经典对数函数及其性质的应用精品PPT课件
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4.4 对数函数及其性质 课件【共13张PPT】
x
a)
是奇函数，
求f(x)<0的解集.
{x | 1 x 0}
巩固练习
5.已知 loga(3a－1)恒为正,求 a 的取值范围.
解：由题意知 loga(3a－1)＞0＝loga1. 当 a＞1 时，y＝logax 是增函数， ∴33aa－－11＞＞10，， 解得 a＞23，∴a＞1； 当 0＜a＜1 时，y＝logax 是减函数， ∴33aa－－11＜＞10，， 解得13＜a＜23.∴13＜a＜23. 综上所述，a 的取值范围是13，32∪(1，＋∞).
(2)若函数 f(x)的最小值为－4，求 a 的值．
解：(1)要使函数有意义，则有1x－＋x3＞＞00，， 解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3) ＝loga[－(x＋1)2＋4],
因为－3＜x＜1,所以 0＜－(x＋1)2＋4≤4.
[解] (1)由 loga12＞1 得 loga12＞logaa. ①当 a＞1 时，有 a＜21，此时无解； ②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜a＜1.∴a 的取值范围是12，1.
(2)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，
2x＞0， ∴由 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得x－1＞0，
则x1＋ －1x＞ ＞00， ， 即－1＜x＜1,所以 F(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，且 F(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)，所 以 F(x)是奇函数．
《对数函数及其性质》课件
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对数函数的定义域和值域
理解对数函数的定义域和值域，并能够判断特定函数的定义域和值 域。
对数函数的单调性
理解对数函数的单调性，并能够判断特定函数的单调性。
进阶题目
01
02
03
复合对数函数
理解复合对数函数，并能 够求解复合对数函数的值 。
对数函数的图像
理解对数函数的图像，并 能够根据图像判断函数的 性质。
分析对数函数的值域和定义域。对于自然对数函数y=log(x) ，其值域为R；对于以a为底的对数函数y=log(x)，其定义域 为(0, +∞)。对于复合对数函数y=log(u)，其值域和定义域取 决于u的取值范围。
03
对数函数的应用
实际应用场景
金融计算
在复利、折旧等计算中 ，对数函数有广泛应用
。
《对数函数及其性质》ppt课件
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图像与性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他知识点的联系 • 习题与练习
01
对数函数的定义与性质
定义与表示
总结词
对数函数是一种特殊的函数，其 定义域为正实数集，值域为全体 实数集。常用对数函数以10为底 ，自然对数函数以e为底。
么以a为底N的对数等于b。
对数函数和指数函数在解决实际 问题中经常一起出现，例如在计 算复利、解决声学和光学问题时
。
对数函数与三角函数的联系
对数函数和三角函数在形式上有些相似，特别是在自然对数函数和正弦函数中。
在复数域中，对数函数和三角函数有更密切的联系，它们都可以用来表示复数的幂 。
在解决一些物理问题时，例如波动和振动问题，可能需要同时使用对数函数和三角 函数。
对数函数及其性质课件ppt
统计学
决策理论
在决策理论中，对数函数用于构建效 用函数，以评估不同选项的风险和收 益。
在统计学中，对数函数用于描述概率 分布，如泊松分布和二项分布。
05 练习与思考
基础练习题
01
02
03
04
基础练习题1
请计算以2为底9的对数。
基础练习题2
请计算以3为底8的对数。
基础练习题3
请计算以10为底7的对数奇函数也不是偶 函数。
周期性
• 无周期性：对数函数没有周期性，因为其图像不会重复出 现。
03 对数函数的运算性质
换底公式
总结词
换底公式是用来转换对数的底数的公 式，它对于解决对数问题非常有用。
详细描述
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a、b、c是正实数，且b 和c都不等于1。通过换底公式，我们可 以将对数函数转换为任意底数的对数函 数，从而简化计算过程。
图像绘制
对数函数的图像通常在直角坐标系 中绘制，随着底数$a$的取值不同， 图像的形状和位置也会有所变化。
单调性
单调递增
当底数$a > 1$时，对数函数是单调递增的，即随着$x$的增 大，$y$的值也增大。
单调递减
当$0 < a < 1$时，对数函数是单调递减的，即随着$x$的增 大，$y$的值减小。
对数函数的乘法性质
总结词
对数函数的乘法性质是指当两个对数 函数相乘时，其结果的对数等于两个 对数函数分别取对数后的积。
详细描述
对数函数的乘法性质公式为log_b(m) * log_b(n) = log_b(m * n)，其中m 和n是正实数。这个性质在对数运算 中也非常有用，因为它可以简化对数 的计算过程。
对数函数及其性质的应用 课件
[边听边记] (1)∵y＝ log1 x在(0，＋∞)上单调递减，
5
1.6<2.9，
∴log1 1.6>log1 2.9.
