神奇的幻方 ppt课件
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第9讲：神奇幻方(最新数学课件)
爱22 20 18
4 92
数21 16 学23
60
与中间数对应的上下、左右、对角两个数字的和=中间数×2
与中间数对应的上下、左右、对角四个数字的和
=中间数 ×（阶数-1）
如果是五阶幻方？
练习二
在下图中的A、B、C、D、E、F、G处填上适当 的数，使下图成为一个五阶幻方。
6 2A3 10 2B7 14 1C9 11 28 15 7 12 2D4 16 8 20 =1860×5 25 17 4 2E1 13 1F8 5 2G2 9 26
28 21 26 203 25 27 24 26 22 23
1 居上行正中央 依次斜填切莫忘 上出框时最下移 右出框时最左放 排重便在下格填 右上排重一个样
练习三
下面是一个五阶幻方图，已知这个五阶幻方的幻和是65 ，请在这个幻方填入25个连续的自然数，使幻方成立。
18 25 2 9
24 1
8
15 17
幻和 嘉+12 =21+9
嘉 =18 幻和 =18×3 =54
中21 小 学9 伊嘉儿 受 欢12 迎
练习四
在如图所示的九宫图中，不同的汉字代表不同的数字 ，每行，每列和两条对角线上各数之和相等。当卓=3，教
=9，迎=4时，欢+迎+你=( 24)。
幻和 热+4 =3+9
热 =8 幻和 =8×3 =24
卓3 灿 教9 育热烈 欢 迎4 你
例题五（选讲）
将数字1～16分别填入下图方格中，不能重复，使每 行、每列以及两条对角线上的四个自然数之和相等。
一字排开 对角不动 上下交换
左右更替
1234 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16
北师大版七年级上册数学 综合与实践 探寻神奇的幻方 课件(共15张PPT)
现的那些相等关系？
492 357 816
三阶幻方
探究二
自主学习、合作探究
4.在你构造的幻方中，最核心 位置是什么？在这个位置上出现的 数是几？它与相邻的其它两数的和 有什么关系？有没有“成对”的数？
5.你还有什么新的发现？
492 357 816
三阶幻方
探究三
七年级数学
幻和为15时为什么中间 的数一定是 5 呢?
19 11 15 8
15
8 1 6 15 3 5 7 15 4 9 2 15
15 15 15 15
探究二
自主学习、合作探究
在图中的三阶幻方中,
1.每行、每列、每条对角线
上的三个数之和分别是多少？
2.如果把和相等的每一组数
分别连线，这些线段会构成一个
怎样的图形？
3.你能否改变上述幻方中数
字的位置，使它们仍然满足你发
“洛书”传说
传说夏禹治水时，在黄河支流的洛水中浮出一 只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，古人认 为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制伏。 他们发现，这个图案每一列、每一行及对角线加 起来的数字和都是一样的。后人称这个图案为 “洛书”。即现在的三阶幻方。
我国的幻方后来传到了国外，幻方多彩的变 幻特征吸引了许多国外的数学家们。从16、17世 纪到现在，全世界尤其是西方构造幻方非常盛行。
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
活动三
用三阶幻方游戏实验幻和为偶数的构 造方法是否和幻和为奇数的方法一样？
如：用2、3、4、5、6、7、8、9、10 构造幻方。
神奇的幻方ppt
• 议一议：
• • • • • (-3) ×4=-12 (-3) ×3=___ (-3) ×2=___ (-3) ×1=___ (-3) ×0=___ (-3) ×(-1)=___ (-3) ×(-2)=___ (-3) ×(-3)=___ (-3) ×(-4)=___
• 思考一下：当一个因数减小1时，积是怎
• 学习目标： • 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘 法法则，并能准确地进行有理数的乘法运 算;会求一个有理数的倒数;能够确定多个有 理数相乘积的符号。
学习目标：
1、综合运用有理数的混合运算、字母 表示、一元一方程的解法，探索三阶幻 方的经验。 2、经历观察、思考、猜想、尝试、归纳、 类比等活动初步总结出广义的三阶幻方 的经验三阶幻方的概念 3、按要求会完成三阶幻方 4、对比三阶幻方，展望四阶、五阶幻方Leabharlann 1 =+(3× ) 3
=1
1 3
(2).(-5) ×(-7) =+(5 ×7) =35 （同号得正，绝对值相乘） 8 3 (3).（- 3）×（- ） 8
8 =+( × 3
=1
3 ) 8
• 注：乘积为1的两个数互为到数，例如： 3 8 1 -3与- ，- 与 8
3
3
例2.计算： （1）（-4）×5 ×（-0.25）； 解：（-4）×5 ×（-0.25） =[-（4 ×5）]×(0.25) =(-20) ×(0.25) =+(20 ×0.25) =5;
• 温故知新 :1.小学学过的乘法是怎样定义的？ 洛书 • 答：乘法是求几个相同加数的和的运算。 • 例如：5+5+5+5=5×4=20 四海三山八仙洞 • 2.如果向东走5m用+5m来表示，那么向西 九龙王子一枝莲 走3m该如何表示？＿＿＿。 二七六郎赏月半 • 3.写出下列各数的绝对值: -3, -(-3), 5,1.5。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
《探寻神奇的幻方》优质课件
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
（2）你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的 要求？说说你的道理.
