数理逻辑(新)

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(5) 公式A = (p ↔ q ) ∨ (¬q ↔ r)的真值表如下： p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p↔q 1 1 0 0 0 0 1 1 ¬q 1 1 0 0 1 1 0 0 ¬q ↔ r 0 1 1 0 0 1 1 0 A 1 1 1ห้องสมุดไป่ตู้0 0 1 1 1
根据上面的真值表， 我们知道： (1) 公式p → (¬q ∨ r)是可满足式； (2) 公式¬q → (q → r)是永真式； (3) 公式(p → q ) ∨ (¬p → r)是永真式； (4) 公式(p → q ) ∧ (¬p → r)是可满足式； (5) 公式(p ↔ q ) ∨ (¬q ↔ r)是可满足式； (6) 公式(¬p ↔ ¬q ) ↔ (q ↔ r)是可满足式。 习题 1.6 我们将出现在公式A中的所有命题变量构成的集合记为f v (A)。 例如， 设A = (p ∧ q ) → (p ∨ r)， 则f v (A) = {p, q, r}。请使用归纳法严格定义f v (A)。 解答：对任意的公式A， 按照A的结构实进行归纳定义： (1) 归纳基： 若公式A是命题变量p， 则f v (A) = {p} = {A}； (2) 归纳步：若公式A具有形式(¬B )，其中公式B 中的所有命题变量构成的集合记为f v (B )（归 纳假设） ， 显然(¬B )的所有变量构成的集合为： f v (¬B ) = f v (B )， 因此公式A的所有命题变量构成的 集合为f v (A) = f v (B )。 类似地， 若公式A具有形式(B ⊕ C )， 其中⊕是∧, ∨, →, ↔之一， 其中公式B 中 的所有命题变量构成的集合记为f v (B )，并且公式C 中的所有命题变量构成的集合记为f v (C )（归纳 假设） ， 则f v (A) = f v (B ⊕ C ) = f v (B ) ∪ f v (C )。
习题 1.5 构造下列公式的真值表（请注意真值表的构造方式） ， 并判断公式的类型： (1) p → (¬q ∨ r) (4) (p → q ) ∧ (¬p → r) 解答： (1) 公式A = p → (¬q ∨ r)的真值表如下： p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 ¬q 1 1 0 0 1 1 0 0 3 ¬q ∨ r 1 1 0 1 1 1 0 1 A 1 1 1 1 1 1 0 1 (2) ¬q → (q → r) (5) (p ↔ q ) ∨ (¬q ↔ r) (3) (p → q ) ∨ (¬p → r) (6) (¬p ↔ ¬q ) ↔ (q ↔ r)
(4) 公式p ∨ q ∨ r的自然语言叙述可以是： “你要么生病了， 要么错过了期末考试， 要么获得了课 程学分”； (5) 公式(p → ¬r) ∨ (q → ¬r)的自然语言叙述可以是： “如果你生病了，就不能获得课程学分， 或者如果你错过了期末考试， 你也不能获得课程学分”； (6) 公式(p ∧ q ) ∨ (¬q ∧ r)的自然语言叙述可以是： “要么你生病了并且错过了期末考试， 要么你 参加了期末考试并且获得了课程学分” 。 点评 1.2 从作业中发现第(5)题错的较多，有很多同学叙述为 “ 如果你生病了或者你错过了期末 考试，那么你不能获得课程学分 ” 。我们先来符号化上述错误叙述：(p ∨ q ) → ¬r，而这个式子与本 题公式(p → ¬r) ∨ (q → ¬r)并不等价。因为(p → ¬r) ∨ (q → ¬r) ⇔ (p ∧ q ) → ¬r。 习题 1.3 令p表示“你期末考试得A” ，q 表示“你完成了平时作业” ，r表示“你课程成绩得优” ， 请使用公式符号化下列命题： (1) 你课程成绩得优， 但你没有完成平时作业。 (2) 你期末考试得A， 也完成了平时作业， 并且课程成绩得优。 (3) 只有期末考试得A， 你课程成绩才得优。 (4) 虽然你期末考试得A， 但你没有完成平时作业， 否则你课程成绩可得优。 (5) 只要你期末考试得A， 而且完成平时作业， 你课程成绩就可得优。 (6) 你课程成绩得优当且仅当， 你期末考试得A， 或者你完成了平时作业。 解答： (1) “虽然· · · 但是· · · ” 为合取联结词， 因此句子 “你课程成绩得优， 但你没有完成平时作业” 符 号化为： r ∧ ¬q ； (2) “· · · 也· · · 、 · · · 并且· · · ” 为合取联结词， 因此句子 “你期末考试得A， 也完成了平时作业， 并 且课程成绩得优”符号化为p ∧ q ∧ r； (3) “只有· · · 才· · · ”是必要条件的假言判断，因此句子“只有期末考试得A，你课程成绩才得 优”符号化为r → p； (4) 根据句子的结构， “否则”是否定“你没有完成平时作业” ，因此句子“虽然你期末考试得A， 但你没有完成平时作业， 否则你课程成绩可得优”符号化为((p ∧ ¬q ) → ¬r)； (5) “只要· · · 就· · · ”是表蕴涵的典型句式，因此句子“只要你期末考试得A，而且完成平时作 业， 你课程成绩就可得优”符号化为(p ∧ q ) → r； (6) “当 且 仅 当”是 典 型 的 表 等 价 的 连 词，因 此 句 子“你 课 程成 绩 得 优 当 且 仅 当，你 期 末 考 试 得A， 或者你完成了平时作业”符号化为r ↔ (p ∨ q )。 