5
5
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
而1.7<3.5，
∴log21.7<log23.5.
Hale Waihona Puke (3)借助y＝log1 x及y＝log1 x的图象，如图所示．
2
5
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，
又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log211＋＋xx2122<0.
所以f(x1)<f(x2).
11分
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
12分
解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运 算．解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点 的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
对数函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝log2(1＋x2)． 求证：(1)函数f(x)是偶函数； (2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
[思路探究] 如何证明函数的奇偶性与单调性?
[规范解答] (1)函数f(x)的定义域是R，
f(－x)＝log2[1＋(－x)2]
＝log2(1＋x2)＝f(x)，
2分
所以函数f(x)是偶函数.
3分
(2)设任意的x1，x2，且0<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x21)－log2(1＋x22)
＝log211＋＋xx1222，
对数函数的性质与应用 课件
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
x＝logay
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
题型一：对数型函数的过定点问题
性质：对数函y数 loga x(a 0，且a 1)
恒过定点（1,0）.
例1：函数y loga (3x 2) 5(a 0且a 1)的图象恒过定点
解：令3x+2=1,则x=- 1 , y 5. 3
所以函数的图象恒过定点(- 1 , 5). 3
.
(3, 3),
ts . v
2. y＝ax
2. y＝ax
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈(0, ＋∞)，值域x∈R.
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
探讨1: 所有函数都有反函数吗？为什么？
探讨2: 互为反函数定义域、值域的关系 是什么?
x＝logay
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数，
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
x＝logay
y是自变量，x是y的函数， 定义域y∈
2. y＝ax
x是自变量，y是x的函数， 定义域x∈R，值域y∈(0, ＋∞).
题型一：对数型函数的过定点问题
性质：对数函y数 loga x(a 0，且a 1)
恒过定点（1,0）.
例1：函数y loga (3x 2) 5(a 0且a 1)的图象恒过定点
解：令3x+2=1,则x=- 1 , y 5. 3
所以函数的图象恒过定点(- 1 , 5). 3
.
(3, 3),
ts . v
2. y＝ax
2. y＝ax
对数函数及其性质的应用ppt课件
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．[2，＋∞)
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y＝log1x
2
是减函数，函数 y＝2x－1 是增函数，所以 f(x)＝log12(2x－1)是12，＋∞上的减函
数，其单调递减区间是12，＋∞.
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火 灾 袭 来 时 要迅速 疏散逃 生，不 可蜂拥 而出或 留恋财 物，要 当机立 断，披 上浸湿 的衣服 或裹上 湿毛毯 、湿被 褥勇敢 地冲出 去
【自主解答】 (1)根据对数函数 y＝log0.7x，y＝log1.1x 的图象和性质，可知 0＜log0.70.9＜1，log1.10.7＜0，由指数函数 y＝1.1x 的图象和性质，可知 c＝1.10.9 ＞1，∴b＜a＜c，故选 C.
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火 灾 袭 来 时 要迅速 疏散逃 生，不 可蜂拥 而出或 留恋财 物，要 当机立 断，披 上浸湿 的衣服 或裹上 湿毛毯 、湿被 褥勇敢 地冲出 去
2．设 a＝logπ3，b＝20.3，c＝log213，则(
)
A．b>a>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．a>b>c
【解析】 因为 a＝logπ3，b＝20.3，c＝log213，利用指数、对数函数的性质
可得 0<logπ3<1,20.3>1，log213<0，所以 b>a>c，故选 A.
