齐次微分方程
齐次线性微分方程
齐次线性微分方程
y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1)。
方程通解为：y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1)
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中尚无古老的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以稳步维持着行进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占据关键地位，在工程技术及力学和物理学中都存有十分广为的应用领域。
比较常用的解方法就是未定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
(整理)齐次微分方程
第二讲 一阶微分方程【教学内容】齐次微分方程、一阶线性微分方程【教学目的】理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。
【教学重点与难点】齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法【教学过程】一、齐次微分方程：形如()dy y f dx x= 的微分方程；叫做齐次微分方程 对它进行求解时，只要作变换y u x=原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。
于是有,dy du y ux u x dx dx ==+，从而原方程可化为()du u x f u dx+=， 即 ()du f u u dx x-= 此方程是可分离变量的微分方程。
按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量u 还原为y x，所得函数就是原方程的通解。
例1、 求微分方程22()2x y dx xydy +=，满足初始条件10x y==的特解。
解： 方程可化为 2221()22()y dy x y x y dx xy x++== 它是齐次方程。
令y u x =，代入整理后，有 212du u dx xu-= 分离变量，则有2112u du dx u x=- 两边积分，得2111()ln(1)()ln ()ln 222u x c --=+即 2(1)1cx u -= 将y u x=代入上式，于是所求方程的通解为 222()c x y x -=把初始条件10x y==代入上式，求出1c =，故所求方程的特解为 22y x x =-二、一阶线性微分方程形如()()y P x y Q x '+=的方程称为一阶线性微分方程，其中P (x )、Q (x )都是连续函数。
当Q (x ) = 0时，方程()0y P x y '+=称为一阶线性齐次微分方程；当Q (x ) ≠ 0 ，方程称为一阶线性非齐次微分方程。
1. 一阶线性齐次微分方程的解法将方程()0y P x y '+=分离变量得()dy P x dx y=- 两边积分得ln ()ln y P x dx C ⎰=-+方程的通解为 ()P x dx y Ce -⎰= (C 为任意常数)例2 、 求微分方程20y xy '+=的通解。
微积分 齐次微分方程
齐次微分方程微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydx5=微分方程（导数）yx 例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解 "齐次微分方程"齐次微分方程若一阶微分方程可以写成以下的格式，它便是齐次的：dydx = F( y x)我们可以用 分离变量法 来解，但首先我们需要建立一个新变量 v =yxv = y x也代表 y = vx所以 dy dx= d (vx)dx= v dx dx+ x dv dx（基于 积法则）这可以简化为 dy dx= v + x dvdx用 y = vx 和 dy dx = v + x dv dx ，我们便可以解这个微分方程。
让我举个例子来解释：例子：解 dy dx = x 2 + y2xy可不可以写成 F( x y) 的格式？开始： x 2 + y 2xy把项分开：x 2xy + y 2xy 简化：xy + y x 第一项的倒数：( y x )-1 + y x行了！我们继续做：开始：dydx = ( y x )-1 + y xv + x dv dx= v -1 + vy = vx 和 dydx = v + x dvdx每边减 v：x dv dx = v-1用 分离变量法：分离变量：v dv = 1x dx加积分符号：∫v dv = ∫1x dx求积分：v22= ln(x) + C设 C = ln(k)：v22= ln(x) + ln(k)合并 ln：v22= ln(kx)简化：v = ±√(2 ln(kx))代入 v = yx代入 v = yx :yx= ±√(2 ln(kx))简化：y = ±x √(2 ln(kx))解了。
再举个例子：例子：解dydx = y(x−y)x2可不可以写成 F( xy) 的格式？开始：y(x−y) x2把项分开：xyx2 − y2x2简化：y x − ( y x )2行了！我们继续做：开始：dy dx = y x − ( y x )2y = vx 和 dydx = v + x dvdxv + x dvdx= v − v2每边减 v：x dv dx = −v2用 分离变量法：分离变量：− 1v2 dv = 1xdx加积分符号：∫− 1v2 dv = ∫1x dx 求积分：1v= ln(x) + C设 C = ln(k):1v = ln(x) + ln(k)合并 ln：1v = ln(kx)简化：v = 1ln(kx)代入 v = yx代入 v = yx :yx= 1ln(kx)简化：y = xln(kx)解了。
