=193 即：⎰•s s d A ϖϖ=dV A V ρ⎰•∇ 求矢量A u r =x a u u r x+y a u u r x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ∇⨯u r 对此圆周所包围的表面积

分，验证斯托克斯定理。 解：⎰•l l d A ρρ=2L

xdx xy dy +⎰Ñ=44a π

A ∇⨯u r =z a u u r 2y ⎰•⨯∇S s d A ρρ=2S y dS ⎰Ñ=22sin S

d d θρρρθ⎰Ñ=44a π

即：⎰•l l d A ρρ=⎰•⨯∇S

s d A ρρ，得证。 求下列标量场的梯度：

⑴u=xyz+2x u ∇=x a u u r u x ∂∂+y a u u r u y ∂∂+z a u u r u z

∂∂=x a u u r (yz+zx)+y a u u r xz+z a u u r xy ⑵u=42x y+2y z -4xz

u ∇=x a u u r u x

∂∂+y a u u r u y ∂∂+z a u u r u z ∂∂=x a u u r (8xy-4z)+y a u u r (42x +2yz)+z a u u r (2y -4x) ⑶u ∇=x a u u r u x ∂∂+y a u u r u y ∂∂+z a u u r u z

∂∂=x a u u r 3x+y a u u r 5z+z a u u r 5y 求下列矢量场在给定点的散度

⑴A ρ•∇=x A x ∂∂+y A y ∂∂+z A z

∂∂=32x +32y +3(1,0,1)|-=6 ⑵A ρ•∇=2xy+z+6z (1,1,0)|=2

求下列矢量场的旋度。

⑴A ∇⨯u r =0r

⑵A ∇⨯u r =x a u u r （x -x ）+y a u u r （y -y ）+z a u u r （z -z ）=0r

已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求：

⑴P 的位置矢量r r 和Q 点的位置矢量'r u r ；

⑵从Q 点到P 点的距离矢量R u r ；

⑶r ∇⨯r 和r ρ•∇； ⑷1

()R ∇。

解：⑴r r =x a u u r x+y a u u r y+z a u u r z;

'r u r =x a u u r x ’+y a u u r y ’+z a u u r z ’ ⑵R u r =r r -'r u r =x a u u r （x -x ’）+y a u u r （y -y ’）+z a u u r （z -z ’） ⑶r ∇⨯r =0r , r ρ•∇=3