【答案】 A
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火 灾 袭 来 时 要迅速 疏散逃 生，不 可蜂拥 而出或 留恋财 物，要 当机立 断，披 上浸湿 的衣服 或裹上 湿毛毯 、湿被 褥勇敢 地冲出 去
对数函数PPT课件
04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
《对数函数及其性质》课件
三、指数函数与对数函数的关系
1
指数函数与对数函数的反函数关系
阐述指数函数和对数函数之间的反函数关系及其重要性。
2
指数函数与对数函数的图像及性质
比较指数函数和对数函数的图像特征和性质。
四、对数方程与指数方程
对数方程及其求解方法
介绍对数方程的形式、求解方法和实际应用。
指数方程及其求解方法
解释指数方程的基本概念、求解技巧和实例演练。
对数方程与指数方程的联系
探究对数方程和指数方程之间的关系及其应用。
五、对数函数的应用
1
对数函数在生活和科学中的应用
展示对数函数在生活和科学领域中的实际应用案例。
2
对数函数在各行各业的应用案例
介绍对数函数在不同行业中的具体应用案例。
六、小结与思考
1 对数函数的基本概念和性质的总结
归纳总结对数函数的基本概念和性质，加深理解。
列举和解释对数函数的常见 记法和符号。
对数函数的图像
展示并分析对数函数的图像及其特性。
对数函数的性质
探讨对数函数的一些基本性质和规
讲解对数函数加法公式的推导 和应用。
对数函数的减法公式
说明对数函数减法公式的用法 和示例。
对数函数的乘法公式
详细介绍对数函数乘法公式的 原理和应用。
2 对数函数和指数函数的联系和应用的思考
思考对数函数和指数函数之间的联系以及更广泛的应用领域。
3 对数函数的拓展知识和深入研究方法的思路
提供对数函数拓展知识和深入研究的思路和方向。
《对数函数及其性质》 PPT课件
本PPT课件将介绍对数函数的定义、基本特点、运算法则，以及与指数函数的 关系，对数方程与指数方程，对数函数的应用等内容。
对数函数的性质与应用PPT精品课件
解: y=logax (a>0且a≠1)
定义域是x>0。 值域是R。
对数函数的定义
3、对数函数的定义: ★ 把形如 y = log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函 数.其中x是自变量。
由于对数函数y = log a x 与指数函数y = a x (a>0,a≠1) 互为反函数，所以
对数函数的定义域是(0,＋∞)， 值域是R。
3.函数值变化规律
4.图像变化规律
对数函数的性质及应用
作业：1、比较下列各数的大小
(1). log 23.4 log 28.g 0.32.7 a 1时 log a 2 log a3
(3).log a2
log a 3 0 a 1时loga2 log a3
(4).log67 log 76
(5).log
3
log 2 0.8
2、求函数y=loga(x2-2x-3)的单调区间和值域。
对数函数的性质及应用
思考题： 已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是 减函数，求a的取值范围。
3、生物结构和功能的基本单位是__细__胞____ 它是由_细__胞__膜___、 _细__胞_质____和细__胞__核____等 基本结构组成的。
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
3、青蛙属于（Ｂ ）
Ａ、鱼类 Ｃ、跳跃类
Ｂ、两栖类 Ｄ、爬行类
小明学习了“动物的生命周期”后，想探究环境因素 对动物的寿命是否有较大的影响。他设计了下面的 实验：分别在甲、乙、丙三个金鱼缸中放入等量的、 未经处理过的自来水（含有漂白粉）、煮沸并冷却 的自来水和静置几天后的自来水。然后，在每个金 鱼缸中放入5条健康的、大小相近的小鱼，观察小鱼 的生活情况。一段时间后，发现只有丙缸中的小鱼 还活着，甲缸和乙缸中的小鱼都陆续死亡了。请分 析小鱼死亡的原因。
定义域是x>0。 值域是R。
对数函数的定义
3、对数函数的定义: ★ 把形如 y = log a x (a>0,a≠1)的函数叫做对数函 数.其中x是自变量。
由于对数函数y = log a x 与指数函数y = a x (a>0,a≠1) 互为反函数，所以
对数函数的定义域是(0,＋∞)， 值域是R。
3.函数值变化规律
4.图像变化规律
对数函数的性质及应用
作业：1、比较下列各数的大小
(1). log 23.4 log 28.g 0.32.7 a 1时 log a 2 log a3
(3).log a2
log a 3 0 a 1时loga2 log a3
(4).log67 log 76
(5).log
3
log 2 0.8
2、求函数y=loga(x2-2x-3)的单调区间和值域。
对数函数的性质及应用
思考题： 已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是 减函数，求a的取值范围。
3、生物结构和功能的基本单位是__细__胞____ 它是由_细__胞__膜___、 _细__胞_质____和细__胞__核____等 基本结构组成的。
甲缸是由于自来水中的漂白粉释放的氯气使鱼死亡 乙缸是由于自来水中没有溶解氧使鱼死亡
3、青蛙属于（Ｂ ）
Ａ、鱼类 Ｃ、跳跃类
Ｂ、两栖类 Ｄ、爬行类
小明学习了“动物的生命周期”后，想探究环境因素 对动物的寿命是否有较大的影响。他设计了下面的 实验：分别在甲、乙、丙三个金鱼缸中放入等量的、 未经处理过的自来水（含有漂白粉）、煮沸并冷却 的自来水和静置几天后的自来水。然后，在每个金 鱼缸中放入5条健康的、大小相近的小鱼，观察小鱼 的生活情况。一段时间后，发现只有丙缸中的小鱼 还活着，甲缸和乙缸中的小鱼都陆续死亡了。请分 析小鱼死亡的原因。
对数函数教学课件
求解对数方程
对数函数在数学中常用于求解对数方程，如 log(x) = y 或 log(x1) - log(x2) = k 等。通过换底公式或对数性质，可以化简方程并求解。
计算排列组合
