运筹学最优化方法复习

第1章 最优化问题的基本概念

§1.1最优化的概念

最优化就是依据最优化原理和方法，在满足相关要求的前提下，以尽可能高的效率求得工程问题最优解决方案的过程。 §1.2最优化问题的数学模型

1.最优化问题的一般形式

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===≤q v x x x h p u x x x g t s x x x f x x x find n v n u n

n

,,2,10),,,(,,2,10),,,(..),,,(min ,,,21212121

2.最优化问题的向量表达式

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=≤0)(0)(..)(min X H X G t s X f X find

式中：T n x x x X ],,,[21 =

T p X g X g X g X G )](,),(),([)(21 = T p X h X h X h X H )](,),(),([)(21 =

3.优化模型的三要素

设计变量、约束条件、目标函数称为优化设计的三要素！

设计空间：由设计变量所确定的空间。设计空间中的每一个点都代表一个设计方案。 §1.3优化问题的分类

按照优化模型中三要素的不同表现形式，优化问题有多种分类方法： 1按照模型中是否存在约束条件，分为约束优化和无约束优化问题 2按照目标函数和约束条件的性质分为线性优化和非线性优化问题 3按照目标函数个数分为单目标优化和多目标优化问题

4按照设计变量的性质不同分为连续变量优化和离散变量优化问题

第2章 最优化问题的数学基础

§2.1 n 元函数的可微性与梯度

一、可微与梯度的定义

1.可微的定义

设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，且D X ∈0。若存在n 维向量L ，对于任意n 维向量P ，都有

0)()(lim 000=--+→P P L X f P X f T P 则称)(X f 在0X 处可微。

2.梯度

设有函数)(X F ，T n x x x X ],,,[21 =，在其定义域内连续可导。我们把)(X F 在定义域内某点X 处的所有一阶偏导数构成的列向量，定义为)(X F 在点X 处的梯度。记为：

T

n k x F x F x F X F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇,,,)(21

梯度有3个性质：

⑴函数在某点的梯度方向为函数过该点的等值线的法线方向； ⑵函数值沿梯度方向增加最快，沿负梯度方向下降最快； ⑶梯度描述的只是函数某点邻域内的局部信息。 §2.2极小点及其判别条件 一、相关概念

1.极小点与最优解

设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，若存在D X ∈*及实数

0>δ，使得)(),(**X X D X N X ≠⋂∈∀δ都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的局部

极小点；若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的严格局部极小点。

若D X ∈∀，都有)()(*X f X f ≤，则称*X 为)(X f 的全局极小点，若)()(*X f X f <，则称*X 为)(X f 的全局严格极小点。

对最优化问题⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=≤0)(0)(..)(min X H X G t s X f X

find 而言

满足所有约束条件的向量T n x x x X ],,,[21 =称为上述最优化问题的一个可行解，全体可行解组成的集合称为可行解集。在可行解集中，满足： )(min )(*X f X f =的解称为优化问题的最优解。

2.凸集和凸函数

凸集：设n R D ⊂，若对所有的D X X ∈21、，及]1,0[∈α，都有D X X ∈-+21)1(αα，则称D 为凸集。

凸函数：设1:R R D f n →⊂，D 是凸集，如果对于所有的D X X ∈21、，及]1,0[∈α，都有)()1()(])1([2121X f X f X X f αααα-+≤-+，则称)(X f 为D 上的凸函数。 二、局部极小点的判别条件

驻点：设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，*X 是D 的内点，若0)(*=∇X f ，则称*X 为)(X f 的驻点。

局部极小点的判别：设)(X f 是定义在n 维空间n R 的子集D 上的n 元实值函数，具有连续的二阶偏导数。若*X 是)(X f 的驻点，且)(*2X f ∇是正定矩阵，则*X 是)(X f 的严格局部极小点。

第3章 无约束优化方法

§3.1下降迭代算法及终止准则 一、数值优化方法的基本思想

基本思想就是在设计空间内选定一个初始点k

X ，从该点出发，按照某一方向k

S （该

方向的确定原则是使函数值下降）前进一定的步长k α，得到一个使目标函数值有所下降的新设计点1+k X ，然后以该点为新的初始点，重复上面过程，直至得到满足精度要求的最优点*X 。

该思想可用下式表示：k k k k S X X α+=+1 二、迭代计算的终止准则

工程中常用的迭代终止准则有3种： ⑴点距准则

相邻两次迭代点之间的距离充分小时，迭代终止。

数学表达为：ε≤-+k k X X 1 ⑵函数下降量准则（值差准则）

相邻两次迭代点的函数值之差充分小，迭代终止。 数学表达为：ε≤-+)()(1k k X f X f ⑶梯度准则

目标函数在迭代点处的梯度模充分小时，迭代终止。

数学表达为：ε≤∇+)(1k X f 三、算法的收敛速度

对于某一确定的下降算法，其优劣如何评价？人们通常采用收敛速度来评价。 下面给出度量收敛速度的几个概念。 1.P 阶收敛

设序列{}k X 收敛于解*X ，若存在常数0≥P 及L 、0k ，使当0k k ≥时下式：

p

k k X X L X X **1-≤-+

成立，则称{}k X 为P 阶收敛。 2.线性收敛

设序列{}k X 收敛于解*X ，若存在常数0k 、L 及)1,0(∈θ，使当0k k ≥时下式：

k k L X X θ≤-+*1

成立，则称{}k X 为线性收敛。 3.超线性收敛

设序列{}k X 收敛于解*X ，若任给0>β都存在00>k ，使当0k k ≥时下式：

**1X X X X k k -≤-+β

成立，则称{}k X 为超线性收敛。 §3.2一维最优化方法 一、确定初始区间的进退法

任选一个初始点0x 和初始步长h ，由此可确定两点01x x =和h x x +=12，通过比较这两点函数值)(1x f 、)(2x f 的大小，来决定第三点3x 的位置。比较这三点函数值是否呈“高——低——高”排列特征，若是则找到了单峰区间，否则向前或后退继续寻求下一点。

进退法依据的基本公式：

01x x =

h x x +=12 h x x +=23

具体步骤为：

⑴任意选取初始点0x 和恰当的初始步长h ； ⑵令01x x =，取h x x +=12，计算)(1x f 、)(2x f ；

⑶若)()(21x f x f ≥，说明极小点在2x 右侧，应加大步长向前搜索。转⑷； 若)()(21x f x f <，说明极小点在1x 左侧，应以1x 点为基准反向小步搜索。转⑹； ⑷大步向前搜索：令h h 2⇐，取h x x +=23，计算)(3x f ；