点评 1.3 从 作 业 中 发 现，(3) (4)题 错 的 较 多。(3) “ 只 有· · · 才· · · ”是 必 要 条 件 的 假 言 判 断，所 以 “ 只有p才q ” 一般符号化为：q → p。(4) 有一部分同学错误的理解 “ 否则 ” 是对 “ 虽然你期末考试 得A，但你没有完成平时作业 ” 的否定，而形式化为：¬(p ∧ ¬q ) → r。 习题 1.4 定义真值赋值函数t : Var→2， 其中： t(p) = 0 t(q ) = 1 t(r) = 0 t(s) = 1
《数理逻辑》 课程习题与解答(2010级使用)
周晓聪(isszxc@) 王肖燕(waxiya2@) 中山大学计算机科学系, 广州 510275 2010 年 12 月 16 日
第一章
1.1
1.1.1 必做题
命题逻辑
命题逻辑基本概念
习题 1.1 判断下面句子是否是命题。 如果是命题试着讨论其真值； 如果不是命题， 请说明理由。 (1) 广州是广东省的省会。 (3) 3 + 5 = 9. (5) 现在是什么时间？ (7) 明天是星期三。 解答： (1) “广州是广东省的省会”是命题， 其真值为真； (2) “判断下面句子是否是命题”是祈使句， 因而不是命题； (3) “3 + 5 = 9”是命题， 其真值为假； (4) “3 + x = 9”不是命题， 因为其中含有变量x， 从而不具有确定的真值； (5) “现在是什么时间？ ”是疑问句， 因而不是命题； (6) “2n > 1000”不是命题， 因为其中含有变量n， 从而不具有确定的真值； (7) “明天是星期三”是命题,若今天为星期二， 则真值为真， 否则真值为假； (8) “请不要越过黄线！ ”是祈使句， 因而不是命题。 点评 1.1 实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没 有真值。 习题 1.2 令p表示 “你生病了” ， q 表示 “你错过了期末考试” ， r表示 “你获得了课程学分” ， 请使 用自然语言表达以下公式： (1) p → q (4) p ∨ q ∨ r 解答： (1) 公式p → q 的自然语言叙述可以是： “假若你生病了， 就会错过期末考试”； (2) 公式¬q ↔ r的自然语言叙述可以是： “如果你参加了期末考试，那么你获得了课程学分，反 之亦然”； (3) 公式q → ¬r的自然语言叙述可以是： “如果你错过了期末考试， 就不能获得课程学分”； 1 (2) ¬q ↔ r (5) (p → ¬r) ∨ (q → ¬r) (3) q → ¬r (6) (p ∧ q ) ∨ (¬q ∧ r) (2) 判断下面句子是否是命题。 (4) 3 + x = 9 (6) 2n > 1000 (8) 请不要越过黄线！
(2) 公式A = ¬q → (q → r)的真值表如下： p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 ¬q 1 1 0 0 1 1 0 0 q→r 1 1 0 1 1 1 0 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
(3) 公式A = (p → q ) ∨ (¬p → r)的真值表如下： p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p→q 1 1 1 1 0 0 1 1 ¬p 1 1 1 1 0 0 0 0 ¬p → r 0 1 0 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
(6) 公式A = (¬p ↔ ¬q ) ↔ (q ↔ r)的真值表如下： p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 ¬p 1 1 1 1 0 0 0 0 ¬q 1 1 0 0 1 1 0 0 ¬p ↔ ¬q 1 1 0 0 0 0 1 1 q↔r 1 0 0 1 1 0 0 1 A 1 0 1 0 0 1 0 1
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1.1.2
选做题
习题 1.7 下面两段话都是有关计算机系统的断言（即命题） ，请使用命题逻辑公式进行符号化， 并分别判断符号化后得到公式的类型（提示：各个句子之间的逻辑关系应该是“逻辑与” ） 。 (1) 当且仅当系统正常操作时，系统处于多用户状态。如果系统正常操作，则它的核心程序正在 运行。核心程序不能正常运行，或者系统处于中断模式。如果系统不处于多用户状态，它就处于中 断模式。系统不处在中断模式。 (2) 如果文件系统未加锁，那么新消息被排成队。如果文件系统未加锁，则系统正常运行；反之 亦然。如果新消息尚未排成队，就被送入消息缓冲区。如果文件系统未加锁，那么新消息被送入消 息缓冲区。新消息没有被送入缓冲区。 解答：(1) 该句子的中的原子命题包括： p : 系统正常操作 r : 系统的核心程序正在运行 q : 系统处于多用户状态 s : 系统处于中断模式