在概率和统计中，排列和组合的计数问题常常涉及到对数函数。例如，计算 n 个不同元素的全排列或组合，可以使用对数函数来简化计算。
对数函数教学ppt课件
目录
对数函数的定义与性质对数函数的运算对数函数的应用对数函数与其他函数的比较对数函数的学习方法与技巧对数函数的综合练习与巩固
01
CHAPTER
对数函数的定义与性质
总结词
对数函数的基本定义和表示方法
详细描述
对数函数定义为如果 a^x = N (a > 0, a ≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logₐN。其中，a 是对数的底数，N 是真数。
总结词：拓展视野
详细描述：对数函数在现实生活中有着广泛的应用，如统计学、金融、物理等领域。学生可以通过了解对数函数在实际问题中的应用，加深对函数的理解，拓展视野，提高解决实际问题的能力。
06
CHAPTER
对数函数的综合练习与巩固
基础对数运算
包括对数定义、对数性质、对数运算法则等基础知识的练习题。
单调性
对数函数图像在y轴右侧，指数函数图像在y轴左侧。
图像特性
对数函数定义为log(a)b=x，其中a>0且a≠1，b>0；幂函数定义为y=x^n，其中n为实数。
定义与形式
对数函数的增长速度相对较慢，而幂函数的增长速度则取决于指数n的正负。
增长速度
对数函数图像相对平坦，而幂函数图像则取决于指数n的正负。
总结词
对数函数的图像特点及性质
对数函数在数学中常用于求解对数方程，如 log(x) = y 或 log(x1) - log(x2) = k 等。通过换底公式或对数性质，可以化简方程并求解。
计算排列组合
在概率和统计中，排列和组合的计数问题常常涉及到对数函数。例如，计算 n 个不同元素的全排列或组合，可以使用对数函数来简化计算。
对数函数教学ppt课件
目录
对数函数的定义与性质对数函数的运算对数函数的应用对数函数与其他函数的比较对数函数的学习方法与技巧对数函数的综合练习与巩固
01
CHAPTER
对数函数的定义与性质
总结词
对数函数的基本定义和表示方法
详细描述
对数函数定义为如果 a^x = N (a > 0, a ≠ 1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = logₐN。其中，a 是对数的底数，N 是真数。
总结词：拓展视野
详细描述：对数函数在现实生活中有着广泛的应用，如统计学、金融、物理等领域。学生可以通过了解对数函数在实际问题中的应用，加深对函数的理解，拓展视野，提高解决实际问题的能力。
06
CHAPTER
对数函数的综合练习与巩固
基础对数运算
包括对数定义、对数性质、对数运算法则等基础知识的练习题。
单调性
对数函数图像在y轴右侧，指数函数图像在y轴左侧。
图像特性
对数函数定义为log(a)b=x，其中a>0且a≠1，b>0；幂函数定义为y=x^n，其中n为实数。
定义与形式
对数函数的增长速度相对较慢，而幂函数的增长速度则取决于指数n的正负。
增长速度
对数函数图像相对平坦，而幂函数图像则取决于指数n的正负。
总结词
对数函数的图像特点及性质
对数函数及其性质ppt
符号
常用对数函数记作f(x) = lgₐx，以10 为底；自然对数函数记作f(x) = lnₐx， 以e为底。源自对数函数的性质定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)，这是因为对数函数的底数必须大于0且不等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实数。
单调性
当a > 1时，对数函数是增函数；当0 < a < 1时，对数函数是减函数。
对数函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数相除时，其结果等于将被除数的底数取倒数后再取对数。
详细描述
对数函数的除法性质可以表示为log_b(m) / log_b(n) = log_b(1/n) / log_b(1/m) = log_b(m/n)，其中 m和n是正实数，且n不等于1。这个性质在对数运算中也非常重要，因为它简化了多个对数项的除法运算。
对数函数，我们可以更好地理解放射性物质在环境中的行为和影响。
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对数函数及其性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数在实际问题中的应用案例
01
对数函数的定义与性质
定义与符号
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其定义 域为(0, +∞)。
对数运算法则
对数函数具有对数运算法则，包括换底公式、对数乘法公式、对数除法公式等。
对数函数的图象
01
图像形状
对数函数的图像通常为单调递增或递减的曲线，随着x的增大而无限接
近y轴。
02
图像特点
对数函数的图像具有垂直渐近线，即x=1和x=0。此外，当a>1时，图
常用对数函数记作f(x) = lgₐx，以10 为底；自然对数函数记作f(x) = lnₐx， 以e为底。源自对数函数的性质定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)，这是因为对数函数的底数必须大于0且不等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实数。
单调性
当a > 1时，对数函数是增函数；当0 < a < 1时，对数函数是减函数。
对数函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数相除时，其结果等于将被除数的底数取倒数后再取对数。
详细描述
对数函数的除法性质可以表示为log_b(m) / log_b(n) = log_b(1/n) / log_b(1/m) = log_b(m/n)，其中 m和n是正实数，且n不等于1。这个性质在对数运算中也非常重要，因为它简化了多个对数项的除法运算。
