上海昂立智立方数学高中-高一(秋季班)-高数—10秋—03—命题和充要条件—贾德淼-教师版

高一数学秋季班（教师版）
一、命题的概念
1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出
，记作βα⇒。

相反的，如果
成立不能推出
成立，那么就说由
不可以推出
，记作α
β。

4、如果
，并且αβ⇒，那么就说与
等价，记作βα⇔。

二、四种命题形式
1、一个数学命题用条件
，结论
表示就是“如果 α，那么
”，把结论与条件交换，就得
到一个新命题“如果 ，那么
”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做
互否命题。

如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。

3、命题
、
的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果
，那么
”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以
得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:
命题和充要条件
知识梳理
6、常见结论的否定形式：（拓展内容）
三、充要条件
1、充分条件与必要条件：
一般地，用α、β分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。

叫做的必要条件。

2、充要条件：
α⇔，那么既是的充分条件又是的必要条件，如果既有，又有，即有β
这时我们就说是的充要条件。

一、有关命题的概念
【例1】判断下列语句是否是命题：
⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2
60x +>；⑸112+>；
【难度】★
【答案】⑴是命题；⑵不是命题；⑶不是命题；⑷不是命题；⑸是命题．
【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗
（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗
（3）求证：R x ∈，方程012
=++x x 无实根.
（4）5>x
（5）人类在2020年登上火星. 【难度】★
【答案】（1）是命题，且是真命题.
（2）不是命题，这是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两直线是否平行作出判断. （3）不是命题，是祈使句. （4）是开语句，不是命题. （5）是命题.但目前无法判断真假.
【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；
③212x x +=的解可表示为{}11，．其中真命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【难度】★★ 【答案】A
例题解析
【解析】①假命题，如1
2
a =
；②假命题，集合N 中最小的数是0，如01a b ==，
；③假命题，{}11，与集合元素的互异性矛盾．
【例4】下列判断中正确的是
( ).
A. “12是偶数且是18的约数”是真命题
B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题
C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题
D. “三角形的三个内角的和大于或等于
120︒”是假命题
【难度】★★ 【答案】C
【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，
A x y 、22()，
B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题： ①若点
C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则2
2
2
AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，AC CB AB +>．
其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【难度】★★★ 【答案】A
【解析】记，
，A B C 三点的坐标分别为()()()，，，，，A A B B C C x y x y x y ， 则+≥A C C B A C C B A B A B AC CB x x x x y y y y x x y y AB +=-+--+--+-=，
当，
C C x y 都分别在，A B x x 与，A B y y 之间时，上面的不等式取到等号，故①正确，③不一定； 对于②，取(00)(01)(10)，
，，，，C A B ，则②中等式左边112=+=，右边2(11)4=+=，故②假．
【巩固训练】
1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）
【难度】★ 【答案】真
2、若[]2,5x ∈和{}
|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________ 【难度】★★ 【答案】[)1,2
【解析】[]2,5x ∈和{}
|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,5
14x x x <>⎧⎨≤≤⎩
或
3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题： ①B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于对任意有 ②B A A B ⇔⋂=∅不包含于 ③B A A ⇔不包含于不包含B
④B ,A x A x B ⇔∈∉不包含于存在 其中真命题的序号是 【难度】★★ 【答案】③④
【解析】①反例：{}{}1,2,3,2,3,4A B ==
4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,
,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{