齐次微分方程解法
齐次微分方程解法一、前言齐次微分方程是微积分中的重要概念之一，也是求解微分方程的基础。
本文将对齐次微分方程的解法进行详细讲解。
二、齐次微分方程的定义齐次微分方程是指形如 $y'=f(\frac{y}{x})$ 的微分方程，其中 $f$ 是一个连续函数。
三、齐次微分方程的通解对于一个齐次微分方程 $y'=f(\frac{y}{x})$，我们可以通过变量代换$y=kx$ 将其化为一阶线性常系数微分方程。
具体来说，将 $y=kx$ 代入原式得到：$$\frac{dy}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$$将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dk}{dx}$ 分别表示为$\frac{d(kx)}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$ 和$\frac{dk}{d(kx)}=\frac{1}{x}$，则有：$$\frac{d(kx)}{dx}=kf(k)$$这是一个一阶线性常系数微分方程，其通解为：$$kx=c_1e^{\int f(k) dk}$$将 $k=\frac{y}{x}$ 代入上式得到：$$\frac{y}{x}=c_1e^{\int f(\frac{y}{x}) d(\frac{y}{x})}$$这就是齐次微分方程的通解。
四、齐次微分方程的特解对于一个齐次微分方程 $y'=f(\frac{y}{x})$，我们可以通过变量代换$y=kx$ 将其化为一阶线性常系数微分方程。
具体来说，将 $y=kx$ 代入原式得到：$$\frac{dy}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$$将 $\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{dk}{dx}$ 分别表示为$\frac{d(kx)}{dx}=k+\frac{xdk}{dx}$ 和$\frac{dk}{d(kx)}=\frac{1}{x}$，则有：$$\frac{d(kx)}{dx}=kf(k)$$这是一个一阶线性常系数微分方程，其通解为：$$kx=c_1e^{\int f(k) dk}$$将 $k=\frac{y}{x}$ 代入上式得到：$$\frac{y}{x}=c_1e^{\int f(\frac{y}{x}) d(\frac{y}{x})}$$我们可以通过给定初始条件来求出特解。
微分方程齐次解形式
微分方程齐次解形式
1、若λ不是特征根 k=0 y*=q(x)*e^（λx）
2、若λ是单根 k=1 y*=x*q(x)*e^（λx）
f(x)的形式就是e^(λx)*p(x)cosβx或e^(λx)*p(x)sinβx
1、若α+βi不是特征根，y*=e^λx*q(x)(acosβx+bsinβx)
2、若α+βi就是特征根，y*=e^λx*x*q(x)(acosβx+bsinβx)（备注：ab都就是未定系数）
约束条件
微分方程的约束条件就是所指其解需合乎的条件，依常微分方程及偏微分方程的相同，存有相同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各
阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若就是二阶的常微分方程，也可能会选定函数在二个特定点的值，此时的问题即为为
边界值问题。
若边界条件选定二点数值，称作狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此
外也存有选定二个特定点上导数的边界条件，称作诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值
或导数需符定特定条件。
常系数齐次微分方程
是特征方程的重根
取 u = x , 则得
因此原方程的通解为
3. 当
时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
因此原方程的通解为
小结:
特征方程:
实根
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
若特征方程含 k 重复根
若特征方程含 k 重实根 λ , 则其对应的特解为
二阶常系数齐次线性微分方程:
和它的导数只差常数因子,
代入①得
称②为微分方程①的特征方程,
1. 当
时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为
( λ 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
②
则微分
其根称为特征根.
2. 当
时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
( u (x) 待定)
则其对应特解为
特征方程:
推广:
若特征方程含 n个不同实根, 则其通解为
例1.
的通解.
解: 特征方程
特征根:
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
解: 特征方程
有重根
因此原方程的通解为
利用初始条件得
于是所求初值问题的解为
例3.
的通解.
解: 特征方程
特征根:
因此原方程通解为
例5.
解: 特征方程:
答案:
通解为
通解为
通解为
备用题
为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,
并求其通解 .