对数函数，我们可以更好地理解放射性物质在环境中的行为和影响。
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对数函数及其性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数在实际问题中的应用案例
01
对数函数的定义与性质
定义与符号
定义
对数函数是指数函数的反函数，记作 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，其定义 域为(0, +∞)。
对数运算法则
对数函数具有对数运算法则，包括换底公式、对数乘法公式、对数除法公式等。
对数函数的图象
01
图像形状
对数函数的图像通常为单调递增或递减的曲线，随着x的增大而无限接
近y轴。
02
图像特点
对数函数的图像具有垂直渐近线，即x=1和x=0。此外，当a>1时，图
对数函数及其性质(优质课)ppt
应注意，必须是两个函数才可以互为反函数，即定 义域内的任意一个自变量x有且仅有1个与之对应的 函数值y。
反函数的性质：一个函数的定义域就是它反函数的 值域，值域就是它反函数的定义域。
1 、对数函数的概念 2 、对数函数的图像和性质 3 、会求定义域 4 、会用单调性比较大小
作业：
P73 练习 2、3 P74 习题A组 7、8
解：①因为x2 >0,即x≠0，
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0}
②因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}
③因为9-x2>0,即-3<x<3, 所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
解：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
⑴考察对数函数 y = log 2x,因为 它的底数2＞1,所以它在(0,+∞) 上
y
log28.5 log23.4
是增函数,于是log 23.4＜log 28.5
线 -2
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
x … 1/4 1/2 1
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
0 0
y
描
2
点
1 11
42
0 1 23 4
x
24 …
1 2… -1 -2 …
反函数的性质：一个函数的定义域就是它反函数的 值域，值域就是它反函数的定义域。
1 、对数函数的概念 2 、对数函数的图像和性质 3 、会求定义域 4 、会用单调性比较大小
作业：
P73 练习 2、3 P74 习题A组 7、8
解：①因为x2 >0,即x≠0，
所以函数y=logax2 的定义域是{x│x≠0}
②因为4-x>0,即x<4, 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}
③因为9-x2>0,即-3<x<3, 所以函数y=loga(9-x2)的定义域是{x│-3<x<3}
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
解：
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
⑴考察对数函数 y = log 2x,因为 它的底数2＞1,所以它在(0,+∞) 上
y
log28.5 log23.4
是增函数,于是log 23.4＜log 28.5
线 -2
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
x … 1/4 1/2 1
列 表
y
y
log 2
log 1
x…
x…
2
-2 2
-1 1
0 0
y
描
2
点
1 11
42
0 1 23 4
x
24 …
1 2… -1 -2 …
4.4.2 第2课时 对数函数及其性质的应用(课件)
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
(2)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)． ①求f(x)的定义域和值域； ②判断并证明f(x)的单调性． 解 ①由a>1，a－ax>0，即a>ax，得x<1. 故f(x)的定义域为(－∞，1)． 由0<a－ax<a，可知loga(a－ax)<logaa＝1. 故函数f(x)的值域为(－∞，1)． ②f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：任取1>x1>x2， 又∵a>1，∴ax1>ax2，∴a－ax1<a－ax2， ∴loga(a－ax1)<loga(a－ax2)，即f(x1)<f(x2)， 故f(x)在(－∞，1)上为减函数．
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第四章 指数函数与对数函数
[方法总结]
常见的对数不等式有三种类型
(1)形如loga x＞loga b的不等式，借助y＝loga x的单调性求解，如果a的取值不确 定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如loga x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝ loga x的单调性求解．
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第四章 指数函数与对数函数
探究二 利用单调性解简单的对数不等式问题
(1)已知 loga12＞1，求 a 的取值范围；
(2)已知 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求 x 的取值范围． 解 (1)由 loga12＞1 得 loga12＞logaa.
