1_理数答案

唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案

一．选择题：

A 卷：CADDC CBCB

B AD B 卷：CABDC

CDCBB

AD 二．填空题： （13）0

（14）

3

2

（15）

(

9

8，138

] （16）6

三．解答题： 17．解：

（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1

6b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．

因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin A

cos A

，

又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分

（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝5

5

，

由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b

3

． …8分

由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29

，

从而b 2＝9．

故S ＝ 1

6

b 2tan A ＝3． …12分

18．解：

（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4分 （2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”， C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”； C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”， C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”． 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)． P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2) ＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．

由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，3

20

，故

P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝3

20，

P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137

400

． …12分

19．解：

（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，

∴P A ∥EO ，又P A ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴P A ∥平面BED ． …4分 （2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，

则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)， P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，

由⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，

得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，

1)． …7分

直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得

|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |

＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．

…9分

同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)， …10分

cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 1

2

，

∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°． …12分 20．解：

（1）由已知可得F (0，1)，设A (

x 1，x 214)，B (x 2，x 22

4

)

，

y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，

x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8． ② …2分 |F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 22

4＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24

＋2． …4分

当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10 …5分

（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224

－1)

，FC →＝(－3，－3). ∠CF A ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，

…8分 又|F A |＝x 214＋1，|FB |＝x 22

4

＋1则

F A →·FC

→|F A →||FC →|＝

FB →·FC

→|FB →||FC →|

，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，

解得k ＝－ 3

2

，

…11分 所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0．

…12分

21．解：

（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，

所以x ∈(0，π

2]时，g (x )＞0，即g (x )在(

0，π

2

]

内没有零点．

…2分

x ∈(

π

2

，π)

时，g '(x )＝2cos x －x sin x ，

因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π

2

，π)

上单调递减，

又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g

(2π3)＝－π

3＋3

2

＜0，

所以g (x )在(

2，2π

3

)

内有唯一零点t ．

…6分

（2）由（1）得，

x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减， 即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ．

由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos t

cos t

＝cos 2t －2cos t －1

cos t

＝(cos t －1)2－2

cos t

．

…9分

因为t ∈(

2，2π3)，所以cos t ∈(

－ 1

2

，cos 2)，

从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2

cos t

＜0，

所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分

22．解：

（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，

所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．

直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，

y ＝－33＋t sin α

（t 为参数，0≤α＜π）．

…5分

（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，