解: 根据给定的特解知特征方程有根 :
齐次微分方程概念
齐次微分方程概念全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：齐次微分方程是微积分中一类重要的方程类型，其解的形式非常特殊且具有重要的应用价值。
在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，因此对齐次微分方程的概念和解法有着深入的研究意义。
我们来介绍一下什么是齐次微分方程。
齐次微分方程是指形如dy/dx=f(y/x)的微分方程，其中f是一个关于y/x的函数。
齐次微分方程的特点是其右端函数中只包含y/x的比值，不包含y和x的独立函数。
这种形式的微分方程在解析上具有很大的优势，因为通过变换可以将其转化为分离变量的形式，从而更容易求解。
齐次微分方程的一般形式为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x 的函数。
我们可以通过引入新的变量u=y/x来将齐次微分方程转化为分离变量的形式。
令u=y/x，则dy/dx=y'*x-y/x^2=y'-u，带入原方程可得u'=f(u)，这就是一个分离变量的形式。
通过对u=f(y/x)进行积分，可以求得u关于x的表达式，进而求得y关于x的表达式，从而解决齐次微分方程的问题。
齐次微分方程的解法并不复杂，但是要注意一些技巧和方法。
首先要注意将齐次微分方程转化为分离变量的形式，通常引入新的变量来简化方程是一个有效的方法。
其次要注意对分离变量的方程进行积分时，需要注意常数C的选取，通常根据题目给出的初始条件来确定。
在求解过程中要注意对微分方程的变量进行合理的代换和替换，以简化计算和降低难度。
齐次微分方程是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
通过对齐次微分方程的解法和原理的深入研究，可以更好地理解微分方程的性质和解法，提升数学建模和问题求解的能力。
希望通过这篇文章的介绍，读者对齐次微分方程有更加深入的理解和掌握。
【字数：502】第二篇示例：齐次微分方程是微分方程中的一类重要问题，它在数学中具有重要的应用价值。
齐次微分方程的定义相对较为简单，但是在解题过程中却需要一定的技巧和方法。
微分方程齐次方程
微分方程齐次方程
齐次方程是微分方程中的一类特殊方程，它的形式可以表达为
dy/dx=f(y/x)。
在这种方程中，如果将y/x视为变量，那么f(y/x)只与y/x有关，而不与y或x本身有关。
在解决微分方程问题时，能够将方程转化为齐次方程的格式通常能够提供更好的解决方法。
对于齐次方程而言，我们可以采用变量代换的方法，将y/x替换为一个新的变量z=f(y/x)，然后对z进行求导，并且使用dz/dx=f'(y/x) (y/x)'来代替dy/dx。
这样我们就得到了一个可以直接积分的新方程。
让我们尝试通过一个具体的例子来解释这个过程。
考虑微分方程
dy/dx=2y/x。
我们可以将y/x视为一个新变量z，即z=y/x。
然后我们可以通过求导得到dz/dx=(y'x-yx')/x^2=dy/dx/x-
y/x^2=d/dx(y/x)-y/x^2=2y/x^2-2y/x^2=0。
这说明我们得到的方程dz/dx=0是一个齐次方程。
根据定义，这种方程的解法可以表示为z=c，其中c是一个常数。
因此将z替换为y/x，我们就得到了原方程的解为y=cx，其中c是任意常数。
总结来说，齐次方程是在微分方程中经常遇到的一种类型，它可以通过变量代换的方法来转化成一个直接求解的新方程。
这种方式可以在
一定程度上简化解决微分方程问题的过程，同时也为我们提供了一种优雅且强大的数学模型。
齐次微分方程解法
齐次微分方程解法一、齐次微分方程的定义与形式齐次微分方程是指形如F(dx,dy)=0的一阶微分方程，其中函数F是关于dx和dy的二元函数。
齐次微分方程的一般形式可以表示为y′=f(x,y)。
其中，若f(x,y)满足关系式f(tx,ty)=f(x,y)，则称该方程为齐次微分方程。
二、齐次微分方程的解法齐次微分方程的解法可以通过变量替换和分离变量的方法来实现。
以下是详细的解法步骤：步骤一：变量替换对于形如y′=f(x,y)的齐次微分方程，我们可以进行如下的变量替换：y=vx。
通过这一变换，我们可以将原方程转化为关于v和x的方程。
步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程，并求解出v和x的关系。
步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y和x的关系，从而求解出原方程的解。
三、具体案例分析以下为具体的案例分析，通过实例来说明齐次微分方程的解法。
案例一：y′=yx步骤一：变量替换令y=vx，则原方程可以变为dydx =vx。
步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程：vx′dx =vx。
整理得到x⋅x′=1。
步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y=vx。
代入方程x⋅x′=1，求解得到x=ln|C|，其中C为常数。
