复域矩阵

①.复数域矩阵A ，其共轭矩阵A A A =有,

对一阶矩阵即数，显然成立。

假设对k 阶A 成立，那么对（k+1）阶矩阵A 而言，其代数余子式为a+bi,则此项的值为（ax-by ）（ay+bx ）i ，对A 而言，同一项的yi x a ij -=，代数余子式为a-bi,此项的值为（ax-by ）-（ay+bx ）i.

显然二者的值共轭，广而推之，所有一项都共轭，那么|A|与A 也共轭，即A A =

②.复数域矩阵A ，其转置矩阵T T A A A =有,.

这一点用行列式的计算公式可知，行列式是不同列不同行元素的乘积的总和，转置后这种关系不变，所以

T A A =.

综上，以证明：酉矩阵的行列式的模等于1.

酉矩阵A ，有

1==⋅=⋅E A A E

A A T T ()()1

1

1,.

①.

②12222=+=+⇒=-++====d c A d c di c di c di c A A A A A A A T T 的模即为即有假设得由得，由

证明：与任意n 阶方阵可交换的方阵一定是数量矩阵。（注：数量矩阵是对角线元素相等的对角矩阵，即为aE,a 为任意常数）

设()ij a A =与任意的n 阶方阵可交换，设ij B 是第i 行地j 列为1，其余均为0的方阵。

有

使一个对角矩阵

即当的方阵，

其余列均为列为是第的方阵，

其余行都为行为是第A a j i a a a j AB a a a i A B AB A B ij nj j j ij jn j j ij ij

ij ,0,0,,,0,,,2121=≠= 设B （i,j ）是对换i,j 两行的初等矩阵，得B （i,j ）A=AB （i,j ） B （i,j ）A ， j 行i 列为ii a ，i 行j 列为jj a

AB （i,j ），i 行j 列为ii a ，j 行i 列为jj a 。

即有jj ii a a =。

综上得到A 是主对角线元素相同的对角矩阵，即aE.