课堂检测
1.在下列各图的空格里，填上合适的数，使横行、 竖列及两条对角线上三个数的和都相等.
438
3
16
17
1
2 10
综合与实践
2020/6/15
故事
公元前三千多年，有条洛河经常发大水，皇帝பைடு நூலகம் 禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌 龟，背上有奇特的图案.
龟背上的图案是 什么意思呢？
探究一
龟背上的这些数填到表格中，你能发现什么？ 49 2 35 7 8 16
每一行，每一列，每一条对角线上的三个 数的和，有什么特点?
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 276 816
将1~9这九个数填入九宫格里，使每行、每列及两条 对角线上三个数的和都相等。
九子斜列
巴 上下对易 舍 法 左右相更
思维挺出
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
*2.用25个数构造一个五阶幻方. *3.本课时给出的数，从小到大排列，好像都是
等距的,不“等距”的9个数能否构成三阶幻方 呢？
—— 在旋转中看
294 753 618
旋转的研究方法
294 276 7 5 3①9 5 1② 618 438
672 618 1 5 9③7 5 3④ 834 294
816 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 672
(完整版)《探寻神奇的幻方》优质课件
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
-1 4 -3
8 18 4
10 25 4
-2 0 2
6 10 14
7 13 19
3 -4 1
16 2 12
22 1 16
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947
而一般的幻方根本不具有这个特性.
• 第二，这个幻方去掉最 外面一层，中间剩下的 部分仍然是一个四阶幻 方。这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成， 其每行，每列及两条对 角线上的 4 个数之和都 是 74 。更为奇特的是， 这个4阶幻方还是一个完 美幻方。即各条泛对角 线上的4个数之和也都是 74 。
北师大版七年级数学上册 综合实践-奇妙的幻方 说课课件 (共25张PPT)
（二）问题探究---（合作探究）
示范引领研究
展示成功 案例 观察、猜想 质疑、验证 归纳、说理 结论 相互佐证 观察、猜想 结论
小组合作研究
关键词：案例、特例、推理、 字母表示数、佐证
观察案例 整 体 观 察 发现核心 数5 发现数字分布 的奇偶特征 发现成对的数 及其分布特征
发现组合 数中，5 出现4次， 偶数出现 3次，奇 数出现2 次
三、教学目标
• 1、通过综合运用有理数混合运算、用字母表 示数及其运算等知识，探索三阶幻方的本质 特征. • 2、经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初 步积累构造三阶幻方的经验. • 3、通过对蕴含在具体事物中的规律性结论进 行分析和解释，初步获得“由特殊到一般” 的探究问题的方法和经验. • 4、感悟数形结合思想、体会合作学习价值.
二、学情分析
基本情况
初中段第一次接触综合 实践活动，研究意识和 研究思路还不成形. 七年级学生好奇心强， 求知欲旺，学习激情易 被激发.
定位或课前准备
定位在示范引领学生初步掌 握探究性学习的方法.
活动设计要面向全体、层层 递进.
学生的整体水平良好， 课前学生收集整理幻方的背 具备初步的观察、分析、 景资料，尝试完成用1～9填 概括的能力. 三阶幻方的体验任务 .