从而可以得到原方程的解为y=ln|C|⋅x。
案例二：y′=x+yx步骤一：变量替换令y=vx，则原方程可以变为dydx =x+vxx。
步骤二：求解变量替换后的方程将变量替换后的方程带入原方程：vx′dx =x+vxx。
整理得到x⋅x′=v。
步骤三：求解原方程将步骤二中求解得到的v和x的关系带入变量替换的方程，得到y=vx。
代入方程x⋅x′=v，求解得到x=e C，其中C为常数。
从而可以得到原方程的解为y=e C⋅x。
四、总结齐次微分方程是一类常见的微分方程，其解法可通过变量替换和分离变量的方法来求解。
齐次微分方程的通解
齐次微分方程的通解
近些年来，由于技术革新和互联网的发展，齐次微分方程变得越来越重要。
齐
次微分方程在数学中是十分常见的方程类型，其主要作用是以有限的时间、有限的空间内反映动态过程的变化，描述物理概念然后用算法实现。
齐次微分方程是一类偏微分方程，它一般用来解决符合特定条件的系统。
这类
方程的特点是，它们的解具有一定的统一性，可以用相同的方法求解。
首先，将齐次微分方程转化为一般方程系，然后利用拉普拉斯变换和积分等解析方法，最终获得解析解。
除此之外，还可以利用系数矩阵的性质求解解析解。
齐次微分方程的求解在数值计算中也十分重要，旨在求出离散的数值解，是近
代数学和计算机科学中研究的一个主要部分。
常见的求解方法有有限差分法和有限元法，以及更新一体化的基于全局正则步长技术的分析方法等。
齐次微分方程的求解已经为现代社会发展作出了不可磨灭的贡献，在多个领域，包括无人驾驶汽车、机器人控制、电力系统以及金融风控等，都可以看到它的广泛应用。
未来，齐次微分方程将发挥更大的作用，把新的科学观点和技术变革带给世界。
齐次微分方程
齐次微分方程或者叫齐次方程、齐次线性方程，也称齐次线性微分方程。
它们在通常情况下可以化为具有特定形式的线性微分方程组。
其中前两个量，即原方程右端项系数矩阵的行列式和未知函数在方程左端的导数都是零。
因此用它们来表示未知函数比较方便。
这类微分方程的基本特点是，对于给定的初始条件，它们总可以写出唯一确定的代数解（当然有些不满足初值条件）；而且能利用各种线性变换把它们转化为线性微分方程组去研究。
我认为它们应该归属于一个范畴，就是说，齐次微分方程和非齐次微分方程，其实是同样的概念。
例如三阶线性方程，二阶线性方程等等。
事实上许多工科专业大都开设过齐次线性微分方程的课程。
他们都认为它们与二次型的内容十分相似。
所谓相似，并不是指对于某个问题，我们只要做几道练习题就可得到答案，而是指：它们的思想方法，甚至书中所使用的符号及术语的含义都很相似。
尽管存在着诸多差异，但作为一门独立的新兴边缘学科，必将逐步发展壮大。
随之提高教师队伍素质也势在必行。
从小处讲，高考会增加它们的试题，在数学竞赛中占据更重要的位置，还要进入各种考试试卷中的热点。
这里面还包括了工程应用部分，譬如：热电厂的选址、油田开采、电网分布……都需要用到非齐次微分方程的解析解。
随着计算机技术的日益普及，齐次线性微分方程将与非齐次线性微分方程，多元函数微分方程一起进入更广泛领域的应用。
同样，非齐次微分方程也不再孤芳自赏。
非齐次线性方程、非齐次常微分方程、非齐次偏微分方程正朝着同一个目标迈进——走向数学建模。
不过，二者虽同属微分方程，却仍有区别：非齐次线性微分方程无确切的解析解。
多少年来人们一直寻找着具有唯一精确解的多元非齐次线性微分方程的数值解，尽管没有取得突破性进展，却促进了这个学科的飞速发展。
非齐次常微分方程的核心概念是微分，有效的数值计算公式则是它的“几何”体现，以至于数学家常戏言道：“数学是在空间上度量长度，在时间上测量角度。
”非齐次微分方程是一个大家族，除了上述的，还有微分方程组。
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
e
r1 x
2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0 [ (u ( 2 r1 p ) u ( r12 p r1 q ) u 0 u
是特征方程的重根
u 0
取 u = x , 则得 y2 x e
, 因此原方程的通解为 y 2 ( C1 C2 x ) e r1 x 特征方程 r p r q 0
d x
O x
x
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1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
d2 x 方程: k2 x 0 2 dt 特征方程: r 2 k 2 0, 特征根: r1 , 2 i k
方程通解: x C1 cos k t C2 sin k t v0 利用初始条件得: C1 x0 , C2 k 故所求特解: v0 x x0 cos k t sin k t k
第七节 常系数 齐次线性微分方程
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
第七章
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子,