①当 a＞1 时，有 a＜12，此时无解；
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对数函数的性质与应用课件
函数的除法性质
总结词
对数函数的除法性质是指当两个对数函数相 除时，其对应的对数值也相除。
详细描述
设函数$f(x) = log_a(x)$和$g(x) = log_a(x)$，若$f(x) / g(x) = log_a(x) / log_a(x) = log_a(frac{1}{x})$，则对数函数 的除法性质成立。
对数在数学中有着广泛的应用，例如 在求解复合函数、反函数、幂函数等 问题时，对数函数可以提供一种简便 的解决方法。
在几何学中，对数函数可以用于研究 几何图形的面积、体积等方面的问题 。
在数学分析中，对数函数可以用于研 究函数的单调性、奇偶性、周期性等 性质，以及求解函数的极限、导数和 积分等。
对数在物理中的应用
图像的平移与伸缩
要点一
总结词
对数函数图像的平移和伸缩规律是重要的数学性质。
要点二
详细描述
对数函数图像的平移规律包括向上或向下平移，伸缩规律 则包括横向和纵向的拉伸或压缩。这些变换规律可以通过 代数表达式来描述，并应用于解决实际问题。
图像的对称性分析
总结词
对数函数图像的对称性分析有助于理解函数的性质。
在金融领域中，对数函数还可以用于评估投资组合的风险 和回报率，以及制定投资策略和资产配置方案等。
04
对数函数与其他函数的关 系
对数函数与指数函数的关系
互为反函数
对数函数和指数函数是一对互为反函 数的函数，即如果有一个对数函数f(x) = log(a)(x)，那么它的反函数就是指 数函数f^(-1)(x) = a^x。
性质关系
对数函数和幂函数之间有一些重要的性质关 系，例如对数函数的换底公式和幂函数的乘 法法则等。这些性质关系在对数函数和幂函
第6讲 对数与对数函数 课件(共82张PPT)
解析 由 alog34＝2 可得 log34a＝2，所以 4a＝9，所以 4－a＝19，故选 B．
解析 答案
2．已知 a>0，a≠1，函数 y＝ax 与 y＝loga(－x)的图象可能是( )
解析 若 a>1，则 y＝ax 是增函数，y＝loga(－x)是减函数；若 0<a<1， 则 y＝ax 是减函数，y＝loga(－x)是增函数，故选 B．
且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 10 ___y_＝__x___对称．
1．对数的性质(a＞0 且 a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝llooggccba(a，c 均大于 0 且不等于 1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即 logab＝log1ba(a，b 均大于 0 且不等于 1)； (3)logambn＝mn logab； (4)logab·logbc·logcd＝logad.
增区间．
∵当 x∈(4，＋∞)时，函数 t＝x2－2x－8 为增函数，
∴函数 f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选 D．
解析 答案
6．计算：log23×log34＋( 3)log34＝________. 答案 4 解析 log23×log34＋( 3)log34 ＝llgg 32×2llgg32＋3 log34＝2＋3log32＝2＋2＝4.
8 5
＜lg152·lg
3＋lg 2
82＝
lg
3＋lg 2lg 5
82＝llgg
22452＜1，∴a＜b.由
b＝log85，得
8b＝5，由
55＜84，得
85b
＜84，∴5b＜4，可得 b＜45.由 c＝log138，得 13c＝8，由 134＜85，得 134＜135c，
高一对数函数及其性质(优质课)课件
指数函数和对数函数的性质互补 ，即当一个函数的某个性质成立 时，另一个函数的相应性质必然
不成立。
02
对数函数的图像与性质
对数函数的图像
总结词
对数函数的图像是学习对数函数的基础，通过图像可以直观地理解对数函数的 性质和特点。
详细描述
对数函数的图像通常在平面直角坐标系中绘制，以实数轴为底边，以真数为横 坐标，以对数为纵坐标。常见的对数函数包括自然对数函数和以10为底的对数 函数等。
高一对数函数及其性质(优质课)课 件
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图像与性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的关系 • 习题与解析
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
常用对数
以10为底的对数， 记作lgx。
对数定义域
真数必须大于0，即 x>0。
自然对数
以e为底的对数，记 作lnx。
知的。
地震的里氏震级
地震的震级也是使用对数函数来测 量的，因为地震的能量是以指数方 式增长的。
测量声谱和色谱
在声音和颜色的分析中，对数函数 被用来测量频谱和色谱，以帮助我 们更好地理解和分析声音和颜色的 组成。
对数在科学计算中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个指数过程，而对数 函数在处理指数函数时非常有用，因 此它在计算放射性衰变时被广泛应用 。
对数函数的单调性
总结词
对数函数的单调性是指函数值随自变量变化的趋势，通过研究单调性可以更好地 理解对数函数的性质。
详细描述
对数函数在其定义域内通常是单调的，即随着自变量的增加，函数值也相应增加 。对于以10为底的对数函数，当底数大于1时，函数是增函数；当底数小于1时， 函数是减函数。
对数函数的图像及性质ppt课件
“同正异负”
> ① log35.1 0 < ③log20.8 0
< ② log0.12
0
> ④log0.20.6 0
思考：4、解对数不等式
log a f (x) log a g(x)
1.a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
2.0 a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
y log 2 x和y log 1 x 的图象。
作图步骤: ①列表, 2
②描点, ③用平滑曲线连接。
x…
列 表
y
y
log 2
log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
x
y=log1/2x
24 …
1 2… -1 -2 …
y
logc x logd x
loga x logb x
o
x
0< c< d < 1< a < b
三.对数函数的图性质：
函数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
底数
a＞1
y
0＜a＜1
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值 符号
(0,+∞)
R 非奇非偶函数 ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
> ① log35.1 0 < ③log20.8 0
< ② log0.12
0
> ④log0.20.6 0
思考：4、解对数不等式
log a f (x) log a g(x)
1.a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
2.0 a 1
f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x)
y log 2 x和y log 1 x 的图象。
作图步骤: ①列表, 2
②描点, ③用平滑曲线连接。
x…
列 表
y
y
log 2
log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
x
y=log1/2x
24 …
1 2… -1 -2 …
y
logc x logd x
loga x logb x
o
x
0< c< d < 1< a < b
三.对数函数的图性质：
函数
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
底数
a＞1
y
0＜a＜1
y
图象
o
1
x
1
o
x
定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值 符号
(0,+∞)
R 非奇非偶函数 ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
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2
A.0，12
B．(0，1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
()
解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区 间为[1，＋∞)．
答案：D
7．若loga34<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是 (
)
A．(0，34)
B．(0，34)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
2
[思路点拨] 求函数单调区间时，必须首先考虑其定
义域，单调区间必是定义域的子区间．
[精解详析] 要使函数有意义，则有 1－x2>0⇔x2<1⇔－1<x<1.