}1,1.其中真命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【难度】★★ 【答案】A
【解析】①假命题，集合N 中最小的数是0； ②假命题，如1
2
a =
；
③假命题，如0,1a b ==；
④假命题，{
}1,1与集合元素的互异性矛盾.
二、命题的四种形式及其关系
【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假
【难度】★★
【答案】逆命题：若||||x y =，则x y = （假，如1x =，1y =-）
否命题：若x y ≠，则||||x y ≠ （假，如1x =，1y =-） 逆否命题：若||||x y ≠，则x y ≠ （真，∵||||x y x y =⇒=）
【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球； （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______【难度】★★ 【答案】（3）
【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假. 【难度】★★
【答案】逆命题:若b a +是偶数，则b a ,都是偶数，它是假命题; 否命题:若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若b a +不是偶数，则b a ,不都是偶数，它是真命题.
【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；
⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”； 【难度】★★
【答案】⑴逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．（假） 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．（假） 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．（真） ⑵逆命题：若a b +是偶数，则a 和b 都是偶数．（假） 否命题：若a 和b 不全是偶数，则a b +不是偶数．（假）
逆否命题为：若a b +不是偶数，则a 和b 不都是偶数．（真）
⑶分析：“当0c >时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a b >，结论是ac bc >． 逆命题：当0c >时，若ac bc >，则a b >．（真） 否命题：当0c >时，若a b ≤，则ac bc ≤．（真） 逆否命题：当0c >时，若ac bc ≤，则a b ≤．（真） ⑷逆命题：若3x =且2y =，则5x y +=．（真） 否命题：若5x y +≠，则3x ≠或2y ≠．（真） 逆否命题：若3x ≠或2y ≠，则5x y +≠．（假）
【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程
24(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．
【难度】★★★
【答案】由命题p 可以得到：240
0m m ⎧∆=->⎨>⎩
∴2m >
由命题q 可以得到：2
(2)160m ∆=--< ∴26m -<< 因为,p q 有且仅有一个为真
当p 为真，q 为假时，2
62,6m m m or m >⎧⇒≥⎨≤-≥⎩
当p 为假，q 为真时，2
2226m m m ≤⎧⇒-<≤⎨-<<⎩
所以，m 的取值范围为{|6m m ≥或22}m -<≤．
【巩固训练】
1、有下列四个命题：
①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【难度】★★
【答案】C
【解析】①的逆命题为“若,x y 互为相反数，则0x y +=”，为真命题； ②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题；
③为真命题，∵1q ≤时，一元二次方程的判别式440q ∆=-≥，故有实根，原命题为真，从而它
的逆否命题为真命题； ④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”.
2、原命题：“设a b c ∈R ，
，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 【难度】★★
【答案】C
【解析】逆命题和否命题是真命题．
3、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）
A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤
B ．若11x -<<，则21x <
C ．若1x >或1x <-，则21x >
D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥ 【难度】★★ 【答案】D
4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）． 【难度】★★
【答案】①②③
【解析】①、②显然正确；③当1≤m 时，有440≥m ∆=-，∴方程有实数根，即原命题为真， ∴它的逆否命题也为真；④A B B =则B A ⊆，∴原命题为假，因而其逆否命题也为假． 5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是
三、有关等价命题
【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数
C 、，，中只有一个是负数
D 、，，中至少有一个是非负数 【难度】★ 【答案】D
【例13】与“一元二次方程
有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）
A 、
B 、
C 、
D 、
【难度】★★ 【答案】D
【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。