y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得 所以令①的解为 (r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
齐次微分方程的形式
齐次微分方程的形式齐次微分方程是微积分中的一种重要类型，它的形式通常为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个函数。
这种类型的微分方程在物理、工程等许多领域都有广泛的应用。
下面将详细介绍齐次微分方程的形式、性质和解法。
一、齐次微分方程的定义和形式齐次微分方程的定义是指方程中的各个项都是同次的多项式，即所有项中的次数相同。
其形式为dy/dx=f(y/x)，其中f是一个同次的多项式函数。
二、齐次微分方程的性质1. 齐次微分方程的解具有比例性质，即如果y1(x)是dy/dx=f(y/x)的解，那么ky1(x)也是方程的解，其中k是任意常数。
2. 齐次微分方程可以通过变量代换y=ux将其转化为一个可分离变量的常微分方程。
这个变量代换的思路是假设y是x的一个函数u(x)与x的乘积，即y=ux，通过对缺少y′的一侧求导数后得到原方程关于u和x 的导数之比。
将x看成独立变量，把这个导数之比和原方程代入来取消掉u，从而得到一个可分离变量的方程。
3. 齐次微分方程的通解可以表示为y=kx^m，其中k是任意常数，m是方程中最高次项的次数。
三、齐次微分方程的解法1. 所有齐次微分方程的解都可以表示为y=kx^m，其中m是方程中最高次项的次数。
根据这个公式，可以通过将y和x的关系代入方程得到k的值，进而得到所有的解。
2. 如果齐次微分方程可以通过变量代换转化为可分离变量的常微分方程，那么可以通过分离变量求解得到方程的通解。
3. 如果齐次微分方程无法通过变量代换转化为可分离变量的常微分方程，可以使用欧拉方程求解。
欧拉方程需要采用指数函数代替一般的多项式函数，并且对于欧拉方程的求解需要使用一些高级的数学技巧。
总之，齐次微分方程在数学和物理领域中都有重要的应用，掌握其特性和解法可以为我们的研究和应用带来巨大的帮助。
齐次线性微分方程
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推广:
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
r n a1 r n 1 an 1r an 0
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 若特征方程含 k 重复根 对应项 则其通解中必含
2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t 利用初始条件得
C1 4, C2 2
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于是所求初值问题的解为
例3. 求方程 y y y 0的通解. r 2 r 1 0, 特征根为共轭复根: 解: 特征方程
e cos3 i sin 3 e cos3 ie sin 3
2
e
( i ) x
e
x
cos x i sin x
其中 , , x 为实数
二阶常系数齐次线性微分方程:
① 和它的导数只差常数因子, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
r4 2 r3 5r2 8r 4 0
故所求方程为 其通解为
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内容小结
y p y q y 0 ( p, q 为常数 ) 特征根: r1 , r 2
(1) 当 r1 r 2 时, 通解为 y C 1 e
r1 x
C2 e
r2 x
1 3 1 3 r1 i , r2 i, 2 2 2 2
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法
高数考研备战常微分方程的齐次与非齐次解法常微分方程是高等数学中的重要内容，也是考研数学中必考的知识点之一。
在常微分方程中，齐次方程和非齐次方程的解法是备战考研的重点。
本文将为大家详细介绍常微分方程的齐次与非齐次解法，助力大家高效备考。
一、齐次方程的解法齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y)的方程，其中f(x,y)满足齐次性质f(tx,ty) = f(x,y)。
齐次方程的解法相对简单，可以通过变量分离法和换元法来求解。
1. 变量分离法变量分离法是求解齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）将方程变形为dy = g(x)dx，其中g(x)为x的函数。
（2）对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫g(x)dx。
（3）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到y = ∫g(x)dx + C。
（4）得到的方程即为齐次方程的通解。
2. 换元法换元法是另一种常用的齐次方程求解方法。
