正弦量的矢量图解法

i2 10 2 sin( 6280 30 ) A t
2. 相量运算 (1) 同频率正弦量相加减 u1 ( t ) U m1 sin( t Ψ 1) Im( 2 U 1 e jωt ) ω
u2 ( t ) U m2 sin( t Ψ 2 ) Im( 2 U 2 e jωt ) ω

U 3 j4
U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )

u 5 2 sin( t 126 9 )

u 5 2 sin( t 126 9 )

符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 +
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。 新问题提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示法 复数运算
复数复习
1. 复数A表示形式： A=a+jb Im b A
(j 1 为虚数单位 ) Im A b
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im

I1 I 2


I2
y2

i1 2 I 1sin( t ψ1 ) I 1 I 1ψ1 ω i2 2 I 2sin( t ψ2 ) I 2 I 2ψ2 ω
Re


u1 2U 1 sin t 1 u 2 2U 2 sin t 2
幅度：相量大小 设： 相位： 2
U2
2
1
U 2 U1
领先 U U2 1
落后
1
U1
U1
落后于
U2
？
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u2 2U 2 sin t 2
y1

I1
I2

I1 I 2
小结：正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T

t
瞬时值
u U m sin t
U
相量图
I
复数
符号法
a jb U e j U U
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
U 3 j4
u 5 2 sin( t 531 )
例． u1 ( t ) 3 2sin314t V
u2 ( t ) 4 2sin( t 90o ) V 314 u( t ) u1 ( t ) u2 ( t ) 5 2sin( t 53.1o ) V 314 U 1 30 o V , U 2 3 V U U 1 U 2 553.1o V
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O a Re Re 一个复数 A 可以在复平面上表示为从原点到 A 的向量， 此时a可看作与实轴同方向的向量， b 可看作与虚轴同方 向的向量。由平行四边形法则。则a+jb即表示从原点到A 的向量，其模为|A|，幅角为 。所以复数A又可表示为 O a
A=|A|ej =|A|
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
u1 ( t ) u2 ( t ) Im ( 2 U 1 e


jω t
) Im ( 2 U 2 e jω t ) 2U2 e


Im ( 2 U 1 e U U1 U 2

jω t
jω t
) Im ( 2 (U 1 U 2 )e jω t )



故同频的正弦量相加减运算就变成对应的向量相加减运算。
U2
U
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
u1 2U1 sin t 1

2
1
U1
U U1 U 2
例 已知i1=3sin(ωt+120O)安，i2=4sin(ωt+30O) 安，求i1+i2。 解：Im= =5A α= =37O i= i +i =5sin(ωt+67O) 1 2

相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：

U

i(t ) 2Isin( t ) I I ω
I

u(t ) 2Usin( t θ ) U Uθ ω
不同频率的相量不能画在一张向量图上。

相量图：
j
j
Um
φ 0 +1
U
φ +1
0
复数的模：幅值 有效值 辐角：初相位
？
已知：
正误判断 u 2 10 sin ( t 15 )
则：
U 10
？

15

10 e j15 U
？
正误判断
已知：
10050 I

则：
i 100sin ( t 50 ) ？
最大值
I m 2I 100 2
Im[A(t )] 2sin( Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。 ωt
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
i 2Isin( t Ψ) A(t ) 2Ie ω
A(t)还可以写成
A( t ) 2 Ie e
jψ
j(ωt Ψ)
jω t
2 I e jωt
代数式 指数式
j
j
U (cos j sin ) U
极坐标形式
项目十六
正弦量的相量表示
1. 正弦量的相量表示
A( t ) 2 Ie j(ωt Ψ) 造一个复函数
没有物理意义
2 Icos( t Ψ ) j 2 Isin ω t Ψ ) ω ( 若对A(t)取虚部：
) V

U1


例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量式 为：
I 1 100 60
j 30

A
I 2 10 e
求：i1、i2 解：
A
2 f 2 1000 6280rad s
i1 100 2 sin( 6280 60 ) A t
u、i
U、I
Um
U “.”
正误判断
？ u 100sin t U
瞬时值 复数
50 e j15 50 2 sin( t 15 ) U
复数
瞬时值
正误判断
已知：
i 10 sin( t 45 )

10 I 45 2
有效值
？
j45
45
I m 10 e
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1. 5 47 + 1025 = (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 -2.61
U
b
U
a
欧 拉 公 式
U a jb U e
j
e e cos 2 j j e e sin 2j
矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转
最大值
Um

有效值
U
U m、 m I
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。
若其幅度用最大值表示 ，则用符号：
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
U、I
3. 相量符号
U、I
包含幅度与相位信息。
正弦波的矢量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示。
| A | a 2 b 2 b θ arctag a
直角坐标表示 极坐标表示 或
a | A | cosθ b | A | sinθ
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) O Im A2 A1

复常数
A(t)包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了I, 。
称 I IΨ 为正弦量 i(t) 对应的相量量
i ( t ) 2 I sin( t Ψ ) I IΨ ω


同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u( t ) 2U sin( t θ ) U Uθ ω
Re
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算——极坐标 若 则 A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2 A1 A2 =| A1 | | A2| 1 2
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1θ 2 ) | A1 | e θ 1 θ 2 jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A2 |
项目十五 正弦量的矢量表示法
三角函数式 波形图
i sin 1000 30 t
i
t
这两种方法不便于运算，重点介绍矢量表示法。
一、正弦量的矢量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。 u u U
m
sin t
ω

Um
t

矢量长度 =U m 矢量与横轴夹角 = 初相位
已知： i 141 .4 sin(314 t
例1: 已知瞬时值，求相量表示。
6 ) A u 311 .1sin(314 t

30 3 60 求： i 、u 的相量表达式及相量图。 解： 141.4 e j 30 100e j 30 100 30 A I U2 2 相位哪一个超前？ 311.1 U cos(60 ) j sin( 60 ) 哪一个落后？ U1 超前 U2 2 j 60 110 j190.5 220e 220 60 V