6.5二次曲面方程的化简与位置确定

§6.5 二次曲面方程的化简与位置确定

本节重点：掌握利用不变量化简二次曲面的方法并能确定新坐标系的位置 一

有心二次曲面

对于有心二次曲面，取其一个中心为新坐标原点'

O ，这时在新坐标系下，'

O 的坐标为

)0,0,0(，它满足关于中心的方程

⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0

00'34''33''32''31

'

24''23''22''21'14''13''12''11a z a y a x a a z a y a x a a z a y a x a (6.5.1) 把)0,0,0(代入(6.5.1)便得到'

34

'24'14a a a ==，因此有 6.5.1定理 若取有心二次曲面的一个中心为原点，则这个二次曲面在这个坐标系下的一次项系数为0。

结合上节结果得到，若二次曲面是有心二次曲面，则取其一个中心为新原点，对应于两个相异特征根21,λλ的两个单位特征向量为新坐标向量→→'

',j i ，取另一个坐标向量为

→→→

⨯='

''j i k ，那么在这个新坐标系下，二次曲面的方程为

0'

442'32'22'1=+++a z y x λλλ

其中3λ是这个二次曲面的另一个特征根，至于'

44a 可用下面方法得到 (1) 用中心的坐标表示'

44a ，

因为转轴不改变常数项，因此常数项由移轴决定，由(6.3.20)可得

),,(000'44z y x F a =

其中),,(000z y x 是新原点上的坐标。但因为

),,(),,(),,(),,(),,(0004000300002000010000z y x F z y x F z z y x F y z y x F x z y x F +++=

而),,(000z y x 是二次曲面中心，因此)3,2,1(),,,(000=i z y x F i 因此

),,(0004'44z y x F a =

(2) 用不变量求'

44a

若二次曲面是中心二次曲面，则3I 是其中心方程组的系数行列式，因此03≠I ，即

00

00

03213

2

1

'33≠===λλλλλλI I

而

'

44321'44

3

2

1

'

440

0000

0000

a a I I λλλλλλ==

=

因此

3

4

'

44I I a =

二、无心二次曲面

在§6.4中我们看到无心二次曲面只有两种抛物面和抛物柱面。 (1)抛物面

抛物面的最简方程为02''

342'22'1=++z a y x λλ其中21,λλ是这个抛物面的两个非零

特征根。因此，

2

'3421'34

'342

1

'

440

0000

00

00a a a I I λλλλ-==

= 因此2

14

'

34λλI a -±

=，其正负号由所取坐标向量的指向确定。为确定的位置，先考察它的最

简方程，→

→'

',j i 分别是21,λλ对应的特征向量，它们所对应的主径面分别是'''z O y 面和'

''z

O x 面，新原点'

O 在该曲面上。从上面分析得到，对于抛物面，可取其两个非零特征根对应的单位特征向量为新标向量→

→'',j i ，从而得到另一坐向量→→→

⨯='''j i k ，→→'

',j i 所对应的主径面分

别为'

''z O y 面和'

''

z O x 面，两主径面的交线为'

z 轴，'

z 轴与曲面的交点为新原点'

O ，现在→→→'

'',,k j i 的指向已完全确定。

由(6.3.22)得到

()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100

004443

42

41

3433323124232221

14131211

3

33

'34z y x a a a a a a a a a a a a a a a a Z Y X a 其中},,{333Z Y X 是→

'

k 的坐标，),,(000z y x 是新原点的坐标。由于→'

k 是对应于特征根0=λ的特征向量，所以从上式得

343243143'

34a Z a Y a X a ++=

(2)抛物柱面

抛物柱面的最简方程为02''242''33=+y a z a ，其中'

33

a 为其唯一的非零特征根，与它对应的特征向量与'z 轴共线。这个特征向量所对应的主径面为'''y O x 面，'

x 轴是这个主径面与二次曲面的交线。 由此我们得到化简这类曲面的方法：

先求出其唯一的非零特征根3λ，3λ所对应的单位特征向量为→

'

k ，→'

k 所对应的主径面取为'''y O x 面，'''y O x 面与曲的交线取为'

x 轴，'

x 轴上可任取一点为新原点'

O ，这时得到一个直角坐标变换，在这样取定的新坐标系下，二次曲面的方程为

02''

242'3=+y a z λ

其中3λ是唯一的非零特征根，类似抛物面情形中求'

34a 的方法，'

24a 可直接计算如下：

()3422421420

004443

42

41

3433323124232221

14131211

2

22

'2410a Z a Y a X z y x a a a a a a a a a a a a a a a a Z Y X a ++=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 其中},,{222Z Y X 是新坐标向量→'

j 的坐标，),,(000z y x 是新原点坐标。 例１、化简二次曲面方程并给出得到化简方程的坐标变换公式：

0106662265222=+-+-+--++z y x yz xz xy z y x

解：二次曲面的矩阵为

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛--------103333511311

33131 3607321-===I I I

曲面特征方程为