写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假 【难度】★★
【答案】逆命题：已知a ，b 为实数，若240a b -≥，则20x ax b ++≤有非空解集
否命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤没有非空解集，则240a b -< 逆否命题：已知a ，b 为实数，若240a b -<，则20x ax b ++≤没有非空解集 通过原命题为真得出逆否命题为真，通过否命题为真的出你逆命题为真。

【例15】下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
（1）方程2560x x -+=的解是3x =；
（2）,,,a b c d 是实数，,a b c d ==，可以得到a c b d +=+； （3）对顶角相等． 【难度】★★
【答案】（1）原命题：若2560x x -+=，则3x =，是假命题； 逆命题：若3x =，则2560x x -+=，是真命题；
否命题：若2
560x x -+≠，则3x ≠，是真命题；
逆否命题：若3x ≠，则2
560x x -+≠，是假命题．
（2）原命题：已知,,,a b c d 是实数，若,a b c d ==，则a c b d +=+，是真命题； 逆命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +=+，则,a b c d ==，是假命题； 否命题：已知,,,a b c d 是实数，若,a b c d ≠≠，则a c b d +≠+，是假命题；
逆否命题：已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +≠+，则a b c d ≠≠或，是真命题． （3）原命题：若AOB ∠与COD ∠是对顶角，则AOB COD ∠=∠，是真命题； 逆命题：若AOB COD ∠=∠，则AOB ∠与COD ∠是对顶角，是假命题； 否命题：若AOB ∠与COD ∠不是对顶角，则AOB COD ∠≠∠，是假命题； 逆否命题：若AOB COD ∠≠∠，则AOB ∠与COD ∠不是对顶角，是真命题
【巩固训练】
1、下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <1
2
”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 【难度】★ 【答案】①②
【解析】逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <1
2，
则1x －12＝2－x 2x <0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“1x <12”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
2、，，中至少有一个是非负实数的等价命题是（ ） A 、，，中全不是负数 B 、，，中只有一个是负数 C 、，，中至少有一个是正数 D 、，，不全是负数 【难度】★★ 【答案】D
3、设a,b 两个实数,能推出“a,b 中至少有一个大于1”的条件是（ ）
(A) a+b>1 (B) a+b=2 (C) ab>1 (D) a+b>2
【难度】★★
【答案】D
四、充要条件的判定
【例16】对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）
A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件
B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件
C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件
D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件
【难度】★
【答案】B
【解析】若A 真，则a b ac bc >⇒>，不成立；若C 真，则ac bc a b >⇒>，不成立；
若D 真，则ac bc a b =⇒=，在0c =时有反例，故不成立； 答案为B ，a b ac bc =⇒=．
【例17】若“a b c d ⇒>≥”和“a b e f <⇒≤”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c d ≤”
是“e f ≤”的（ ）
A ．必要非充分条件
B ．充分非必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件 【难度】★★ 【答案】B
【解析】记命题p ：a b ≥，命题q ：c d >，命题r ：e f ≤，
则由已知条件得：p q ⇒，q p ，p r ⌝⇒，r p ⌝，要判断命题q ⌝与r 的导出关系．
由p q ⇒知q p ⌝⇒⌝，从而q p r ⌝⇒⌝⇒； 若r q ⇒⌝，则有r q p ⇒⌝⇒⌝，矛盾，故r q ⌝，
故q ⌝是r 的充分不必要条件，故选B ．
【例18】已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成
立的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【难度】★★ 【答案】A
【解析】240040k k k k -<<⇒<∆=+<，
；
函数21y kx kx =--的值恒为负，不一定有40k -<<，如0k =时，函数21y kx kx =--的值恒为负．
【例19】已知集合{|35}M x x x =<>或，{|()(8)0}P x x a x =--≤.
（1）求实数a 的取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤的充要条件；
（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}M P x x =<≤的一个充分但不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为{|58}M
P x x =<≤的一个必要但不充分条件.
【难度】★★★
【答案】（1）{|35}a a -≤≤（2）0a =（3）{|5}a a ≤
【解析】本例是典型的借助集合观点理解充要条件的题目，设实数a 的取值范围是Q ，则
{|58}M P x x =<≤的充要条件是Q ＝M P ；而{|58}M P x x =<≤的一个充分但不必要条件是
Q 为M
P 的一个真子集；{|58}M P x x =<≤的一个必要但不充分条件是求一个集合S ，使得Q
是S 的真子集.
本题的（2）（3）小题的答案不唯一.如第（2）小题的答案还可以是－2,1，2,1，5等无数多个值；第（3）小题的答案还可以是[3,)-+∞，［－4,5］等. （1）由 {|58}M
P x x =<≤，得35a -≤≤，因此{|58}M
P x x =<≤的充要条件是{|35}a a -≤≤； （2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}M P x x =<≤的一个充分但不必要条件，就是在集合
{|35}a a -≤≤中取一个值，如取0a =，此时必有{|58}M
P x x =<≤；反之，{|58}
M
P x x =<≤未必有0a =，故0a =是所求的一个充分而不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤的一个必要但不充分条件就是另求一个集
合，故{|35}a a -≤≤是它的一个真子集。