具体步骤如下：（1）设u = y/x，即y = ux。
（2）将dy/dx = f(x,y)转化为关于u和x的方程，求出du/dx，并将y用u和x表示。
（3）对上式进行变量分离，得到du/u = g(x)dx。
（4）对上式进行求积分，并加上任意常数C，得到ln|u| = ∫g(x)dx + C。
（5）解出u，即得到u = e^(∫g(x)dx + C)。
（6）将u = y/x代入上式，得到y = xe^(∫g(x)dx + C)。
（7）得到的方程即为齐次方程的通解。
二、非齐次方程的解法非齐次方程是指形式为dy/dx = f(x,y) + g(x)的方程，其中g(x)为非零的函数。
求解非齐次方程的方法主要有常数变易法和特解叠加法。
1. 常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的常用方法。
具体步骤如下：（1）先求齐次方程dy/dx = f(x,y)的通解y0。
（2）设非齐次方程的通解为y = y0 + u(x)，其中u(x)为待定函数。
（3）将y = y0 + u(x)代入非齐次方程，得到dy/dx = f(x,y0+u) + g(x)。
齐次微分方程的解法
齐次微分方程的解法齐次微分方程是微分方程中的一类特殊形式，它的解法相对简单且具有一定的规律性。
本文将详细介绍齐次微分方程的解法，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、齐次微分方程的定义和基本形式齐次微分方程是指形如dy/dx = f(x,y)的微分方程，其中f(x,y)是关于x和y的函数。
如果对于任意的(x,y)∈D，都有f(tx,ty) = f(x,y)，则称该微分方程为齐次微分方程。
二、求解齐次微分方程的一般步骤求解齐次微分方程的一般步骤如下：1. 将齐次微分方程化为分离变量的形式，即将dy/dx = f(x,y)变形为dy/y = g(x)dx。
2. 对上式两边同时积分，得到ln|y| = ∫g(x)dx + C，其中C为常数。
3. 对上式两边同时取指数函数，得到|y| = e^(∫g(x)dx + C)。
4. 对上式两边同时取正负号，得到y = ±e^(∫g(x)dx + C)。
三、具体示例下面通过一个具体的示例来说明齐次微分方程的解法：示例：求解微分方程dy/dx = (2x+y)/(x+y)。
解：将方程化为分离变量的形式，得到(x+y)dy = (2x+y)dx。
对上式两边同时积分，得到∫(x+y)dy = ∫(2x+y)dx。
化简得到∫xdy + ∫ydy = 2∫xdx + ∫ydx。
进一步化简得到∫xdy + ∫ydy - ∫ydx = 2∫xdx。
整理得到∫xdy + ∫ydy - ∫ydx - 2∫xdx = 0。
对上式同时进行积分，得到∫xdy + ∫ydy - ∫ydx - 2∫xdx = C，其中C为常数。
化简得到xy + y^2 - y^2/2 - x^2 = C。
整理得到xy - x^2 = C。
因此，原微分方程的通解为xy - x^2 = C。
四、齐次微分方程的特殊情况在求解齐次微分方程时，有时可能会遇到特殊情况。
例如，当f(x,y) = g(y/x)时，可以通过变量替换的方法将齐次微分方程化简为分离变量的形式，然后按照一般步骤求解。
齐次微分方程
第3讲 齐次微分方程1．什么是齐次方程？ 上一节，介绍了变量可分离方程的解法.有些方程，它们形式上虽然不是变量可分离方程，但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方程，本节介绍两类可化为变量可分离的方程. 如果一阶显式方程(,)d y f x y d x= （1.9）的右端函数(,)f x y 可以改写为y x的函数()yg x，那么称方程(1.9)为一阶齐次微分方程.例如，方程2222sin ,co sy x y d y x y d y xy d xx yd xx y x++==-- 22()0x y dx xydy ++=，ln ln d y x y d x=-可以分别改写成所以它们都是一阶齐次方程．因此，一阶齐次微分方程可以写为(1.27)1.3.1 齐次方程的解法方程(1.27)的特点是它的右端是一个以为变元的函数，经过如下的变量变换，它能化为变量可分离方程.令则有代入方程(1.27)得（1.28）方程(1.28)是一个变量可分离方程，当时，分离变量并积分，得到它的通积分（1.29）或即其中以代入，得到原方程(1.27)的通积分若存在常数，使，则，是(1.28)的解，由，得是原方程(1.27)的解.例1 求解方程解将方程化成令代入上式得即易于看出，为这方程的一个解，从而为原方程的一个解.当时，分离变量得，．两端积分后得或将u换成，并解出y，便得到原方程的通解在一般情况下，如何判断方程(1.9)是齐次方程呢? 这相当于考虑，什么样的二元函数能化成形状为的函数.下面我们说明零次齐次函数具有此性质.所谓对于变元x和y是零次齐次式，是指对于任意的常数，有恒等式因此，令，则有因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数是一个关于变元x，y的零次齐次式.