1_理数答案

唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A 卷：CADDC CBCB
B AD B 卷：CABDC
CDCBB
AD 二．填空题： （13）0
（14）
3
2
（15）
(
9
8，138
] （16）6
三．解答题： 17．解：
（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 1
6b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．
因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin A
cos A
，
又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ． …4分
（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝5
5
，
由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b
3
． …8分
由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29
，
从而b 2＝9．
故S ＝ 1
6
b 2tan A ＝3． …12分
18．解：
（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散． …4分 （2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”， C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”； C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”， C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”． 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)． P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2) ＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．
由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，3
20
，故
P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝3
20，
P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137
400
． …12分
19．解：
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，
∴P A ∥EO ，又P A ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴P A ∥平面BED ． …4分 （2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，
则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)， P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)， PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1) 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
由⎩⎪⎨⎪⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，
得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，
1)． …7分
直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得
|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |
＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．
…9分
同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)， …10分
cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12×2＝ 1
2
，
∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°． …12分 20．解：
（1）由已知可得F (0，1)，设A (
x 1，x 214)，B (x 2，x 22
4
)
，
y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，
x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8． ② …2分 |F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 22
4＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24
＋2． …4分
当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10 …5分
（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224
－1)
，FC →＝(－3，－3). ∠CF A ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，
…8分 又|F A |＝x 214＋1，|FB |＝x 22
4
＋1则
F A →·FC
→|F A →||FC →|＝
FB →·FC
→|FB →||FC →|
，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，
解得k ＝－ 3
2
，
…11分 所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0．
…12分
21．解：
（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，
所以x ∈(0，π
2]时，g (x )＞0，即g (x )在(
0，π
2
]
内没有零点．
…2分
x ∈(
π
2
，π)
时，g '(x )＝2cos x －x sin x ，
因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π
2
，π)
上单调递减，
又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g
(2π3)＝－π
3＋3
2
＜0，
所以g (x )在(
2，2π
3
)
内有唯一零点t ．
…6分
（2）由（1）得，
x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减， 即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ．
由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos t
cos t
＝cos 2t －2cos t －1
cos t
＝(cos t －1)2－2
cos t
．
…9分
因为t ∈(
2，2π3)，所以cos t ∈(
－ 1
2
，cos 2)，
从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2
cos t
＜0，
所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分
22．解：
（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，
所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．
直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，
y ＝－33＋t sin α
（t 为参数，0≤α＜π）．
…5分
（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，
将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ，
因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋ π 6)，t B ＝8sin (α＋ π
6
)
， …8分
所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋ π 6)＝32，即sin 2(α＋ π
6)
＝1．
因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π
6
，
从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π
3
． …10分
23．解：
（1）f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，
－x ＋2，－1≤x ≤ 1
2，
3x ，x ＞ 1
2
．
…3分
…5分
，解得n ≥2． m |x |＋n ≥3|x |．（※）
若m ≥3，（※）式明显成立；若m ＜3，则当|x |＞n
3－m
时，（※）式不成立．
…8分 另一方面，由图可知，当m ≥3，且n ≥2时，f (x )≤m |x |＋n ． 故当且仅当m ≥3，且n ≥2时，f (x )≤m |x |＋n ． 因此m ＋n 的最小值为5． …10分。