如果{|5}a a ≤时，未必有{|58}M P x x =<≤，但是
{|58}M
P x x =<≤时，必有5a ≤，故{|5}a a ≤是所求的一个必要而不充分条件.
【巩固训练】
1、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【难度】★★ 【答案】B
【解析】0a <时，440a ∆=->，且两根之积小于0，从而方程至少有一个负根；方程有一个负根时，0a =也满足，故为充分不必要条件． 2、若:A a R ∈，1a <, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零，则A 是B 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【难度】★★
【答案】A
【解析】:A a R ∈，120a a <⇒-<，可知方程的两根异号，条件充分；条件不必要，如1a =时，方程一个根大于零,另一根小于零.
3、已知a b c d ，
，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件
【难度】★★ 【答案】B
【解析】a b >推不出a c b d ->+；但a c b d a b c d b ->+⇒>+->，故选择B ．
五、充分条件、必要条件、充要条件的求解与证明
【例20】已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）
A ．1a ≥
B ．1a ≤
C ．1a ≥-
D ．3a -≤ 【难度】★ 【答案】A
【解析】p ⌝：|1|2x +≤，得31x -≤≤；q ⌝：x a ≤．∴1a ≥．
【例21】给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以
作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是__________.
【难度】★★ 【答案】③④
【解析】①0ab >不充分，如1,2a b =-=-；②既不充分，如1,2a b ==-；③、④充分而不必要，
20a b a b +>⇒+>，但反之不成立，000a b a b >>⇒+>且，但反之不成立.
【例22】已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1
13
2
x <<，则m 的取值范围是 （ ）
A.41{|}32m m -≤≤
B.1
{|}2m m <
C. 14{|}23m m -≤≤
D. 4
{|}3
m m ≥
【难度】★★★ 【答案】C
【解析】||111x m m x m -<⇒-+<<+，∵113
2
x <<时，必有||1x m -<，即11m x m -+<<+， ∴
111,132m m -+≥+≤，由此得14
23
m -≤≤.
【例23】已知命题p ：1
123
x --
≤；q ：22210(0)x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．
【难度】★★★
【答案】[9)+∞，
【解析】先明确p ⌝和q ⌝，再由q p ⌝⇒⌝，且p
q ⌝⌝，寻求m 应满足的等价条件组．
由222100x x m m -+->≤，
得11m x m -+≤≤． ∴q ⌝：{|1A x x m =<-或1}x m >+．
由1
123x --≤，得210x -≤≤． ∴p ⌝：{|2B x x =<-或10}x >．
因为p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，且0m >，∴A B ．
∴0
(1)12(2)110(3)m m m >⎧⎪
--⎨⎪+⎩
≤≥ 即9m ≥， 注意到当9m ≥时，⑶中等号成立，而⑵中等号不成立． ∴m 的取值范围是[9)+∞，
．
【例24】已知0a >，函数2()f x ax bx =-，
⑴当0b >时，若对任意R x ∈都有()1f x ≤
，证明：a ≤
⑵当1b >时，证明：对任意[01]x ∈，
，()1f x ≤
的充要条件是1b a -≤≤ ⑶当01b <≤时，讨论对任意[01]x ∈，
，都有()1f x ≤的充要条件． 【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】⑴∵0b >，2
2()24a a f x b x b b ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭，
∴当R x ∈时，有2
max
()4a f x b
=，
于是，对∀R x ∈都有()1f x ≤，∴2
max ()14a f x b
=≤ ∵00a b >>，
，∴a ≤ ⑵先证必要性：
∵1b >
，∴01<
(01)，，
∴(1)1
1f f ⎧
⎪⎨⎪⎩
≤
≤(1)11f f -⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥
≤-111a b -⎧⎪⇒-≥
≤1b a ⇒-≤≤． 再证充分性：
01b a <-≤≤，又∵01x ≤≤，∴11
x x -⎧⎨--⎩≥0
≥， ∴22()(1)(1)1f x ax bx b x bx bx x x x =---=----≥≥≥，
且222()1(1)1f x ax bx bx =--=-≤≤， ∴()1f x ≤． 综上知，命题成立．
⑶当0a >，01b <≤，对任意[01]x ∈，
都有22()1f x ax bx bx b =----≥≥≥， 其次，若对任意[01]x ∈，
都有()1f x ≤，则(1)1f ≤1a b ⇒-≤1a b ⇒+≤． 反之，若1a b +≤，∵01b <≤，则对任意[01]x ∈，
都有 22()(1)(1)(1)11f x ax bx b x bx x bx =-+-=--+≤≤．
综上所述，当0a >，01b <≤时，对任意[01]x ∈，
都有()1f x ≤的充要条件是1a b +≤．
【巩固训练】
1、可以作为“若R a b ∈，
，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（ ） A ．0ab > B ．0a >或0b > C ．0a >且0b > D ．1ab >
【难度】★ 【答案】C
2、设αβ，
是方程20x ax b -+=的两个实根，试分析21a b >>，是两根αβ，均大于1的什么条件 【难度】★★★
【答案】必要但不充分条件
【解析】
根据韦达定理得a b αβαβ=+=，．判定的条件是:21p a b >>，，结论是:11q αβ>>，（注意p 中a b ，满足的前提是240a b ∆=-≥）．
⑴由11αβ>>，
，得21a b αβαβ=+>=>，，∴q p ⇒． ⑵为证明p q ，可以举出反例：取1
42
αβ==，
，它满足21a b αβαβ=+>=>，，但q 不成立． 综上讨论可知21a b >>，
是11αβ>>，的必要但不充分条件．
3、求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且||4b ≤．
【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】当2a ≥且||4b ≤时，
由题设有：24()4(4)0a b b ∆=--≥≥，所以原方程有实数根．
函数2()2f x x ax b =++的图象为抛物线，开口向上，对称轴为22x a =--<≤，因此要证两根都小于2，只需(2)0f >即可．而(2)44442480f a b =+++⨯-=>≥，因此方程的两根都小于2． 故2a ≥且||4b ≤是方程有实根且实根均小于2的充分条件．
【解析】
命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位.历年高考命题中,充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点,虽然这一部分在课本中只占一小节内容,定义也很简单,但它涉及的知识面很广,几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念,有关充要条件问题的求解是解题的一个难点,解这类问题需熟练掌握条件的概念,理解其含义,结合题设条件正确地分清条件与结论.在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查．
课后练习
反思总结
一、填空题：
1、设12:,A x x 是方程2
00()ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b
B x x a
+=-，则A 是B 的_____________条件。