∴函数的定义域为(－1，1)．
(4 分)
令 t＝1－x2，x∈(－1，1)．
在(－1，0]上，x 增大，t 增大，y＝log1t 减小，
2
即在(－1，0]上，y 随 x 的增大而减小，为减函数；
把握
热点
第 二 章
2.2 2.2.2
第 二 课 时
考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
[例1] 当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x
与y＝logax的图象可能是
()
[思路点拨] 利用0<a<1时，y＝logax是减函数， y＝a－x是增函数进行判断．
[精解详析] 当0<a<1时，a－1>1，因此y＝a－x＝(a－1)x 为增函数且图像过(0，1)，y＝logax为减函数且图像过(1， 0)，显然只有C符合．
答案：B
4．设
a＝log32，b＝ln
2，c＝5
1 2
，则
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
()
解析：a＝log32＝llnn
2 3<ln
2＝b，又
c＝5
1 2
＝
15<12，
a＝log32>log3 3＝12，所以 c<a<b.
答案：C
5．比较下列各组对数值的大小．
(1)log11.5，log11.6；
2
2
(2)log21.9，log23.2；
(3)log79；log14；
2
(4)loga3，loga10(a>0 且 a≠1).
解：(1)∵y＝log1x在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，
2
∴log11.5>log11.6.
2
2
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3.2，
解析：由y＝ax解得x＝logay， ∴g(x)＝logax. 又∵g(2)<0，∴0<a<1. 故g(x＋1)＝loga(x＋1)是单调递减的，并且图像是由函数 g(x)＝logax的图像向左平移1个单位得到的． 数y＝ax与y＝loga(－x)的图象
只能是图中的
∴log21.9<log23.2.
(3)∵log79>0，log14<0，∴log79>log14.
2
2
(4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， ∴loga3<loga10. 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， ∴loga3>loga10.
[例3] (12分)求函数y＝log1(1－x2)的单调递增区间．
2．函数y＝f[g(x)]的里层函数μ＝g(x)与外层函 数y＝f(μ)单调性之间的关系见下表：
函数 y＝f(μ) μ＝g(x) y＝f[g(x)]
单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
可简记为“同增异减”．
6．函数f(x)＝|log1x|的单调递增区间是
[答案] C
[一点通] 解决这类题型的办法有直接法与排除 法．直接法一般是借助函数的定义域、奇偶性、单 调性、过定点等特征对函数的图象进行分析进而得 解的方法．排除法通常是利用函数的定义域以及图 象经过的一些特殊点进行验证的方法．
1．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足 g(2)<0，则函数g(x＋1)的图象是下图中的 ( )
[精解详析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上 是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.
(2)因为log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0， 所以log20.3<log0.20.3. (3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1， 又log0.76<log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.
(8 分)
在[0，1)上，x 增大，t 减小，y＝log1t 增大，即在[0，1)上，
2
y 随 x 的增大而增大，为增函数．
(10 分)
∴y＝log1(1－x2)的单调递增区间为[0，1)．
2
(12 分)
[一点通] 1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间一般有如下几个步骤： (1)求出函数的定义域； (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小 比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公 式化为同底，再进行比较．
3．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，则 ( )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a>c>b
D．c>a>b
解析：∵0.3<e<3，且y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减 函数，∴c>b>a.
()
解析：y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A， C.再看单调性，y＝ax的单调性与y＝loga(－x)的单 调性正好相反，又排除D. 答案：B
[例2] 比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9； (2)log20.3与log0.20.3； (3)log0.76，0.76与60.7； (4)log20.4，log30.4. [思路点拨] 观察各组数的特征，利用对数单调性 比较大小．
(4)底数不同，但真数相 同.根据y＝logax的图象在a>1， 0<x<1时，a越大，图象越靠 近x轴(如图所示)，知 log30.4>log20.4.