研究性学习要求学生既要能独立的多角 度尝试和思考，也要能关注别人不同的思 路和见解.同时，课题研究的综合性、开放 性；学生之间客观存在的学情差异共同决 定了教法的选择.
五、教学过程设计
• 以问题为载体，以研究为主线. • 课前：学生查阅收集整理幻方背景知识 1.问题引领 课 堂 2.问题探究 3.应用拓广 4.归纳小结 5.作业 • 课后：研究问题猜想 自主实践 合作探究 实践演练
探寻神奇的幻方 PPT课件 1 北师大版
9
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
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理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
北师大版数学七上综合实践1《探索神奇的幻方》 课件 (共30张PPT)
30
幻和123?89315将24681012141618九个数填入下图的九个方格里使每行每列每条对角线上的三个数的和都相幻和246?183301012161814在下图的每个方格里填上不同的自然数使每行每列每条对角线上的三个数的和都等于27
大兴中学 吴丽
创设情景，引入新课
传说两千多年前， 夏禹治水时, 黄河中 跃出一匹神马,马背上驮着一幅图, 人称 「河图」
5、你还有什么新的发现？
问题3
交流展示 精讲释疑
上
下
29 4
对 称
75 3
左 右
61 8
对 称
对
角
数学思想：数形结合
对 称
旋转的研究方法
对
角
对
称
幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
1-9 九个数 已有同学填好了其中三个，
•
你能把其它六个数填在相应的空格中，使 每行、每列、两对角线三数之和相等吗？
年这
在是
西元
安代
东西
郊安
元的
代一
安块
西六
王阶
府幻
遗方
址 出
，
土
1957
。
十 阶 幻 方
此碑见证了澳门回归祖国的历史时刻
“完美幻方”
十 六 阶 幻 方
幻方的发展
宇宙飞船上的礼物
• 1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇 宙飞船，试图与“外星人”建立联系。如 何使地球外智慧生命理解地球人的意思， 这是个很困难的事情，世界各国的人们纷 纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些。 最后飞船上携带有两件与数学有关的东西， 一个是勾股数，另一个就是4阶幻方。
幻和123?89315将24681012141618九个数填入下图的九个方格里使每行每列每条对角线上的三个数的和都相幻和246?183301012161814在下图的每个方格里填上不同的自然数使每行每列每条对角线上的三个数的和都等于27
大兴中学 吴丽
创设情景，引入新课
传说两千多年前， 夏禹治水时, 黄河中 跃出一匹神马,马背上驮着一幅图, 人称 「河图」
5、你还有什么新的发现？
问题3
交流展示 精讲释疑
上
下
29 4
对 称
75 3
左 右
61 8
对 称
对
角
数学思想：数形结合
对 称
旋转的研究方法
对
角
对
称
幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
1-9 九个数 已有同学填好了其中三个，
•
你能把其它六个数填在相应的空格中，使 每行、每列、两对角线三数之和相等吗？
年这
在是
西元
安代
东西
郊安
元的
代一
安块
西六
王阶
府幻
遗方
址 出
，
土
1957
。
十 阶 幻 方
此碑见证了澳门回归祖国的历史时刻
“完美幻方”
十 六 阶 幻 方
幻方的发展
宇宙飞船上的礼物
• 1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇 宙飞船，试图与“外星人”建立联系。如 何使地球外智慧生命理解地球人的意思， 这是个很困难的事情，世界各国的人们纷 纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些。 最后飞船上携带有两件与数学有关的东西， 一个是勾股数，另一个就是4阶幻方。
初中数学北师大版七年级上册探寻神奇的幻方课件
．
总归纳、思维提升
谈谈这节课你的收获？
延伸阅读
1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人” 建立联系。如何使地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难 的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一 些。最后飞船上携带有两件与数学有关的东西，一个是勾股数，另 一个是一个4阶幻方，这个幻方是耆那幻方(Jaina Square) 。
探索新知
活动二
1.你是怎样用这九个数构造幻方的？ 2. 你构造的幻方中，最核心的位置是什么？ 你能用代数式进行说明吗。 3.四角位置可以填奇数吗？为什么？
学以致用
将0，1，2，3，4，5，6，7,8填入到3×3的方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
拓展延伸
请自行列举出9个数，将它们填入到3×3的方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 等于54。
激趣导学
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾。河水 泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水。
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列， 每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是， 谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思？
激趣导学
49 2 35 7 81 6
分层作业
C类
B类 A类
1、将-2，-1,0,1,2,3,4,5,6填入到3×3的方 格中，使得每行、每列、每条对角线上的三 数之和相等。
2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每 一行、每一列和对角线上的三数之和都等于 60.