如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们下面要介绍第二类这种方程.1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程形如(1.30)的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中，显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不是零次齐次函数，然而函数（1.31）则为零次齐次函数.事实上，我们有下面我们将通过变量变换把(1.30)中的C1及C2消去，将方程(1.30)的右端函数化成(1.31)的形式，从而把方程(1.30)化成齐次方程.令(为待定常数)则代入(1.30)得选取使得(1.32)(1.32)是一个线性非齐次方程组，它的解与系数行列式有关.如果则(1.32)有唯一组解，把取为这组解，于是(1.30)就化成齐次方程求出这个方程解，并用变换代回，即可得(1.30)的解.上面的作法其实就是解析几何中的坐标平移.当时，直线与直线相交于一点，将二式联立求得交点()，再作坐标平移，就把原点移到().又由于在坐标平移变换下有成立，这样(1.30)就变成齐次方程了.如果，则(1.32)没有唯一组解，上述方法不可行，下面我们要说明，此时方程(1.30)也可化为变量可分离方程求解.实际上由，有成立.下面仅以来讨论，(以讨论相同).1)，此时(1.30)为令，则得到关于z的变量可分离方程2)中至多有一个为零.当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为这是一个变量可分离方程.当时，由(1.33)必有，方程(1.30)成为这也是一个变量可分离方程.3) 当且时，由(1.33)有于是，原方程(1.30)成为令则代入上面方程，得到一个关于z的方程这也是一个变量可分离方程.例2求解方程解因为方程组有解令代入原方程，得到新方程令，代入上式，又得到新方程当时，整理得积分得即或以,代回，即得原方程的通积分当时，解得，还原后又得到原方程的两个解和本节要点：1．一阶显式方程是齐次方程右端函数是一个零次齐次函数．2．齐次方程解法的本质是，方程（1.27）通过变量替换化为变量可分离方程求解．3．方程（1.30）的解法是齐次方程解法的扩展，把一个不是齐次方程的方程，选通过变量替换化成齐次方程，再按齐次方程求解．作业：练习1.31.；2. (1), (3).1．解下列方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)2．解下列方程(1)(2)答案：1.(1)(2),(3),(4)(5)(6),2.(1),(2)。
微分方程齐次
微分方程齐次
齐次方程是数学的一个方程，是指简化后的方程中所有非零项的指数相等，也叫所含各项关于未知数的次数。
其方程左端是含未知数的项，右端等于零。
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。
解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。
齐次微分方程：能化为可分离变量方程的一类微分方程，它的标准形式是y'=f(y/x)，其中f是已知的连续方程。
齐次从词面上解释是次数相等的意思。
微分方程中有两个地方用到齐次的叫法：形如y'=f(y/x)的方程称为齐次方程，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的。
在方程中只含有未知函数及其一阶导数的方程称为一阶微分方程。
其一般表达式为：dy/dx﹢p(x)y(x)=q(x)，其中p(x)、q(x)为已知函数，y(x)为未知函数，当式中q(x)≡0时，方程可改写为：dy(x)/dx﹢p(x)y(x)=0；形式如这样的方程即称为：齐次一阶微分方程。
形如y'=f(y/x)的一阶微分方程，称为齐次一阶微分方程。
齐次微分方程是一个微分方程，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。
对一阶线性微分方程来说，右端(即不含未知函数及其导数的项)不为零的方程y′+p(x)y= q(x)称为非齐次方程；与此对应的，右端q(x)=0
的方程y′+p(x)y=0，称为对应的齐次方程。
此外，当微分方程的左端是以自变数，未知函数作为变元的齐次函数时，也称为齐次方程。
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1
第二讲一阶微分方程
【教学内容】
齐次微分方程、一阶线性微分方程
【教学目的】
理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。
【教学重点与难点】
齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法
【教学过程】 、齐次微分方程: 形如
凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程
dx x
u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。
x