[一点通] 利用函数的单调性可进行对数大小的比 较，常用的方法有
(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数 的单调性比较．
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小 比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1， 0，1等．
A.0，12
B．(0，1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
()
解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区 间为[1，＋∞)．
答案：D
7．若loga34<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是 (
)
A．(0，34)
B．(0，34)∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
2
[思路点拨] 求函数单调区间时，必须首先考虑其定
义域，单调区间必是定义域的子区间．
[精解详析] 要使函数有意义，则有 1－x2>0⇔x2<1⇔－1<x<1.
∴函数的定义域为(－1，1)．
(4 分)
令 t＝1－x2，x∈(－1，1)．
在(－1，0]上，x 增大，t 增大，y＝log1t 减小，
2
即在(－1，0]上，y 随 x 的增大而减小，为减函数；
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2.2 2.2.2
第 二 课 时
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应用创新演练
[例1] 当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x
与y＝logax的图象可能是
()
[思路点拨] 利用0<a<1时，y＝logax是减函数， y＝a－x是增函数进行判断．
[精解详析] 当0<a<1时，a－1>1，因此y＝a－x＝(a－1)x 为增函数且图像过(0，1)，y＝logax为减函数且图像过(1， 0)，显然只有C符合．
答案：B
4．设
a＝log32，b＝ln
2，c＝5
1 2
，则
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
()
解析：a＝log32＝llnn
2 3<ln
2＝b，又
c＝5
1 2
＝
15<12，
a＝log32>log3 3＝12，所以 c<a<b.
答案：C
5．比较下列各组对数值的大小．
(1)log11.5，log11.6；
2
2
(2)log21.9，log23.2；
(3)log79；log14；
2
(4)loga3，loga10(a>0 且 a≠1).
解：(1)∵y＝log1x在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，
2
∴log11.5>log11.6.
2
2
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3.2，
解析：由y＝ax解得x＝logay， ∴g(x)＝logax. 又∵g(2)<0，∴0<a<1. 故g(x＋1)＝loga(x＋1)是单调递减的，并且图像是由函数 g(x)＝logax的图像向左平移1个单位得到的． 数y＝ax与y＝loga(－x)的图象
只能是图中的
∴log21.9<log23.2.
(3)∵log79>0，log14<0，∴log79>log14.
2
2
(4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增， ∴loga3<loga10. 当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， ∴loga3>loga10.
[例3] (12分)求函数y＝log1(1－x2)的单调递增区间．
2．函数y＝f[g(x)]的里层函数μ＝g(x)与外层函 数y＝f(μ)单调性之间的关系见下表：
函数 y＝f(μ) μ＝g(x) y＝f[g(x)]
单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数
可简记为“同增异减”．
6．函数f(x)＝|log1x|的单调递增区间是
[答案] C
[一点通] 解决这类题型的办法有直接法与排除 法．直接法一般是借助函数的定义域、奇偶性、单 调性、过定点等特征对函数的图象进行分析进而得 解的方法．排除法通常是利用函数的定义域以及图 象经过的一些特殊点进行验证的方法．
1．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足 g(2)<0，则函数g(x＋1)的图象是下图中的 ( )
[精解详析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上 是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.
(2)因为log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0， 所以log20.3<log0.20.3. (3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1， 又log0.76<log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.
(8 分)
在[0，1)上，x 增大，t 减小，y＝log1t 增大，即在[0，1)上，
2
y 随 x 的增大而增大，为增函数．
(10 分)
∴y＝log1(1－x2)的单调递增区间为[0，1)．
2
(12 分)
[一点通] 1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间一般有如下几个步骤： (1)求出函数的定义域； (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性； (3)判断出函数的增减性求出单调区间．
(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小 比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公 式化为同底，再进行比较．
3．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，则 ( )
A．a>b>c
B．a<b<c
C．a>c>b
D．c>a>b
解析：∵0.3<e<3，且y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减 函数，∴c>b>a.
()
解析：y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A， C.再看单调性，y＝ax的单调性与y＝loga(－x)的单 调性正好相反，又排除D. 答案：B
[例2] 比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9； (2)log20.3与log0.20.3； (3)log0.76，0.76与60.7； (4)log20.4，log30.4. [思路点拨] 观察各组数的特征，利用对数单调性 比较大小．
(4)底数不同，但真数相 同.根据y＝logax的图象在a>1， 0<x<1时，a越大，图象越靠 近x轴(如图所示)，知 log30.4>log20.4.
[一点通] 利用函数的单调性可进行对数大小的比 较，常用的方法有
(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数 的单调性比较．
(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小 比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1， 0，1等．