3.用2,4,6,8，10,12,14,16,18,构造一个三阶 幻方。
思考：怎样的9个数可以满足三阶幻方？
北师大版初中数学七年级上 册 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件
里，使之成为幻方.
2.在下列各图的空格里，填上合适的数，使横行、竖列及两
条对角线上三个数的和都相等.
438
六、拓展
1.将5个2和4个-2这九个数填入3×3的方格里，使得每行、每列、 两条对角线的三个数的乘积都是8. 2.将 12，11 ，10 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 ， 4，3 ，2 ，1 ， 0 ， -1，-2 ，-3 ，-4 ，-5 ，-6 ，-7 ，-8 ，-9 ， -10，
九子斜排
9
3
7
1
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
1.请把9个数字 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0，-1，-2 填
在3×3的方格中构成三阶幻方.
-2 -1 6 1 0 4 20 4
阶梯法步骤： 1.排序， 2.画图，
3 -2 5
3.斜排， 4.归位.
6
2、请把9个数字 -8, 8 , -6，6 -4, 4，-2, 0, 2,
294 753 618
三、幻方的应用
数独是一种数学游戏。玩 家需要根据9×9盘面上的已知 数字，推理出所有剩余空格的 数字，并满足每一行、每一列 、每一个粗线宫（3×3）内的 数字均含1-9，不重复.
数独游戏
45
19 99 12 20
97 49
8 16 357 49 2
③
读书人生
八科一生学六回， 三书五经读七春； 四年九创书二本， 读书人生奏强音 .
-11，-12这25个数分别填入6×6的方格中，构成五阶幻方．
只要你在路上，就不要放弃前进的勇气，走走停停的生活会一直继续。 如果为了安全而不和大海在一起，船就失去了存在的意义。 这个世界并不在乎你的自尊，只在乎你做出来的成绩，然后再去强调你的感受。 命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 为了你，很多事我不一定会，但我在努力学。 年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 受惠的人，必须把那恩惠常藏心底，但是施恩的人则不可记住它。--西塞罗 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。 世上的事就是这样：只要你以积极的态度，勇敢的面对，脚踏实地的努力奋斗，成功就会与你如影随形！我渴望你能成功！——李慎奇 过去不等于未来。 当无事时，应该像有事那样谨慎，当有事时，应像无事时那样镇静。因为漫长的旅途中，实在难以完全避免崎岖和坎坷。 路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原
神奇的幻方-完整版PPT课件
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
九阶幻方
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
将幻方按图中粗线分成九块，即为九个三阶幻方 距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数和都为82
谢谢观看
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四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
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六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
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这种方法适用于所有的 奇阶幻方
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11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
❖ 如；八阶幻方
❖
十阶幻方
❖
十二阶幻方
神奇
四阶幻方
❖ 幻和 ❖ 是34
16+13+1+4 ❖ 5+2+12+15 ❖ 3+8+9+14
组合数学课件--神奇的幻方PPT共40页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
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将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分， 成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
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23 6 19 2 15
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四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
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六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
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10
27
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7
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35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
：在三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角 的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段 会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特 点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然 满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有 “成对”的数？这是一般规律吗？你能证明它吗？ （5）你还有什么新的发现和疑问？
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
41
距 离 幻 方 中 心
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中
的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为
粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
82
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
❖ 在A中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取 m-1列，将其与D相应方格内交换；B与C接 近右侧m-1列相互交换。
8 16 3 57 492 35 28 33 30 32 34 31 36 29
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语文课上我 们学过很多 古诗，
大家能不能 背一首？
请欣赏：
要想解释这首诗的 意思，先让我们先
四海三山八仙洞，
看看这首诗的来历 吧。
九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，
周围十五月团圆。
请阅读：传奇故事
相传三千多年前大禹治水的时候， 在黄河支流洛水中有一只神龟。 龟背上刻有神奇的图案。（出示 投影片：龟背图）这个龟背图很 特别，用黑白圈来表示数，并用 直线连接这9个数。古人认为是 一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹 王彻底制服.你能说出它们分别代 表哪些数吗？
奇数 偶数 奇数 偶数 5 偶数 奇数 偶数 奇数
奇数 奇数 偶数 偶数 5 偶数 偶数 奇数 奇数
偶数 奇数 偶数 奇数 5 奇数 偶数 奇数 偶数