此方程是可分离变量的微分方程。
按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y
，所得函
数就是原方程的通解。
x
解：方程可化为
1 C)2
X 2(乂) x
分离变量，则有
u
1 u 2
两边积分，得
例1、 求微分方程（x
)dx 2xydy ，满足初始条件y
x 1
0的特解。
它是齐次方程。
令u
，代入整理后，有
du
dx 2xu
对它进行求解时，只要作变换
于是有
dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u
x
pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ），
dx u 还原
dy
dx
2
x_ 2xy
du
2x dx
(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1
)ln c
cx(1 u 2) 1
将u y 代入上式，于是所求方程的通解为
x
x 2
二、一阶线性微分方程 形如
的方程称为一阶线性微分方程，其中
P （x ）、Qx ）都是连续函数。
当Qx ） = 0时，方程
y P (x)y 0
称为一阶线性齐次微分方程;
当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。
1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程
P(x)y 0
分离变量得
两边积分得
方程的通解为
求微分方程
y 2xy
0的通解。
c(x 2
y 2
) x 2
把初始条件y
0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为
y P (x)y
Q(x)
dy
P(x)dx
In y
P(x)dx InC
Ce
P （x ）dx
（C 为任意常数）
解法1 （分离变量法）
所给方程是一阶线性齐次方程
将P (x ) =2 X 代入通解公式，得通解
2. 一阶线性非齐次微分方程的解法
y Ce P(x)dx
y C(x)e P(x)dx
(C(x)是关于x 的函数)
的结构及导数运算的规律
我们有理由推测非齐次方程的解形如
代入非齐次方程，得
C(x) Q(x)e P (x )d
Xdx C
一阶非齐次线性方程通解的公式为:
[Q(x)e
P(x)dx
dx C]
的通解
e_Pgdx Q$x)e 卩°叫
非齐 的特解
Ce
P(x)d
x
齐次方程 的
通解
P(x)dx
P(x)dx Q 严')dx
非齐次方程 的特解
上述求解方法称为常数变易法
变量分离得巴
y
2xdx
两边积分得In
2 x Ci
x 2
e
C
1
e C
1
方程的通解为
x
2
y Ce
解法
(公式法)
y Ce
P(x)dx
Ce
2xdx
Ce x2
非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项
Qx )。
从齐次方程的通解
用常数变易法求一阶非齐次线性方程通解的步骤为: (1 )先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解; (2 )利用常数变易法设出非齐次线性方程的一个特解; (3)将所设特解代入非齐次线性方程，解出
Cx )，写出非齐次线性方程的通解
例3、求微分方程
2 y
解法1 (常数变易法)
原方程变形为：
代入原方程得
对应的齐次方程为
1 2y
得通解为
Ce
P(x)dx
1 -x Ce 2
设原方程的解为
C(x)e
从而 1
-x 2
^C(x)e
化简得
1 -x
2 C (x)e 2
1 2 C
(x)e 1 2C(x)e
1 -x 2
1 x 2e
两边积分,
C(x)
1 x 2e
C(x)
所以，原方程的通解
1 -x
2 y C （x ）e 2
解法2 （用公式法）
初始条件为下
y （0） 0
由y y 0分离变量并积分,
x
y ce
Ce 2 P(x)
1
2
, Q(x)
1 x 2e
把它们代入公式得 2)dx
2e x
-dx
e 2
dx C
e 2
( 1e x e
2
2
dx C)
e 2
(
e 2
C ）
例4、已知曲线过点（0, 0），且该曲线上任意点 P （X , y ）处的切线的斜率为该点的横坐标与纵坐标之和,
求此曲线方程。
解法1 （采用常数变易法求解）
设所求的曲线方程为 y=y （ x ），由导数的几何意义有
令 y u(x)e x
，则 y u (x) e x u(x)e x ，把 y ，
y 代入方程中，于是有
u (x) xe x 两端积分后，得
u(x) (x 1)e x
c (c 为任意常数)
将上式代入y u(x)e x
，从而方程的通解为
ce x (x 1)
这就是所求的曲线方程。
(采用公式法求解)原方程中的
P(X) 1，q(x) x ，把它们代入公式得
1)dx
( 1)dx
(xe dx c)
xe x
dx c)
x
x .
xe e c)
/ x
1 ce
把 y(0)
0代入上式得c 1，于是所求的曲线方程为
再把初始条件y(0)
0代入上式，解出
c=1,因此方程的特解为
解法2。