【难度】★
【答案】充分不必要
2、x(x -y)>0“”是1y
x
<“
”成立的_____________条件。

【难度】★★ 【答案】充要
3、已知命题：“,,0a b R a b ∈+<且”
(1)该命题的一个充分非必要条件是___________; 【难度】★
【答案】0,0a b <<
(2)该命题的一个必要非充分条件是___________。

【难度】★
【答案】1a b +<;a,b 中至少有一个小于0；
4、命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是 。

【难度】★★
【答案】两个全等三角形的面积相等
5、 “12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件。

【难度】★★
【答案】必要不充分
6、“||2|1|1x y x y +<<<”是“|且|”的 条件。

【难度】★★
【答案】必要非充分
7、定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有()0f x =，则称函数()f x 为D 上的零函数．根据以上定义，“()f x 是D 上的零函数或()g x 是D 上的零函数”为“()f x 与()g x 的积函数是D 上的零函数”的 条件． 【难度】★★★ 【答案】充分非必要
二、选择题：
8、设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 ( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【难度】★ 【答案】A
9、若非空集合,,A B C 满足A
B C =，且B 不是A 的子集，则 ( )
A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件
B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件
C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件
D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 【难度】★★ 【答案】B
10、命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）
A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确 【难度】★ 【答案】D
11、设全集为U ，有以下四个命题： (1) A
B A = (2) U U
C A C B ⊇ (3) U C B A =Φ (4) U C A B =Φ
其中是命题A B ⊆的充要条件的有______个。

( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 【难度】★★ 【答案】C
12、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
【难度】★★ 【答案】A
13、若函数、
的定义域都是R ，则成立的充要条件是（ ）
A 、有一个，使
B 、有无数多个
，使
C 、对R 中任意的，使
D 、R 中不存在使
【难度】★★ 【答案】D
14、下列命题中正确的是（ ）
①“若220x y +≠，则x y ，
不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题
④“若x 是有理数，则x 是无理数”的逆否命题
A ．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【难度】★★ 【答案】B
【解析】①的否命题为：若220x y +=，则0x y ==，真命题； ②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题； ③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；
④中原命题是真命题，因为若x 是有理数，x -也为有理数，得(x x -=矛盾，故它是真命题，从而它的逆否命题也为真命题．
三、解答题： 15、（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件
1 （1）在△ABC 中，p ：A>B q ：BC>AC ；
（2）已知x 、y ∈R ，p ：(x-1)2+(y-2)2=0 q ：(x-1)(y-2)=0
【难度】★★
【答案】（1）p 是q 的充要条件
（2）p 是q 的充分不必要条件
16、设,,a b c 为ABC ∆的三边，求证：222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式的充要条件是090A =。

【难度】★★★
【答案】略。