①鸟语花香 四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。 ②英雄奇才 八方三才游四海，一将五战胜九怪。 六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。
后人称这幅图被称为“洛书”， 实际上是现在的一个三阶幻方
洛书
三阶幻方
492
357
816
关于幻方
❖ 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
❖ 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的 纵横均有n个数，而把每行、每列、有时 还包括两条对角线的数加起来，它们的和 都是相等的，这个和叫做幻和。
❖ 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
③哥妹团圆 二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。
分类 构成 神奇
分类
❖ 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
三阶幻方
幻和是：3×（32＋1）÷2＝15
洛书
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
❖ 如；八阶幻方
❖
十阶幻方
❖
十二阶幻方
Strachey法（单偶）：
35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11
四阶幻方
❖ 幻和 ❖ 是34
16+13+1+4 ❖ 5+2+12+15 ❖ 3+8+9+14
❖ 16+2+11+5 ❖ 9+7+4+14 ❖ 3+13+8+10 ❖ 6+12+1+15
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
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2
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5
3
8
6993来自71这种方法适用于所有的 奇阶幻方
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
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16 4 12 25 8 16
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22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
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四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
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六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
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35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
：在三阶幻方中， （1）你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、斜对角 的三个数之和分别是多少？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段 会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特 点？ （3）你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然 满足你发现的那些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最核心位置是什么？有没有 “成对”的数？这是一般规律吗？你能证明它吗？ （5）你还有什么新的发现和疑问？
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
41
距 离 幻 方 中 心
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中
的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为
粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
82
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
❖ 在A中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取 m-1列，将其与D相应方格内交换；B与C接 近右侧m-1列相互交换。
8 16 3 57 492 35 28 33 30 32 34 31 36 29
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语文课上我 们学过很多 古诗，
大家能不能 背一首？
请欣赏：
要想解释这首诗的 意思，先让我们先
四海三山八仙洞，
看看这首诗的来历 吧。
九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，
周围十五月团圆。
请阅读：传奇故事
相传三千多年前大禹治水的时候， 在黄河支流洛水中有一只神龟。 龟背上刻有神奇的图案。（出示 投影片：龟背图）这个龟背图很 特别，用黑白圈来表示数，并用 直线连接这9个数。古人认为是 一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹 王彻底制服.你能说出它们分别代 表哪些数吗？
奇数 偶数 奇数 偶数 5 偶数 奇数 偶数 奇数
奇数 奇数 偶数 偶数 5 偶数 偶数 奇数 奇数
偶数 奇数 偶数 奇数 5 奇数 偶数 奇数 偶数
①鸟语花香 四季九花二重开，三杨五柳七处栽。 八哥一唱六鸟应，九宫奇境仙人来。 ②英雄奇才 八方三才游四海，一将五战胜九怪。 六女七拜杨二郎，九宫奇才谁不爱。
后人称这幅图被称为“洛书”， 实际上是现在的一个三阶幻方
洛书
三阶幻方
492
357
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关于幻方
❖ 幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。
❖ 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的 纵横均有n个数，而把每行、每列、有时 还包括两条对角线的数加起来，它们的和 都是相等的，这个和叫做幻和。
❖ 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
③哥妹团圆 二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。 四河三桥八停留，半月十五才到头。
分类 构成 神奇
分类
❖ 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
三阶幻方
幻和是：3×（32＋1）÷2＝15
洛书
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
❖ 如；八阶幻方
❖
十阶幻方
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十二阶幻方
Strachey法（单偶）：
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四阶幻方
❖ 幻和 ❖ 是34
16+13+1+4 ❖ 5+2+12+15 ❖ 3+8+9+14
❖ 16+2+11+5 ❖ 9+7+4+14 ❖ 3+13+8+10 ❖ 6+12+1+15
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
六阶幻方
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
构成
三阶幻方构成方法之一
九子斜排 上下对易 左右更替 四维挺出
三阶幻方构成方法之二
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
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